1.त्रिकोणमितीय संयुक्त कोण (Trigonometrical Compound Angles),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Compound Angles):

Trigonometrical Compound Angles

त्रिकोणमितीय संयुक्त कोण (Trigonometrical Compound Angles) के इस आर्टिकल में कुछ विशिष्ट त्रिकोणमितीय कोणों पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.त्रिकोणमितीय संयुक्त कोण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Trigonometrical Compound Angles):

Example:1.निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिएः
Example:1(i). \sin 105^\circ
Solution: \sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ \\ = \cos(45^\circ - 30^\circ) \\ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \\ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}
Example:1(ii). \cos 105^\circ
Solution: \cos 105^\circ = \cos(90^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ \\ = -\sin(45^\circ - 30^\circ) \\ = -\left( \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \right) \\ = -\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \right) \\ = -\left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right) \\ \Rightarrow \cos 105^\circ = -\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}
Example:2.निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिएः
Example:2(i). \sin 22^\circ \cos 38^\circ + \cos 22^\circ \sin 38^\circ
Solution: \sin 22^\circ \cos 38^\circ + \cos 22^\circ \sin 38^\circ = \sin(22^\circ + 38^\circ) \\ = \sin 60^\circ \\ = \frac{\sqrt{3}}{2}
Example:2(ii). \sin 62^{\circ} \sin 17^{\circ}+\cos 62^{\circ} \cos 17^{\circ}
Solution: \sin 62^{\circ} \sin 17^{\circ}+\cos 62^{\circ} \cdot \cos 17^{\circ} \\ =\cos \left(62^{\circ}-17^{\circ}\right)=\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}
Example:3.यदि A एवं B न्यूनकोण हो एवं \sin A = \frac{4}{5} और \cos B = \frac{12}{13} हो तो निम्न के मान ज्ञात कीजिए:
Example:3(i). \sin(A + B)
Solution: \sin A = \frac{4}{5} \Rightarrow \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} \\ = \sqrt{1 - \left( \frac{4}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} \\ = \sqrt{\frac{25 - 16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \\ \cos B = \frac{12}{13} \Rightarrow \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} \\ = \sqrt{1 - \left( \frac{12}{13} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} \\ = \sqrt{\frac{169 - 144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} \\ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} \\ = \frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{63}{65} \\ \Rightarrow \sin(A + B) = \frac{63}{65}
Example:3(ii). \cos(A - B)
Solution: \cos(A - B) \\ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \\ = \frac{3}{5} \times \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{36 + 20}{65} = \frac{56}{65}
Example4.यदि \sin A = \frac{1}{\sqrt{5}} और \sin B = \frac{1}{\sqrt{10}} हो तो सिद्ध कीजिए कि A + B = \frac{\pi}{4}
Solution: \sin A = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} \\= \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2} \\ = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} \\ = \sqrt{\frac{5 - 1}{5}} \\ =\sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \sin B = \frac{1}{\sqrt{10}} \Rightarrow \cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} \\= \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2} \\ = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} \\ = \sqrt{\frac{10 - 1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \\ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}\\= \frac{3}{\sqrt{50}} + \frac{2}{\sqrt{50}} \\= \frac{3 + 2}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} \\ = \frac{5}{\sqrt{25 \times 2}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \sin(A + B) = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin (A+B)=\sin \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow A+B =\frac{\pi}{4}

Trigonometrical Compound Angles

सिद्ध कीजिए [प्रश्न 5 से 9]
Example:5. \cos 15^{\circ}-\sin 15^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}
Solution: \cos 15^{\circ}-\sin 15^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \text { L.H.S. } \cos 15^{\circ}-\sin 15^{\circ} \\ =\cos \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)-\sin \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right) \\ =\cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} -\left(\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}\right) \\=\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}-\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}\right) \\ =\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \\ =\frac{1+1}{2 \sqrt{2}}=\frac{2}{2 \sqrt{2}} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}=R.H.S. 
Example:6. \frac{\sin (A-B)}{\cos A \cos B}+\frac{\sin (B-C)}{\cos B \cos C}+\frac{\sin (C-A)}{\cos C \cos A} =0
Solution: \frac{\sin (A-B)}{\cos A \cos B}+\frac{\sin (B-C)}{\cos B \cos C}+\frac{\sin (C-A)}{\cos C \cos A}=0 \\ \text{L.H.S.}=\frac{\sin A \cos B-\cos A \sin B}{\cos A \cos B}+\frac{\sin B \cos C-\cos B \sin C}{\cos B \cos C}+\frac{\sin C \cos A-\cos C \sin A}{\cos c \cos A}\\ =\frac{\sin A \cos B}{\cos A \cos B}-\frac{\cos A \sin B}{\cos A \cos B}+\frac{\sin B \cos C}{\cos B \cos C}-\frac{\cos B \sin C}{\cos B \cos C}+\frac{\sin C \cos A}{\cos C \cos A}-\frac{\cos C \sin A}{\cos C \cos A} \\ =\tan A-\tan B+\tan B-\tan C+\tan C -\tan A \\=0=R.H.S.
Example:7. \cos (A+B) \cos C-\cos (B+C) \cos A=\sin B \sin (C-A)
Solution: \cos (A+B) \cos C-\cos (B+C) \cos A=\sin B \sin (C-A)\\ \text{L.H.S. } \cos (A+B) \cos C-\cos (B+C) \cos A \\ =(\cos A \cos B-\sin A \sin B) \cos C-(\cos B \cos C-\sin C \sin B) \cos A \\ =\cos A \cos B \cos C-\sin A \sin B \cos C -\cos A \cos B \cos C+\sin C \sin B \cos A \\ = \sin B(\sin C \cos A-\sin A \cos C) \\ = \sin B[\sin (C-A)] \\ =\sin B \sin (C-A)=R.H.S.
Example:8. \sin ^2(n+1) A-\sin ^2 n A=\sin (2 n+1) A \cdot \sin A
Solution: \sin ^2(n+1) A-\sin^2 n A=\sin (2 n+1) A \cdot \sin A \\ \text { L.H.S. } \sin ^2(n+1) A-\sin ^2 n A \\ =\sin \left[ (n+1) A+n A \right] \sin \left[ (n+1) A-n A \right] \\ \left[\because \sin ^2 A-\sin ^2 B=\sin (A+B) \sin (A-B)\right] \\ =\sin (n A+A+n A) \sin (n A+A-n A) \\ =\sin (2 n+1) A \sin A=R.H.S. 
Example:9. \sin \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}+\theta\right) +\cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \sin \left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)=1
Solution: \sin \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)+\cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \sin \left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)=1 \\ \text { L.H.S. }=\sin \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)+\cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \sin \left(\frac{\pi}{6}+\theta\right) \\ =\sin \left[\frac{\pi}{3}-\theta+\frac{\pi}{6}+\theta\right] {[\because \sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B]} \\ =\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=1=R.H.S.
Example:10.यदि \sin A+\sin B=a तथा \cos A+\cos B=b हो तो सिद्ध कीजिए
\cos (A+B)=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}
Solution: \cos (A+B)=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2} \\ \text { R.H.S. } \frac{b^2-a^2}{b^2+a^2} \\ =\frac{(\cos A+\cos B)^2-(\sin A+\sin B)^2}{(\cos A+\cos B)^2+(\sin A+\sin B)^2} \\ =\frac{\cos ^2 A+\cos ^2 B+2 \cos A \cos B-\sin ^2 A -\sin ^2 B-2 \sin A \sin }{ \cos ^2 A+\cos ^2 B+2 \cos A \cos B+\sin ^2 A +\sin ^2 B+2 \sin A \sin B} \\ =\frac{\cos (A+B) \cos (A-B)+\cos (A+B) \cos (A-B) +2 \cos (A+B)}{1+1+2 \cos (A-B)} \\ {\left[\because \cos ^2 A-\sin ^2 B=\cos ^2 B-\sin ^2 A=\cos (A+B) \cos (A-B) \right]} \\=\frac{2 \cos (A+B) \cos (A-B)+2 \cos (A+B)}{2+2 \cos (A-B)} \\=\frac{2 \cos (A+B)[1+\cos (A-B)]}{2[1+\cos (A-B)]} \\ =\cos (A+B)=L.H.S.
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमितीय संयुक्त कोण (Trigonometrical Compound Angles),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Compound Angles) को समझ सकते हैं।

Trigonometrical Compound Angles

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3.त्रिकोणमितीय संयुक्त कोण (Frequently Asked Questions Related to Trigonometrical Compound Angles),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Compound Angles) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिकोणमितीय संयुक्त कोण (Trigonometrical Compound Angles) के इस आर्टिकल में
कुछ विशिष्ट त्रिकोणमितीय कोणों पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।