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Coefficient of Mean Deviation

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1.माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation),सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics):

माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation) समान्तर माध्य,मध्यका और बहुलक को आधार मानकर ज्ञात किया जाता है।परन्तु व्यवहार में मध्यका को ही आधार मानकर माध्य विचलन तथा उसके गुणक की गणना की जाती है क्योंकि यह स्थिर, निश्चित एवं प्रतिनिधि माध्य है तथा इससे निकाले गए विचलनों का जोड़ सबसे कम होता है।
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2.माध्य विचलन गुणांक के साधित उदाहरण (Coefficient of Mean Deviation Solved Examples):

Example:1.निम्न समंकों से मध्यका,माध्य विचलन एवं उसका गुणक ज्ञात कीजिए:
(Calculate Median,Mean Deviation and its coefficient from the following data):

Series 140-150150-160160-170170-180180-190190-200
Frequency46101893

Solution: Calculation of Mean Deviation by Short-cut Method

ScoresM.V.(X)freq(f)fXcfFrom MedianFrom MeanFrom Mode
140-15014545804\Sigma M_{b}= 3160\\N_{b} =20 \Sigma f X_{b}= 3160\\ \Sigma N_{b} =20 \Sigma f Z_{b} =3160 \\ \Sigma N_{b}=20
150-160155693010
160-17016510165020
170-18017518315038
180-1901859166547\Sigma M_{a}= 5400\\N_{a} =30 \Sigma f X_{a}= 5400 \\ \Sigma N_{a}=30\Sigma f Z_{a} =5400\\ \Sigma N_{a}=30
190-200195358550
Total 508560 

Mean Deviation From Median

\frac{N}{2}=\frac{50}{2}=25

मध्यका वर्ग 170-180 है l=170, f=18, cf=20, h=10
मध्यका (M)=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}\right) \times h \\ =170+\frac{25-20 }{18}\times 10 \\ = 170+\frac{50}{18} \\ =170+2.777 \\ M \approx 172.78 \\ \Sigma f M_{b}=580+930+1650=3160\\ N_{b}=4+6+10=20\\ \Sigma f M_{a}=1665+585+3150=5400\\ N_{a}=18+9+3=30\\ \delta_{M} =\frac{\Sigma f M_{a}-\Sigma f M_{b}-(N_{a}-N_{b})M}{N} \\ =\frac{5400-3160-(30-20)\times 172.78}{50} \\=\frac{2240-10 \times 172.78}{50}\\=\frac{2240-1727.8}{50} \\ =\frac{512.2}{50}\\ \delta_{M} \approx 10.24 

coefficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M}=\frac{10.24}{172.78}=0.0592 \approx 0.06 

Mean Deviation From Mean

\bar{X}=\frac{\Sigma f x}{N}\\ =\frac{8560}{50}\\ \Rightarrow \bar{X}=171.2\\ \delta_{\bar{X}} =\frac{\sum f X_{a}-\sum f X_{b}-\left(N_{a}-N_{b}\right) \bar{X}}{N}\\ =\frac{5400-3160-(30-20) \times 171.2}{50}\\ =\frac{2240-10 \times 171.2}{50}\\ =\frac{2240-1712}{50}\\ =\frac{528}{50}\\ =10.56\\ \Rightarrow \delta_{\bar{X}} \approx 10.56

coefficient of \delta_{\bar{X}}=\frac{\delta \bar{X}}{\bar{X}}\\ =\frac{10.56}{171.2}\\=0.0616\\ \approx 0.06
सबसे अधिक बारम्बारता 18 है।अतः f_{0}=10, f_{1}=18, f_{2}=9 बहुलक वर्ग 170-180 है।

l=170,h=10
बहुलक (Z)=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \\ =170+\left(\frac{18-10}{2 \times 18-10-9}\right) \times 10 \\ Z=170+\frac{8}{36-19} \times 10\\ =170+\frac{80}{17}\\ =170+4.705\\ =174.705\\ Z \approx 174.71\\ \delta_{z}=\frac{\Sigma f Z_{a}-\Sigma f Z_{b}-(N_{a}-N_{b}) Z}{N}\\=\frac{5400-3160-(30-20) \times 174.71}{50}\\ =\frac{2240- 10 \times 174.71}{50}\\=\frac{2240-1747.1}{50}\\=\frac{429.9}{50} \\=9.858\\ \Rightarrow \delta_{z} \approx 9.86

coefficient of \delta_{z}=\frac{\delta_{Z}}{Z}\\ =\frac{9.86}{174.71}\\ =0.056\\ \approx 0.06 
Example:2.एक विशेष समुदाय के पति तथा पत्नियों की आयु के अन्तर सम्बन्धी समंक सारणी में प्रस्तुत है।समान्तर माध्य,माध्य विचलन तथा उसके गुणक की परिगणना कीजिए:
(The differences between the ages of husbands and wives in a particular community are give below.Calculate arithmetic mean, mean deviation and its coefficient):

Difference in YearsFrequency
0-5449
5-10705
10-15507
15-20281
20-25109
25-3052
30-3516
35-404

Solution: Calculation of Mean Deviation

In yearsM.V(X)frequency(f)fX|dX|=|X-\bar{X}|f|d \bar{X}|
0-52.54491122.5|2.5-10.47|=7.973578.53
5-107.57055287.5|7.5-10.47|=2.972093.85
10-1512.55076337.5|12.5-10.47|=2.031029.21
15-2017.52814917.5|17.5-10.47|=7.031975.43
20-2522.51092452.5|22.5-10.47|=12.031311.27
25-3027.5521430|27.5-10.47|=17.03885.56
30-3532.516520|32.5-10.47|=22.03352.48
35-4037.54150|37.5-10.47|=27.03108.12
Total 212322217.5 11334.45

माध्य (Mean) \bar{X}=\frac{\sum f x}{\sum f}\\ =\frac{22217.5}{2123}\\ =10.465\\ \bar{X} \approx 10.47\\ \delta_{\bar{X}}=\frac{\Sigma f|d \bar{X}|}{N}\\ =\frac{11334.45}{2123}\\ =5.338\\ \delta_{\bar{X}} \approx 5.34

coeffecient of \delta_{\bar{X}}=\frac{\delta_{\bar{X}}}{\bar{X}}\\ =\frac{5.34}{10.47}\\ =0.51
Example:3.निम्न समंकों से मध्यका (Median) माध्य विचलन (Mean Deviation) तथा उसके गुणक (its coefficient) की परिगणना कीजिए।

Age in YearsNo. of persons
1-57
6-1010
11-1516
16-2032
21-2524
26-3018
31-3510
36-405
41-451
Total125

Solution: इस श्रेणी का रूप समावेशी (Inclusive) है,अतः सर्वप्रथम विभिन्न वर्गों की वास्तविक सीमाओं का निर्धारण करेंगे जो निम्न प्रकार से होगा:

Calculation of Mean Deviation

Age in YearsNo. of persons(f)cfX|dM|=|X-M|f|dM|
0.5-5.5773|3-19.95|=16.95118.65
5.5-10.510178|8-19.95|=11.95119.5
10.5-15.5163313|13-19.95|=6.95111.2
15.5-20.5326518|18-19.95|=1.9562.4
20.5-25.5248923|23-19.95|=3.0573.2
25.5-30.51810728|28-19.95|=8.05144.9
30.5-35.51011733|33-19.95|=13.05130.5
35.5-40.5512238|38-19.95|=18.05190.25
40.5-45.5112343|43-19.95|=23.0523.05
Total123   873.65

 \frac{N}{2}=\frac{123}{2}=61.5

अतः मध्यका वर्ग 15.5-20.5 होगा।
फलतः l=15.5,f=32,cf=33,h=5

M=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}\right) \times h\\ =15.5+\left(\frac{61.5-33}{32}\right) \times 5 \\ M =15.5+\frac{28.5}{32} \times 5\\ =20+\frac{142.5}{32} \\ =15.5+4.453 \\ M =19.953 \\ M \approx 19.95 \\ \delta_{M}=\frac{\Sigma f\left|d M\right|}{\Sigma f}\\ =\frac{873.5}{123}\\=7.101\\ \Rightarrow \delta_{M} \approx 7.1 years
Coefficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M}\\ =\frac{7.1}{19.95}\\ =0.355\\ \approx 0.36

Example:4.निम्न समंकों से मध्यका से माध्य विचलन (Mean Deviation) तथा उसके गुणक (its Coefficient) की परिगणना कीजिए

Marks less thanNo. of Students
4050
3545
3040
2531
2016
1510
107
52

Solution: Calculation of Mean Deviation

MarksNo. of Students(f)cfX|dM|=|X-M|f|dM|
0-5222.5|2.5-23|=20.541
5-10577.5|7.5-23|=15.577.5
10-1531012.5|12.5-23|=10.531.5
15-2061617.5|17.5-23|=5.533
20-25153122.5|22.5-23|=0.57.5
25-3094027.5|27.5-23|=4.540.5
30-3554532.5|32.5-23|=9.547.5
35-4055037.5|37.5-23|=14.572.5
Total50   351

अतः मध्यका वर्ग 20-25 है।फलतः l=20,f=15,h=5,cf=16
मध्यका (M)=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}\right) \times h\\ =20+\left(\frac{25-16}{15}\right) \times 5 \\ M =20+\frac{9 \times 5}{15} \\ =20+\frac{45}{15} \\ =20+3 \\ M =23 \\ \delta_{M} =\frac{\Sigma f|d M|}{\Sigma f} \\=\frac{351}{50} \\ \Rightarrow \delta_{M} =7.02 marks

coefficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M} \\ =\frac{7.02}{23} \\=0.305
Example:5.एक सड़क पर दुर्घटनाओं की निम्न सूचना से मध्यका द्वारा माध्य विचलन तथा विचलन गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following information about the accidents on a road, Calculate the mean deviation from the median and its coefficient.)

No. of Accidents Per Day012345
No. of days10151830116

Solution: Calculation of Mean Deviation

No. of Accidents per  DayNo. of Days(f)cf|dM|=|X-M|f|dM|
01010|0-3|=330
11525|1-3|=230
21843|2-3|=118
33073|3-3|=00
41184|4-3|=111
5690|5-3|=212
Total90  101

\frac{N}{2}=\frac{90}{2}=45
अत : M=3
\delta_{M} =\frac{\Sigma f|d M|}{\Sigma f} \\ =\frac{101}{90}=1.12
coefficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M} \\ =\frac{1.12}{3}=0.37

Example:6.मध्यका से माध्य विचलन तथा उसका गुणक ज्ञात कीजिए:
(Find the mean deviation from median and its coefficient):

SizeFrequency
1 and upto 101
1 and upto 203
 1 and upto 306
1 and upto 408
1 and upto 5010

Solution:- Calculation of Mean Deviation

SizeFrequency(f)cfM.V.fXfrom median
0-101155\Sigma M_{b} =5+30+75 =110\\N_{b} =6 
10-20231530
20-30362575
30-40283570\Sigma M_{a}=70+90 =160 \\ N_{a} =4 
40-502104590
Total10   

\frac{N}{2}=\frac{10}{2}=5

अतः मध्यका वर्ग 20-30 है।फलतः l=20,f=3,h=10,cf=3
मध्यका M=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}\right) \times h \\ = 20+\frac{(5-3)}{3} \times 10 \\ = 20+\frac{20}{3} \\=20+6.666 \\ M \approx 26.67 \\ \delta_{M} =\frac{\Sigma f M_{a} -\Sigma f M_{b}-\left(N_{a}-N_{b}\right) M}{N} \\ =\frac{160-110-(4-6) \times 26.67}{10} \\ =\frac{50+2 \times 26.67}{10}\\ =\frac{50+53.34}{10}=\frac{103.34}{10}=10.334

cofficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M}=\frac{10.334}{26.67}=0.3874 \approx 0.39

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation),सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics) को समझ सकते हैं।

3.माध्य विचलन गुणांक की समस्याएं (Coefficient of Mean Deviation Problems):

(1.)निम्न श्रेणी का माध्य विचलन (M.D.) एवं उसके गुणक (its coeff) की गणना कीजिए।

Size(X)1011121314
Frequency(f)31218123

(2.)निम्न सारणी में 60 विद्यार्थियों के अर्थशास्त्र में प्राप्तांक दिए हुए हैं।माध्य विचलन एवं उसके गुणांक की गणना कीजिए।
(The following table gives the marks obtained by 60 students in economics calculate mean deviation and its coefficient)

Marks more than706050403020
No. of students 7840445560

उत्तर (Answers):(1)M=12,\delta_{M} =0.75, c of \delta_{M}=0.06

(2)M=54.55,\delta_{M}=11.15 Marks,c of \delta_{M}=0.20
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation),सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation),सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.माध्य विचलन की कौनसी विधि उपयुक्त है? (Which method of mean deviation is appropriate?):

उत्तर:साधारणतया माध्य विचलन की गणना प्रत्यक्ष रीति द्वारा करना ही अपेक्षाकृत सरल होता है।यदि माध्य जिससे माध्य विचलन ज्ञात करना हैं।जैसे, पूर्णांक न होकर दशमलव में आए तो वैकल्पिक (दूसरी) लघुरीति का प्रयोग करना सरल होगा।परीक्षा की दृष्टि से यह आवश्यक नहीं है कि लघुरीति का प्रयोग किया जावे।अतः प्रत्यक्ष रीति को ही प्रयुक्त करना सरल और सही होगा।

प्रश्न:2.मध्यवर्ती 50 प्रतिशत व मध्यवर्ती 80 प्रतिशत से क्या आशय है? (What is meaning of middle 50 percentage and middle 80 percentage in a variable?):

उत्तर:श्रेणी के 50 प्रतिशत से तात्पर्य है कि 50% मूल्यो से तथा 80% से तात्पर्य है कि 80 प्रतिशत मूल्यों से।अत: यदि 50%.मूल्य ज्ञात करना हो तो मध्यका ज्ञात करते हैं।यदि 80% मूल्य ज्ञात करना हो तो शतमक ज्ञात किया जाता है।

प्रश्न:3.अपकिरण के उपयुक्त माप का चयन कैसे करते हैं? (How do we choice of a suitable measures of dispersion?):

उत्तर:अपकिरण में प्रमुखतः पाँच प्रमुख मापों का अध्ययन किया जाता है यथा विस्तार (Range),चतुर्थक विचलन (Quaritle Deviation),माध्य विचलन (Mean Deviation),प्रमाप विचलन एवं गुणांक (Standard Deviation and Coefficient of variance) लारेंज वक्र (Lorenz Curve)।
अपकिरण में किस माप का प्रयोग कब और किन परिस्थितियों में करना उपयुक्त रहेगा यह निर्णय मुख्यतः अपकिरण के उद्देश्य, प्रस्तुत समंकों की प्रकृति तथा इन विभिन्न मापों की विशेषताओं पर निर्भर करता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation),सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Coefficient of Mean Deviation

माध्य विचलन गुणांक
(Coefficient of Mean Deviation)

Coefficient of Mean Deviation

माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation) समान्तर माध्य,मध्यका और
बहुलक को आधार मानकर ज्ञात किया जाता है।

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