Singular Points in Complex Analysis
1.सम्मिश्र विश्लेषण में विचित्र बिन्दु (Singular Points in Complex Analysis),विचित्र बिन्दु (Singular Points):
सम्मिश्र विश्लेषण में विचित्र बिन्दु (Singular Points in Complex Analysis) वे कहलाते हैं जो विश्लेषिक नहीं हो पाते हैं।इस प्रकार के विशेष बिन्दुओं को विचित्र बिन्दु कहते हैं।वास्तव में बिन्दु तो विचित्र नहीं होते हैं लेकिन फलन का इस बिन्दु पर आचरण विचित्र होता है तथा इसी सन्दर्भ में इसे फलन का विचित्र बिन्दु कहते हैं।
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2.सम्मिश्र विश्लेषण में विचित्र बिन्दु के साधित उदाहरण (Singular Points in Complex Analysis Solved Examples):
Example:1.निम्न में से प्रत्येक फलन की z=\infty पर विचित्रता का वर्गीकरण कीजिए:
(Classify the singularity at z=\infty for each of the following functions):
Example:1(i). f(z)=\frac{1+2 z^2}{z+z^2}
Solution: f(z)=\frac{1+2 z^2}{z+z^2} \\ f(z)=2+\frac{1}{z}-\frac{3}{z+1}
f(z) के मुख्य भाग में ऋणात्मक घात वाले पद दो हैं तथा z व z+1 की अधिकतम घात 1 है।अतः z=0,z=-1 कोटि 1 का साधारण अनन्तक है।
Example:1(ii). f(z)=e^z
Solution: f(z)=e^z
यहाँ z=\infty पर f(z)=e^z तथा f(\frac{1}{t})=e^{\frac{1}{t}}, t=0 पर समान फलन का व्यवहार करते हैं।
\underset{t \rightarrow 0}{\lim} f(t)= \underset{t \rightarrow 0}{\lim} e^{\frac{1}{t}}=\underset{t \rightarrow 0}{\lim} \left[1+\frac{1}{t}+\frac{1}{2 ! t^2}+\cdots\right]
सीमा का अस्तित्व नहीं है।मुख्य भाग में ऋणात्मक घात के पदों की संख्या अनन्त है अतः t=0 पर e^{\frac{1}{t}} की वियुक्त अनिवार्य विचित्रता है या z=\infty पर e^z की वियुक्त अनिवार्य विचित्रता है।
Example:2.सिद्ध कीजिए कि z=0 के अतिरिक्त z के प्रत्येक मान को फलन f(z)=e^{\frac{1}{z}}, z=0 के प्रतिवेश में अनन्त बार प्राप्त करता है।
(Prove that the function e^{\frac{1}{z}} takes every value except zero an infinite terms in the neighbourhood of z=0.)
Solution: f(z)=e^{\frac{1}{z}} \\ \Rightarrow f(z) =1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2 ! z^2}+\frac{1}{3 ! z^3}+\cdots \\ =1+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum}} \frac{1}{n!} \frac{1}{z^n}
f(z) के मुख्य भाग में ऋणात्मक घात के अनन्त पदों की संख्या है अतः z=0,f(z) की वियुक्त अनिवार्य विचित्रता है।
Example:3.निम्न फलनों की विचित्रता की जाति ज्ञात कीजिए:
(Find the kind of singularities of the following functions):
Example:3(i). \frac{1}{\cos \left(\frac{1}{z}\right)} की z=0
Solution: \frac{1}{\cos \left(\frac{1}{z}\right)} की z=0
f(z) के अनन्तक ज्ञात करने के लिए
\cos \frac{1}{z}=0 \Rightarrow \frac{1}{z}=2 n \pi \pm \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow z=\frac{1}{\left(2 n \pm \frac{1}{2}\right) \pi} जहाँ n \in I
इन अनन्तकों का सीमा बिन्दु 0 है अतः z=0 पर वियुक्त अनिवार्य विचित्रता है।
Example:3(iii).z=1 पर \frac{e^z}{(z-1)^3} की
Solution:z=1 पर \frac{e^z}{(z-1)^3} की
माना f(z)=\frac{e^2}{(z-1)^3}
f(z) की विचित्रता z=1 पर
(z-1)^3=0 \Rightarrow z=1
z=1,f(z) का तीन कोटि का अनन्तक है।
Example:3(vi). \frac{z}{1+z^4} की z=e^{\frac{i r \pi}{4}}, r= \pm 1, \pm 3 पर
Solution: \frac{z}{1+z^4} की z=e^{\frac{i r \pi}{4}}, r= \pm 1, \pm 3 पर
माना f(z)=\frac{z}{1+z^4}
f(z) की विचित्रता के लिए
1+z^4=0 \Rightarrow z^4=-1 \\ \Rightarrow z=(-1)^{\frac{1}{4}} \\ \Rightarrow z=(\cos \pi+i \sin \pi)^{\frac{1}{4}} \\ =[\cos (2 n \pi+\pi)+i \sin (2 n \pi+\pi)]^{\frac{1}{4}} \\ =\cos (2 n+1) \frac{\pi}{4}+i \sin (2 n+1) \frac{\pi}{4} \\ n=0,1,2,3 रखने पर
z=e^{\frac{i \pi}{4}}, e^{\frac{3 \pi i}{4}}, e^{\frac{5 \pi i}{4}}, e^{\frac{7 \pi i}{4}}
जो कि f(z) के सरल अनन्तक हैं।
Example:4.निम्न फलनों के विचित्र बिन्दुओं की जाति की विवेचना कीजिए:
(Discuss the nature of the singular points of the following functions):
Example:4(i). \frac{\sin z}{z^4}
Solution:माना f(z)=\frac{\sin z}{z^4} \\ =\frac{1}{z^4}\left(z-\frac{z^3}{3 !}+\frac{z^5}{5 !}- \cdots \cdots\right) \\ \Rightarrow f(z) =\frac{1}{z^3}-\frac{1}{3 !}+\frac{z}{5 !}- \cdots
अतः f(z) के मुख्य भाग में z की ऋणात्मक घात के पदों की संख्या 2 है तथा z की अधिकतम घात 3 है अतः z=0, तीन कोटि का अनन्तक है।
Example:4(ii). \cosh \left(\frac{1}{z}\right)
Solution: \cosh \left(\frac{1}{z}\right)
माना f(z)=\cosh \left(\frac{1}{z}\right) \\ f(z)=\frac{e^{\frac{1}{z}}+e^{-\frac{1}{z}}}{2} \\ \frac{e^{\frac{1}{z}}+e^{-\frac{1}{z}}}{2}=1+\frac{1}{2! z^{2}}+\frac{1}{4!z^{4}}+\cdots
f(z) के मुख्य भाग में ऋणात्मक घात के अनन्त पदों की संख्या है अतः z=0 पर f(z) की वियुक्त अनिवार्य विचित्रता है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में विचित्र बिन्दु (Singular Points in Complex Analysis),विचित्र बिन्दु (Singular Points) को समझ सकते हैं।
3.सम्मिश्र विश्लेषण में विचित्र बिन्दु के सवाल (Singular Points in Complex Analysis Questions):
(1.)सिद्ध करो कि z=a पर फलन \frac{e^{\frac{c}{z-a}}}{e^\frac{z}{a}-1} की वियुक्त अनिवार्य विचित्रता है।
(Show that z=a is an isolated essential singularity of the function \frac{e^{\frac{c}{z-a}}}{e^\frac{z}{a}-1})
(2.) \left(\frac{z+1}{z^2+1}\right)^2 के शून्यक और अनन्तक ज्ञात कीजिए।
(Find zeros and poles of \left(\frac{z+1}{z^2+1}\right)^2.)
उत्तर (Answer):(2.) z= \pm 2 i साधारण अनन्तक
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र विश्लेषण में विचित्र बिन्दु (Singular Points in Complex Analysis),विचित्र बिन्दु (Singular Points) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.सम्मिश्र विश्लेषण में विचित्र बिन्दु (Frequently Asked Questions Related to Singular Points in Complex Analysis),विचित्र बिन्दु (Singular Points) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.विश्लेषिक फलन के शून्यक की परिभाषा दीजिए। (Define the zeros of an Analytic Function):
उत्तर:परिभाषा:यदि z के किसी मान के लिए विश्लेषिक फलन f(z) का मान शून्य हो जाता है तो वह मान f(z) का शून्य कहलाता है।
उदाहरणस्वरूप z=-1,z=2 तथा z=3 फलन f(z)=(z+1)(z-2)(z-3) के शून्यक हैं।
यदि फलन f(z) बिन्दु z=a के ऐसे प्रतिवेश का अस्तित्व है कि उसके सभी बिन्दुओं पर फलन टेलर श्रेणी
f(z)=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum}} a_n(z-a)^n यदि a_n=\frac{f^n(a)}{n!}
द्वारा निरूपित किया जा सकता है।अब यदि z=a फलन f(z) का शून्यक है तो f(a)=0 तथा इससे निष्कर्ष निकलता है कि f(a)=a_{0}=0
इसके अतिरिक्त यदि
f^{\prime}(a)=f^{\prime \prime}(a)=\ldots \ldots =f^{m-1}(a)=0
परन्तु f^m(a) \neq 0 तो z=a फलन f(z) का कोटि-m का शून्य होता है।
अतः कोटि m के शून्य z=a के प्रतिवेश में फलन f(z) निम्न श्रेणी द्वारा निरूपित किया जाता है:
f(z)=a_m(z-a)^m+a_{m+1}(z-a)^{m+1}+\cdots \\ =(z-a)^m \left[a_{m} +a_{m+1}(z-a)+\cdots\right] \\ \Rightarrow f(z) =(z-a)^m \cdot g(z)
जहाँ g(z)=\left[a_{m}+a_{m+1}(z-a)+\cdots\right]
या g(z)=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum}} a_{m+n}(z-a)^n
पुनः g(a)=a_{m}+0+0+\cdots \\ =a_m \neq 0
अतः g(z) विश्लेषिक फलन है तथा फलन के प्रथम कोटि के शून्य को साधारण शून्य कहते हैं।
प्रश्न:2.क्या फलन के शून्यक वियुक्त होते हैं? (Does the zeros of a function have isolated points?):
उत्तर:प्रमेय (Theorem):फलन के शून्यक वियुक्त होते हैं।
अथवा
यदि फलन f(z) प्रान्त G में विश्लेषिक है तथा यदि f(z) प्रान्त G में सर्वथा शून्यक सम नहीं है तो G के प्रत्येक बिन्दु का ऐसा प्रतिवेश विद्यमान है कि उक्त प्रतिवेश में सम्भवतया स्वयं उस बिन्दु के अतिरिक्त शून्य नहीं है।
(The zeros of a function are isolated points)
Or
(If f(z) be analytic in domain G, then unless f(z) in identically zero, there exists a neighbourhood of each point in G throughout which the function has nonzero,except possibly at the point itself.)
उपपत्ति (Proof):मान लें कि z=a कोटि m का शून्यक है,तो हम लिख सकते हैं कि
f(z)=(z-a)^m g(z)
यहाँ g(a)=a_m \neq 0 तथा g(z) बिन्दु a पर विश्लेषिक है।अतः g(z) बिन्दु z=a पर संतत है तथा चूँकि g(a) \neq 0,a ऐसे प्रतिवेश का अस्तित्व है कि उसमें कहीं भी g(z) का शून्यक नहीं है तथापि z \neq a के लिए (z-a)^m \neq 0
इसलिए z=a के प्रतिवेश में अन्य ऐसा कोई बिन्दु नहीं हो सकता जो f(z) का शून्यक है।अतः z=a फलन f(z) का वियुक्त शून्यक है।
यह तथ्य f(z) के अन्य शून्यकों पर भी लागू होता है।अतः f(z) के समस्त शून्यक वियुक्त हैं।
प्रश्न:3.क्या किसी फलन के अनन्तक वियुक्त बिन्दु होते हैं? (Does the poles of a function have isolated?):
Solution:प्रमेय (Theorem):किसी फलन के अनन्तक वियुक्त बिन्दु होते हैं।
(The poles of a function are isolated?):
उपपत्ति (Proof):मान लें कि z=a विश्लेषिक फलन f(z) का कोटि m का अनन्तक है,तो हम लिख सकते हैं कि
f(z)=(z-a)^{-m} \cdot \phi(z)
यहाँ पर
\phi(z)=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum}} a_n(z-a)^{m+n}+b_1(z-a)^{m-1}+b_2 (z-a)^{m-1}+\ldots+b_{m}
स्पष्ट है कि z=a के प्रतिवेश में,परिमित z के लिए \phi(z) ;अनन्त की ओर अग्रसर नहीं होता अर्थात् z=a के प्रतिवेश में f(z) का कोई अन्य अनन्तक नहीं है।इस प्रकार,अनन्तक z=a वियुक्त बिन्दु है।अतः f(z) के सभी अनन्तक वियुक्त हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में विचित्र बिन्दु (Singular Points in Complex Analysis),विचित्र बिन्दु (Singular Points) को समझ सकते हैं।
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सम्मिश्र विश्लेषण में विचित्र बिन्दु
(Singular Points in Complex Analysis)
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सम्मिश्र विश्लेषण में विचित्र बिन्दु (Singular Points in Complex Analysis) वे कहलाते हैं
जो विश्लेषिक नहीं हो पाते हैं।इस प्रकार के विशेष बिन्दुओं को विचित्र बिन्दु कहते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
