1.10वीं कक्षा में बहुपद (Polynomial in Class 10th),बहुपद कक्षा 10 (Polynomial Class 10):

Polynomial in Class 10th

10वीं कक्षा में बहुपद (Polynomial in Class 10th) के इस आर्टिकल में शून्यकों का सत्यापन,शून्यकों के आधार पर बहुपद ज्ञात करना तथा बहुपद के शून्यक ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.10वीं कक्षा में बहुपद के उदाहरण (Polynomial in Class 10th Examples):

Example:1.सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं।प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए:
Example:1(i). 2 x^3+x^2-5 x+2 ; \frac{1}{2}, 1,-2
Solution: 2 x^3+x^2-5 x+2 ; \frac{1}{2}, 1,-2 \\ f(x) =2 x^3+x^2-5 x+2 \\ f\left(\frac{1}{2}\right) =2\left(\frac{1}{2}\right)^3+\left(\frac{1}{2}\right)^2-5 \times \frac{1}{2}+2 \\ =2 \times \frac{1}{8}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+2 \\ =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+\frac{2}{-1} \\ =\frac{1+1-10+8}{4} \\ =\frac{10-10}{4} \\ \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right)=0
अतः \left(\frac{1}{2}\right), f(x) का शून्यक है।
f(1)=2(1)^3+(1)^2-5 \times 1+2 \\ =2 \times 1+1-5+2 \\ =2+1+5+2 \\ \Rightarrow f(1) =0
अतः 1,बहुपद f(x) का शून्यक है।
f(-2)=2(-2)^3+(-2)^2-5 \times-2+2 \\ =2 \times-8+4+10+2 \\ =-16+16 \\ \Rightarrow f(-2) =0
अतः – 2,बहुपद f(x) का शून्यक है।
फलतः \frac{1}{2}, 1,-2 बहुपद के शून्यक \alpha, \beta, \gamma हैं।
\alpha+\beta+\gamma=-\frac{x^2 \text{का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}} \\ \Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{1}{2} 
प्रश्नानुसार: \frac{1}{2}+\frac{1}{1}-\frac{2}{1}=\frac{1+2-4}{2}=-\frac{1}{2} \\ \alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma=\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}\\ =-\frac{5}{2}
प्रश्नानुसार: \frac{1}{2} \times 1+1 \times-2+\frac{1}{2} \times-2 \\ =\frac{1}{2}-\frac{2}{1}-\frac{1}{1} \\ =\frac{1-4-2}{2} \\ =-\frac{5}{2} \\ \alpha \beta \gamma=-\frac{\text{अचर पद}}{x^3 \text{का गुणांक}}=-\frac{2}{2}=-1
प्रश्नानुसार: \frac{1}{2} \times 1 \times -2=-1
अतः बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध सही है।
Example:1(ii). x^3-4 x^2+5 x-2 ; 2,1,1
Solution: f(x)=x^3-4 x^2+5 x-2 \\ f(2) =2^3-4 \times 2^2+5 \times 2-2 \\ =8-4 \times 4+10-2 \\ \Rightarrow f(2) =18-18=0
अतः 2 बहुपद f(x) का शून्यक है।
f(1) =\left(1\right)^3-4(1)^2+5 \times 1-2 \\ =1-4+5-2 \\ =6-6 \\ \Rightarrow f(1) =0
अतः 1 बहुपद f(x) का शून्यक \alpha, \beta, \gamma है।
यदि बहुलक के शून्यक हो तो
\alpha+\beta+\gamma =-\frac{x^2 \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{का गुणांक}} \\ =-\frac{(-4)}{1} \\ =4
प्रश्नानुसार=2+1+1=4
\alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma=\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}=\frac{5}{1} \\ \Rightarrow \alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma=5
प्रश्नानुसार:2×1+1×1+2×1
=2+1+2=5

\alpha \beta \gamma=(2)(1)(1)=2
प्रश्नानुसार:2×1×1=2
अतः बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध सही है।
Example:2.एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग,दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2,-7,-14 हो।
Solution:माना बहुपद के शून्यक हैं।
शून्यकों का योग \alpha+\beta+\gamma=2
दो-दो शून्यकों को साथ लेकर गुणनफलों का योग

\alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma=-7
शून्यकों का गुणनफल

\alpha \beta \gamma=-14
त्रिघात बहुपद

k\left[x^3-(\alpha+\beta+\gamma) x^2+(\alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma) x -(\alpha \beta \gamma)\right] \\ \Rightarrow k\left[x^3-2 x^2 \Rightarrow x+14\right]
यहाँ k=1 अतः
बहुपदः x^3-2 x^2-7 x+14
Example:3.यदि बहुपद x^3-3 x^2+x+1 के शून्यक a-b,a,a+b हों,तो a और b ज्ञात कीजिए।
Solution: x^3-3 x^2+x+1
बहुपद के शून्यकों का योग
=-\frac{x^2 \text{का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}} \\ \Rightarrow a-b+a+a+b=-\frac{(-3)}{1}\\ \Rightarrow 3 a=3 \Rightarrow a=3
शून्यकों का गुणनफल

(a-b)(a)(a+b)=-\frac{\text{अचर पद}}{x^3 \text{का गुणांक}} \\ a^3-ab^2=-\frac{1}{1}
a=1 रखने पर:

\Rightarrow(1)^3-(1) b^2=-1 \\ \Rightarrow-b^2=-1-1 \\ \Rightarrow \quad b^2=2 \\ \Rightarrow b= \pm \sqrt{2}
अतः a=1, b= \pm \sqrt{2}

Polynomial in Class 10th

Example:4.यदि बहुपद x^4-6 x^3-26 x^2+138 x-35 के दो शून्यक 2 \pm \sqrt{3} हों,तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
Solution:बहुपद के शून्यक

x=2 \pm \sqrt{3} \\ \Rightarrow (x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3}) \\ \Rightarrow (x-2)^2-(\sqrt{3})^2 \\ \Rightarrow x^2-4 x+4-3 \\ \Rightarrow x^2-4 x+1
विभाजन एल्गोरिथ्म से:

x^4-6 x^3-26 x^2+138 x-35 \\ =\left(x^2-4 x+1\right)\left(x^2-2 x-35\right) \\ =\left(x^2-4 x+1\right)\left[x^2-7 x+5 x-35\right] \\ =\left(x^2-4 x+1\right)[x(x-7)+5(x-7)] \\ =\left(x^2-4 x+1\right)(x+5)(x-7)
अतः बहुपद के अन्य शून्यक
x+5=0 \Rightarrow x=-5 \\ x-7=0 \Rightarrow x=7 \\ x=-5,7
Example:5.यदि बहुपद x^4-6x^3+16x^2-25x+10 को एक अन्य बहुपद x^2-2 x+k से भाग दिया जाए और शेषफल x+a आता हो,तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
Solution:
शेषफल (2 k-9) x+10+k^2-8k=x+a \\ \Rightarrow 2 k-9=1 \Rightarrow k=\frac{10}{2}=5 तथा 10+k^2-8 k=9 \\ \Rightarrow 10+5^2-8 \times 5=9 \\ \Rightarrow 10+25-40=a \\ \Rightarrow a=-5
अतः k=5,a=-5
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा 10वीं कक्षा में बहुपद (Polynomial in Class 10th),बहुपद कक्षा 10 (Polynomial Class 10) को समझ सकते हैं।

3.10वीं कक्षा में बहुपद पर आधारित सवाल (Questions Based on Polynomial in Class 10th):

Polynomial in Class 10th

(1.)बहुपद x^3-6 x^2+2 x+4 को x-1 से भाग देने पर प्राप्त होनेवाला भागफल और शेषफल क्या है?
(2.)यदि बहुपद f(x)=x^2-5 x+k के शून्यक \alpha तथा \beta इस प्रकार हों कि \alpha-\beta=1  तो k का क्या मान होगा?
उत्तर (Answers):(1.)भागफल=x^2-5 x-3 ,शेषफल=1
(2.)k=6
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर 10वीं कक्षा में बहुपद (Polynomial in Class 10th),बहुपद कक्षा 10 (Polynomial Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.10वीं कक्षा में बहुपद (Frequently Asked Questions Related to Polynomial in Class 10th),बहुपद कक्षा 10 (Polynomial Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

10वीं कक्षा में बहुपद (Polynomial in Class 10th) के इस आर्टिकल में शून्यकों का
सत्यापन,शून्यकों के आधार पर बहुपद ज्ञात करना तथा बहुपद के शून्यक ज्ञात करना सीखेंगे।