1.अवकल समीकरण की कोटि कक्षा 12 (Order of Differential Equation Class12),अवकल समीकरण की घात कक्षा 12 (Degree of a Differential Equation Class 12):

Order of Differential Equation Class12

अवकल समीकरण की कोटि कक्षा 12 (Order of Differential Equation Class12) के इस आर्टिकल में अवकल समीकरण की कोटि और घात ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.अवकल समीकरण की कोटि कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Order of Differential Equation Class12 Solved Examples):

1 से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
Example:1. \frac{d^4 y}{d x^4}+\left(\sin y^{\prime \prime \prime}\right)=0
Solution: \frac{d^4 y}{d x^4}+\left(\sin y^{\prime \prime \prime}\right)=0
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक \frac{d^4y}{d x^4} है अतः कोटि 4 है।अवकल समीकरण में अवकल गुणांकों को बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।अतः इसकी घात अपरिभाषित है।
Example:2. y'+5y=0
Solution: y'+5y=0
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक y'=\frac{dy}{dx} है अतः कोटि 1 है।अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक की घात 1 है अतः अवकल समीकरण की घात 1 है।
Example:3. \left(\frac{d s}{d t}\right)^4+3 s \frac{d^2 s}{d t^2}=0
Solution: \left(\frac{d s}{d t}\right)^4+3 s \frac{d^2 s}{d t^2}=0
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक \frac{d^2 s}{d t^2} है अतः कोटि 2 है।अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक की घात 1 है अतः अवकल समीकरण की घात 1 है।
Example:4. \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2+\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=0
Solution: \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2+\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=0
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) है अतः कोटि 2 है।अवकल समीकरण में अवकल गुणांकों को बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।अतः इसकी घात अपरिभाषित है।
Example:5. \frac{d^2 y}{d x^2}=\cos 3 x+\sin 3 x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}=\cos 3 x+\sin 3 x
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक \frac{d^2 y}{d x^2} है अतः कोटि 2 है।अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक \frac{d^2 y}{d x^2} की घात 1 है अतः अवकल समीकरण की घात 1 है।
Example:6. \left(y^{\prime \prime \prime}\right)^2+\left(y^{\prime \prime}\right)^3+ \left(y^{\prime}\right)^4+y^5=0
Solution: \left(y^{\prime \prime \prime}\right)^2+\left(y^{\prime \prime}\right)^3+ \left(y^{\prime}\right)^4+y^5=0
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक y^{\prime \prime \prime}=\frac{d^3 y}{d x^3} है अतः कोटि 3 है।अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक की घात 2 है अतः अवकल समीकरण की घात 2 है।

Order of Differential Equation Class12

Example:7. y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0
Solution: y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक y^{\prime \prime \prime}=\frac{d^3 y}{d x^3}[/katex] है अतः कोटि 3 है।अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक की घात 1 है अतः अवकल समीकरण की घात 1 है।
Example:8. y^{\prime}+y=e^x
Solution: y^{\prime}+y=e^x
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक y^{\prime}=\frac{d y}{d x} है अतः कोटि 1 है।अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक की घात 1 है अतः अवकल समीकरण की घात 1 है।
Example:9. y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^2+2 y=0
Solution: y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^2+2 y=0
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक y^{\prime \prime}=\frac{d^2 y}{d x^2} है अतः कोटि 2 है।अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक की घात 1 है अतः अवकल समीकरण की घात 1 है।
Example:10. y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\sin y=0
Solution: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\sin y=0
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक y^{\prime \prime}=\frac{d^2 y}{d x^2} है अतः कोटि 2 है।अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक की घात 1 है अतः अवकल समीकरण की घात 1 है।
Example:11.अवकल समीकरण \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+\sin \left(\frac{d y}{d y}\right)+1=0 की घात है:
(A)3 (B)2 (C) 1 (D)परिभाषित नहीं है
Solution:अवकल समीकरण में अवकल गुणांकों को बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।अतः इसकी घात अपरिभाषित है।
फलतः विकल्प (D) सही है।
Example:12.अवकल समीकरण 2 x^2\frac{d^2 y}{d x^2} -3 \frac{d y}{d x}+y=0 की कोटि है:
(A)2 (B)1 (C) 0 (D)परिभाषित नहीं है।
Solution:अवकल समीकरण में उच्चतम अवकल गुणांक \frac{d^2 y}{dx^2} है अतः कोटि 2 है।
फलतः विकल्प (A) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण की कोटि कक्षा 12 (Order of Differential Equation Class12),अवकल समीकरण की घात कक्षा 12 (Degree of a Differential Equation Class 12) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण की कोटि कक्षा 12 की समस्याएँ (Order of Differential Equation Class12 Problems):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों की कोटि तथा घात ज्ञात कीजिए:

Order of Differential Equation Class12

(1.) \frac{d y}{d x}+\sqrt{y+\left(\frac{d y}{d x}\right)}=0
(2.) \frac{d^2 y}{d x^2}=5\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{3}{2}}
उत्तर (Answers):(1.)कोटि 1 तथा घात 2 है। (2.)कोटि 2 तथा घात 3 है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण की कोटि कक्षा 12 (Order of Differential Equation Class12),अवकल समीकरण की घात कक्षा 12 (Degree of a Differential Equation Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण की कोटि कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Order of Differential Equation Class12),अवकल समीकरण की घात कक्षा 12 (Degree of a Differential Equation Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

[/katex]

अवकल समीकरण की कोटि कक्षा 12 (Order of Differential Equation Class12) के
इस आर्टिकल में अवकल समीकरण की कोटि और घात ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।