1. समुच्चय सिद्धान्त और इतिहास और अवलोकन (Set Theory  and History and Overview):

Set Theory  and History and Overview

• समुच्चय सिद्धान्त-इतिहास और अवलोकन (Set Theory and History and Overview) अर्थात सेट थ्योरी क्या है और आज यह प्रासंगिक क्यों है?(What Is Set Theory & Why Is It Relevant Today?):
• अनंत की अवधारणा वैचारिक रूप से औसत गणित शब्दावली से बहुत दूर है – गणित के घेरे के बाहर कोई अन्य विषय इस तरह से स्थानांतरित नहीं होता है कि एक व्यावहारिक, विश्लेषणात्मक उपकरण से पौराणिक ख्याति की घटना के लिए अनुवाद किया जाता है। धर्म और दर्शन जैसे सांस्कृतिक विषयों के साथ कंधों को रगड़ने से अनंत की धारणा देवत्व की एक अजीब आभा रखती है।
• एक बार, यह सभी अकादमिक विषयों में, एक नींव थी, कि एक ही अनंत मौजूद था।
  फिर, 1874 में, एक अपेक्षाकृत अस्पष्ट गणितज्ञ ने इस दुनियावी, गहराई से आयोजित विश्वास को लक्षित करने वाले ग्राउंड-ब्रेकिंग अवलोकनों और क्रांतिकारी प्रश्नों का एक संघ प्राप्त किया। एक जॉर्ज कैंटर ने अपने अब तक के पौराणिक प्रकाशन में ऑन द ऑल द कलेक्शन ऑफ द ऑल रियल अल्जेब्राटिक नंबर्स के एक प्रॉपर्टी(गुणधर्म) को साबित किया कि वास्तविक संख्याओं का सेट वास्तविक, बीजीय संख्याओं के सेट से अधिक “अधिक” है। इससे पहली बार पता चला कि विभिन्न आकारों के अनंत सेट मौजूद हैं (हम चिंता न करें – हम स्पष्टीकरण के लिए शीघ्र ही उनके पेपर की समीक्षा करेंगे)।
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Set Theory  and History and Overview (That Allows Itself To Be Though Of As One — Georg Cantor)

• एक सेट कई है जो खुद को एक के रूप में होने की अनुमति देता है – जॉर्ज कैंटर
  1874 और 1897के बीच, कैंटर ने प्रकाशित होने के बाद क्रूरतापूर्वक प्रकाशित किया – अमूर्त सेट के अपने सिद्धांत को एक खिलंदड़ अनुशासन में विस्तारित किया। हालाँकि, उन्हें निरंतर प्रतिरोध और आलोचना के साथ मुलाकात की गई; वास्तव में, कई अनुशासनवादियों का मानना ​​था कि उनके सिद्धांतों ने दार्शनिकों के धर्म का उल्लंघन किया और धर्म के सिद्धांतों का उल्लंघन किया।
• एक बार जब एनाबेबेगन के लिए आवेदन प्राप्त होने थे, हालांकि, दृष्टिकोण बदल गया और उसके विचार और परिणाम स्वीकृति प्राप्त कर रहे थे। 1900 के दशक तक, उनकी टिप्पणियों, सिद्धांतों और प्रकाशनों ने आधुनिक-दिन के सेट सिद्धांत की मान्यता में एक नया, पूरी तरह से गणित की अलग शाखा का समापन किया:
• सेट सिद्धांत अच्छी तरह से निर्धारित संग्रह का गणितीय सिद्धांत है, जिसे सेट कहा जाता है, अलग-अलग वस्तुओं का जिसे सेट का सदस्य या तत्व कहा जाता है।

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2.0 और 1 के बीच कितने नंबर हैं? (How Many Numbers Are There Between 0 & 1?):

• चार और आधे पन्नों में, कैंटर का मूल प्रकाशन बार को शानदार प्रतिभा के प्रदर्शन के रूप में सेट करता है। यह दो अलग-अलग सबूतों में विभाजित है, जो एक साथ कम से कम दो अद्वितीय प्रकार के अनन्तता की पावती में समाप्त होते हैं।
• सिद्धांत का पहला भाग वास्तविक, बीजीय संख्याओं के सेट का निरीक्षण करता है और स्थापित करता है कि यह एक गणना योग्य अनंत सेट है। यहाँ मत खो जाना, “काउंटेबल” जरूरी नहीं है कि पूर्णांक द्वारा कड़ाई से गिनती की जाए; सेट थ्योरी संदर्भ में, काउंटेबल का मतलब है कि एक सेट, यहां तक ​​कि अनंत तत्वों में से एक, एक क्रमबद्ध, बहुपद समारोह के रूप में एक दोहराने योग्य अनुक्रम के साथ वर्णित किया जा सकता है। कैंटर ने इस गुणधर्मको संख्याओं के अनंत संग्रह का नाम दिया है, जो एक-से-एक पत्राचार के रूप में एक अनुक्रम के साथ एक-से-एक कर सकता है।
  संक्षेप में, सभी वास्तविक, बीजीय संख्याओं का संग्रह, या सेट, अलग-अलग डिग्री और गुणांक वाले बहुपद के कुछ सैद्धांतिक अनुक्रम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है; इसलिए, सभी वास्तविक, बीजीय संख्याओं का सेट एक गणना योग्य अनंत सेट है।
• कैंटर की थीसिस का दूसरा भाग वास्तविक, जटिल संख्याओं की भूमिका का विश्लेषण करता है, जिसे ट्रान्सेंडैंटल संख्याओं के रूप में भी जाना जाता है। ट्रान्सेंडैंटल नंबरों, सबसे अच्छे उदाहरण pi & e, में एक अजीबोगरीब गुणधर्म है, जहाँ उन्हें बहुपदीय समारोह का उपयोग करके उन्हें प्राप्त करना असंभव है – वे बीजगणितीय  नहीं हैं । कोई फर्क नहीं पड़ता कि ऊंचाइयों, भागों की संख्या, डिग्री या गुणांक, कोई अनुक्रम कभी भी एक गणना योग्य, अनंत सेट के संग्रह में पाई की गणना नहीं करेगा।
• केंटोर तब बताता है कि वास्तविक संख्याओं [A, B] के किसी भी बंद अंतराल में, कम से कम एक पारलौकिक संख्या मौजूद है जिसे कभी भी गणना योग्य अनंत सेट में नहीं गिना जाएगा। चूंकि इस तरह की संख्या मौजूद है, इसलिए यह माना गया कि वास्तविक संख्याओं के परिवार के बीच अनंत संख्या में पारलौकिक संख्याएं मौजूद हैं।
  इसलिए, साबित करना, पहली बार, निरंतर के एक सेट के बीच बहुत स्पष्ट अंतर, बेशुमार संख्या स्ट्रीमिंग और सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं जैसे गणनीय, अनुक्रमणीय संख्याओं का संग्रह।

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3.सूचना और संक्रियों की ओर (On Towards Notation & Operations):

• कैंटर का पहला प्रकाशन कम से कम दो अलग-अलग प्रकार की अनन्तता की इस आश्चर्यजनक पुष्टि पर रुक गया। इस मूल प्रकाशन से, एडेंडा की एक हड़बड़ाहट दिखाई दी, लेकिन धीरे-धीरे आधुनिक सेट सिद्धांत के लिए मार्ग प्रशस्त हुआ।

Set Theory  and History and Overview

• यहां ध्यान देने योग्य एक दिलचस्प अवलोकन यह है कि व्यवहार मूल्य में सेट सिद्धांत का उपयोग करने वाले अधिकांश लोग इतने विशेष रूप से प्रमेय नहीं करते हैं, लेकिन अधिक-सामान्यीकृत भाषा इसे स्थापित करते हैं। इसकी अमूर्त प्रकृति के कारण, गणित के कई अन्य शाखाओं के दृश्यों के पीछे सेट सिद्धांत का प्रभाव मौजूद है। विश्लेषण में, जिसमें अंतर और अभिन्न कलन की आवश्यकता होती है, सीमा और कार्य की निरंतरता की समझ सेट सिद्धांत में अंतिम आधार है। बूलियन बीजगणित में, “और”, “या” और “नहीं” के तार्किक संक्रियों चौराहे, संघ और अंतर के निर्धारित सिद्धांत संचालन के अनुरूप हैं। और अंतिम लेकिन कम से कम नहीं, सेट सिद्धांत टोपोलॉजी का आधार प्रदान करता है, ज्यामितीय गुणों और स्थानिक संबंध का अध्ययन
• अब सेट के इतिहास की एक मूलभूत समझ से लैस और इसके प्रभाव की गहराई में त्वरित पूर्वावलोकन, यह मूल सेट सिद्धांत संकेतन के साथ खुद को परिचित करने का समय है।
• उपर्युक्त आर्टिकल में समुच्चय सिद्धान्त-इतिहास और अवलोकन (Set Theory  and History and Overview) के बारे में बताया गया है.

समुच्चय सिद्धान्त-इतिहास और अवलोकन (Set Theory  and History and Overview):सेट थ्योरी क्या है और
आज यह प्रासंगिक क्यों है?(What Is Set Theory & Why Is It Relevant Today?):अनंत की अवधारणा