1.द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Imp Illustration of Quadratic Equation),द्विघात समीकरण कक्षा 10 (Quadratic Equation Class 10):

Imp Illustration of Quadratic Equation

द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Illustration of Quadratic Equation) के इस आर्टिकल में शुद्ध द्विघात समीकरण पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Illustration of Quadratic Equation):

निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के हल ज्ञात कीजिए:
Illustration:1. 2 x^2-18=0
Solution: 2 x^2-18=0 \\ \Rightarrow 2 x^2=18 \\ \Rightarrow x^2=\frac{18}{2} \\ \Rightarrow x^2=9 \\ \Rightarrow x= \pm 3
Illustration:2. x^2-36=0
Solution: x^2-36=0 \\ \Rightarrow x^2=36 \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{36} \\ \Rightarrow x= \pm 6
Illustration:3. (2 x+3)^2-4=0
Solution: (2 x+3)^2-4=0 \\ \Rightarrow(2 x+3)^2=4 \\ \Rightarrow 2 x+3= \pm \sqrt{4} \\ \Rightarrow 2 x+3= \pm 2 \\ \Rightarrow 2 x+3=2,2 x+3=-2 \\ \Rightarrow 2 x=2-3,2 x=-2-3 \\ \Rightarrow x=-\frac{1}{2}, x=-\frac{5}{2} \\ \Rightarrow x=-\frac{1}{2},-\frac{5}{2}
Illustration:4. \frac{a}{x}=\frac{x}{a}
Solution: \frac{a}{x}=\frac{x}{a} \\ \Rightarrow x^2=a^2 \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{a^2} \\ \Rightarrow x= \pm a
Illustration:5. 3 x^2=36
Solution: 3 x^2=36 \\ \Rightarrow x^2=\frac{36}{3} \\ \Rightarrow x^2=12 \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{12} \\ \Rightarrow x= \pm 2 \sqrt{3}

Imp Illustration of Quadratic Equation

Illustration:6. 7 x^2-9=0
Solution: 7 x^2-9=0 \\ \Rightarrow 7 x^2=9 \\ \Rightarrow x^2=\frac{9}{7} \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{\frac{9}{7}} \\ \Rightarrow x= \pm \frac{3}{\sqrt{7}}
Illustration:7. \frac{9}{x^2-27}=\frac{25}{x^2-11}
Solution: \frac{9}{x^2-27}=\frac{25}{x^2-11} \\ \Rightarrow 25\left(x^2-27\right)=9\left(x^2-11\right) \\ \Rightarrow 25 x^2-675=9 x^2-99 \\ \Rightarrow 25 x^2-9 x^2=675-99 \\ \Rightarrow 16 x^2=576 \\ \Rightarrow x^2=576 \\ \Rightarrow x^2=36 \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{36} \\ \Rightarrow x= \pm 6
Illustration:8. \frac{11}{x-3}=4(x-3)
Solution: \frac{11}{x-3}=4(x-3) \\ \Rightarrow 4(x-3)^2=11 \\ \Rightarrow 4\left(x^2-6 x+9\right)=11 \\ \Rightarrow 4 x^2+24 x+36=11 \\ \Rightarrow 2 x^2-24 x+25=0 \\ \Rightarrow(x-3)^2=\frac{11}{4} \\ \Rightarrow x-3= \pm \sqrt{\frac{11}{4}} \\ \Rightarrow x=3 \pm \frac{\sqrt{11}}{2}
Illustration:9. \frac{x^2}{a^2-b^2}=\frac{a+b}{a-b}
Solution: \frac{x^2}{a^2-b^2}=\frac{a+b}{a-b} \\ \Rightarrow x^2=\frac{(a+b)}{(a-b)} \times\left(a^2-b^2\right) \\ \Rightarrow x^2=\frac{(a+b)}{(a-b)} \times(a-b)(a+b) \\ \Rightarrow x^2=(a+b)^2 \\ \Rightarrow x= \pm(a+b)
Illustration:10. x-\frac{1}{x}=0
Solution: x-\frac{1}{x}=0 \\ \Rightarrow x=\frac{1}{x} \Rightarrow x^2=1 \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{1} \\ \Rightarrow x= \pm 1
Illustration:11. \frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}=\frac{10}{3}
Solution: \frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}=\frac{10}{3} \\ \Rightarrow \frac{(x+1)^2+(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{10}{3} \\ \Rightarrow \frac{x^2+2 x+1+x^2-2 x+1}{x^2-1}=\frac{10}{3} \\ \Rightarrow 3\left(2 x^2+2\right)=10\left(x^2-1\right) \\ \Rightarrow 6 x^2+6=10 x^2-10 \\ \Rightarrow 10 x^2-6 x^2=6+10 \\ \Rightarrow 4 x^2=16 \Rightarrow x^2=4 \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{4} \Rightarrow x= \pm 2
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Illustration of Quadratic Equation),द्विघात समीकरण कक्षा 10 (Quadratic Equation Class 10) को समझ सकते हैं।

3.द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Imp Illustration of Quadratic Equation):

Imp Illustration of Quadratic Equation

(1.)  समीकरण \frac{x^2-8}{x^2+20}=\frac{1}{2} को हल कीजिए।
(2.)हल कीजिए 3(x+3)^2=48 
उत्तर (Answers): (1.) x= \pm 6 (2.)x=1,-7
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Illustration of Quadratic Equation),द्विघात समीकरण कक्षा 10 (Quadratic Equation Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Imp Illustration of Quadratic Equation),द्विघात समीकरण कक्षा 10 (Quadratic Equation Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Illustration of Quadratic Equation) के
इस आर्टिकल में शुद्ध द्विघात समीकरण पर आधारित सवालों को हल करके समझने
का प्रयास करेंगे।