1.प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Conditional Trigonometrical Identities),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कक्षा 11 (Conditional Trigonometrical Identities Class 11):

Conditional Trigonometrical Identities

प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Conditional Trigonometrical Identities) के इस आर्टिकल में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाओं के अधीन कुछ त्रिकोणमितीय सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Conditional Trigonometrical Identities):

वस्तुनिष्ठ प्रश्न [1 से 10 तक]
Illustration:1.यदि ABCD चक्रीय चतुर्भुज हो तो:
(a) \sin (A+C)=1 (b)\sin (B+D)=-1 (c) \cos (A+C)=1 (d) \cos (B+D)=-1
Solution:चूँकि चक्रीय चतुर्भुज है अतः सम्मुख कोण सम्पूरक होंगे अर्थात्
A+C=B+D=180^{\circ} \\ \cos (A+C)=\cos (B+D)=\cos (180) \\ \Rightarrow \cos (A+C)=\cos (B+D)=-1
विकल्प (d) सही है।
Illustration:2.यदि A+C=180° तथा B+D=180° हो तो \sin A+\sin B-\sin C -\sin D का मान होगाः
(a) 2 (b) -1 (c) 0 (d) 1
Solution: A+C=180^{\circ} \\ \Rightarrow A=180^{\circ}-C \\ \Rightarrow \sin A=\sin \left(180^{\circ} -C\right) \\ \Rightarrow \sin A=\sin C \\ B+D=180^{\circ} \\ B=180^{\circ}-D \\ \sin B=\sin \left(180^{\circ}-\theta\right) \\ \sin B=\sin D \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने परः
\sin A+\sin B=+\sin C+\sin \theta \\ \Rightarrow \sin A+\sin B-\sin C-\sin D=0
विकल्प (c) सही है।
Illustration:3.यदि A+B=\frac{\pi}{4} हो,तो (1+\tan A)(1+\tan B) का मान होगाः
(a) 3 (b) 4 (c) 2 (d) 1
Solution: A+B=\frac{\pi}{4} \Rightarrow B=\frac{\pi}{4}-A \\ (1+\tan A)(1+\tan B) \\ =(1+\tan A)\left[1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-A\right)\right] \\ =(1+\tan A)\left[1+\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan A}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan A}\right] \\ =(1+\tan A)\left[1+\frac{1-\tan A}{1+\tan A}\right] \\ =(1+\tan A)\left(\frac{1+\tan A+1-\tan A}{1+\tan A}\right) \\ =2
विकल्प (c) सही है।
Illustration:4.यदि A+B+C=180° हो तो \cos A \operatorname{cosec} B \operatorname{cosec} C+\operatorname{cosec} A \cos B \operatorname{cosec} C +\operatorname{cosec} A \operatorname{cosec} B \cos C का मान होगा:
(a) 2 (b) -2 (c) 1 (d) -1
Solution: \cos A \operatorname{cosec} B \operatorname{cosec} C+\operatorname{cosec} A \cos B \operatorname{cosec} C +\operatorname{cosec} A \operatorname{cosec} B \cos C \\ =\frac{\cos A}{\sin B \sin C}+\frac{\cos B}{\sin A \sin C}+\frac{\cos C}{\sin A \sin B} \\ =\frac{\cos A \sin A}{\sin A \sin B \sin C}+\frac{\cos B \sin B}{\sin A \sin B \sin C}+\frac{\cos C \sin C}{\sin A \sin B \sin C} \\ =\frac{1}{\sin A \sin B \sin C}\left[ \cos A \sin A+\cos B \sin B+\cos C \sin C \right] \\ =\frac{1}{2 \sin A \sin B \sin C} \left[ 2 \cos A \sin A+ 2\cos B \sin B+2 \cos C \sin C \right] \\ =\frac{1}{2 \sin A \sin B \sin C}[\sin 2 A+\sin 2 B+2 \cos C \sin C] \\ =\frac{1}{2 \sin A \sin B \sin C}\left[2 \sin \left(\frac{2 A+2 B}{2}\right) \cos \left(\frac{2 A-2 B}{2}\right) +2 \cos C \sin C \right] \\ =\frac{1}{2 \sin A \sin B \sin C} \left[2 \sin (A+B) \cos (A-B)+2 \cos \left(180^{\circ}-\overline{A+B} \right) \sin C\right] \\ =\frac{1}{2 \sin A \sin B \sin C} \left[2 \sin (180-C) \cos (A-B) -2 \cos (A+B) \sin C\right] \\=\frac{1}{2 \sin A \sin B \sin C}\left[ 2 \sin C \cos (A-B)-2 \cos (A+B) \sin C \right] \\ =\frac{1}{2 \sin A \sin B \sin C} \cdot 2 \sin C[\cos (A-B)-\cos (A+B)] \\ =\frac{1}{\sin A \sin B} \cdot 2 \sin \left(\frac{A-B+A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A+B-A+B}{2}\right) \\ =\frac{2}{\sin A \sin B} \sin A \sin B \\ =2
विकल्प (a) सही है।
Illustration:5.यदि A+B+C=\frac{\pi}{2} हो तो \tan B \tan C+\tan C \tan A+\tan A \tan B का मान होगाः
(a) -1 (b) 1 (c) 2 (d) 3
Solution: \tan B \tan C+\tan C \tan A+\tan A \tan B \\ A+B+C=\frac{\pi}{2} \\ \tan (A+B+C)=\tan \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \frac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A \tan B \tan C }{1-\tan A \tan B-\tan B \tan C-\tan A \tan C}=\infty \\ \Rightarrow 1-\tan A \tan B-\tan B \tan C-\tan A \tan C=0 \\ \Rightarrow \tan A \tan B+\tan B \tan C+\tan A \tan C=1
विकल्प (b) सही है।
Illustration:6.यदि A+B+C=\pi हो तो \frac{\cot B+\cot C}{\tan B+\tan C}+\frac{\cot C+\cot A}{\tan C+\tan A}+\frac{\cot A+\cot B}{\tan A+\tan B} का मान होगाः
(a)-2 (b)-1 (c) 2 (d) 1
Solution: \frac{\cot B+\cot C}{\tan B+\tan C}+\frac{\cot C+\cot A}{\tan C+\tan A}+\frac{\cot A+\cot B}{\tan A+\tan B} \\ \frac{\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}}{\tan B+\tan C}+\frac{\frac{1}{\tan C}+\frac{1}{\tan A}}{\tan C+\tan A}+\frac{\frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B}}{\tan A+\tan B} \\ =\frac{\tan B+\tan C}{\tan B \tan C(\tan B+\tan C)}+\frac{\tan A+\tan C}{\tan A \tan C(\tan A+\tan C)} +\frac{\tan A+\tan B}{\tan A \tan B(\tan A+\tan B)} \\ =\frac{1}{\tan B \tan C}+\frac{1}{\tan A \tan C}+\frac{1}{\tan A \tan B} \\ =\frac{\tan A+\tan B+\tan C}{\tan A \tan B \tan C} \\ A+B+C=\pi \\ \Rightarrow \tan (A+B+C)=\tan \pi \\ \Rightarrow \frac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A \tan B \tan C}{1-\tan A \tan B-\tan B \tan C-\tan A \tan C}=0 \\ \Rightarrow \tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C \\ \frac{\tan A+\tan B+\tan C}{\tan A \tan B \tan C}=1
विकल्प (d) सही है।
Illustration:7.यदि A+B+C=\pi हो तो \frac{\sin ^2 A-\sin ^2 B+\sin ^2 C}{\sin ^2 A+\sin ^2 B-\sin ^2 C} का मान होगा:
(a) \cot B \tan C (b) \cot C \tan B (c)1+\tan A \tan B (d) 1+\cot A \cot B
Solution: \frac{\sin ^2 A-\sin ^2 B+\sin ^2 C}{\sin ^2 A+\sin ^2 B-\sin ^2 C} \\ =\frac{\sin (A+B) \sin (A-B)+\sin ^2 C}{\sin ^2 A+\sin (B+C) \sin (B-C)} \left[\because \sin ^2 A-\sin ^2 B=\sin (A+B) \sin (A-B)\right] \\ =\frac{\sin \left(180^{\circ}-C\right) \sin (A-B)+\sin ^2 C}{\sin ^2 A+\sin \left(180^{\circ}-A\right) \sin (B-C)} \\ =\frac{\sin C \sin (A-B)+\sin ^2 C}{\sin ^2 A+\sin A \sin (B-C)} \\ =\frac{\sin C[\sin (A-B)+\sin C]}{\sin A[\sin A+\sin (B-C)]} \\ =\frac{\sin C\left[\sin (A-B)+\sin \left(180^{\circ}-\overline{A+B}\right)\right]}{\sin A\left[\sin \left(180^{\circ}-\overline{B+C}\right)+\sin (B-C)\right]} \\ =\frac{\sin C}{\sin A} \cdot\left[\frac{\sin (A-B)+\sin (A+B)}{\sin (B+C)+\sin (B-C)}\right] \\ =\frac{\sin C}{\sin A} \cdot \frac{2 \sin \left(\frac{A+B+A-B}{2}\right) \cos \left(\frac{A+B-A+B}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{B+C+B-C}{2}\right) \cos \left(\frac{B+C-B+C}{2}\right)} \\ =\frac{\sin C}{\sin A} \cdot \frac{\sin A \cos B}{\sin B \cos C} \\ =\cot B \tan C
विकल्प (a) सही है।

Conditional Trigonometrical Identities

Illustration:8.यदि A+B+C=\frac{\pi}{2} हो तो \cot A+\cot B+\cot C का मान होगाः
(a)\frac{1}{\tan A+\tan B+\tan C} (b) \tan A \tan B \tan C
(c)4 \sin A \sin B \cos C (d) \cot A \cot B \cot C
Solution: \cos A+\cot B+\cot C\\ =\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C} \\ =\left(\frac{\cos A \sin B+\sin A \cos B}{\sin A \sin B}\right)+\frac{\cos C}{\sin C} \\=\frac{\sin (A+B)}{\sin A \sin B}+\frac{\cos C}{\sin C} \\=\frac{\sin \left(90^{\circ}-C\right)}{\sin A \sin B}+\frac{\cos C}{\sin C} \\=\frac{\cos C}{\sin A \sin B}+\frac{\cos C}{\sin C} \\ =\cos C\left[\frac{\sin C+\sin A \sin B}{\sin A \sin B \sin C}\right] \\ =\cos C\left[\frac{\sin \left(90^{\circ}-\overline{A+B}\right)+\sin A \sin B}{\sin A \sin B \sin C}\right] \\ =\cos C\left(\frac{\cos (A+B)+\sin A \sin B}{\sin A \sin B \sin C}\right) \\ =\cos C \frac{\cos A \cos B-\sin A \sin B+\sin A \sin B}{\sin A \sin B \sin C} \\ =\frac{\cos A \cos B \cos C}{\sin A \sin B \sin C} \\ =\cot A \cot B \cot C
विकल्प (d) सही है।
Illustration:9.यदि A+B+C=\pi हो तो (\cot B+\cot C)(\cot C+\cot A)(\cot A+\cot B) का मान होगाः
(a) \tan A \tan B \tan C (b) \cot A \cot B \cot C
(c) \operatorname{cosec} A \operatorname{cosec} B \operatorname{cosec} C (d) \sec A \sec B \sec C
Solution: (\cot B+\cot C)(\cot C+\cot A) (\cot A+\cot B) \\ =\left(\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}\right)\left(\frac{\cos C}{\sin C}+\frac{\cos A}{\sin A}\right) \left(\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}\right) \\ =\left(\frac{\cos B \sin C+\cos C \sin B}{\sin B \sin C}\right)\left(\frac{\cos C \sin A+\cos A \sin C}{\sin A \sin C}\right) \left(\frac{\cos A \sin B+\sin A \cos B}{\sin A \sin B}\right) \\ =\frac{\sin (B+C)}{\sin B \sin C} \cdot \frac{\sin (A+C)}{\sin A \sin C} \cdot \frac{\sin (A+B)}{\sin A \sin B} \\ =\frac{\sin (\pi-A) \cdot \sin (\pi-B) \cdot \sin (\pi-C)}{\sin^2 A \sin ^2 B \sin ^2 C} \\ =\frac{\sin A \sin B \sin C}{\sin^2 A \sin ^2 B \sin ^2 C} \\ =\operatorname{cosec} A \operatorname{cosec} B \operatorname{cosec} C
विकल्प (c) सही है।
Illustration:10.यदि A+B+C=2 \pi हो तो \tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2} का मान होगाः
(a) \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} (b)\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}
(c)-\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} (d)-\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}
Solution: A+B+C=2 \pi\\ \Rightarrow \frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\pi \\ \tan \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=\tan \pi \\ \frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}-\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}}{1-\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}-\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}-\tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2}} \\ \Rightarrow \tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}=\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}
विकल्प (b) सही है।
यदि A+B+C=180° या हो तो सिद्ध कीजिए: [प्रश्न:11 से 17]
Illustration:11. \sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C =4 \sin A \sin B \sin C
Solution: \sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C =4 \sin A \sin B \sin C \\ \text { L.H.S. } \sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C \\ 2 \sin \left(\frac{2 A+2 B}{2}\right) \cos \left(\frac{2 A-2 B}{2}\right)+2 \sin C \cos C \\ =2 \sin (A+B) \cos (A-B)+2 \sin C \cos C \\ =2 \sin \left(180^{\circ}-C\right) \cos (A-B)+2 \sin C \cos C \\ =2 \sin C \cos (A-B)+2 \sin C \cos C \\ =2 \sin C\left[\cos (A-B)+\cos \left(180^{\circ}-\overline{A+B}\right)\right] \\ =2 \sin C[\cos (A-B)-\cos (A+B)]\\ =2 \sin C \cdot 2 \sin \left(\frac{A-B+A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A+B-A+B}{2}\right) \\ =4 \sin C \sin A \sin B \\ =4 \sin A \sin B \sin C=\text { R.H.S }
Illustration:12. \cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C =-1-4 \cos A \cos B \cos C
Solution: \cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C=-1-4 \cos A \cos B \cos C \\ \text{L.H.S. } \cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C \\  \left[\cos A+\cos B=2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \text { सूत्र से } \right] \\ =2 \cos (A+B) \cos (A-B)+2 \cos ^2 C-1 \\ =-1+2 \cos \left(180^{\circ}-C\right) \cos (A-B)+2 \cos ^2 C \\ =-1-2 \cos C \cos (A-B)+2 \cos ^2 C \\ =-1-2 \cos C[\cos (A-B)-\cos C] \\ =-1-2 \cos C \left[\cos (A-B)-\cos \left(180^{\circ}-\overline{A+B}\right)\right] \\ =-1-2 \cos C[\cos (A-B)+\cos (A+B)] \\ =-1-2 \cos C \cdot 2 \cos \left(\frac{A-B+A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A+B-A+B}{2}\right) \\ =-1-4 \cos C \cos A \cos B \\ =-1-4 \cos A \cos B \cos C
Illustration:13. \sin 2 A+\sin 2 B-\sin 2 C =4 \cos A \cos B \sin C
Solution: \sin 2 A+\sin 2 B-\sin 2 C =4 \cos A \cos B \sin C\\ \text { L.H.S. } \sin 2 A+\sin 2 B-\sin 2 C \\ =2 \sin \left(\frac{2 A+2 B}{2}\right) \cos \left(\frac{2 A-2 B}{2}\right)-\sin 2 C \\ =2 \sin (A+B) \cos (A-B)-2 \sin C \cos C \\ =2 \sin \left(180^{\circ}-C\right) \cos (A-B)-2 \sin C \cos C \\ =2 \sin C \cos (A-B)-2 \sin C \cos C \\ =2 \sin C \left[\cos (A-B)-\cos C\right] \\=2 \sin C\left[\cos (A-B)-\cos \left(180^{\circ}-\overline{A+B}\right)\right] \\ =2 \sin C[\cos (A-B)+\cos (A+B)] \\ =2 \sin C \cdot 2 \cos \left(\frac{A-B+A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A+B-A+B}{2}\right) \\ =4 \sin C \cos A \cos B \\ =4 \cos A \cos B \sin C=\text { R.H.S. }
Illustration:14. \cos 2 A+\cos 2 B-\cos 2 C=1-4 \sin A \sin B \cos C
Solution: \cos 2 A+\cos 2 B-\cos 2 C=1-4 \sin A \sin B \cos C \\ \text { L.H.S. } \cos 2 A+\cos 2 B-\cos 2 C \\ =2 \cos \left(\frac{2 A+2 B}{2}\right) \cos \left(\frac{2 A-2 B}{2}\right)-\cos 2 C \\ \left[\because \cos A+\cos B=2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \text{सूत्र से}\right] \\ =2 \cos (A+B) \cos (A-B)-\left(2 \cos ^2 C-1\right) \\ =2 \cos \left(180^{\circ}-C\right) \cos (A-B)-2 \cos ^2 C+1 \\ =-2 \cos C \cos (A-B)-2 \cos ^2 C+1 \\ =1-2 \cos C [\cos (A-B)+\cos C]\\ =1-2 \cos C\left[\cos (A-B)+\cos \left(180^{\circ}-\overline{A+B}\right)\right] \\ =1-2 \cos C[\cos (A-B)-\cos (A+B)] \\ =1-2 \cos C \cdot 2 \sin \left(\frac{A-B+A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A+B-A+B}{2}\right) \\ =1-4 \cos C \sin A \sin B \\ =1-4 \sin A \sin B \cos C=\text { R.H.S. }
Illustration:15. \sin A-\sin B+\sin C= 4 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}
Solution: \sin A-\sin B+\sin C=4 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \\ \text{L.H.S. } \sin A-\sin B+\sin C 2 \cdot \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin C \\ =2 \cos \left(90^{\circ}-\frac{C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)+2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} \\ =2 \sin \frac{C}{2} \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)+2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} \\ =2 \sin \frac{C}{2}\left[\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos \frac{C}{2}\right] \\ =2 \sin \frac{C}{2}\left[\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos \left(90^{\circ}-\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ =2 \sin \frac{C}{2}\left[\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ =2 \sin \frac{C}{2} \cdot 2 \sin \left(\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\right) \sin \left(\frac{\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}}{2}\right) \\ =4 \sin \frac{C}{2} \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \\ =4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}
Illustration:16. \cos A+\cos B-\cos C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}-1
Solution: \cos A+\cos B-\cos C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}-1 \\ \text{L.H.S. } \cos A+\cos B-\cos C \\ 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\cos C\\ \left[\cos A+\cos B=2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \text{सूत्र से} \right] \\ =2 \cos \left(90^{\circ}-\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\left(1-2 \sin ^2 \frac{C}{2}\right) \\ \left[\because A+B+C=180^{\circ}, \therefore \frac{A+B+C}{2}=90^{\circ}\right] \\ 2 \sin \frac{C}{2} \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-1+2 \sin ^2 \frac{C}{2} \\ =-1+2 \sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin \frac{C}{2}\right] \\ =-1+2 \sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin \left(90^{\circ}-\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ =-1+2 \sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ =-1+2 \sin \frac{C}{2}\left[2 \cos \left(\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}}{2}\right)\right] \\ =-1+2 \sin \frac{C}{2} \cdot 2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \\ =-1+4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}=\text { R.H.S. }
Illustration:17. \cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2}=4 \cos \left(\frac{\pi-A}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi-B}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi-C}{4}\right)
Solution: \cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2}=4 \cos \left(\frac{\pi-A}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi-B}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi-C}{4}\right) \\ \text { L.H.S. } \cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2} \\ =2 \cos \left(\frac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{A}{2}-\frac{B}{2}}{2}\right)+\cos \frac{C}{2} \\ =2 \cos \left(\frac{A+B}{4}\right) \cos \left(\frac{A-B}{4}\right)+\cos \frac{C}{2} \\ =2 \cos \left(\frac{\pi-C}{4}\right) \cos \left(\frac{A-B}{4}\right)+\sin \left(90-\frac{C}{2}\right) \\ =2 \cos \left(\frac{\pi-C}{4}\right) \cos \left(\frac{A-B}{4}\right)+2 \sin \left(\frac{\pi-C}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi-C}{4}\right) \\ =2 \cos \left(\frac{\pi-C}{4}\right)\left[\cos \left(\frac{A-B}{4}\right)+\sin \left(\frac{\pi-C}{4}\right)\right] \\ =2 \cos \left(\frac{\pi-C}{4}\right)\left[\cos \left(\frac{A-B}{4}\right)+\sin \left(\frac{A+B}{4}\right)\right] \\ =2 \cos \left(\frac{\pi-C}{4}\right)\left[\cos \left(\frac{A-B}{4}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{4}\right)\right] \\ =2 \cos \left(\frac{\pi-C}{4}\right) 2 \cos \left(\frac{\frac{A-B}{4}+\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{4}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{A-B}{4}-\frac{\pi}{2}+\frac{A+B}{4}}{2}\right) \\ =4 \cos \left(\frac{\pi-C}{4}\right) \cos \left(\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{A}{2}-\frac{\pi}{2}}{2}\right) \\ =4 \cos \left(\frac{\pi-A}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi-B}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi-C}{4}\right) =\text { R.H.S. }
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Conditional Trigonometrical Identities),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कक्षा 11 (Conditional Trigonometrical Identities Class 11) को समझ सकते हैं।

3.प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं पर आधारित सवाल (Questions Based on Conditional Trigonometrical Identities):

Conditional Trigonometrical Identities

(1.)यदि A+B+C=180° हो तो सिद्ध कीजिए:
\sin A+\sin B+\sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}
(2.)यदि A+B+C=180° हो तो सिद्ध कीजिएः
\cos A+\cos B+\cos C=1+4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Conditional Trigonometrical Identities),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कक्षा 11 (Conditional Trigonometrical Identities Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Frequently Asked Questions Related to Conditional Trigonometrical Identities),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कक्षा 11 (Conditional Trigonometrical Identities Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Conditional Trigonometrical Identities) के इस
आर्टिकल में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाओं के अधीन कुछ त्रिकोणमितीय सवालों को हल करके
समझने का प्रयास करेंगे।