1.कक्षा 12 में दो सदिशों का गुणनफल (Product of Two Vectors in Class 12),दो सदिशों का सदिश गुणनफल कक्षा 12 (Vector Product of Two Vectors Class 12):

Product of Two Vectors in Class 12

कक्षा 12 में दो सदिशों का गुणनफल (Product of Two Vectors in Class 12) के इस आर्टिकल में दो सदिशों के अदिश और सदिश गुणनफल पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.कक्षा 12 में दो सदिशों का गुणनफल के उदाहरण (Product of Two Vectors in Class 12 Illustrations):

Illustration:1.XY-तल में x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में 30° का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश लिखिए।
Solution:माना XY-तल में मात्रक सदिश है जो x-अक्ष के साथ 30° का कोण बनाता है।
\angle XOP=30^{\circ} तथा |\overrightarrow{O P}|=1 \\ \cos 30^{\circ}=\frac{O N}{|\overrightarrow{O P}|} =\frac{ON}{1} \\ \Rightarrow ON=\frac{\sqrt{3}}{2}
पुनः \sin 30^{\circ}=\frac{N P}{|\overrightarrow{O P}|}=\frac{NP}{1} \\ \Rightarrow NP=\frac{1}{2} \\ \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}=|O N| \hat{i}+|N P| \hat{j} \\ \Rightarrow \overrightarrow{O P}=\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}
Illustration:2.बिन्दु P\left(x_1, y_1, z_1\right) और Q\left(x_2, y_2, z_2\right) को मिलाने वाले सदिश के अदिश घटक और परिमाण ज्ञात कीजिए।
Solution:बिन्दु P का स्थिति सदिश \overrightarrow{O P}=x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k}
बिन्दु Q का स्थिति सदिश \overrightarrow{OQ}=x_2 \hat{\imath}+y_2 \hat{j}+z_2 \hat{k}
अतः \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{O Q}-\overrightarrow{O P} \\ =\left(x_2 \hat{i}+y_2 \hat{j}+z_2 \hat{k}\right)-\left(x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k}\right) \\ \Rightarrow \overrightarrow{P Q}=\left(x_2-x_1\right) \hat{i}+\left(y_2-y_1\right) \hat{j}+\left(z_2-z_1\right) \hat{k}
\overrightarrow{PQ} के अदिश घटक x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 हैं।
\overrightarrow{PQ} का परिमाण=|\overrightarrow{P Q}|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}
Illustration:3.एक लड़की पश्चिम में 4 km चलती है।उसके पश्चात वह उत्तर से 30° पूर्व की दिशा में 3 km चलती है और रूक जाती है।प्रस्थान के प्रारम्भिक बिन्दु से लड़की का विस्थापन ज्ञात कीजिए।
Solution:माना लड़की बिन्दु O से पश्चिम दिशा में OP (4 किमी) चलती है जैसाकि चित्र में दिखाया गया है,तब

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समकोण \triangle OPL में
\sin 60^{\circ}=\frac{Q L}{Q P} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{O L}{3} \\ \Rightarrow QL=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \\ \cos 60^{\circ}=\frac{P L}{P Q} \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{P L}{3} \Rightarrow P L=\frac{3}{2} \\ |\overrightarrow{O L}|=|\overrightarrow{O P}|-|\overrightarrow{LP}| \\ =4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}
अतः \overrightarrow{OQ} का स्थिति सदिश=-\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{LQ} \\ \overrightarrow{O Q} =-\frac{5}{2} \hat{i}+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}
प्रारम्भिक बिन्दु से लड़की का विस्थापन=-\frac{5}{2} \hat{i}+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}
Illustration:4.यदि \vec{a}=\vec{b}+\vec{c} तब क्या यह सत्य है कि |\vec{a}|= |\vec{b}|+|\vec{c}| ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
Solution: \vec{a}=\vec{b}+\vec{c} \\ |\vec{a}|=|\vec{b}+\vec{c}| \\ \Rightarrow |\vec{a}|^2=|\vec{b} +\vec{c}|^2 \\ =(\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{b}+\vec{c}) \\=\vec{b} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c} +\vec{c} \cdot \vec{b}+\vec{c} \cdot \vec{c} \\ =|\vec{b}|^2+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+|\vec{c}|^2 \\ =|\vec{b}|^2+2|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta+|\vec{c}|^2 \\ \Rightarrow |\vec{a}|^2 =|\vec{b}|^2+2|\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta+|\vec{c}|^2
(i)जब \theta=0 तो \cos 0^{\circ}=1 \\ |\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2 +2|\vec{b}||\vec{c}| +|\vec{c}|^2 \\ =(|\vec{b}|+|\vec{c}|)^2 \\ \Rightarrow|\vec{a}|=|\vec{b}|+|\vec{c}|
(ii)जब \theta \neq 0, \cos 0^{\circ} \neq 1 \\ |\vec{a}|^2 \neq(|\vec{b}|+|\vec{c}|)^2 \\ \Rightarrow |\vec{a}| \neq|\vec{b}|+|\vec{c}|
अतः |\vec{a}| \neq|\vec{b}|+|\vec{c}| सत्य नहीं है।
Illustration:5.x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) एक मात्रक सदिश है।
Solution: x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) एक मात्रक सदिश है अतः
|x \hat{\imath}+x \hat{\jmath}+x \hat{k}|=1 \\ \Rightarrow \sqrt{x^2+x^2+x^2}=1 \\ \Rightarrow \sqrt{3 x^2}=1 \\ \Rightarrow 3 x^2=1 \Rightarrow x^2=\frac{1}{3} \\ x= \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
Illustration:6.सदिशों \vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k} और \vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} के परिणामी के समान्तर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिणाम 5 इकाई है।
Solution: \vec{a} व \vec{b} का परिणामी सदिश
\vec{a}+\vec{b} =2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}+\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} \\ \Rightarrow \vec{a}+\vec{b} =3 \hat{i}+\hat{j}
\vec{a}+\vec{b} के समान्तर परिमाण 5 इकाई का सदिश माना x(\vec{a}+\vec{b})=x(3 \hat{i}+\hat{j}) \\ \Rightarrow|x(3 \hat{i}+\hat{j})|=5 \\ \Rightarrow \sqrt{x^2\left(3^2+1^2\right)}=5 \\ \Rightarrow x \sqrt{9+1}=5 \\ \Rightarrow x=\frac{5}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}
अतः \vec{a} व \vec{b} के परिणामी सदिश के समान्तर 5 इकाई परिमाण का सदिश
=\frac{\sqrt{10}}{2}(3 \hat{i}+\hat{j}) \\ =\frac{3}{2} \sqrt{10} \hat{i}+\frac{1}{2} \sqrt{10} \hat{j}
Illustration:7.यदि \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} , \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k} और \vec{c}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} ,तो सदिश 2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c} के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
Solution: \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k} , \vec{c}= \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} \\ 2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}= 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-(2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}) +3(\hat{i}-2 \hat{j}+k) \\ =2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}-2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}+ 3 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k} \\ =3 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k} \\ \Rightarrow 2 \vec{a}-\vec{b}+\overrightarrow{3 c}=3 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k} \\ \Rightarrow|2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}|=\sqrt{(3)^2+(-3)^2+(2)^2} \\ \Rightarrow|2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}|=\sqrt{9+9+4}=\sqrt{22}
अतः 2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c} के अनुदिश मात्रक सदिश
=\frac{2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}}{|2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}|} \\ =\frac{3 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{22}} \\ =\frac{3}{\sqrt{22}} \hat{i}-\frac{3}{\sqrt{22}} \hat{j}+\frac{2}{\sqrt{22}} \hat{k}
Illustration:8.दर्शाइए कि बिन्दु A(1,-2,-8),B(5,0,-2) और C(11,3,7) संरेख है और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution:A का स्थिति सदिश \overrightarrow{O A}=\hat{i}-2 \hat{j}-8 \hat{k}
B का स्थिति सदिश \overrightarrow{O B}=5 \hat{i}-2 \hat{k}
C का स्थिति सदिश \overrightarrow{O C}=11 \hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k} \\ \overrightarrow{A B}= \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=5 \hat{i}-2 \hat{k}-(\hat{i}-2 \hat{j}-8 \hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{A B}=4 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k} \\ \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}=11 \hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k}-(5 \hat{i}-2 \hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{B C}=6 \hat{i}+3 \hat{j}+9 \hat{k} \\ \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}=11 \hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k}-(\hat{i}-2 \hat{j}-8 \hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AC}=10 \hat{i}+5 \hat{j}+15 \hat{k} \\ |\overrightarrow{A B}|=\sqrt{(4)^2+(2)^2+(6)^2} \\ \Rightarrow|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{16+4+36}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \\ |\overrightarrow{B C}|=\sqrt{(6)^2+(3)^2+(9)^2}= \sqrt{36+9+81}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} \\ |\overrightarrow{A C}|=\sqrt{(10)^2+(5)^2+(15)^2}= \sqrt{100+25+225}=\sqrt{350} \\ \Rightarrow|\overrightarrow{A C}|=5 \sqrt{14}
अतः |\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{A B}|+|\overrightarrow{B C}|
फलतः A,B तथा C संरेख हैं।
\frac{|\overrightarrow{A B}|}{|\overrightarrow{B C}|}=\frac{2 \sqrt{14}}{3 \sqrt{14}}=\frac{2}{3} \\ \Rightarrow |\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{B C}|=2: 3
Illustration:9.दो बिन्दुओं P(2 \vec{a}+\vec{b}) और Q(\vec{a}-3 \vec{b}) को मिलाने वाली रेखा को 1:2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।यह भी दर्शाइए कि बिन्दु P रेखाखण्ड RQ का मध्य बिन्दु है।
Solution:R का स्थिति सदिश
=\frac{m(\overrightarrow{O Q})-n(\overrightarrow{O P})}{m-n} \\ =\frac{1(\vec{a}-3 \vec{b})-2(2 \vec{a}+\vec{b})}{1-2} \\ =\frac{\vec{a}-3 \vec{b}-4 \vec{a}-2 \vec{b}}{-1} \\ =\frac{-3 \vec{a}-5 \vec{b}}{-1} \\ =3 \vec{a}+5 \vec{b}
\overrightarrow{RQ} के मध्य बिन्दु का स्थिति सदिश
=\frac{\vec{a}-3 \vec{b}+3 \vec{a}+5 \vec{b}}{2} \\ =\frac{4 \vec{a}+2 \vec{b}}{2} \\ =2 \vec{a}+ \vec{b}
जो कि P का स्थिति सदिश है।
अतः P, RQ का मध्य-बिन्दु है।
Illustration:10.एक समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k} और \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k} हैं।इसके विकर्ण के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Solution:माना \vec{a}=2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k} तथा \vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}
चतुर्भुज का विकर्ण =\vec{a}+\vec{b} \\ =2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}+\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k} \\ =3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k} \\ |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{(3)^2+(-6)^2+(2)^2} \\ |\vec{a}+\vec{b}|= \sqrt{9+36+4}=7
\therefore \vec{a}+\vec{b} के समान्तर मात्रक सदिश =\frac{\vec{a}+\vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}|} \\ =\frac{3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k}}{7} \\ =\frac{3}{7} \hat{i}-\frac{6}{7} \hat{j}+\frac{2}{7} \hat{k} \\ \vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -4 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(12+10)-\hat{j}(-6-5)+\hat{k}(-4+4) \\ \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b}=22 \hat{i}+11 \hat{j}
चतुर्भुज का क्षेत्रफल=|\vec{a} \times \vec{b}| \\ =\sqrt{(22)^2+(11)^2} \\ =\sqrt{484+121} \\ =\sqrt{605} \\ \Rightarrow |\vec{a} \times \vec{b}|=11 \sqrt{5}

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Illustration:11.दर्शाइए कि OX,OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक्-कोसाइन कोज्याएँ \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} हैं।
Solution:अक्षों OX,OY तथा OZ के किसी सदिश की दिक्-कोसाइन l,m,n है तो
l^2+m^2+n^2=1
चूँकि l=m=n
अतः 3 l^2=1 \\ \Rightarrow l^2=\frac{1}{3} \Rightarrow l=\frac{1}{\sqrt{3}}
अतः अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक्-कोसाइन \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} है।
Illustration:12.मान लीजिए \vec{a}=\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+7 \hat{k} और \vec{c}=2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k} एक ऐसा सदिश \vec{d} ज्ञात कीजिए जो \vec{a} और \vec{b} दोनों पर लम्ब है और \vec{c} \cdot \vec{d}=15
Solution: \vec{a}=\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+7 \hat{k}, \vec{c}=2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k} \\ \vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \hat{n} \cdots(1) \\ \theta=90 तथा |\vec{a}|=\sqrt{(-1)^2+(4)^2+(2)^2} \\ \Rightarrow|\vec{a}|=\sqrt{21} \\ |\vec{b}|=\sqrt{(3)^2+(-2)^2+(7)^2} \\ =\sqrt{9+4+49} \\ \Rightarrow|\vec{b}|=\sqrt{62} \\ \vec{a} \times \vec{b} =\left\lvert\, \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & 7\end{array}\right| \\ =\hat{i}(28+4)-\hat{j}(7-6)+\hat{k}(-2-12) \\ \vec{a} \times \vec{b} =32 \hat{i}-\hat{j}-14 \hat{k}
उपर्युक्त मान (1) में रखने परः
32 \hat{i}-\hat{j}-14 \hat{k}=(\sqrt{21})(\sqrt{62}) \hat{n} \\ \hat{n}=\frac{32 \hat{i}-\hat{j}-14 \hat{k}}{(\sqrt{21})(\sqrt{62})} [जहाँ \hat{n},\vec{a} व \vec{b} पर लम्बवत एकांक सदिश है]
अतः माना \vec{d}=x \hat{n} \ldots(2) \\ \vec{c} \cdot \vec{d}=15 \\ \Rightarrow(2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}) \cdot \frac{x(32 \hat{i}-\hat{j}-14 \hat{k})}{(\sqrt{21})(\sqrt{62})}=15 \\ \Rightarrow \frac{(64+1-56) x}{(\sqrt{21} \sqrt{62})}=15 \\ \Rightarrow x=\frac{15(\sqrt{21})(\sqrt{62})}{9} \\ \Rightarrow x=\frac{5}{3}(\sqrt{21})(\sqrt{62})
(2) में मान रखने परः
\vec{d}=\frac{5}{3}(\sqrt{21})(\sqrt{62}) \frac{(32 \hat{i}-\hat{j}-14 \hat{k})}{(\sqrt{21})(\sqrt{62})}\\ \Rightarrow \vec{d}=\frac{1}{3}(160 \hat{i}-5 \hat{j}-70 \hat{k})
Illustration:13.सदिश \hat{i}+\hat{j}+\hat{k} का सदिशों 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k} और \lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है तो \lambda का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:माना \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} , \\ \vec{b}=2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{2}, \vec{c}= \lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} \\ \vec{b}+\vec{c}=2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}+\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} \\ \Rightarrow \vec{b}+\vec{c}=(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k} \\ |\vec{b}+ \vec{c}|=\sqrt{(2+\lambda)^2+(6)^2+(-2)^2} \\ =\sqrt{4+4 \lambda+\lambda+36+4} \\ \Rightarrow |\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{44+4 \lambda+\lambda^2}
\vec{b}+\vec{c} की दिशा में मात्रक सदिश
=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} \\ =\frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{44+4 \lambda+\lambda^2}}
प्रश्नानुसार
\vec{a} \cdot \frac{(\vec{b}+\vec{c})}{|\vec{b}+\vec{c}|}=1 \\ \Rightarrow(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{44+4 \lambda+\lambda^2}}=1 \\ \Rightarrow \frac{2+\lambda+6-2}{\sqrt{44+4 \lambda+\lambda^2}}=1 \\ \Rightarrow(\lambda+6)^2=44+4 \lambda+\lambda^2 \\ \Rightarrow \lambda^2+12 \lambda+36=44+4 \lambda+\lambda^2 \\ \Rightarrow 8 \lambda=8 \Rightarrow \lambda=1
Illustration:14.यदि \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} समान परिणामों वाले परस्पर लम्बवत सदिश है तो दर्शाइए कि सदिश \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} सदिशों \vec{a}, \vec{b} तथा \vec{c} के साथ बराबर झुका हुआ है।
Solution:दिया है: |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}| \cdots(1) \\ \vec{a} \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})= |\vec{a}| |\vec{a} +\vec{b}+\vec{c}| \cos \theta_1 \\ \Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{a}||\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \cos \theta_1 [जहाँ \theta_{1} , \vec{a} व \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} के बीच कोण है तथा \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot \vec{c}=0 क्योंकि \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} परस्पर लम्ब सदिश हैं]
\Rightarrow|\vec{a}|^2=|\vec{a}||\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \cos \theta_1 \\ \Rightarrow \cos \theta_1=\frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|} \\ \vec{b} \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) =|\vec{b}||\vec{a}+\vec{b}+\vec{b}| \cos \theta_2
[ \theta_2, |\vec{b}| व |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| के बीच का कोण है]
\Rightarrow \vec{b} \cdot\vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot\vec{c}=|\vec{b}| |\vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c}| \cos \theta_2 \\ \Rightarrow |\vec{b}|^2=|\vec{b}||\vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c}| \cos \theta_2 \\ {[\because \vec{b} \cdot \vec{a}=\vec{b} \cdot\vec{c}=0] } \\ \Rightarrow \cos \theta_2=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|} \cdots(3) \\ \vec{c} \cdot\left(\vec{a}+\vec{b} +\vec{c}\right)=|\vec{c}|| \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \cos \theta_3 \\ \Rightarrow \vec{c} \cdot \vec{a}+\vec{c} \cdot \vec{b}+\vec{c} \cdot \vec{c}=|\vec{c}||\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \cos \theta_3
[ \theta_3, \vec{c} व \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} के बीच का कोण है तथा \vec{c} \cdot \vec{a}=\vec{c} \cdot \vec{b}=0 ]
\Rightarrow |\vec{c}|^2=|\vec{c}||\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \cos \theta_3 \\ \Rightarrow \cos \theta_3=\frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|} \cdots(4)
(1),(2),(3) व (4) सेः
\cos \theta_1=\cos \theta_2=\cos \theta_3 \\ \Rightarrow \theta_1=\theta_2=\theta_3
अतः सदिश \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} सदिशों \vec{a}, \vec{b} तथा \vec{c} के साथ बराबर झुका हुआ है।
Illustration:15.सिद्ध कीजिए कि (\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^2+ |\vec{b}|^2 ,यदि और केवल यदि \vec{a}, \vec{b} लम्बवत है।
यह दिया हुआ है कि \vec{\alpha} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}
Solution: (\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 \\ \Rightarrow \vec{a} \cdot\vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot\vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 \\ \Rightarrow|\vec{a}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b})+|\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 \\ \Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b})=0 \\ \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \\ \Rightarrow |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta=0 [दिया है \vec{a} \neq 0, \vec{b} \neq 0 ]
अतः \cos \theta=0 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2}
अतः \vec{a} तथा \vec{b} लम्बवत है।
पुनः माना \vec{a} व \vec{b} लम्बवत है तो
(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b})+|\vec{b}|^2 \\ \Rightarrow(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2
[ \because \vec{a} व \vec{b} लम्बवत हैं अतः \vec{a} \cdot \vec{b}=0 ]
16 से 19 तक के प्रश्नों में सही उत्तर का चयन कीजिए।
Illustration:16.यदि दो सदिशों \vec{a} और \vec{b} के बीच का कोण \theta है तो होगा यदि
(A) 0 < \theta < \frac{\pi}{2} (B) 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
(C) 0 < \theta < \pi (D) 0 \leq \theta \leq \pi
Solution: \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ \vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0 \\ \therefore |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \geq 0 \\ \Rightarrow |\vec{a}|> 0,|\vec{b}| >0 \\ \therefore \cos \theta \geq 0 \\ \Rightarrow 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
अतः विकल्प (B) सही है।
Illustration:17.मान लीजिए \vec{a} और \vec{b} दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण \theta है तो \vec{a}+\vec{b}एक मात्रक सदिश है यदि:
(A) \theta=\frac{\pi}{4}  (B) \theta=\frac{\pi}{3}  (C) \theta=\frac{\pi}{2}  (D) \theta=\frac{2 \pi}{3}
Solution:दिया है |\vec{a}|=|\vec{b}|=1 \\ |\vec{a}+\vec{b}|=1 \Rightarrow|\vec{a}+\vec{b}|^2=1 \\ \Rightarrow(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=1 \\ \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot\vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}=1 \\ \Rightarrow|\vec{a}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b})+|\vec{b}|^2=1 \\ \Rightarrow 1+2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta+1=1 \\ \Rightarrow 2(1)(1) \cos \theta=-1 \\ \Rightarrow \cos \theta=-\frac{1}{2}=-\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos (\pi-\frac{\pi}{3}) \\ \Rightarrow \theta=\frac{2 \pi}{3}
अतः विकल्प (D) सही है।
Illustration:18. \hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k})+\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k}) +\hat{k} \cdot(\hat{i} \times \hat{j}) का मान है
(A) 0 (B) -1 (C) 1 (D) 3
Solution: \hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k})+\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+\hat{k} \cdot(\hat{i} \times \hat{j}) \\ \Rightarrow \hat{i} \cdot \hat{i}+\hat{j}(-\hat{j})+\hat{k} \cdot \hat{k} \\ {[\because \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}, \hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j}, \hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}]} \\ \Rightarrow 1-1+1=1
अतः विकल्प (C) सही है।
Illustration:19.यदि दो सदिशों \vec{a} और \vec{b} के बीच का कोण \theta है तो |\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}| जब \theta बराबर है:
(A) 0 (B) \frac{\pi}{4} (C) \frac{\pi}{2} (D) \pi
Solution: \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \Rightarrow|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}||\cos \theta|\\ \vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \hat{n} \Rightarrow|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}||\sin \theta| \\ \Rightarrow|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}| \\ \Rightarrow|\vec{a}||\vec{b}||\cos \theta|=|\vec{a}||\vec{b}||\sin \theta| \\ \Rightarrow|\tan \theta|=1 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}
अतः विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12 में दो सदिशों का गुणनफल (Product of Two Vectors in Class 12),दो सदिशों का सदिश गुणनफल कक्षा 12 (Vector Product of Two Vectors Class 12) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 12 में दो सदिशों का गुणनफल की समस्याएँ (Product of Two Vectors in Class 12 Problems):

Product of Two Vectors in Class 12

(1.)बिन्दु P,Q तथा R के स्थिति सदिश क्रमशः \vec{a}+2 \vec{b}+5 \vec{c} ,3 \vec{a}+2 \vec{b}+\vec{c} तथा 2 \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c} सिद्ध कीजिए कि ये संरेख हैं।
(2.)यदि सदिश 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k} और 3 \hat{i}+a \hat{j}+5 \hat{k} समतलीय हैं तो a का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answer):(2.)a=-4
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12 में दो सदिशों का गुणनफल (Product of Two Vectors in Class 12),दो सदिशों का सदिश गुणनफल कक्षा 12 (Vector Product of Two Vectors Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 12 में दो सदिशों का गुणनफल (Frequently Asked Questions Related to Product of Two Vectors in Class 12),दो सदिशों का सदिश गुणनफल कक्षा 12 (Vector Product of Two Vectors Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 12 में दो सदिशों का गुणनफल (Product of Two Vectors in Class 12) के इस आर्टिकल
में दो सदिशों के अदिश और सदिश गुणनफल पर आधारित सवालों को हल करने के बारे
में अध्ययन करेंगे।