1.त्रिपदीय व्यंजक के गुणनखण्ड (Factors of Trinomial Expression),बहुपदों के गुणनखण्ड के उदाहरण (Illustrations of Factorisation of Polynomial):

Factors of Trinomial Expression

त्रिपदीय व्यंजक के गुणनखण्ड (Factors of Trinomial Expression) के इस आर्टिकल में त्रिपदीय एवं तीन घात के बहुपदों पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Important Example of Remainder Theorem

2.त्रिपदीय व्यंजक के गुणनखण्ड के साधित उदाहरण (Factors of Trinomial Expression Solved Examples):

गुणनखण्ड कीजिए:
Example:1. 5+8 x-4 x^2
Solution: 5+8 x-4 x^2 \\ =5+10 x-2 x-4 x^2 \\ =5(2 x+1)-2 x(2 x+1) \\ =(2 x+1)(5-2 x)
Example:2. 39 y^2-7 y-22
Solution: 39 y^2-7 y-22 \\ =39 y^2-33 y+26 y-22 \\ =3 y(13 y-11)+2(13 y-11) \\ =(3 y+2)(13 y-11)
Example:3. 21 x^2-41 x y+10 y^2
Solution: 21 x^2-41 x y+10 y^2 \\ =21 x^2-35 x y-6 x y+10 y^2 \\ =7 x(3 x-5 y)-2 y(3 x-5 y) \\ =(3 x-5 y)(7 x-2 y)
Example:4. 5 x^4-8 x^2+3
Solution: 5 x^4-8 x^2+3 \\ =5 x^4-5 x^2-3 x^2+3 \\ =5 x^2\left(x^2-1\right)-3\left(x^2-1\right) \\ =\left(x^2-1\right)\left(5 x^2-3\right) \\ =(x-1)(x+1)\left(5 x^2-3\right)
Example:5. 7 x^4-18 x^2+8
Solution: 7 x^4-18 x^2+8 \\ =7 x^4-14 x^2-4 x^2+8 \\ =7 x^2\left(x^2-2\right)-4\left(x^2-2\right) \\ =\left(x^2-2\right)\left(7 x^2-4\right)
Example:6. 9 x^3 y+41 x^2 y^2+20 x y^3
Solution: 9 x^3 y+41 x^2 y^2+20 x y^3 \\ =x y\left(9 x^2+41 x y+20 y^2\right) \\ =x y\left[9 x^2+36 x y+5 x y+20 y^2\right) \\ =x y[9 x(x+4 y)+5 y(x+4 y)] \\ =x y(x+4 y)(9 x+5 y)
Example:7. 6-x-2 x^2
Solution: 6-x-2 x^2 \\ =6 x+3 x-2 x^2 \\ =2(3-2 x)+x(3-2 x) \\ =(x+2)(3-2 x)
Example:8. 5 x^6-7 x^3-6
Solution: 5 x^6-7 x^3-6 =5 x^6-10 x^3+3 x^3-6 \\ =5 x^3\left(x^3-2\right)+3\left(x^3+2\right) \\ =\left(x^3-2\right)\left(5 x^3+3\right)
Example:9. x^2-120 x y-625 y^2
Solution: x^2-120 x y-625 y^2 \\ =x^2-125 x y+5 x y-625 y^2 \\ =x(x-125 y)+5 y(x-125 y) \\ =(x+5 y)(x-125 y)
Example:10. \frac{a x^2}{b}+\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right) x+\frac{c}{d}, (b \neq 0, d \neq 0)
Solution: \frac{a}{b} x^2+\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right) x+\frac{c}{d} ;(b \neq 0, d \neq 0) \\ =\frac{a}{b} x^2+\frac{a}{b} x+\frac{c}{d} x+\frac{c}{d} \\ =\frac{a}{b} x(x+1)+\frac{c}{d}(x+1) \\ =(x+1)\left(\frac{a}{b} x+\frac{c}{d}\right)
Example:11. p x^2+\left(4 p^2-3 q\right) x-12 p q
Solution: p x^2+\left(4 p^2-3 q\right)-12 p q \\ =p x^2+4 p^2 x-3 q x-12 p q \\ =p x(x+4 p)-3 q(x+4 p) \\ =(x+4 p)(p x-3 q)

Factors of Trinomial Expression

Example:12. 3(a-2)^2-2(a-2)-8
Solution: 3(a-2)^2-2(a-2)-8 \\ =3(a-2)^2-6(a-2)+4(a-2)-8 \\ =3(a-2)(a-2-2)+4(a-2-2) \\ =3(a-2)(a-4)+4(a-4) \\ =(a-4)[3(a-2)+4] \\ =(a-4)(3 a-6+4) \\ =(a-4)(3 a-2)
Example:13. 3-3(x+y)^2-5(x+y)+2
Solution: 3(x+y)^2-5(x+y)+2 \\ =3(x+y)^2-3(x+y)-2(x+y)+2 \\ =3(x+y)(x+y-1)-2(x+y-1) \\ =(x+y-1)[3(x+y)-2] \\ =(x+y-1)(3 x+3 y-2) \\ =(x+y-1)(3 x+3 y-2)
Example:14. 3(x+1)^2-16(x+1)+16
Solution: 3(x+1)^2-16(x+1)+16 \\ =3(x+1)^2-12(x+1)-4(x+1)+16 \\ =3(x+1)(x+1-4)-4(x+1-4) \\ =3(x+1)(x-3)-4(x-3) \\ =(x-3)[3(x+1)-4] \\ =(x-3)(3 x+3-4) \\ =(x-3)(3 x-1)
Example:15. 7(x-2 y)^2-25(x-2 y)+12
Solution: 7(x-2 y)^2-25(x-2 y)+12 \\ =7(x-2 y)^2-21(x-2 y)-4(x-2 y)+12 \\ =7(x-2 y)(x-2 y-3)-4(x-2 y-3) \\ =(x-2 y-3)[7(x-2 y)-4] \\ =(x-2 y-3)(7 x-14 y-4)
Example:16. 12(a+1)^2-25(a+1)(b+2)+12(b+2)^2 
Solution: 12(a+1)^2-25(a+1)(b+2)+12(b+2)^2 \\ =4(a+1)(3 a+3-4 b-8)-3(b+2)(3 a+3-4 b-8) \\ =4(a+1)(3 a-4 b-5)-3(b+2)(3 a-4 b-5) \\ =(3 a-4 b-5)[4(a+1)-3(b+2)] \\ =(3 a-4 b-5)(4 a+4-3 b-6) \\ =(3 a-4 b-5)(4 a-3 b-2)
Example:17. x^3-5 x^2+2 x+8
Solution: x^3-5 x^2+2 x+8
x=-1 रखने पर
(-1)^3-5(-1)^2+2(-1)+8 \\ =-1-5-2+8=0
अतः x+1 बहुपद का गुणनखण्ड है।

=x^3+x^2-6 x^2-6 x+8 x+8 \\=x^2(x+1)-6 x(x+1)+8(x+1) \\=(x+1)\left(x^2-6 x+8\right) \\=(x+1)\left(x^2-4 x-2 x+8\right) \\=(x+1)[x(x-4)-2(x-4)] \\=(x+1)(x-2)(x-4)
Example:18. x^3-6 x^2+3 x+10
Solution: x^3-6 x^2+3 x+10
x=-1 रखने पर:
(-1)^3-6(-1)^2+3(-1)+10 \\ =-1-6-3+10=0
अतः x+1 बहुपद का गुणनखण्ड है।

=x^3+x^2-7 x^2-7 x+16 x+10 \\ =x^2(x+1)-7 x(x+1)+10(x+1) \\ =(x+1)\left(x^2-7 x+10\right) \\ =(x+1)\left(x^2-5 x-2 x+10\right) \\ =(x+1)[x(x-5)-2(x-5)] \\ =(x+1)(x-2)(x-5)
Example:19. x^3-6 x^2+32
Solution: x^3-6 x^2+32
x=-2 रखने पर:
(-2)^3-6(-2)^2+32 \\ =-8-24+32=0
अतः x+2 बहुपद का गुणनखण्ड है।

 =x^3+2 x^2-8 x^2+32 \\ =x^2(x+2)-8\left(x^2-4\right) \\ =x^2(x+2)-8(x-2)(x+2) \\ =(x+2)\left[x^2-8(x-2)\right] \\ =(x+2)\left[x^2-8 x+16\right) \\ =(x+2)\left[x^2-4 x-4 x+16\right] \\ =(x+2)[x(x-4)-4(x-4)] \\ =(x+2)(x-4)(x-4) \\ =(x+2)(x-4)^2
Example:20. x^3+4 x^2+x-6
Solution: x^3+4 x^2+x-6
x=1 रखने पर:
(1)^3+4(1)^2+1-6 \\ =1+4+1-6=0
अतः x-1 बहुपद का गुणनखण्ड है।

=x^3-x^2+5 x^2-5 x+6 x-6 \\ =x^2(x-1)+5 x(x-1)+6(x-1) \\ =(x-1)\left(x^2+5 x+6\right) \\ =(x-1)\left[x^2+3 x+2 x+6\right) \\ =(x-1)[x(x+3)+2(x+3)] \\ =(x-1)(x+2)(x+3)
Example:21. x^3-3 x^2-9 x-5
Solution: x^3-3 x^2-9 x-5
x=-1 रखने पर:
(-1)^3-3(-1)^2-9 \times -1-5 \\ =-1-3+9-5=0
अतः x+1 बहुपद का गुणनखण्ड है।

=x^3+x^2-4 x^2-4 x-5 x-5 \\ =x^2(x+1)-4 x(x+1)-5(x+1) \\ =(x+1)\left(x^2-4 x-5\right) \\ =(x+1)\left(x^2-5 x+x-5\right) \\ =(x+1)[x(x-5)+1(x-5) \\ =(x+1)(x+1)(x-5) \\ =(x+1)^2(x-5)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिपदीय व्यंजक के गुणनखण्ड (Factors of Trinomial Expression),बहुपदों के गुणनखण्ड के उदाहरण (Illustrations of Factorisation of Polynomial) को समझ सकते हैं।

3.त्रिपदीय व्यंजक के गुणनखण्ड पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Factors of Trinomial Expression):

Factors of Trinomial Expression

(1)x^3-7 x^2+14 x-8
(2) x^3+6 x^2+11 x+6
(3)x^3-4 x^2-27 x+90

उत्तर (Answers):(1.)(x-1)(x-2)(x-4) (2.)(x+1)(x+2)(x+3) (3.)(x-3)(x-6)(x+5)[/katex]
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिपदीय व्यंजक के गुणनखण्ड (Factors of Trinomial Expression),बहुपदों के गुणनखण्ड के उदाहरण (Illustrations of Factorisation of Polynomial) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Example of Factorisation of Polynomial

4.त्रिपदीय व्यंजक के गुणनखण्ड (Frequently Asked Questions Related to Factors of Trinomial Expression),बहुपदों के गुणनखण्ड के उदाहरण (Illustrations of Factorisation of Polynomial) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिपदीय व्यंजक के गुणनखण्ड (Factors of Trinomial Expression) के इस आर्टिकल में त्रिपदीय
एवं तीन घात के बहुपदों पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।