1.प्रतिस्थापन द्वारा विलोपन विधि (Method of Elimination by Substitution),प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method):

Method of Elimination by Substitution

प्रतिस्थापन द्वारा विलोपन विधि (Method of Elimination by Substitution) द्वारा युगपत समीकरणों का बीजीय हल ज्ञात करने पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.प्रतिस्थापन द्वारा विलोपन विधि पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Method of Elimination by Substitution):

निम्न समीकरणों को प्रतिस्थापन की विधि से हल कीजिए:
Illustration:1. 2x+y=13,5x-3y=16
Solution: 2 x+y=13,5 x-2 y=16 \\ a_1=2, b_1=1, c_1=-13 \\ a_2=5, b_2=-3, c_2=-16 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{5}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{-3} \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अद्वितीय हल विद्यमान है।
y=13-2x  ….. (1)
5x-3y=16 …… (2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) में मान रखने पर:
5 x-3(13-2 x)=16 \\ \Rightarrow 5 x-39+6 x=16 \\ \Rightarrow 11 x=\frac{39+16}{11} \\ \Rightarrow x=\frac{55}{11} \\ \Rightarrow x=5
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
y=13-2 \times 5 \\ \Rightarrow y=13-10 \\ \Rightarrow y=3 \\ x=5, y=3
Illustration:2. 3x+8y=3,21x-36y=-2
Solution:  2 x+8 y-3=0 \\ 21 x-36 y+2=0 \\ a_1=3, b_1=8, c_1=-3 \\ a_2=21, b_2=-36, c_2=2 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{8}{-36}=-\frac{2}{9} \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अद्वितीय हल विद्यमान है।
3 x+8 y=3 \\ \Rightarrow 8 y=3-3 x \\ \Rightarrow y=\frac{3-3 x}{8} \\ 21 x-36 y=-2 \cdots(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) में मान रखने पर:

21 x-36\left(\frac{3-3 x}{8}\right)=-2 \\ \Rightarrow 21 x-\frac{9(3-3 x)}{2}=-2 \\ \Rightarrow \frac{42 x-27+27x}{2}=-2 \\ \Rightarrow 69 x=-4+27 \\\Rightarrow x=\frac{23}{69} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{3}
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

y=\frac{3-3 \times \frac{1}{3}}{8} \\ =\frac{3-1}{8} \\ \Rightarrow y =\frac{2}{8}=\frac{1}{4} \\ \Rightarrow x =\frac{1}{3}, y=\frac{1}{4}
Illustration:3. 4x-5y-39=0,-2x+7y+51=0
Solution: 4 x-5 y-39=0,-2 x+7 y+51=0 \\ a_1=4, b_1=-5, c_1=-39 \\ a_2=-2, b_2=7, c_2=51 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{-2}=-\frac{2}{1}, \frac{b_1}{b_2}=-\frac{5}{7} \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अद्वितीय हल विद्यमान है।
4 x-5 y-39=0 \\ \Rightarrow 4 x=5 y+39 \\ \Rightarrow x=\frac{5 y+39}{4} \ldots(1) \\ -2 x+7 y+51=0 \ldots(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) में मान रखने पर:

-2\left(\frac{5 y+39}{4}\right)+7 y+51=0 \\ \Rightarrow \frac{-5 y-39}{2}+7 y+51=0 \\ \Rightarrow \frac{-5 y-39+14 y+102}{2}=0 \\ \Rightarrow 9 y+63=0 \\ \Rightarrow y=-\frac{63}{9} \\ \Rightarrow y=-7
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
x=\frac{5(-7)+39}{4} \\ =\frac{-35+39}{4} \\ =\frac{4}{4} \\ \Rightarrow x=1, y=-7

Method of Elimination by Substitution

Illustration:4. x+3y=11,4x-y=5
Solution: x+3 y-11=0 \\ 4 x-y-5=0 \\ a_1=1, b_1=3, c_1=-11 \\ a_2=4, b_2=-1, c_2=-5 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{4}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{-1} \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अद्वितीय हल विद्यमान है।
x+3 y+11=0 \\ \Rightarrow x=11-3 y \ldots(1) \\ 4 x-y-5=0 \ldots(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) में मान रखने पर:
4(11-3 y)-y-5=0 \\ \Rightarrow 44-12 y-y-5=0 \\ \Rightarrow 39-13 y=0 \\ \Rightarrow 13 y=39 \\ \Rightarrow y=\frac{39}{13} \\ \Rightarrow y=3
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
x=11-3 \times 3 \\ \Rightarrow x=11-9 \\ \Rightarrow x=2, y=3
Illustration:5. 4 x-9 y+5=0,10 x+9 y+2=0
Solution: 4 x-9 y+5=0,10 x+9 y+2=0 \\ a_1=4, b_1=-9, c_1=5 \\ a_2=10, b_2=9, c_2=2 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-9}{9}=-1 \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अद्वितीय हल विद्यमान है।
4 x=9 y-5 \\ \Rightarrow x =\frac{9 y-5}{4} \ldots(1) \\ 2+9y=-10 x \ldots(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) में मान रखने पर:
2+9 y=-10\left(\frac{9 y-5}{4}\right) \\ =-\frac{5(9 y-5)}{2} \\ \Rightarrow 4+18 y=-45 y+25 \\ \Rightarrow 18 y+45 y=25-4 \\ \Rightarrow \quad 63 y=21 \\ \Rightarrow y=\frac{21}{63} \\ \Rightarrow y=\frac{1}{3}
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
x=\frac{9 y-5}{4} \\ =\frac{9 \times \frac{1}{3}-5}{4} \\ =\frac{3-5}{4} \\ \Rightarrow x =-\frac{2}{4} \\ \Rightarrow x =-\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}
Illustration:6. x=\frac{1}{2} y-2, y=1-x
Solution: 2 x-y+4=0, x+y-1=0 \\ a_1=2, b_1=-1, c_1=4 \\ a_2=1, b_2=1,c_2=-1 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{1}, \frac{b_1}{b_2}=-1, \\ \Rightarrow \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अद्वितीय हल विद्यमान है।
2 x-y+4=0 \\ y=2 x+4 \ldots(1) \\ x+y-1=0 \ldots(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) में मान रखने पर:
x+2 x+4-1=0 \\ \Rightarrow 3 x+3=0 \\ \Rightarrow 3 x=-3 \\ \Rightarrow x=-\frac{3}{3} \\ \Rightarrow x=-1
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
y=2 \times -1+4=-2+4 \\ \Rightarrow y=2 \\ \Rightarrow x=-1, y=2
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिस्थापन द्वारा विलोपन विधि (Method of Elimination by Substitution),प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) को समझ सकते हैं।

3.प्रतिस्थापन द्वारा विलोपन विधि की समस्याएँ (Method of Elimination by Substitution Problems):

Method of Elimination by Substitution

प्रतिस्थापन विधि द्वारा निम्न समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए:
(1.)5x-2y=19,3x+y=18
(2.)4x+3y=25,5x-2y=14
उत्तर (Answers):(1.)x=5,y=3 (2.)x=4,y=3
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिस्थापन द्वारा विलोपन विधि (Method of Elimination by Substitution),प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रतिस्थापन द्वारा विलोपन विधि (Frequently Asked Questions Related to Method of Elimination by Substitution),प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रतिस्थापन द्वारा विलोपन विधि (Method of Elimination by Substitution) द्वारा युगपत
समीकरणों का बीजीय हल ज्ञात करने पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।