1.वास्तविक विश्लेषण में अवकलज के सवाल हल सहित (Derivatives Questions with Solution in Real Analysis):

Derivatives Questions with Solution in Real Analysis

वास्तविक विश्लेषण में अवकलज के सवाल हल सहित (Derivatives Questions with Solution in Real Analysis) के जरिए जानिए कि अवकलज क्या होता है और अवकलज कैसे ज्ञात किया जाता है।

2.अवकलज के सवाल हल सहित (Derivatives Questions with Solution):

इस पर “Derivatives in Real Analysis” आर्टिकल लिखा है।उसमें प्रारम्भिक जानकारी दी गई है,अतः उस आर्टिकल को पढ़ें।
Illustration:5.सिद्ध कीजिए कि निम्न फलन संतत है परन्तु अवकलनीय नहीं है:
(Prove that the following function are continuous but not differentiable):
Illustration:5(i). f(x)=\begin{cases}-x,&x\le0\\ x,&x>0 \end{cases}
Solution: f(x)=\begin{cases}-x,&x\le0\\ x,&x>0 \end{cases} \\ f(x)=-x \\ f(0)=0\\ f(0+0)=\underset{x \to 0^+}{\lim}f(0+h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(0+h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}h=0\\ f(0-0)=\underset{x \to 0^{-}}{\lim}f(0-h)\\=\underset{h \to 0}{\lim}\bigl(-(0-h)\bigr)\\ \Rightarrow f(0-0) =\underset{h \to 0}{\lim}h=0\\ \therefore\ f(0+0)=f(0-0)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
Rf'(0)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{(0+h)-0}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{h}{h}\\ =1\\ Lf'(0)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(0-h)-f(0)}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{h-0}{-h}\\ =-1 \\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{-(0-h)-0}{-h}\\ \Rightarrow\ Lf'(0)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{h}{-h}=-1\\ Rf'(0)\neq Lf'(0)
अतः फलन x=0 पर अवकलनीय नहीं है।
Illustration:5(ii). f(x)= \begin{cases} x^2-1,&x\ge1\\ 1-x,&x<1 \end{cases} (at) x=1 पर
Solution: f(x)= \begin{cases} x^2-1,&x\ge1\\ 1-x,&x<1 \end{cases} \\ f(1)=x^2=1^2-1=0\\ f(1+0)=\underset{x \to 1^{+}}{\lim}f(1+h) \\=\underset{h \to 0}{\lim}(1+h)^2-1\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(1+2h+h^2-1) \\=\underset{h \to 0}{\lim}(2h+h^2)\\ \Rightarrow\ f(1+0)=0\\ f(1-0)=\underset{x \to 1^{-}}{\lim}f(1-h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}[1-(1-h)]\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(1-1+h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}h=0\\ f(1+0)=f(1-0)=f(1)
अतः x=1 पर फलन संतत है।
Rf'(1)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{(1+h)^2-1-0}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{1+2h+h^2-1}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{h(2+h)}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(2+h)\\ \Rightarrow Rf'(1)=2\\ Lf'(1)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{1-(1-h)-0}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{h}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(-1)\\ \Rightarrow Lf'(1)=-1\\ Rf'(1)\neq Lf'(1)
अतः x=1 पर फलन अवकलनीय नहीं है।
Illustration:5(iii). f(x)=|x-1| ,(at) x=1 पर
Solution: f(x)=|x-1| ,(at) x=1 पर
f(1)=|1-1|=0\\ f(1+0)=\underset{x \to 1^+}{\lim}f(1+h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}|1+h-1|\\ =\underset{h \to 0}{\lim}|h|\\ \Rightarrow f(1+0)=0\\ f(1-0)=\underset{x \to 1^{-}}{\lim}f(1-h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}|1-h-1|\\ =\underset{h \to 0}{\lim}|-h|\\ \Rightarrow f(1-0)=0\\ f(1+0)=f(1-0)=f(1)
अतः फलन x=1 पर संतत है।
Rf'(1)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{|1+h-1|-|1-1|}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{h-0}{h}\\ \Rightarrow Rf'(1)=1\\ Lf'(1)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{|1-h-1|-|1-1|}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{h-0}{-h}\\ \Rightarrow Lf'(1)=-1 \\ Rf'(1)\neq Lf'(1)
अतः फलन x=1 पर अवकलनीय नहीं है।
Illustration:5(iv). f(x)=|x-1|+|x| ,(at) x=0,1 पर
Solution: f(x)=|x-1|+|x|\\ f(0)=|0-1|+|0|=1\\ f(0+0)=\underset{x \to 0^+}{\lim}f(0+h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}|0+h-1|+|0+h|\\ =\underset{h \to 0}{\lim}|1-h|+|h|\\ =\underset{h \to 0}{\lim}1-h+h\\ \Rightarrow f(0+0) =1\\ f(0-0)=\underset{x \to 0^-}{\lim}f(0-h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}|-h-1|+|-h|\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(1+h+h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(1+2h)\\ \Rightarrow f(0-0) =1\\ f(0+0)=f(0-0)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
If x<0 , then |x|=-x
and |x-1|=|1-x|=1-x
If 0< x \leq 1 then |x|=x
and |x-1|=|1-x|=1-x
and if x >1 , then |x|=x and |x-1|=x-1
Rf'(0)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{1-1}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{0}{h}\\ \Rightarrow Rf'(0) =0\\ Lf'(0)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(0-h)-f(0)}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{1-2(0-h)-1}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{1+2h-1}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{2h}{-h}\\ \Rightarrow Lf'(0)=-2\\ Rf'(0)\neq Lf'(0)
अतः फलन x=0 पर अवकलनीय नहीं है।
f(1)=1
R.H.L. f(1+0)=\underset{x \to 1^+}{\lim}f(1+h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}[2(1+h)-1]\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(2+2h-1)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(1+2h)\\ \Rightarrow f(1+0)=1
L.H.L. f(1-0)=\underset{x \to 1^-}{\lim}f(1-h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(1)\\ \Rightarrow f(1-0)=1\\ f(1+0)=f(1-0)=f(1)
अतः फलन x=1 पर संतत है।
Rf'(1)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{2(1+h)-1-1}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{2+2h-1-1}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{2h}{h}\\ \Rightarrow Rf'(1)=2 \\ Lf'(1)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \\=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{1-1}{-h}=0\\ \Rightarrow Lf'(1)=0 \\ Rf'(1) \neq Lf'(1)
अतः फलन x=1 पर अवकलनीय नहीं है।

Derivatives Questions with Solution in Real Analysis

Illustration:6.निम्न फलनों की सांतत्यता तथा अवकलनीयता की जाँच कीजिए:
(Test the following functions for continuity and differentiability):
Illustration:6(i). f(x)= \begin{cases} 1+x,& x\leq 0\\ x,& 0< x < 1\\ 2-x, & 1\leq x\le2\\ 3-x^2,& x >2 \end{cases} at x=0,1,2 पर
Solution: f(x)= \begin{cases} 1+x,& x\leq 0\\ x,& 0< x < 1\\ 2-x, & 1\leq x\le2\\ 3-x^2,& x >2 \end{cases} \\ f(0)=1+x \\ \Rightarrow f(0)=1+0=1\\ f(0+0)=\underset{x \to 0^{+}}{\lim}(0+h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}h=0 \\ \Rightarrow f(0+0)=0\\ f(0-0)=\underset{x \to 0^{-}}{\lim}\{1+(0-h)\}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(1-h) \\ \Rightarrow f(0-0)=1\\ f(0+0)\neq f(0-0)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत नहीं है।
अतः फलन अवकलनीय भी नहीं होगा क्योंकि जो फलन संतत नहीं है वह अवकलनीय भी नहीं होता है।
f(1)=2-x \\ \Rightarrow f(1)=2-1=1\\ f(1+0)=\underset{x \to 1^{+}}{\lim}f(1+h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}[2-(1+h)]\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(2-1-h)\\ \Rightarrow f(1+0)=1\\ f(1-0)=\underset{x \to 1^{-}}{\lim}f(1-h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(1-h)\\ \Rightarrow f(1-0)=1\\ \\ f(1+0)=f(1-0)=f(1)
अतः फलन x=1 पर संतत है।
Rf'(1)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{2-(1+h)-1}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{-h}{h}\\ \Rightarrow Rf'(1)=-1\\ Lf'(1)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{1-h-1}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{-h}{-h}\\ \Rightarrow Lf'(1) =1
अतः Rf'(1)\neq Lf'(1)
अतः फलन x=1 पर अवकलनीय नहीं है।
f(2)=2-x=2-2=0\\ f(2+0)=\underset{x \to 0^{+}}{\lim}f(2+h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\left[3(2+h)-(2+h)^2\right]\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\left(6+6h-4-4h-h^2\right)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\left(2+2h-h^2\right)\\ \Rightarrow f(2+0)=2 \\ f(2-0)=\underset{x \to 0^{-}}{\lim}f(2-h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}[2-(2-h)]\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(2-2+h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}h\\ \Rightarrow f(2-0)=0\\ f(2+0) \neq f(2-0)=f(2)
अतः फलन संतत नहीं है।फलतः फलन अवकलनीय भी नहीं होगा।
Illustration:6(ii). f(x)=\begin{cases} 1+\sin x,& 0< x< \frac{\pi}{2}\\ 2+\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)^2,& x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases} (at) x=\frac{\pi}{2} पर
Solution: f(x)=\begin{cases} 1+\sin x,& 0< x< \frac{\pi}{2}\\ 2+\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)^2,& x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases} (at) x=\frac{\pi}{2} पर
f(x)=2+\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)^2 \\ f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2+\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)^2=2\\ f\left(\dfrac{\pi}{2}+0\right)=\underset{h \to 0}{\lim}f \left(\dfrac{\pi}{2}+h\right)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\left[2+\left(\dfrac{\pi}{2}+h-\dfrac{\pi}{2}\right)^2\right]\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(2+h^2)\\ \Rightarrow f\left(\dfrac{\pi}{2}+0\right)=2 \\ f \left(\dfrac{\pi}{2}-0\right)=\underset{h \to 0}{\lim}f\left(\dfrac{\pi}{2}-h\right)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\left[1+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-h\right)\right]\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(1+\cos h)\\ =1+\cos0\\ \Rightarrow f \left(\dfrac{\pi}{2}-0\right)=2\\ f\left(\dfrac{\pi}{2}+0\right)=f\!\left(\dfrac{\pi}{2}-0\right)=f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)
अतः फलन x=\frac{\pi}{2} पर संतत है।
Rf'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f\left(\dfrac{\pi}{2}+h\right)-f\left(\dfrac{\pi}{2} \right)}{h} \\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{2+\left(\dfrac{\pi}{2}+h-\dfrac{\pi}{2}\right)^2-2}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{2+h^2-2}{h} \\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{h^2}{h}=\underset{h \to 0}{\lim}h\\ \Rightarrow\ Rf'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\\ Lf'\left(\frac{\pi}{2}\right)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f\!\left(\frac{\pi}{2}-h\right)-f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{\left[1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-h\right)\right]-2}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{1+\cos h-2}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{\cos h-1}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{-2\sin^2\frac{h}{2}}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{2\sin^2\frac{h}{2}}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\left(\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right)^2 \cdot h\\ =(1)^2\cdot0 \\ \Rightarrow\ Lf' \left(\frac{\pi}{2}\right)=0\\ Rf'\left(\frac{\pi}{2}\right)=Lf'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)
अतः फलन x=\frac{\pi}{2} पर अवकलनीय है।
Illustration:6(iii). f(x)=\begin{cases}x\tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right),&x \neq 0\\ 0,& x=0 \end{cases} (at) x=0 पर
Solution: f(x)=\begin{cases}x\tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right),&x \neq 0\\ 0,& x=0 \end{cases} \\ f(0)=0 \\ f(0+0)=\underset{x \to 0^+}{\lim}f(0+h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(0+h)\tan^{-1} \left(\frac{1}{0+h}\right)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}h\tan^{-1}\!\left(\frac{1}{h}\right)\\ =0\cdot\frac{\pi}{2}\\ \Rightarrow f(0+0)=0\\ f(0-0)=\underset{x \to 0^-}{\lim}f(0-h)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(0-h)\tan^{-1}\!\left(\frac{1}{0-h}\right)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(-h)\tan^{-1}\!\left(-\frac{1}{h}\right)\\ \Rightarrow f(0-0)=0\\ f(0+0)=f(0-0)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
Rf'(0)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} \\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{(0+h)\tan^{-1}\!\left(\frac{1}{0+h}\right)-0}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{h\tan^{-1}\!\left(\frac{1}{h}\right)}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\tan^{-1}\!\left(\frac{1}{h}\right)\\ \Rightarrow Rf'(0) =\frac{\pi}{2} \\ Lf'(0)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(0-h)-f(0)}{-h} \\=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{(-h)\tan^{-1}\left(-\frac{1}{h}\right)}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\tan^{-1}\!\left(-\frac{1}{h}\right)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}-\tan^{-1}\!\left(\frac1h\right)\\ \Rightarrow Lf'(0)=-\frac{\pi}{2}\\ Rf'(0)\neq Lf'(0)
अतः फलन x=0 पर अवकलनीय नहीं है।
Illustration:6(iv). f(x)= \begin{cases} (x-a)\sin\frac{1}{x-a},& x \neq a\\ 0,&x=a \end{cases} (at) x=a पर
Solution: f(x)= \begin{cases} (x-a)\sin\frac{1}{x-a},& x \neq a\\ 0,&x=a \end{cases} \\ f(a+0)=\underset{x \to a^{+}}{\lim}f(a+h) , h >0\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(a+h-a)\sin\frac1{a+h-a}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}h\sin \left( \frac{1}{h} \right)=0\\ \Rightarrow f(a+0)=0
[ \because \underset{h \to 0}{\lim}h=0 and |\sin \frac{1}{h}| \leq 1 when h \neq 0]
f(a-0)=\underset{h \to 0}{\lim}f(a-h) , h >0 \\=\underset{h \to 0}{\lim}(a-h-a)\sin\frac1{a-h-a}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}(-h)\sin\!\left(-\frac1h\right)\\ =\underset{h \to 0}{\lim}h\sin\frac{1}{h}\\ =0 \\ \Rightarrow f(a-0)=0 \\ f(a+0)=f(a-0)=f(a)
अतः फलन x=a पर संतत है।
Rf'(a)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{(a+h-a)\sin\frac{1}{a+h-a}-0}{h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{h\sin\frac{1}{h}}{h}\\ \Rightarrow Rf'(a)=\underset{h \to 0}{\lim}\sin\frac{1}{h} \longrightarrow   does not exists
Lf'(a)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{(a-h-a)\sin\frac{1}{a-h-a}-0}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{(-h)\sin\left(-\frac1h\right)}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim}\frac{h\sin \left( \frac{1}{h} \right)}{-h}\\ =\underset{h \to 0}{\lim} \left( -\sin\frac{1}{h} \right) \longrightarrow does not exists
Rf'(1)\neq Lf'(1)
अतः x=a पर फलन अवकलनीय नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में अवकलज के सवाल हल सहित (Derivatives Questions with Solution in Real Analysis) को समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Continuity of Function of Two Variable

3.अवकलज की प्रैक्टिस प्रोब्लम्स (Practice Problems of Derivatives):

Derivatives Questions with Solution in Real Analysis

निम्न फलन की अवकलनीयता की जाँच कीजिए:
(Does the differential coefficient of the function exists at x=0 and x=1?)
(1.)f(x)=\begin{cases}-x,&x<0\\x^2+1,& 0\leq x\le1\\x^2-x+1,&x>1\end{cases}
(2.) f(x)=\begin{cases}\frac{x-1}{2x^2-7x+5},& x\neq 1\\-\frac{1}{3},&x=1\end{cases}
उत्तर (Answers):(1.) x=0 व x=1 पर अवकलनीय नहीं है।
(2.) f'(1)=-\frac{2}{9}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर यह टाॅपिक वास्तविक विश्लेषण में अवकलज के सवाल हल सहित (Derivatives Questions with Solution in Real Analysis) ठीक से समझ में आएगा।
\begin{array}{|l|} \hline \text{**छात्र-छात्राओं से आज का सवाल } \\ \text{(Today's Question to Students)} \\ \text{"9 और 12 का तिगुना कितना होगा?"} \\ \text{दिनांक 09.06.2026 के प्रश्न का उत्तर:25 दिन में} \\ \hline \end{array}
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4.वास्तविक विश्लेषण में अवकलज के सवाल हल सहित (Frequently Asked Questions Related to Derivatives Questions with Solution in Real Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न: