MCQ Type Examples of Real Numbers
1.वास्तविक संख्याओं के MCQ टाइप उदाहरण का परिचय (Introduction to MCQ Type Examples of Real Numbers),MCQ टाइप सवाल (MCQ Type Questions):
वास्तविक संख्याओं के MCQ टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Real Numbers) के इस आर्टिकल में यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से HCF,गुणनखण्ड विधि से LCM व HCF के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वास्तविक संख्याओं के MCQ टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Real Numbers):
Example:1.196 के अभाज्य गुणनखण्डों की घातों का योगफल हैः
(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 6
Solution: 196=2^2 \times 7^2
घातों का योग=2+2=4
अतः विकल्प (C) सही है।
Example:2.दो संख्याओं तथा के रूप में लिखा जाये तब m,n का महत्तम समापवर्तक बताइए जब p व q अभाज्य संख्याएँ हैं।
(a) p q (b) pq^2 (c) p^2 q^2 (d) p^3 q^3
Solution: m=p q^3, n=p^3 q^2
m,n के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड=p q^2
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:3.95 तथा 152 का महत्तम समापवर्तक (HCF) हैः
(a) 1 (b) 19 (c) 37 (d) 38
Solution: 95=5 \times 19,152=2^3 \times 19
HCF=19
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:4.दो संख्याओं का गुणनफल 1080 है उनका महत्तम समापवर्तक 30 है तो उनका लघुत्तम समापवर्तक हैः
(a) 5 (b) 16 (c)36 (d) 108
Solution: LCM=\frac{\text{संख्याओं का गुणनफल}}{\text{HCF}}
LCM=\frac{1080}{30}=36
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:5.संख्या \frac{441}{2^2 \times 5^7 \times 7^2} का दशमलव प्रसार होगा:
(a)सांत (b) सांत आवर्ती (c)सांत एवं असांत दोनों (d)संख्या,परिमेय संख्या नहीं है।
Solution: \frac{441}{2^2 \times 5^2 \times 7^2}=\frac{3^2 \times 7^2}{2^2 \times 5^7 \times 7^2} \\ =\frac{3^2}{2^2 \times 5^7}
हर 2^m \times 5^n के रूप का है,अतः सांत है।
फलतः विकल्प (a) सही है।
Example:6.परिमेय संख्या \frac{43}{2^2 \times 5^3} के दशमलव प्रसार का दशमलव के कितने अंकों के पश्चात अन्त होगा?
(a) एक (b) दो (c) तीन (d) चार
Solution: \frac{43}{2^2 \times 5^3}=\frac{43 \times 2}{2^3 \times 5^3}=\frac{86}{1000} \\ =0.086
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:7.सबसे न्यूनतम संख्या जिससे \sqrt{27} को गुणा करने पर एक प्राकृत संख्या प्राप्त होती है,होगीः
(a) 3 (b) \sqrt{3} (c) 9 (d) 3 \sqrt{3}
Solution: \sqrt{27}=\sqrt{3 \times 3 \times 3}=3 \sqrt{3}
प्राकृत संख्या प्राप्त करने के लिए
3 \sqrt{3} \times \sqrt{3}=9
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:8.यदि दो परिमेय संख्याओं के लिए HCF=LCM,तो संख्याएँ होनी चाहिएः
(a)भाज्य (b) समान (c) अभाज्य (d)सह अभाज्य
Solution:LCM×HCF=संख्याओं का गुणनफल
HCF=LCM तभी सम्भव है जब दोनों संख्याएँ समान हो।
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:9.यदि a तथा 18 का LCM 36 है तथा a और 18 का HCF 2 है,तो a का मान होगा:
(a) 1 (b) 2 (c) 5 (d) 4
Solution:LCM×HCF=संख्याओं का गुणनफल
36 \times 2=a \times 18 \\ \Rightarrow a=\frac{36 \times 2}{18}=4
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:10.यदि n एक प्राकृत संख्या है,तो 6^n-5^n में इकाई का अंक है:
(a)1 (b) 6 (c)5 (d) 9
Solution: 6^n में इकाई का अंक सदैव=6
5^n में इकाई का अंक सदैव=5
अतः 6^n-5^n में इकाई का अंक 6-5=1
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:11.सबसे छोटी अभाज्य संख्या है:
(a) 5 (b) 4 (c)3 (d) 2
Solution:विकल्प (d) सही है।
Example:12.यूक्लिकड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार दो धनात्मक पूर्णांक a तथा b के लिए ऐसी अद्वितीय पूर्णांक संख्याएँ p व q होती हैं कि a=bq+r जहाँ r \to
(a) 0<r \leq b (b) 1< r< b (c) 0< r< b (d) 0 \leq r< b
Solution:विकल्प (d) सही है।
Example:13.वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं?
(a) केवल परिमेय संख्याएँ (b) केवल अपरिमेय संख्याएँ (c) परिमेय एवं अपरिमेय संख्याएँ (d) उपर्युक्त में से कोई नहीं
Solution:विकल्प (c) सही है।
Example:14.1.23 हैः
(a) एक पूर्णांक (b) एक अपरिमेय संख्या (c) एक परिमेय संख्या (d) उपर्युक्त में से कोई नहीं
Solution:विकल्प (c) सही है।
Example:15.एक ऐसी संख्या जिसके 1 और स्वयं के अतिरिक्त कोई गुणनखण्ड नहीं हो,कहलाती हैः
(a) भाज्य संख्या (b) अभाज्य संख्या (c) सम संख्या (d) विषम संख्या
Solution:विकल्प (c) सही है।
Example:16.एक परिमेय व अपरिमेय योग या अन्तर कौन-सी संख्या होती है?
(a) परिमेय संख्या (b) अपरिमेय संख्या (c) पूर्ण संख्या (d) प्राकृत संख्या
Solution:अतः विकल्प (b) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा वास्तविक संख्याओं के MCQ टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Real Numbers),MCQ टाइप सवाल (MCQ Type Questions) को समझ सकते हैं।
3.वास्तविक संख्याओं के मुख्य बिन्दु (Key Points of Real Numbers):
(1.)यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (कलन विधि):
यह पूर्णांकों की विभाज्यता से सम्बन्धित है।इस एल्गोरिथ्म के अनुसार एक धनात्मक पूर्णांक a और b दिए होने पर हम a=b q+r, 0 \leq r< b को सन्तुष्ट करने वाली पूर्ण संख्याएँ q और r ज्ञात की जा सकती है।
(2.)यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका:
समतल ज्यामिति के अध्ययन हेतु नई विचारधारा को सर्वप्रथम यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने रखा जिसमें से एक यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका है।यूक्लिड के अनुसार एक धनात्मक पूर्णांक a को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर भागफल q और शेषफल r प्राप्त होता है तथा शेषफल r या तो शून्य होता है या भाजक b से छोटा होता है।अर्थात् 0 \leq r< b होता है।
सरल शब्दों में
भाज्य (a)=भाजक (b)×भागफल (q)+शेषफल (r)
(3.)HCF ज्ञात करना:
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका पर आधारित है।इसका प्रयोग कर दो धनात्मक पूर्णांकों a व b(a > b) का HCF निम्न पदों में ज्ञात कर सकते हैं:
पद (Step):I.q और r ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका को प्रयुक्त करते हैं जहाँ a=b q+r, 0 \leq r< b है।
पद (Step):II.यदि r=0 है तो HCF=b है।यदि r \neq 0 है तो b और r पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं।
पद (Step):III.यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि शेषफल शून्य प्राप्त नहीं होता।इस स्थिति वाला भाजक ही HCF (a,b) है।HCF (a,b)=HCF (b,r)
(4.)विशेषताएँ:
(i)यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म बड़ी संख्याओं के HCF परिकलित करने के साथ कम्प्यूटर में एक प्रोग्राम के रूप में प्रयुक्त होने का भी महत्त्व रखता है।
(ii)यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका को ही यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म कहते हैं।
(iii)यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका व एल्गोरिथ्म यद्यपि केवल धनात्मक पूर्णांक के लिए है,लेकिन इसे सभी पूर्णांकों (शून्य को छोड़कर अर्थात् b \neq 0 ) के लिए लागू किया जा सकता है।
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4.वास्तविक संख्याओं के MCQ टाइप उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to MCQ Type Examples of Real Numbers),MCQ टाइप सवाल (MCQ Type Questions) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.परिमेय संख्याओं के उदाहरण दीजिए। (Give Examples of Irrational Numbers):
उत्तर: \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} आदि।
प्रश्न:2.दो संख्याओं के LCM और HCF के उपसम्बन्ध बताइए। (Find the Subrelation Between LCM and HCF of Two Numbers):
उत्तर: (1.) HCF =\frac{a \times b}{LCM}
(2.) LCM=\frac{a \times b}{HCF}
(3.) a=\frac{H C F \times L C M}{b}
(4.) b=\frac{H C F \times L C M}{a}
प्रश्न:3.यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म लिखिए। (Write the Euclid Division Algorithm):
उत्तर:एक धनात्मक पूर्णांक a को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक b से इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है कि शेषफल r प्राप्त हो,जो b से कम (छोटा) है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वास्तविक संख्याओं के MCQ टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Real Numbers),MCQ टाइप सवाल (MCQ Type Questions) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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वास्तविक संख्याओं के MCQ टाइप उदाहरण
(MCQ Type Examples of Real Numbers)
MCQ Type Examples of Real Numbers
वास्तविक संख्याओं के MCQ टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Real Numbers) के
इस आर्टिकल में यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से HCF,गुणनखण्ड विधि से LCM व HCF के
सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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Satyam
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