1.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence):
वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis) के इस आर्टिकल में वास्तविक अनुक्रम,अनुक्रम के अभिसारी होने की जाँच आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
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2.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम के उदाहरण (Real Sequences in Real Analysis Illustrations):
Illustration:9.निम्न में एक-एक अनुक्रम के उदाहरण दीजिए:
(Give an example of a sequence in the following cases):
Illustration:9(i).जो कि परिबद्ध है और सीमान्त बिन्दु शून्य है।
(Which is bounded and has zero as its only limit point)
Solution: \left\{\frac{1}{n}\right\}
Illustration:9(ii).जिसके दो सीमान्त बिन्दु -1 एवं 1 हैं तथा जिसकी कोई संख्या बन्द अन्तराल [-1,1] में नहीं हो।
(Which has -1 and 1 its two limit points but no members of which belongs to the closed interval [-1,1])
Solution: \left\{(-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\}
Illustration:9(iii).जो कि एकदिष्ट बढ़ता हुआ एवं अभिसारी हो।
(Which is monotonically increasing and convergent.)
Solution: \left\{\frac{2 n-7}{3 n+2}\right\}
Illustration:10.सिद्ध कीजिए कि निम्न अनुक्रम अभिसारी है,जहाँ
(Prove that the following sequences are convergent where):
Illustration:10(i). x_1=\sqrt{3} एवं x_{n+1}=\sqrt{3 x_n}
Solution: x_1=\sqrt{3} एवं x_{n+1}=\sqrt{3 x_n}
यहाँ x_1=\sqrt{3}, x_2=\sqrt{3 x_1} \\ x_2=\sqrt{3 \sqrt{3}}, x_3=\sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3}}} \\ \Rightarrow x_1 < x_2 < x_3
माना कि x_{r+1} > x_r \\ \Rightarrow \sqrt{3 x_r}>\sqrt{3 x_{r-1}}
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से
x_{n+1} >x_n \quad \forall x \in N
\Rightarrow \left\{x_n\right\} एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है।
पुनः x_1=\sqrt{3}<3 \\ x_2=\sqrt{3 \sqrt{3}}<3 \\ x_n<3 \forall n \in N
अतः \Rightarrow \left\{x_n\right\} एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है।फलतः यह अभिसारी भी होगी।
Illustration:10(ii). x_1=1 एवं x_{n+1}=\sqrt{4+3 x_n}
Solution: x_1=1 एवं x_{n+1}=\sqrt{4+3 x_n}
चूँकि x_1=1 एवं x_{n+1}=\sqrt{4+3 x_n} \forall n \in N \\ \therefore x_2=\sqrt{4+3 x_1}=\sqrt{7} \\ x_3=\sqrt{4+3 x_2}=\sqrt{4+3 \sqrt{7}} \\ \Rightarrow x_3 >x_2 >x_1
माना कि x_{r}<x_{r+1} \\ \Rightarrow \sqrt{4+3 x_{r-1}}< \sqrt{7+3 x_r} \\ \Rightarrow x_{r+1} < x_{r+2}
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त सेः
x_n < x_{n+1} \quad \forall n \in N
\Rightarrow \left\{x_n\right\} एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है।
पुनः x_1=1< 4 \\ x_2=\sqrt{7}< 4 \\ x_3=\sqrt{4+3 \sqrt{7}} < 4 \\ \Rightarrow x_n< 4 \quad \forall n \in N
अतः \Rightarrow \left\{x_n\right\} एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है।फलतः यह अभिसारी भी होगी।
Illustration:11.यदि k>0 एवं \alpha,-\beta समीकरण x^2-x-k=0 के क्रमशः धनात्मक एवं ऋणात्मक मूल हों,तो सिद्ध कीजिए कि यदि x_n=\sqrt{x_{n-1} \pm k} एवं x_1>0 तो x_n \rightarrow \alpha .
(If k>0 and \alpha,-\beta are positive and negative roots of x^2-x-k=0 ,prove that if x_n=\sqrt{x_{n-1} \pm k} and x_1>0 than x_n \rightarrow \alpha .)
Solution: x_1 धनात्मक है,अतः
x_n=\sqrt{x_{n-1} \pm k}, x_1, x_2, \ldots, x_n \ldots सभी धनात्मक हैं।
इस प्रकार x_n>0 \quad \forall n \in N \\ x_n^2-x_{n-1}^2=\left(x_{n-1} \pm k\right)-\left(x_{n-2} \pm k\right)=x_{n-1}-x_{n-2}
इसलिए x_n > या < x_{n-1} , x_{n-1} > या <x_n के अनुसार और इस प्रकार \left\langle x_n \right\rangle एकदिष्ट अनुक्रम है,यह वर्धमान या ह्रासमान है x_2 > या <x_1 के अनुसार
अब x^2-x-k \equiv(x-\alpha)(x+\beta) \cdots(1) \\ \Rightarrow x_1^2-x_1-k=\left(x_1-\alpha\right) \left(x_1+\beta\right) \cdots(2)
माना x_1>\alpha ,तब (2) से हम रखते हैं
x_1^2-x_1-k>0 \\ \Rightarrow x_1+k<x_1^2 \\ \Rightarrow \sqrt{\left(x_1+k\right)}<x_1 \Rightarrow x_2<x_1
इस मामले में \left\langle x_n \right\rangle ह्रासमान अनुक्रम है।
जबकि x_n>0, \forall x \in N ,इसलिए \left\langle x_n \right\rangle द्वारा नीचे से परिबद्ध है।
इस प्रकार \left\langle x_n \right\rangle एकदिष्ट ह्रासमान अनुक्रम है और नीचे से परिबद्ध है तथा इस प्रकार \left\langle x_n \right\rangle अभिसारी है।
पुनः माना x_1<\alpha ,तब (2) से,हम रखते हैं:
x_1^2-x_1-k<0 \\ \Rightarrow x_1+k>x_1^2 \\ \Rightarrow \sqrt{x_1+k}>x_1 \\ \Rightarrow x_2>x_1
इस मामले में \left\langle x_n \right\rangle वर्धमान अनुक्रम है।
अब x_n^2=x_{n-1}+k < x_n+k \left[\because x_{n-1}< x_n\right]
i.e. x_n^2-x_n-k<0
या \left(x_n-\alpha\right)\left(x_n+\beta\right) < 0 [(1) से]
\left[\because x_n>0 \text { तथा } \beta>0 \Rightarrow x_n+\beta>0\right]
इस प्रकार इस मामले में x_n<\alpha \forall n \in N
इस प्रकार \left\langle x_n \right\rangle एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है और ऊपर से द्वारा परिबद्ध है और \left\langle x_n \right\rangle अभिसारी है।
इस प्रकार \left\langle x_n \right\rangle अभिसारी है यदि x_1 > या < \alpha
माना \lim x_n=l
अब \left(x_n-\alpha\right) \left(x_n+\beta\right)=x_n^2-x_n-k \\ =\left(x_{n-1}+k\right)-x_n-k \\ =x_{n-1}-x_n
सीमा लेने पर,हम पाते हैं
(l-\alpha) \cdot(l+\beta)=l-l=0 \\ \Rightarrow l=\alpha, l=-\beta
अनुक्रम \left\langle x_n \right\rangle के सभी पद धनात्मक है,अतः इसकी सीमा ऋणात्मक नहीं है।इसलिए हम l =-\beta नहीं रख सकते है।इसलिए हमें रखना चाहिए l=\alpha
x_1=\alpha तब (2) से,हम रखते हैंः
x_1^2-x_1-k=0 \\ \Rightarrow x_2=\sqrt{\left(x_1+k\right)}=x_1 \\ x_n^2-x_{n-1}^2=x_{n-1}-x_{n-2}
निरीक्षण से x_3=x_2, x_4=x_3, x_5=x_4 और इसी प्रकार आगे
इस मामले में x_n=x ;=\alpha, \forall x \in N
इस मामले में \left\langle x_n \right\rangle , \alpha अनुक्रम को अभिसृत होता है।
अतः सभी मामलों में \left\langle x_n \right\rangle , \alpha को अभिसृत होता है जो कि समीकरण x^2-x-k=0 का धनात्मक मूल है।
Illustration:12.सिद्ध कीजिए कि \left\{x_n\right\} अनुक्रम अभिसारी है,जहाँ
(Prove that the sequence \left\{x_n\right\} is convergent,where x_n=2-\frac{1}{2^{n-1}} .)
Solution: x_n=2-\frac{1}{2^{n-1}} \\ x_{n+1}-x_n=\left(2-\frac{1}{2^n}\right)-\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right) \\ =\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2 n}>0, \forall n \in N
अतः अनुक्रम \left\langle x_n \right\rangle एकदिष्ट वर्धमान है।
x_n=2-\frac{1}{2^{n-1}}<2 \quad \forall n \in N\left[\because \frac{1}{2^{n-1}}>0\right]
\therefore \left\langle x_n \right\rangle ऊपर से परिबद्ध है।
\left\langle x_n \right\rangle ऊपर से परिबद्ध है,एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है,अतः यह अभिसृत होता हैः
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{2 n-1}\right)=2
Illustration:13.एक अनुक्रम \left\{x_n\right\} के l को अभिसृत होने की आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त है कि अनुक्रम परिबद्ध है तथा सीमा बिन्दु अद्वितीय है।यह भी सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक \varepsilon > 0 के संगत एक ऐसा धनात्मक पूर्णांक n_0 विद्यमान \left|x_n-l\right|<\varepsilon है कि जबकि n>n_0
(The necessary and sufficient condition that a sequence \left\{x_n\right\} converges to l is that it is bounded and has a unique limit.)
Solution:उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध आवश्यक है:
माना कोई अनुक्रम है,l को अभिसृत होती है,तो हमें सिद्ध करना है कि
(i) \left\{x_n\right\} परिबद्ध है
(ii) \left\{x_n\right\} का अद्वितीय सीमा बिन्दु l है।
(i)चूँकि \left\{x_n\right\} एक अभिसारी अनुक्रम है।
अतः परिबद्ध अनुक्रम होगा।
(ii)यदि सम्भव हो,तो मान लो कि \left\{x_n\right\} के दो भिन्न सीमा बिन्दु l,जहाँ n > l हैं।
यदि \varepsilon=\frac{1}{3}(n-l) तो n-1=\frac{1}{2}+2 \varepsilon > l+\varepsilon
पुनः चूँकि \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=l \Rightarrow \varepsilon>0 ताकि \exists n_0 \in N \\ x_n \in (\xi-\varepsilon, \xi+\varepsilon) \forall n > n_0 \ldots(1)
\Rightarrow l का प्रत्येक प्रतिवेश \left\{x_n\right\} में के अनन्त अवयव है।
\Rightarrow l अनुक्रम \left\{x_n\right\} का सीमा बिन्दु है।
अब (1) सेः x_n >l+\varepsilon केवल n के परिमित मानों के लिए
\Rightarrow x_n< l-\varepsilon केवल n के परिमित मानों के लिए
\Rightarrow x_n \in(n-\xi, n+\xi) केवल n के परिमित मानों के लिए
\Rightarrow \left\{x_n\right\} का सीमा बिन्दु नहीं है।
अतः \left\{x_n\right\} का केवल एक सीमा बिन्दु l है।
प्रतिबन्ध पर्याप्त हैः
माना कि अनुक्रम \left\{x_n\right\} परिबद्ध है तथा इसका अद्वितीय सीमा बिन्दु l है।हमें सिद्ध करना है कि \left\{x_n\right\} अद्वितीय सीमा l को अभिसृत होती है।
माना कि कोई धनात्मक संख्या है जो (l-\varepsilon, l+\varepsilon), l का प्रतिवेश है।अब चूँकि l अनुक्रम \left\{x_n\right\} का अद्वितीय सीमा बिन्दु है अतः (l-\varepsilon, l+\varepsilon) में \left\{x_n\right\} के अनन्त बिन्दु है अर्थात् (l-\varepsilon, l+\varepsilon) में \left\{x_n\right\} के परिमित बिन्दु विद्यमान नहीं है फलतः x_n \not \in (l-\varepsilon, l+\varepsilon) बिन्दुओं के संगत n के केवल परिमित मान ही विद्यमान हैं।
माना कि n के ऐसे अपवादी मानों (exceptional values) का उच्चतम मान n_0 है,तो
x_n \in (l-\varepsilon, l+\varepsilon), \forall n >n_0 \\ \Rightarrow \left|x_n-l\right|<\varepsilon, \forall n > n_0
अब \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=l अथवा अनुक्रम \left\{x_n\right\} ,l को अभिसृत होती है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) को समझ सकते हैं।
3.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम के सवाल (Real Sequence in Real Analysiss Questions):
(1.)अनुक्रम \left\langle S_n \right\rangle का निम्नक और उच्चक ज्ञात करो जो परिभाषित है
(Find the infimum and supremum of the sequence \left\langle S_n \right\rangle defined by)
S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}
(2.)क्या निम्न परिभाषित अनुक्रम \left\langle S_n \right\rangle परिबद्ध है?
(Is the sequence \left\langle S_n \right\rangle defined as follows,bounded?)
S_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) को ठीक से समझ सकते हैं।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Frequently Asked Questions Related to Real Sequences in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.अनुक्रम का परिसर से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Range of Sequence?):
उत्तर:अनुक्रम के अलग-अलग पदों का समुच्चय अनुक्रम का परिसर कहलाता है।
प्रश्न:2.अचर अनुक्रम किसे कहते हैं? (What is a Constant Sequence?):
उत्तर:एक अनुक्रम \left\{x_n\right\} जहाँ x_n=c \in R, \forall n \in N को अचर अनुक्रम कहते हैं।
उत्तर:(1.)अनुक्रम का प्रान्त सदैव N होता है तथा अनुक्रम में अनन्त पद होते हैं।परन्तु अनुक्रम का परिसर सीमित भी हो सकता है।उदाहरणार्थ,अनुक्रम {1,-1,1,-1,…..} का परिसर {-1,1} है।
(2.)दो अनुक्रम \left\{x_n\right\} तथा \left\{y_n\right\} समान कहलाते हैं यदि x_n=y_n, \forall n \in N
प्रश्न:4.अनुक्रम का उच्चक व निम्नक किसे कहते हैं? (What Are the Supremum and Infimum of the Sequence?):
उत्तर:यदि अनुक्रम \left\{x_n\right\} परिबद्ध हो,तो अनुक्रम के उपरि परिबन्धों का न्यूनतम मान इसका उच्चक (Supremum or least upper bound (l.u.b.)) कहलाता है।इसी प्रकार निम्न-परिबन्धों का महत्तम मान इसका निम्नक (Infimum or greatest lower bound (g.l.b.)) कहलाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Real Sequences in Real Analysis
वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम
(Real Sequences in Real Analysis)
Real Sequences in Real Analysis
वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis) के इस
आर्टिकल में वास्तविक अनुक्रम,अनुक्रम के अभिसारी होने की जाँच आदि पर आधारित
सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
Real Sequences in Real Analysis
1.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence):
Real Sequences in Real Analysis
वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis) के इस आर्टिकल में वास्तविक अनुक्रम,अनुक्रम के अभिसारी होने की जाँच आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
2.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम के उदाहरण (Real Sequences in Real Analysis Illustrations):
Illustration:9.निम्न में एक-एक अनुक्रम के उदाहरण दीजिए:
(Give an example of a sequence in the following cases):
Illustration:9(i).जो कि परिबद्ध है और सीमान्त बिन्दु शून्य है।
(Which is bounded and has zero as its only limit point)
Solution: \left\{\frac{1}{n}\right\}
Illustration:9(ii).जिसके दो सीमान्त बिन्दु -1 एवं 1 हैं तथा जिसकी कोई संख्या बन्द अन्तराल [-1,1] में नहीं हो।
(Which has -1 and 1 its two limit points but no members of which belongs to the closed interval [-1,1])
Solution: \left\{(-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\}
Illustration:9(iii).जो कि एकदिष्ट बढ़ता हुआ एवं अभिसारी हो।
(Which is monotonically increasing and convergent.)
Solution: \left\{\frac{2 n-7}{3 n+2}\right\}
Illustration:10.सिद्ध कीजिए कि निम्न अनुक्रम अभिसारी है,जहाँ
(Prove that the following sequences are convergent where):
Illustration:10(i). x_1=\sqrt{3} एवं x_{n+1}=\sqrt{3 x_n}
Solution: x_1=\sqrt{3} एवं x_{n+1}=\sqrt{3 x_n}
यहाँ x_1=\sqrt{3}, x_2=\sqrt{3 x_1} \\ x_2=\sqrt{3 \sqrt{3}}, x_3=\sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3}}} \\ \Rightarrow x_1 < x_2 < x_3
माना कि x_{r+1} > x_r \\ \Rightarrow \sqrt{3 x_r}>\sqrt{3 x_{r-1}}
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से
x_{n+1} >x_n \quad \forall x \in N
\Rightarrow \left\{x_n\right\} एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है।
पुनः x_1=\sqrt{3}<3 \\ x_2=\sqrt{3 \sqrt{3}}<3 \\ x_n<3 \forall n \in N
अतः \Rightarrow \left\{x_n\right\} एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है।फलतः यह अभिसारी भी होगी।
Illustration:10(ii). x_1=1 एवं x_{n+1}=\sqrt{4+3 x_n}
Solution: x_1=1 एवं x_{n+1}=\sqrt{4+3 x_n}
चूँकि x_1=1 एवं x_{n+1}=\sqrt{4+3 x_n} \forall n \in N \\ \therefore x_2=\sqrt{4+3 x_1}=\sqrt{7} \\ x_3=\sqrt{4+3 x_2}=\sqrt{4+3 \sqrt{7}} \\ \Rightarrow x_3 >x_2 >x_1
माना कि x_{r}<x_{r+1} \\ \Rightarrow \sqrt{4+3 x_{r-1}}< \sqrt{7+3 x_r} \\ \Rightarrow x_{r+1} < x_{r+2}
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त सेः
x_n < x_{n+1} \quad \forall n \in N
\Rightarrow \left\{x_n\right\} एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है।
पुनः x_1=1< 4 \\ x_2=\sqrt{7}< 4 \\ x_3=\sqrt{4+3 \sqrt{7}} < 4 \\ \Rightarrow x_n< 4 \quad \forall n \in N
अतः \Rightarrow \left\{x_n\right\} एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है।फलतः यह अभिसारी भी होगी।
Real Sequences in Real Analysis
Illustration:11.यदि k>0 एवं \alpha,-\beta समीकरण x^2-x-k=0 के क्रमशः धनात्मक एवं ऋणात्मक मूल हों,तो सिद्ध कीजिए कि यदि x_n=\sqrt{x_{n-1} \pm k} एवं x_1>0 तो x_n \rightarrow \alpha .
(If k>0 and \alpha,-\beta are positive and negative roots of x^2-x-k=0 ,prove that if x_n=\sqrt{x_{n-1} \pm k} and x_1>0 than x_n \rightarrow \alpha .)
Solution: x_1 धनात्मक है,अतः
x_n=\sqrt{x_{n-1} \pm k}, x_1, x_2, \ldots, x_n \ldots सभी धनात्मक हैं।
इस प्रकार x_n>0 \quad \forall n \in N \\ x_n^2-x_{n-1}^2=\left(x_{n-1} \pm k\right)-\left(x_{n-2} \pm k\right)=x_{n-1}-x_{n-2}
इसलिए x_n > या < x_{n-1} , x_{n-1} > या <x_n के अनुसार और इस प्रकार \left\langle x_n \right\rangle एकदिष्ट अनुक्रम है,यह वर्धमान या ह्रासमान है x_2 > या <x_1 के अनुसार
अब x^2-x-k \equiv(x-\alpha)(x+\beta) \cdots(1) \\ \Rightarrow x_1^2-x_1-k=\left(x_1-\alpha\right) \left(x_1+\beta\right) \cdots(2)
माना x_1>\alpha ,तब (2) से हम रखते हैं
x_1^2-x_1-k>0 \\ \Rightarrow x_1+k<x_1^2 \\ \Rightarrow \sqrt{\left(x_1+k\right)}<x_1 \Rightarrow x_2<x_1
इस मामले में \left\langle x_n \right\rangle ह्रासमान अनुक्रम है।
जबकि x_n>0, \forall x \in N ,इसलिए \left\langle x_n \right\rangle द्वारा नीचे से परिबद्ध है।
इस प्रकार \left\langle x_n \right\rangle एकदिष्ट ह्रासमान अनुक्रम है और नीचे से परिबद्ध है तथा इस प्रकार \left\langle x_n \right\rangle अभिसारी है।
पुनः माना x_1<\alpha ,तब (2) से,हम रखते हैं:
x_1^2-x_1-k<0 \\ \Rightarrow x_1+k>x_1^2 \\ \Rightarrow \sqrt{x_1+k}>x_1 \\ \Rightarrow x_2>x_1
इस मामले में \left\langle x_n \right\rangle वर्धमान अनुक्रम है।
अब x_n^2=x_{n-1}+k < x_n+k \left[\because x_{n-1}< x_n\right]
i.e. x_n^2-x_n-k<0
या \left(x_n-\alpha\right)\left(x_n+\beta\right) < 0 [(1) से]
\left[\because x_n>0 \text { तथा } \beta>0 \Rightarrow x_n+\beta>0\right]
इस प्रकार इस मामले में x_n<\alpha \forall n \in N
इस प्रकार \left\langle x_n \right\rangle एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है और ऊपर से द्वारा परिबद्ध है और \left\langle x_n \right\rangle अभिसारी है।
इस प्रकार \left\langle x_n \right\rangle अभिसारी है यदि x_1 > या < \alpha
माना \lim x_n=l
अब \left(x_n-\alpha\right) \left(x_n+\beta\right)=x_n^2-x_n-k \\ =\left(x_{n-1}+k\right)-x_n-k \\ =x_{n-1}-x_n
सीमा लेने पर,हम पाते हैं
(l-\alpha) \cdot(l+\beta)=l-l=0 \\ \Rightarrow l=\alpha, l=-\beta
अनुक्रम \left\langle x_n \right\rangle के सभी पद धनात्मक है,अतः इसकी सीमा ऋणात्मक नहीं है।इसलिए हम l =-\beta नहीं रख सकते है।इसलिए हमें रखना चाहिए l=\alpha
x_1=\alpha तब (2) से,हम रखते हैंः
x_1^2-x_1-k=0 \\ \Rightarrow x_2=\sqrt{\left(x_1+k\right)}=x_1 \\ x_n^2-x_{n-1}^2=x_{n-1}-x_{n-2}
निरीक्षण से x_3=x_2, x_4=x_3, x_5=x_4 और इसी प्रकार आगे
इस मामले में x_n=x ;=\alpha, \forall x \in N
इस मामले में \left\langle x_n \right\rangle , \alpha अनुक्रम को अभिसृत होता है।
अतः सभी मामलों में \left\langle x_n \right\rangle , \alpha को अभिसृत होता है जो कि समीकरण x^2-x-k=0 का धनात्मक मूल है।
Illustration:12.सिद्ध कीजिए कि \left\{x_n\right\} अनुक्रम अभिसारी है,जहाँ
(Prove that the sequence \left\{x_n\right\} is convergent,where x_n=2-\frac{1}{2^{n-1}} .)
Solution: x_n=2-\frac{1}{2^{n-1}} \\ x_{n+1}-x_n=\left(2-\frac{1}{2^n}\right)-\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right) \\ =\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2 n}>0, \forall n \in N
अतः अनुक्रम \left\langle x_n \right\rangle एकदिष्ट वर्धमान है।
x_n=2-\frac{1}{2^{n-1}}<2 \quad \forall n \in N\left[\because \frac{1}{2^{n-1}}>0\right]
\therefore \left\langle x_n \right\rangle ऊपर से परिबद्ध है।
\left\langle x_n \right\rangle ऊपर से परिबद्ध है,एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है,अतः यह अभिसृत होता हैः
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{2 n-1}\right)=2
Illustration:13.एक अनुक्रम \left\{x_n\right\} के l को अभिसृत होने की आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त है कि अनुक्रम परिबद्ध है तथा सीमा बिन्दु अद्वितीय है।यह भी सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक \varepsilon > 0 के संगत एक ऐसा धनात्मक पूर्णांक n_0 विद्यमान \left|x_n-l\right|<\varepsilon है कि जबकि n>n_0
(The necessary and sufficient condition that a sequence \left\{x_n\right\} converges to l is that it is bounded and has a unique limit.)
Solution:उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध आवश्यक है:
माना कोई अनुक्रम है,l को अभिसृत होती है,तो हमें सिद्ध करना है कि
(i) \left\{x_n\right\} परिबद्ध है
(ii) \left\{x_n\right\} का अद्वितीय सीमा बिन्दु l है।
(i)चूँकि \left\{x_n\right\} एक अभिसारी अनुक्रम है।
अतः परिबद्ध अनुक्रम होगा।
(ii)यदि सम्भव हो,तो मान लो कि \left\{x_n\right\} के दो भिन्न सीमा बिन्दु l,जहाँ n > l हैं।
यदि \varepsilon=\frac{1}{3}(n-l) तो n-1=\frac{1}{2}+2 \varepsilon > l+\varepsilon
पुनः चूँकि \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=l \Rightarrow \varepsilon>0 ताकि \exists n_0 \in N \\ x_n \in (\xi-\varepsilon, \xi+\varepsilon) \forall n > n_0 \ldots(1)
\Rightarrow l का प्रत्येक प्रतिवेश \left\{x_n\right\} में के अनन्त अवयव है।
\Rightarrow l अनुक्रम \left\{x_n\right\} का सीमा बिन्दु है।
अब (1) सेः x_n >l+\varepsilon केवल n के परिमित मानों के लिए
\Rightarrow x_n< l-\varepsilon केवल n के परिमित मानों के लिए
\Rightarrow x_n \in(n-\xi, n+\xi) केवल n के परिमित मानों के लिए
\Rightarrow \left\{x_n\right\} का सीमा बिन्दु नहीं है।
अतः \left\{x_n\right\} का केवल एक सीमा बिन्दु l है।
प्रतिबन्ध पर्याप्त हैः
माना कि अनुक्रम \left\{x_n\right\} परिबद्ध है तथा इसका अद्वितीय सीमा बिन्दु l है।हमें सिद्ध करना है कि \left\{x_n\right\} अद्वितीय सीमा l को अभिसृत होती है।
माना कि कोई धनात्मक संख्या है जो (l-\varepsilon, l+\varepsilon), l का प्रतिवेश है।अब चूँकि l अनुक्रम \left\{x_n\right\} का अद्वितीय सीमा बिन्दु है अतः (l-\varepsilon, l+\varepsilon) में \left\{x_n\right\} के अनन्त बिन्दु है अर्थात् (l-\varepsilon, l+\varepsilon) में \left\{x_n\right\} के परिमित बिन्दु विद्यमान नहीं है फलतः x_n \not \in (l-\varepsilon, l+\varepsilon) बिन्दुओं के संगत n के केवल परिमित मान ही विद्यमान हैं।
माना कि n के ऐसे अपवादी मानों (exceptional values) का उच्चतम मान n_0 है,तो
x_n \in (l-\varepsilon, l+\varepsilon), \forall n >n_0 \\ \Rightarrow \left|x_n-l\right|<\varepsilon, \forall n > n_0
अब \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=l अथवा अनुक्रम \left\{x_n\right\} ,l को अभिसृत होती है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) को समझ सकते हैं।
3.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम के सवाल (Real Sequence in Real Analysiss Questions):
Real Sequences in Real Analysis
(1.)अनुक्रम \left\langle S_n \right\rangle का निम्नक और उच्चक ज्ञात करो जो परिभाषित है
(Find the infimum and supremum of the sequence \left\langle S_n \right\rangle defined by)
S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}
(2.)क्या निम्न परिभाषित अनुक्रम \left\langle S_n \right\rangle परिबद्ध है?
(Is the sequence \left\langle S_n \right\rangle defined as follows,bounded?)
S_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) को ठीक से समझ सकते हैं।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) को ठीक से समझ सकते हैं।
4.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Frequently Asked Questions Related to Real Sequences in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.अनुक्रम का परिसर से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Range of Sequence?):
उत्तर:अनुक्रम के अलग-अलग पदों का समुच्चय अनुक्रम का परिसर कहलाता है।
प्रश्न:2.अचर अनुक्रम किसे कहते हैं? (What is a Constant Sequence?):
उत्तर:एक अनुक्रम \left\{x_n\right\} जहाँ x_n=c \in R, \forall n \in N को अचर अनुक्रम कहते हैं।
प्रश्न:3.अनुक्रम पर टिप्पणी लिखो। (Write a Comment on the Sequence):
उत्तर:(1.)अनुक्रम का प्रान्त सदैव N होता है तथा अनुक्रम में अनन्त पद होते हैं।परन्तु अनुक्रम का परिसर सीमित भी हो सकता है।उदाहरणार्थ,अनुक्रम {1,-1,1,-1,…..} का परिसर {-1,1} है।
(2.)दो अनुक्रम \left\{x_n\right\} तथा \left\{y_n\right\} समान कहलाते हैं यदि x_n=y_n, \forall n \in N
प्रश्न:4.अनुक्रम का उच्चक व निम्नक किसे कहते हैं? (What Are the Supremum and Infimum of the Sequence?):
उत्तर:यदि अनुक्रम \left\{x_n\right\} परिबद्ध हो,तो अनुक्रम के उपरि परिबन्धों का न्यूनतम मान इसका उच्चक (Supremum or least upper bound (l.u.b.)) कहलाता है।इसी प्रकार निम्न-परिबन्धों का महत्तम मान इसका निम्नक (Infimum or greatest lower bound (g.l.b.)) कहलाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Real Sequences in Real Analysis
वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम
(Real Sequences in Real Analysis)
Real Sequences in Real Analysis
वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences in Real Analysis) के इस
आर्टिकल में वास्तविक अनुक्रम,अनुक्रम के अभिसारी होने की जाँच आदि पर आधारित
सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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