1.फलन का अवकलज: बीएससी गणित (Derivative of Function: B.sc. Maths):

Derivative of Function: B.sc. Maths

क्या फलन का अवकलज ज्ञात करने में आप कठिनाई का अनुभव करते हैं? तो जानिये फलन का अवकलज: बीएससी गणित (Derivative of Function: B.sc. Maths) में फलनों का सांतत्य और अवकलज ज्ञात करने की सरल विधि।

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2.डाबू प्रमेय (Darboux Theorem):

Derivative of Function: B.sc. Maths

प्रमेय:यदि फलन f संवृत अन्तराल [a,b] में अवकलनीय है और f'(a) तथा f'(b) के मध्य कोई संख्या है,तो अन्तराल (a,b) में एक ऐसा बिन्दु c विद्यमान है ताकि f'(c)=k .
(If a function f is differentiable in closed interval [a,b] and k be a number between f'(a) and f'(b) then there exists a number c in (a,b) so that f'(c)=k.)
[Raj. 96,98, 2000,01,03,04,06:Ajmer 99,2000,01,03;Udaipur 92,97,2000;Jodhpur 95,96,2003,05,06;Bikaner 2004,06;Kota 2005,06]
उपपत्ति (Proof): दिया है f'(a) < k < f'(b) माना कि अन्तराल [a,b] में एक फलन h(x) इस प्रकार परिभाषित है कि
h(x)=f(x)-kx \forall x \in [a,b]
चूँकि f(x) तथा kx अन्तराल [a,b] में अवकलनीय हैं अतः h(x) भी [a,b] में अवकलनीय होगा।
इसलिए h(x) [a,b] में संतत् है
\Rightarrow h(x),[a b] में परिबद्ध है तथा [a,b] के विशेष बिन्दुओं पर परिबन्धों को ग्रहण करता है।
अब h'(a)=f'(a)-k < 0  [\because f'(a) < k]  अतः a का कोई ऐसा दायाँ प्रतिवेश (a,a + \delta) विद्यमान है जहाँ h निरन्तर ह्रासमान है फलतः फलन h,बिन्दु a पर न्यूनतम मान को ग्रहण नहीं करता है। इसी प्रकार h'(b)=f'(b)-k > 0
अतः b का कोई ऐसा बायाँ प्रतिवेश (b-\delta_{1},b) विद्यमान है जहाँ h निरन्तर वर्धमान फलन है फलतः फलन h,बिन्दु b पर न्यूनतम मान को ग्रहण नहीं करता है।
उपर्युक्त व्याख्या से हम कह सकते हैं कि फलन h अपने न्यूनतम मान को किसी बिन्दु c \in (a,b) पर ग्रहण करता है।
माना कि h का अन्तराल (a,b) में निम्नक m है,तो h(c)=m
अब यदि \exists h'(c) > 0 तो (c-\delta,c)
जहाँ h(x) < h(c)=m \forall x \in (c-\delta,c) यह इस तथ्य h का [a,b] में निम्नक m होने का विरोधाभास है। अब यदि h'(c) < 0 तो \exists (c,c+\delta_{1}) जहाँ h(x) < h(c)=m \forall x(c,c+\delta_{1}) जो कि पुनः विरोधाभास है। अतः h'(c) का केवल h'(c)=0 ही विकल्प है। फलतः h'(c)=f'(c)-k=0 \Rightarrow f'(c)=k इसी प्रकार f'(a) > k > f'(b) लेकर भी डार्बू प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है।
वास्तविक दुनिया में डार्बू प्रमेय का अनुप्रयोग (Application of Darboux Theorem in Real World):
डार्बू प्रमेय (Darboux ka Theorem) (Derivative ke Intermediate Value Property) का Direct Practical App नहीं मिलता है जिसे आप घर या Daily Routines में छू सकें,लेकिन Pure Mathematics,Physics और Engineering के Foundation theoretical level इसी पर टिके होते हैं।
डार्बू प्रमेय का मतलब ये है कि अगर किसी संतत फलन का अवकलज f'(x) दो बिन्दुओं पर दो अलग मान k_1 और k_2 लेता है,तो वह उनके बीच के हर मान को भी किसी ना किसी पॉइंट पर ज़रूर लेगा—चाहें f'(x) कंटीन्यूअस हो या न हो।
इसका वास्तविक दुनिया का अनुप्रयोग और प्रासंगिक क्षेत्रों में  में होता है:
भौतिकी और गति विश्लेषण (Physics and Motion Analysis) (स्पीडोमीटर बनाम स्मूथ मोशन) (Speedometer VS Smooth Motion):
अगर आप गाड़ी चला रहे हैं और आपकी स्पीड (जो पोजिशन का डेरिवेटिव f'(t) है) 40 km/h से बढ़कर 80 km/h होती है,तो Darboux Theorem guarantee से कहता है कि सफर के दौरान किसी इंस्टेंट पर आपकी स्पीड ठीक 60 km/h जरूर रहती है।गाड़ी जंप करके बिना इंटरमीडिएट स्पीड को टच करके 80 पर नहीं पहुंच सकती है।
इंजीनियरिंग और सिस्टम स्थिरता सत्यापन (Engineering aur System Stability Verification):
गणितीय मॉडलिंग (रॉकेट प्रक्षेप्य पथ या हवाई जहाज उड़ान नियंत्रण प्रणाली) में संतत गणितीय मॉडल हैं। इंजीनियरिंग सिमुलेशन सॉफ्टवेयर ये verify करने के लिए Darboux Property का उपयोग करते हैं की system में कोई अचानक कूद (विसंगतियां) नहीं हो जो हार्डवेयर को क्रैश कर दें।
गणित में मान्य मॉडल की पहचान (विवेक की जाँच) (Mathematics mein Valid Models ki Pehchan (Sanity Checking)):
एप्लाइड फिजिक्स और फाइनेंशियल इंजीनियरिंग में जब हम डेटा फिटिंग के लिए किसी रेट ऑफ चेंज (डेरिवेटिव) को मॉडल करते हैं,तो डार्बू प्रमेय ये चेक करने में मदद करता है कि क्या जो फंक्शन किसी रियल फिजिकल प्रोसेस का डेरिवेटिव हो भी सकता है या नहीं।अगर कोई रेट-फंक्शन इंटरमीडिएट वैल्यूज़ स्किप करता है,तो गणितीय रूप से कौन किसी के रियल स्मूथ फंक्शन का डेरिवेटिव हो ही नहीं सकता।
संक्षेप में,डार्बू प्रमेय एक “सुरक्षा और अखंडता प्रमाण” की तरह काम करता है-ये सुनिश्चित करता है कि प्रकृति और गणित में बदलाव (परिवर्तन की दरें) चिकनी और पूर्ण तरीके से होते हैं।

उपर्युक्त  जानकारी द्वारा फलन का अवकलज: बीएससी गणित (Derivative of Function: B.sc. Maths) की प्राइमरी टर्म्स के बारे में जान सकते हैं।

3.फलन का अवकलज: बीएससी गणित पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Derivative of Function: B.sc. Maths)

Example:7.फलन f(x)= |x-1| +|x+2| की अन्तराल [0,2] में सांतत्यता एवं अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए ।
(Examine the continuity and differentiability of the function f(x)= |x-1|+|x-2| in the interval [0,2].)
[Raj. 91; Uaipur 90;Ajmer 2002,03;Jodhpur 2004]
Solution: f(x) = |x-1| + |x-2| \\ \text{जब } x < 1 \text{ तो} \\ f(x) = -(x-1) - (x-2) = -2x + 3 \\ \text{जब } 1 \le x \le 2 \text{ तो} \\ f(x) = (x-1) - (x-2) = 1 \\ \text{जब } x > 2 \text{ तो} \\ f(x) = x-1 + x-2 = 2x-3 \\ f(x) = \begin{cases} -2x+3, & \text{यदि (if) } x < 1 \\ 1, & \text{यदि (if) } 1 \le x \le 2 \\ 2x-3, & \text{यदि (if) } x > 2 \end{cases} \\ \text{at } x = 1 \text{ पर} \\ Rf'(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{1 - 1}{h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{0}{h} \\ \Rightarrow Rf'(1) = 0 \\ Lf'(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x-h) - f(x)}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{-2(1-h) + 3 - 1}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{-2 + 2h + 3 - 1}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \left(\frac{2h}{-h}\right) \\ = \underset{h \to 0}{\lim} (-2) \\ \Rightarrow Lf'(1) = -2 \\ Rf'(1) \ne Lf'(1)
अतः फलन x=1 पर अवकलनीय नहीं है।फलतः फलन अन्तराल [0,2] में अवकलनीय नहीं है।
Example:8.फलन f(x)= |x-1|+|x-3| का अन्तराल [0,3] में सांतत्यता एवं अवकलनीयता का विवेचन कीजिए।
(Discuss the continuity and differentiability of the function f(x)=|x-1|+|x-3| in the interval [0,3])
[Udaipur 92]
Solution: f(x) = |x-1| + |x-3| \\ \text{जब } x < 1 \text{ तो} \\ f(x) = -(x-1) - (x-3) = -2x + 4 \\ \text{जब } 1 \le x \le 3 \text{ तो} \\ f(x) = x-1 - (x-3) = 2 \\ \text{जब } x > 3 \text{ to} \\ f(x) = x-1 + x-3 = 2x-4 \\ f(x) = \begin{cases} -2x+4, & \text{यदि (if) } x < 1 \\ 2, & \text{यदि (if) } 1 \le x \le 3 \\ 2x-4, & \text{यदि (if) } x > 3 \end{cases} \\ x = 1 \text{ पर, } f(1) = 2 \\ \text{L.H.L. } f(1-h) = \lim_{x \to 1^-} f(1-h) \\ = \underset{h \to 0}{\lim} -2(1-h) + 4 \\ = \underset{h \to 0}{\lim} (-2 + 2h + 4) \\ = \underset{h \to 0}{\lim} (2 + 2h) \\ \Rightarrow f(1-h) = 2 \\ \text{R.H.L. } f(1+h) = \lim_{x \to 1^+} f(1+h) \\ = \underset{h \to 0}{\lim} (2) = 2 \\ \therefore f(1-h) = f(1+h) = f(1) \\ \text{फलन सतत है।} \\ \text{यदि } x = c \in [0, 2] \text{ तो} \\ \text{यदि } x = 3 \text{ पर } f(3) = 2 \\ \text{L.H.L. } f(3-h) = \lim_{x \to 1^-} f(3-h) \\ = \underset{h \to 0}{\lim} (3) \\ \Rightarrow f(3-h) = 3 \\ \text{R.H.L. } f(3+h) = \lim_{x \to 1^+} f(3+h) \\ = \underset{h \to 0}{\lim} 2(3+h) - 4 \\ = \underset{h \to 0}{\lim} 6 + h - 4 \\ = \underset{h \to 0}{\lim} (2 + h) = 2 \\ f(3-h) = f(3+h) = f(3)
फलन x=3 पर संतत है।
फलन f अन्तराल (0,1),(1,2),(2,3) बहुपदों के रूप का है तथा हम जानते हैं कि बहुपद x के प्रत्येक मान के लिए संतत होता है।अतः f उपर्युक्त अन्तरालों में संतत होगा।
x=1 पर
Rf'(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{2 - 2}{h} = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{0}{h} = 0 \\ Lf'(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x-h) - f(x)}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{-2(1-h) + 4 - 2}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{-2 + 2h + 2}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{2h}{-h} = \underset{h \to 0}{\lim} (-2) \\ \Rightarrow Lf'(1) = -2 \\ Rf'(1) \ne Lf'(1)
अतः फलन x=1 पर अवकलनीय नहीं है।फलतः फलन f अन्तराल [0,3] में अवकलनीय नहीं है।

Derivative of Function: B.sc. Maths

Example:9.(a) एक फलन f(x) को निम्न प्रकार से परिभाषित किया
(A function f(x) is defined as follows):
f(x) = \begin{cases} x^m \cos\left(\frac{1}{x}\right), & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}
पर क्या प्रतिबन्ध लगाना चाहिए ताकि x= 0 पर
(what condition should be imposed on m,so that x = 0);
(i) f(x) संतत् हो [f(x) is continuous],
(ii) f(x) अवकलनीय हो [(x) is differentiable].
Solution:
f(x) = \begin{cases} x^m \cos\left(\frac{1}{x}\right), & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \\ (i) \ x = 0 \text{ पर } f(x) \text{ की सांत्यता :} \\ f(0) = 0 \quad \cdots (1) \\ f(0+0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \\ = \underset{h \to 0}{\lim} f(0+h) \\ = \underset{h \to 0}{\lim} h^m \cos\frac{1}{h}, \ h > 0 \quad \cdots (2) \\ f(0-0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \underset{h \to 0}{\lim} f(0-h) \\ = \underset{h \to 0}{\lim} (-h)^m \cos\left(-\frac{1}{h}\right) \\ = \underset{h \to 0}{\lim} (-h)^m \cos\left(\frac{1}{h}\right) \quad \cdots (3)
फलन f(x),बिन्दु x=0 पर संतत होगा यदि सीमा (2) तथा (3) अलग-अलग शून्य हों,चूँकि \cos\left(\frac{1}{h}\right) , -1 तथा 1 के बीच परिमित राशि है।अतः दोनों सीमाएँ शून्य होगी यदि m > 0
फलन मूलबिन्दु पर संतत होगा,यदि m > 0 हो
(ii)x=0 पर f(x) की अवकलनीयता
Rf'(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \\ \Rightarrow Rf'(0) = \underset{h \to 0}{\lim} h^{m-1} \cos\left(\frac{1}{h}\right) \\ Lf'(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{(-h)^{m} \cos\left(-\frac{1}{h}\right)}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} (-1)^{m-1} \cdot h^{m-1} \cos\left(\frac{1}{h}\right)
फलन f(x),x=0 पर अवकलनीय होगा।यदि
Rf'(0)=Lf'(0) यह तभी सम्भव होगा जबकि m-1 > 0 अर्थात हो।
अतः फलन f(x),x=0 पर अवकलनीय होगा यदि m > 1 हो।
Example:9(b).निम्न फलन के साँतत्य एवं अवकलनीयता का विवेचन कीजिए
(Discuss the continuity and differentiability of the following function):
x परिमेय (rational) x अपरिमेय (irrational)
f(x) = \begin{cases} 2x+1, & x \text{ परिमेय (rational)} \\ x^2 - 2x + 5, & x \text{ अपरिमेय (irrational)} \end{cases}
Solution:माना c \in R
किसी बिन्दु पर डिरिच्लेट प्रकार के फलन के संतत होने के लिए x=a बिन्दु पर दोनों उप-फलनों के मान बराबर होने चाहिए।ऐसा इसलिये है क्योंकि किसी वास्तविक संख्या के आस-पास अनन्त संख्या में परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।
माना g(x)=2x+1 और h(x)= x^2 - 2x + 5
संततता के बिन्दुओं को ज्ञात करने के लिए
g(x) = h(x) \\ \therefore x^2 - 2x + 5 = 2x + 1 \\ \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Rightarrow (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2
अतः यह फलन केवल x=2 पर संतत है।यह x के अन्य वास्तविक मानों पर असंतत है।
विकल्पतःमाना x_0 \in R किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए हम a_n परिमेय संख्या और b_n  अपरिमेय संख्या दोनों का R में चयन करते हैं ताकि
|a_n - x_0| < \frac{1}{n}, |b_n - x_0| < \frac{1}{n} \\ \therefore \lim_{n \to \infty} a_n = 2x_0 + 1 = \lim_{n \to \infty} b_n
यरि f, x_0 पर संतत है तब हम रखते हैं:
\lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(x_0) = \lim_{n \to \infty} f(b_n) \\ \text{अब } f(a_n) = 2a_n + 1 \forall \ n \text{ और } f(b_n) = b_n^2 - 2b_n + 5 \forall n \\ \therefore \lim_{n \to \infty} f(b_n) = \lim_{n \to \infty} (b_n^2 - 2b_n + 5) = x_0^2 - 2x_0 + 5
अत: f,x_{0} पर सतत होना चाहिए,हम रखते हैं:
2 x_0+1=f(x_0) = x_0^2 - 2x_0 + 5 \\ \therefore x_0^2 - 4x_0 + 4 = 0 \Rightarrow (x_0 - 2)^2 = 0 \\ \Rightarrow x_0 = 2
अतः x_0 = 2 केवल R (वास्तविक संख्याओं) में सम्भव मान हैं जहाँ f संतत है।
अब हम f को x=2 पर वास्तविक रूप में संतत सिद्ध करेंगे,हम रखते है f(2)=5
माना \epsilon > 0 दिया है:
कोई धनात्मक वास्तविक संख्या \delta = \frac{1}{2}\epsilon तब यदि x परिमेय संख्या है,हम रखते हैं:
|x - 2| < \delta \Rightarrow \left|f(x) - f\left(\frac{1}{2}\right)\right| = |2x + 1 - 5| \\ \Rightarrow |2(x - 2)| < \epsilon \\ \text{और यदि } x \text{ अपरिमेय है तो} \\ \left|x - \frac{1}{2}\right| < \delta \Rightarrow \left|f(x) - f\left(\frac{1}{2}\right)\right| \\ = |x^2 - 2x + 5 - 5| \\ = |x(x - 2)| < \epsilon
इस प्रकार हम रखते हैं:
|x - 2| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(2)| < \epsilon
अतः f,x=2 पर संतत है
अवकलनीयता:चूँकि कोई फलन केवल वहीं अवकलनीय हो सकता है जहाँ वह संतत हो,इसलिए हमें केवल x=2 पर अवकलनीयता का परीक्षण करना है।
परिभाषा के अनुसार यदि निम्नलिखित सीमा मौजूद है तो f'(2) अवकलज मौजूद है:
f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}
सीमा का मूल्यांकन करने के लिए
स्थिति I:x परिमेय संख्याओं की तरफ बढ़ता है तो
\text{जब } x \in Q \\ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{(2x+1) - 5}{x - 2} \\ \Rightarrow f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{2x - 4}{x - 2} \\ = \lim_{x \to 2} \frac{2(x - 2)}{(x - 2)} \\ \Rightarrow f'(2) = \lim_{x \to 2} (2) = 2
स्थितिः2. x अपरिमेय संख्याओं की तरफ बढ़ता है अर्थात्
x \notin Q \\ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x + 5 - 5}{x - 2} \\ = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{x - 2} \\ = \lim_{x \to 2} \frac{x(x - 2)}{(x - 2)} \\ = \lim_{x \to 2} (x) \\ \Rightarrow f'(2) = 2
चूँकि दोनों सीमाएँ समान है।इसलिए सीमा का अस्तित्व है।
अतः फलन x=2 पर अवकलनीय है।
फलतः‌ फलन f केवल x=2 पर संतत और अवकलनीय है।
Example:10.निम्न फलन की x=0 पर अवकलनीयता की जाँच कीजिए:
(Test the following function for differentiability at x=0)
f(x) = \frac{1}{1 + e^{\frac{1}{x^2}}}, x \ne 0, f(0) = 0
Solution: f(x) = \frac{1}{1 + e^{\frac{1}{x^2}}} \\ x = 0 \text{ पर} \\ Rf'(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{\frac{1}{1 + e^{\frac{1}{h^2}}} - 0}{h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{\frac{1}{1 + e^{\frac{1}{h^2}}}}{h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{1}{h(1 + e^{\frac{1}{h^2}})} \\ Rf'(0) = \text{undefined} \\ Lf'(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{\frac{1}{1 + e^{\frac{1}{(-h)^2}}} - 0}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{1}{(-h)(1 + e^{\frac{1}{h^2}})} \\ Lf'(0) = \text{undefined}
अतः फलन f, x=0 पर अवकलनीय नहीं है।
Example:11.बिन्दु  x = 0 पर फलन f(x) की अवकलनीयता की जाँच कीजिए:
(Test the differentiability of f(x) at x = 0)
f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & x \ne 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}
Solution:
f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & x \ne 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases} \\ f(x) = \frac{|x|}{x} \\ \text{जब } x < 0 \text{ तो } f(x) = \frac{-x}{x} = -1 \\ \text{जब } x > 0 \text{ तो } f(x) = \frac{x}{x} = 1 \\ f(x) = \begin{cases} -1, & \text{if } x < 0 \\ 1, & \text{if } x \ge 0 \end{cases} \\ Rf'(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{1 - 1}{h} = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{0}{h} \\ \Rightarrow Rf'(0) = 0 \\ Lf'(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} \\ = \underset{h \to 0}{\lim} \left(\frac{-1 - 1}{-h}\right) = \underset{h \to 0}{\lim} \left(\frac{2}{h}\right) \\ \Rightarrow Lf'(0) = \infty \\ Rf'(0) \ne Lf'(0)
फलन f, x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के हल द्वारा फलन का अवकलज: बीएससी गणित (Derivative of Function: B.sc. Maths) को समझ सकते हैं।

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4.छात्र-छात्राओं के लिए फलन का अवकलज: बीएससी गणित की प्रोब्लम्स (Problems of Derivative of Function: B.sc. Maths for Students):

Derivative of Function: B.sc. Maths

(1.)सिद्ध करो कि फलन f(x)=|x|+|x-1| x=0 और x=1 पर अवकलनीय नहीं है।
(Show that the function f(x)=|x|+|x-1| is not differentiable at x=0 and x=1.)
(2.)यदि f(x) समफलन है तथा f'(0) का अस्तित्व है तो इसका मान ज्ञात करो।
(Let f(x) be an even function.If f'(0) exists,finds its value.)
उत्तर (Answer):(2.)f'(0)=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर फलन का अवकलज: बीएससी गणित (Derivative of Function: B.sc. Maths) को अच्छी तरह से समझ सकते हैं क्योंकि स्वयं प्रैक्टिकल रूप से हल करने पर कांसेप्ट अच्छी तरह समझ में आती है।
उपर्युक्त आर्टिकल स्नातक गणित (हिन्दी मीडियम) वाले छात्रों के लिए विद्यार्थी अंशु (Anshu) ने टिप्पणी की है कि गतिविज्ञान,वास्तविक विश्लेषण के बचे हुए टाॅपिक भी वेबसाइट पर पोस्ट करें उसके परिप्रेक्ष्य में गणित (हिन्दी मीडियम) वालों के लिए ये आर्टिकल पोस्ट किए जा रहे हैं।

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5.फलन का अवकलज: बीएससी गणित (Frequently Asked Questions Related to Derivative of Function: B.sc. Maths) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

6.छात्र-छात्राओं से आज का सवाल (Today’s Queention to students):

🎯 विनर्स कॉर्नर:क्या आप इस सवाल का सही जवाब दे सकते हैं?अपने नाम के साथ नीचे कमेंट करें!सही जवाब देने वाले Top Students के नाम हमारी आगे post/is article ke update में Photo ya Special Mention के साथ publish की जाएगी।अपना जवाब अभी दर्ज करें!👇
*”किसी समबहुभुज में,जिसके आंतरिक और बाह्य कोणों का अनुपात 2:1 हो,तो कुल कितनी भुजाएँ होंगी।”*
(In an equipolygon,whose ratio of interior and exterior angles is 2:1,how many sides will there be?)
*पिछली प्रश्नोत्तरी का उत्तर*
माना कि \Delta ADC तथा \Delta ABC की ऊँचाई h है।
\because \Delta ADC \text{ का क्षेत्रफल } = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \\ = \frac{1}{2} \times 2 \times h \ (\because AD = AB - DB) \\ \text{इसी प्रकार, } \Delta ABC \text{ का क्षेत्रफल } = \frac{1}{2} \times 5 \times h \\ \frac{\Delta ADC \text{ का क्षेत्रफल}}{\Delta ABC \text{ का क्षेत्रफल}} = \frac{\frac{1}{2} \times 2 \times h}{\frac{1}{2} \times 5 \times h} = \frac{2}{5}
*Previous Quiz Solution* \frac{2}{5} \\ \text{Let the height of } \Delta ADC \text{ and } \Delta ABC \text{ be } h. \\ \text{Area of } ADC = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} \\ = \frac{1}{2} \times 2 \times h \ (\because AD = AB - DB) \\ \text{Similarly, area of } \Delta ABC = \frac{1}{2} \times 5 \times h \\ \frac{\text{Area of } \Delta ADC}{\text{Area of } \Delta ABC} = \frac{\frac{1}{2} \times 2 \times h}{\frac{1}{2} \times 5 \times h} = \frac{2}{5}
*”यह आर्टिकल **Satyam Mathematics** ब्लॉग पर **Satyam Coaching Centre** के द्वारा तैयार किया गया है।”*