1.निश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म (Some Properties of Definite Integrals),निश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म कक्षा 12 (Some Properties of Definite Integrals Class 12):

Some Properties of Definite Integrals

निश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म (Some Properties of Definite Integrals) के इस आर्टिकल में मानक गुणधर्मों के आधार पर निश्चित समाकलनों के सवालों को हल करके समझेंगे।
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2.निश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म के उदाहरण (Some Properties of Definite Integrals Examples):

निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए 1 से 19 के प्रश्नों में समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए।
Example:1. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x \cdots(1) \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x \\ \Rightarrow I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x d x \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2 I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos ^2 x+\sin ^2 x\right) d x \\ 2 I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \cdot d x \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2}[x]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{4}
Example:2. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} dx \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x+\sqrt{\cos x}} d x} \cdots(1) \\=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}+\sqrt{\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}} d x \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} d x \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2 I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\right) d x \\ \Rightarrow 2 I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \cdot d x \\ \Rightarrow 2 I=[x]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{4}
Example:3. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x d x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x}
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x d x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x d x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} \cdots(1) \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x}{\sin ^{\frac{3}{2}} \left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos ^{\frac{3}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} \\ \Rightarrow I =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{\frac{3}{2}} x d x}{\cos ^{\frac{3}{2}} x+\sin ^{\frac{3}{2}} x}
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 d x \\ \Rightarrow I =\frac{1}{2}[x]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ \Rightarrow I =\frac{\pi}{4}
Example:4. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^5 x d x}{\sin ^5 x+\cos ^5 x}
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^5 x d x}{\sin ^5 x+\cos ^5 x} \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^5 x d x}{\sin ^5 x+\cos ^5 x} \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^5\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\sin ^5 \left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos ^5\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} \\ \Rightarrow I =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^5 x d x}{\cos ^5 x+\sin ^5 x}
(1) व (2) को जोड़ने पर:

\Rightarrow 2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\left(\cos ^5 x+\sin ^5 5 d x\right.}{\left(\cos ^5 x+\sin ^5 x \right)} \\=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \cdot d x \\ =[x]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ \Rightarrow I =\frac{\pi}{4}
Example:5. \int_{-5}^5|x+2| d x
Solution: \int_{-5}^5|x+2| dx \\ I=\int_{-5}^5|x+2| d x
हम देखते हैं कि [-5,-2] पर x+2 \leq 0 और [-2,5] पर x+2 \geq 0
अतः I=-\int_{-5}^{-2}(x+2) d x+\int_{-2}^5(x+2) d x \\ =-\left[\frac{x^2}{2}+2 x\right]_{-5}^2 +\left[\frac{x^2}{2}+2 x\right]_{-2}^5 \\ =-\left[\frac{(-2)^2}{2}+2 \times-2-\frac{(-5)^2}{2}-2 \times -5\right] +\left[\frac{(5)^2}{2}+2 \times 5-\frac{(-2)^2}{2}-2 \times-2\right] \\=-\left[2-4-\frac{25}{2}+10\right]+\left[\frac{25}{2}+10-2+4\right] \\ =\frac{9}{2}+\frac{49}{2}=29 \\ \Rightarrow I=29
Example:6. \int_2^8|x-5| d x
Solution: \int_2^8|x-5| d x \\ I=\int_2^8|x-5| d x
हम देखते हैं कि [2,5] पर x-5 \leq 0 और [5,8] पर x-5 \geq 0 \\ = -\int_2^5(x-5) d x+\int_5^8(x-5) d x \\=-\left[\frac{x^2}{2}-5 x\right]_2^5+\left[\frac{x^2}{2}-5 x\right]_5^8 \\ = -\left[\frac{5^2}{2}-5 \times 5-\frac{2^2}{2}+5 \times 2\right]+ \left[\frac{8^2}{2}-5 \times 8-\frac{5^2}{2}+5 \times 5\right] \\=-\left[ \frac{25}{2}-25-2+10\right]+ \left[\frac{64}{2}-40-\frac{25}{2}+25\right] \\ =\frac{9}{2}+\frac{9}{2}\\ \Rightarrow I=9
Example:7. \int_0^1 x(1-x)^n d x
Solution: \int_0^1 x(1-x)^n d x \\ I=\int_0^1 x(1-x)^n d x \\ =\int_0^1(1-x)[1-(1-x)]^n d x \\ =\int_0^1(1-x)(1-1+x)^n d x \left[\because \int_0^a f(x)=\int_0^a f(a-x) dx\right] \\ =\int_0^1\left(x^n-x^{n+1}\right) d x \\ =\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}-\frac{x^{n+2}}{n+2}\right]_0^1 \\ =\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \\ =\frac{n+2-n-1}{(n+1)(n+2)} \\ \Rightarrow I=\frac{1}{(n+1)(n+2)}
Example:8. \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) d x
Solution: \int_0^\pi \log (1+\tan x) d x \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[1+\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan x}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan x}\right] d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right] d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[\frac{1+\tan x+1-\tan x}{1+\tan x}\right] d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{2}{1+\tan x}\right) d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{4}}[\log 2-\log (1+\tan x)] d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 d x-\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 d x-I \\ \Rightarrow 2 I =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 d x \\ =\log 2[x]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ =\frac{\pi}{4} \log 2 \\ \Rightarrow I =\frac{\pi}{8} \log 2
Example:9. \int_0^2 x \sqrt{2-x} d x
Solution: \int_0^2 x \sqrt{2-x} d x \\ I=\int_0^2 x \sqrt{2-x} d x \\ =\int_0^2(2-x) \sqrt{2-(2-x) d x} \\ =\int_0^2(2-x) \sqrt{2-2+x} d x \\ \left[\because \int_0^a f(x) d x=\int_0^a f(a-x) d x\right] \\=\int_0^2(2-x) \sqrt{x} d x \\ =2 \int_0^2 \sqrt{x} d x-\int_0^2 x^{\frac{3}{2}} d x \\ =2 \cdot\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^2-\left[\frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]_0^2 \\ =\frac{4}{3}\left(2^{\frac{3}{2}}\right)-\frac{2}{5}(2)^{\frac{5}{2}} \\ =\frac{4}{3} \times 2 \sqrt{2}-\frac{2}{5} \times 4 \sqrt{2} \\=\frac{8}{3} \sqrt{2}-\frac{8}{5} \sqrt{2} \\ =\frac{40 \sqrt{2}-24 \sqrt{2}}{15} \\ \Rightarrow I =\frac{16 \sqrt{2}}{15}
Example:10. \int_0^{\frac{\pi}{2}}(2 \log \sin x-\log \sin 2 x) d x
Solution: \int_0^2(2 \log \sin x-\log \sin 2 x) d x \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(2 \log \sin x-\log \sin 2 x) d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{\sin ^2 x}{\sin 2 x}\right) d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \left( \frac{\sin ^2 x}{2 \sin x \cos x}\right) d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{\tan x}{2}\right) d x \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log (\tan x) d x+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{1}{2}\right) d x \cdots(1)  \\ \Rightarrow I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\tan \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)+\log \left(\frac{1}{2}\right)[x]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ \Rightarrow I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cot x+\frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right) \\ \Rightarrow I=-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log (\tan x)+\frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right) \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

Some Properties of Definite Integrals

Example:11. \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x d x
Solution: \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x d x \\ I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x d x \\ I=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x d x (सम फलन है)…..(1)

=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x \\ \Rightarrow I =2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2 I=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right) d x \\ I =\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \cdot d x \\ I =[x]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{2}
Example:12. \int_0^\pi \frac{x d x}{1+\sin x}
Solution: \int_0^\pi \frac{x d x}{1+\sin x} \\ I=\int_0^\pi \frac{x d x}{1+\sin x} \cdots(1) \\=\int_0^\pi \frac{(1-x) d x}{1+\sin (\pi-x)} \\ \Rightarrow I=\int_0^\pi \frac{(\pi-x) d x}{1+\sin x} \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2 I=\int_0^\pi \frac{x+\pi-x}{(1+\sin x)} d x \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{1}{1+\sin x} d x \\ =\frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} d x \\ =\frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{1-\sin x}{\cos ^2 x} d x \\ =\frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{1}{\cos ^2 x} d x-\frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x} d x \\ =\frac{\pi}{2} \int_0^\pi \sec ^2 x d x-\frac{\pi}{2} \int_0^\pi \sec x \tan x d x \\ =\frac{\pi}{2}[\tan x]_0^\pi-\frac{\pi}{2}[\sec x]_0^\pi \\ =\frac{\pi}{2}[\tan \pi-\tan 0]-\frac{\pi}{2}[\sec \pi-\sec 0] \\ =\frac{\pi}{2}(0)-\frac{\pi}{2}[-1-1] \\ \Rightarrow I=\pi
Example:13. \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x d x
Solution: \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 x d x \\ I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 x d x \\ =2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^7 x d x \\ f(x)=\sin^7 x \\ f(-x)=-\sin^7 x (विषम फलन है)  
I=0 
Example:14. \int_0^{2 \pi} \cos ^5 x d x
Solution: \int_0^{2 \pi} \cos ^5 x d x \\ I=\int_0^{2 \pi} \cos ^5 x d x \\ =2 \int_0^\pi \cos ^5 x d x[\because f(2 \pi-x)=f(x)] \\ I=2 \int_0^\pi \cos ^5 x d x \cdots(1) \\ =2 \int_0^\pi \cos ^5(\pi-x) d x \\ I=-2 \int_0^\pi \cos ^5 x d x \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2 I=0 \Rightarrow I=0
Example:15. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x \cdots(1) \\=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{1+\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)} d x \\ \Rightarrow I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x-\sin x}{1+\cos x \sin x} d x \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x+\cos x-\sin x}{1+\sin x \cos x} d x \\ \Rightarrow 2 I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{0}{1+\sin x \cos x} d x \\ \Rightarrow 2 I=0 \Rightarrow I=0
Example:16. \int_a^\pi \log (1+\cos x) d x
Solution: \int_a^\pi \log (1+\cos x) d x \\ I=\int_0^\pi \log (1+\cos x) d x \cdots(1) \\ =\int_0^\pi \log (1+\cos (\pi-x)) d x\left[\because \int_0^a f(x) dx=\int_0^a f(a-x) d x\right] \\ \Rightarrow I=\int_0^\pi \log (1-\cos x) d x \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2I=\int_0^\pi(\log (1+\cos x)+\log (1-\cos x) d x \\ I=\frac{1}{2} \int_0^\pi \log \left(1-\cos ^2 x\right) d x \\ =\frac{1}{2} \int_0^\pi \log \sin ^2 x d x \\ \Rightarrow I=\int_0^\pi \log \sin x d x \cdots(3) \\ =\int_0^{\frac{2\pi}{2}} \log \sin x d x \\ \Rightarrow I=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x d x \cdots(4)\\ =2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x \\ \Rightarrow I =2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x d x \cdots(5)
(4) व (5) को जोड़ने पर:

2I=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\log (\sin x)+\log (\cos x) d x \\ \Rightarrow I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin x \cos x) d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2 \sin x \cos x}{2}\right) d x \\ =\int_0^\pi \log \left(\frac{\sin 2 x}{2}\right) d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin 2 x) d x-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log 2 d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right) d x-\log 2[x]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin (\pi-2 x) d x-\log 2 \cdot \frac{\pi}{2} \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2 x d x-\frac{\pi}{2} \log 2
Put 2 x=t \Rightarrow 2 d x=d t
जब x=0 तो t=0 
जब \frac{\pi}{2} तो t=\pi \\ I=\frac{1}{2} \int_0^\pi \log (\sin t) d t-\frac{\pi}{2} \log 2 \\ =\frac{1}{2} \int_0^{\frac{2 \pi}{2}} \log (\sin t) d t-\frac{\pi}{2} \log 2 \\ =\frac{1}{2} \times 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin t) d t-\frac{\pi}{2} \log 2 \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin x) d x-\frac{\pi}{2} \log 2\left[\int_a^b f(x) d x=\int_a^b f(t) d t\right] \\ =\frac{I}{2}-\frac{\pi}{2} \log 2 [(4) से]
\Rightarrow \frac{I}{2}=-\frac{\pi}{2} \log 2 \Rightarrow I=-\pi \log 2
Example:17. \int_0^a \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{a-x}} d x
Solution: I=\int_0^a \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{a-x}} d x \cdots(1)\\ =\int_0^a \frac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{a-x}+\sqrt{a-(a-x)}} d x \\ I=\int_0^a \frac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{a-x}+\sqrt{x}} d x \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2I=\int_0^a \frac{\sqrt{a-x}+\sqrt{x}}{\sqrt{a-x}+\sqrt{x}} d x \\ =\int_0^a 1 \cdot d x=[x]_0^a \\ \Rightarrow I=\frac{a}{2}
Example:18. \int_0^4|x-1| d x
Solution: I=\int_0^4|x-1| d x
हम देखते हैं कि [0,1] पर x-1 \leq 0 और [1,4] पर x-1 \geq 0 \\ = -\int_0^1(x-1) d x+\int_1^4(x-1) d x \\ =-\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_0^1+\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_1^4 \\ =-\left(\frac{1}{2} -1\right) +\left(\frac{4^2}{2}-4-\frac{1}{2}+1\right) \\ =\frac{1}{2}+\frac{9}{2} \Rightarrow I=5
Example:19.दर्शाइए कि \int_0^a f(x) g(x) d x =2 \int_0^a f(x) d x ,यदि f और g को f(x)=f(a-x) एवं g(x)+g(a-x)=4 के रूप में परिभाषित किया जाता है।
Solution: I=\int_0^a f(x) g(x) d x \cdots(1) \\ =\int_0^a f(a-x) \cdot g(a-x) d x \\ \Rightarrow I=\int_0^a f(x) g(a-x) d x[\because f(x)=f(a-x)] \cdots(2)
[f(x)=f(a-x)]
(1) व (2) को जोड़ने पर:
2 I=\int_0^a f(x)[g(x)+g(a-x)] d x \\ =\int_0^a f(x) 4 d x[\because g(x)+g(a-x)=4] \\ \Rightarrow I= 2 \int_0^a f(x) d x \\ \Rightarrow \int_0^a f(x) g(x) d x=2 \int_0^a f(x) d x
प्रश्न 20 एवं 21 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
Example:20. \int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\left(x^3+x \cos x+\tan ^5 x+1\right) d x का मान है:

(A) 0 (B) 2 (C)\pi (D) 1
Solution: \int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\left(x^3+x \cos x+\tan ^5 x+1\right) d x\\ I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 d x+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \cos u d x+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \tan ^5 x d x+2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 d x \\ =0+0+0+2[x]_0^{\frac{\pi}{2}}=\pi
अतः विकल्प (C) सही है।
Example:21. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x का मान है:

(A) 2 (B) \frac{3}{4} (C)0 (D) -2
Solution: I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x \cdots(1) \\ I =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{4+3 \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{4+3 \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\right) d x \\ \Rightarrow I =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) d x \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2 I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[\log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right)+\log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right)\right] \\ 2 I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x} \times \frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) d x \\ \Rightarrow 2 I =\int_0^{\frac{\pi}{2}} 0 d x=0 \\ \Rightarrow I=0
अतः विकल्प (C) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा निश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म (Some Properties of Definite Integrals),निश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म कक्षा 12 (Some Properties of Definite Integrals Class 12) को समझ सकते हैं।

3.निश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Some Properties of Definite Integrals):

Some Properties of Definite Integrals

निश्चित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए:

(1.) \int_0^2\left|x^2+2 x-3\right| d x
(2.) \int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x(1+\sin x)}{1+\cos ^2 x} d x
उत्तर (Answers):(1) 4 (2) \pi^2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर निश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म (Some Properties of Definite Integrals),निश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म कक्षा 12 (Some Properties of Definite Integrals Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.निश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म (Frequently Asked Questions Related to Some Properties of Definite Integrals),निश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म कक्षा 12 (Some Properties of Definite Integrals Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

निश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म (Some Properties of Definite Integrals) के इस
आर्टिकल में मानक गुणधर्मों के आधार पर निश्चित समाकलनों के सवालों को हल करके समझेंगे।