1.हिन्दी में रोल प्रमेय: बीजगणितीय और ज्यामितीय अर्थ (Rolle’s Theorem in Hindi: Algebraic and Geometrical Interpretation):

Rolle’s Theorem in Hindi: Algebraic and Geometrical Interpretation

हिन्दी में रोल प्रमेय (Rolle’s Theorem in Hindi) के इस लेख में जानेंगे कि रोल क्या है,उसका बीजगणितीय और ज्यामितीय अर्थ क्या है तथा रोल प्रमेय का वास्तविक संसार में क्या उपयोग है?

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2.हिन्दी में रोल प्रमेय (Rolle’s Theorem in Hindi):

कथन (Statement) : यदि संवृत अन्तराले [a,b] में फलन f इस प्रकार परिभाषित है कि फलन
(1.)संवृत अन्तराल [a,b] में continuous (संतत्) है,
(2.)विवृत अन्तराल (a,b) में differentiable (अवकलनीय) है,तथा
(3.) f(a)=f(b)
तो (a,b) अन्तराल में कम से कम एक बिन्दु c ऐसा विद्यमान होगा,जिसके लिए f'(c)=0.
(If a function of is defined in the closed interval [a,b] such that the faction f is
(1.)continuius in [a,b]
(2.) differetniable in (a,b), and
(3.)f(a)=(b)
then there exists at least one point c \in (a,b) such that f'(c)=0.
[Raj. 2005, 07, 09; Hons. 91; Ajmer 96 ,2000,03,05, 06, 07; Jodhpur 2004, 06; Bikaner 2004]
उपपत्ति (Proof):चूंकि फलन f(x) संवृत अन्तराल [a,b] में संतत् है अतः परिसीमित (परिबद्ध) (bounded) होगा तथा [a,b] में परिबन्धों को ग्रहण करेगा।
माना कि फलन का उच्चक (Supremum) एवं निम्नक (Infimum) क्रमशः हैं,इसलिए M \geq m तो
\exists c, d \in [a, b] ताकि f(c)=M तथा f(d)=m.
स्थिति I.यदि M=m,तो f(a)=f(x)=f(b)=M=m.
\forall x \in [a, b] \text{ अतः } f(x) \text{ अचर है}
\implies f'(x) = 0, \forall x \in [a, b]
\implies f'(c) = 0, c \in [a, b]
स्थिति II.माना कि M≠m
\therefore f(a) = f(b) \text{ और } M \neq m
\text{अतः इस स्थिति में कम से कम एक परिबन्ध } M \text{ अथवा } m, f(a) \text{ तथा } f(b) \text{ से अलग होगा, अर्थात्}
M \neq f(a) = f(b) \text{ या } m \neq f(a) = f(b)
\text{अतः } M = f(c) \neq f(a) = f(b) \implies c \neq a, b
\text{फलतः } c \in (a, b)
विधि (Method):I.चूँकि M=f(c);फलन का उच्चतम मान है।
\text{अतः } f(c \pm h) \le f(c) \text{ जहाँ } h \text{ धनात्मक एवं छोटी संख्या है।}
\text{अतः } \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \le 0 \text{ और } \frac{f(c-h) - f(c)}{-h} \ge 0
\text{दोनों व्यंजकों में } h \to 0 \text{ लेने पर}
\lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0 \text{ और } \lim_{h \to 0} \frac{f(c-h) - f(c)}{-h} \ge 0
\implies f'(c+0) \leq 0 \text{ और } f'(c-0) \geq 0
चूंकि f'(c) विद्यमान है अतः f'(c + 0) एवं f'(c-0) विद्यमान तथा बराबर है।यह उसी अवस्था में सम्भव है जबकि
f'(c+0)=0=f'(c-0)
अतः f'(c)=0
विधि (Method) II.माना कि f'(c) \neq 0 \implies f'(c) > 0 \text{ या } f'(c) < 0
\text{(a) माना कि } f'(c) > 0 \implies \exists \delta > 0 \text{ ताकि } f(x) > f(c) = M, \forall x \in (c, c+\delta)
\implies M, \text{ फलन } f(x) \text{ का उच्चक नहीं है, जो कि विरोधाभास है।}
\text{अतः } f'(c) \le 0 \quad \cdots(1)
\text{(b) माना कि } f'(c) < 0 \implies \exists \delta_1 > 0 \text{ ताकि } f(x) > f(c) = M, \forall x \in (c-\delta_1, c)
\implies M, \text{ फलन } f(x) \text{ का उच्चक नहीं है, जो कि विरोधाभास है।}
\text{अतः } f'(c) \geq 0 \quad \cdots(2)
\text{(1) एवं (2) से, } f'(c) = 0
\text{इस प्रकार यदि } m \neq f(a) = f(b) \text{ तो हम आसानी से सिद्ध कर सकते हैं कि } f'(d) = 0, d \in (a, b)

Rolle’s Theorem in Hindi: Algebraic and Geometrical Interpretation

(A)टिप्पणी (Note):(i)यदि फलन f रोल प्रमेय के सभी प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करे तो अन्तराल (a,b) में एक से अधिक बिन्दुओं के लिए f'(c)=0 होने की संभावना है।
(ii) रोल प्रमेय की सत्यता के लिए प्रतिबन्ध
(iii) का परम्परागत रूप f(a)=f(b)=0 है।
(iv) रोल प्रमेय में फलन ƒ का संवृत अन्तराल [a,b] में सांतत्य आवश्यक है क्योंकि उसके उपपत्ति (Proof) में फलन f की संवृत अन्तराल [a,b] में सांतत्य की विशेषता का प्रयोग किया गया है। (v)रोल प्रमेय का विलोम सत्य नहीं है अर्थात् इस प्रमेय में दिए हुए प्रतिबन्ध पर्याप्त हैं परन्तु आवश्यक नहीं है।
(B)रियल-वर्ल्ड एप्लीकेशन (Real World Application): स्पीड एंड मोशन (Speed and Motion):अगर आप कार से A से B जगह जाते हैं और स्टार्ट करते वक्त स्पीड 0 थी और डेस्टिनेशन पर पहुंचने पर भी स्पीड 0 हो गई,तो रास्ते में कम से कम एक पॉइंट ऐसा जरूर था जहां कार का एक्सेलेरेशन (Acceleration) (स्पीड का डेरिवेटिव) 0 थी।

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3.रोल प्रमेय का बीजीय अर्थ (Algebraic Interpretation of Rolle’s Theorem)

[Raj. 92; Ajmer 2001; Kota 2005]
स्पष्ट रूप से रोल प्रमेय सत्य है जबकि fla=f(b)=0. इससे हमें समीकरणों के सिद्धान्त का निम्नलिखित प्रमुख निष्कर्ष प्राप्त होता है। यदि f(x),x में बहुपद है तथा x=a और x=b समीकरण f(x)=0 के दो मूल हों,तो समीकरण f'(x)=0 का कम से कम एक मूल a तथा b के मध्य विद्यमान होगा। (If f(x) be a polynomial in x and x=a and x=b are any two roots of the equation f(x)=0,then there exists at least one root of the equation f(x)=0 which lies between a and b.) [Ajmer 2001]
रोल प्रमेय की बीजीय व्याख्या को स्पष्ट करने के लिए हम निम्न उदाहरण पर विचार करेंगे :
उदाहरण: माना कि f(x) = \frac{a_0 x^{n+1}}{n+1} + \frac{a_1 x^n}{n} + \dots + a_n x \\ \text{जहाँ } a_0, a_1, \dots, a_n \text{ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि } \frac{a_0}{n+1} + \frac{a_1}{n} + \dots + \frac{a_{n-1}}{2} + a_n = 0
जहाँ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि हम देखते हैं कि फलन f(x) बहुपदीय होने के कारण x के प्रत्येक मान के लिए संतत तथा अवकलनीय है तथा साथ ही
f(0) = 0, \quad f(1) = \frac{a_0}{n+1} + \frac{a_1}{n} + \dots + a_n = 0 (दिया है)
अतः f(0)=f(1)=0, f(x) अन्तराल [0,1] में संतत तथा अन्तराल (0,1) में अवकलनीय, f(0)=f(1)
अतः अन्तराल [0,1] में फलन रोल प्रमेय के तीनों प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता है।
अतः रोल प्रमेय के अनुसार 0,1 के मध्य कम से कम कोई एक ऐसा वास्तविक संख्या x=c विद्यमान होगी जिसके लिए f'(c)=0
अतः अन्तराल (0,1) में कम से कम एक बार f'(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n = 0

4.रोल प्रमेय का ज्यामितीय अर्थ (Geometrical Interpretation Rolle’s Theorem)

[Ajmer 96, 2002; Bikaner 2005; Kota 2006]
यदि f(x) अचरहो,तो उस अवस्था में फलन का आलेख x-अक्ष के समान्तर एक रेखा होगी।अतः अन्तराल के प्रत्येक बिन्दु f'(x)=0 होगा। जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है।

Rolle’s Theorem in Hindi: Algebraic and Geometrical Interpretation

यदि (x) अचर न हो,तो इसका आलेख एक संतत् वक्र होगा।चूंकि f(a)=f(b) अतः f(x) पहिले बढ़‌ता है और फिर घटता है या पहिले घटता और फिर बढ़ता है।ऐसा करते समय फलन f(x) जैसे बिन्दुओं से गुजरता है जहाँ पर f'(x) अचर है।इन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है और इन बिन्दुओं पर f'(x)=0
अतः हमें रोल प्रमेय का निम्न ज्यामितीय अर्थ प्राप्त होता है। यदि वक्र के प्रत्येक बिन्दु पर स्पर्श रेखा विद्यमान है तथा इसके सिरों पर A तथा B पर कोटि समान है,तो आरेख पर बिन्दुओं A तथा B को छोड़कर कम से कम एक ऐसा बिन्दु P विद्यमान होगा जहाँ कि स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर होगी। (If a curve has a tangent at every point thereof and the ordinater its extremities of A and B are equal,there exists at least one point P on the curve other than A and B the tangent at which is parallel to x-axis.)
उपर्युक्त थ्योरी के हल द्वारा हिन्दी में रोल प्रमेय: बीजगणितीय और ज्यामितीय अर्थ (Rolle’s Theorem in Hindi: Algebraic and Geometrical Interpretation) को समझ सकते हैं।

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5.छात्र-छात्राओं के लिए रोल प्रमेय हिन्दी में,के प्रैक्टिस क्वेश्चंस (Practice Questions of Rolle’s Theorem in Hindi for Students):

Rolle’s Theorem in Hindi: Algebraic and Geometrical Interpretation

(1.)फलन f(x) = 2 + (x-1)^{\frac{2}{3}} के लिए अन्तराल [0,2] में रोल प्रमेय की उपयुक्तता की विवेचना कीजिए। (Discuss the applicability of Rolle’s theorem for f(x) = 2 + (x-1)^{\frac{2}{3}} in the interval [0,2].)
(2.)क्या रोल प्रमेय की शर्ते निम्न फलन को सन्तुष्ट करती हैं? (Are the conditions of Rolle’s theorem satisfied in the case of the following functions?)
f(x) = x^2 \text{ in } 2 \leq x \leq 3
उत्तर (Answers):(1.)फलन रोल प्रमेय की शर्तों को सन्तुष्ट नहीं करता है।(2.)फलन रोल प्रमेय की शर्तें पूरी नहीं करता है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर हिन्दी में रोल प्रमेय: बीजगणितीय और ज्यामितीय अर्थ (Rolle’s Theorem in Hindi: Algebraic and Geometrical Interpretation) को अच्छी तरह से समझ सकते हैं क्योंकि स्वयं प्रैक्टिकल रूप से सवालों को हल करने पर कांसेप्ट अच्छी तरह समझ में आती है।
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6.हिन्दी में रोल प्रमेय: बीजगणितीय और ज्यामितीय अर्थ (Frequently Asked Questions Related to Rolle’s Theorem in Hindi: Algebraic and Geometrical Interpretation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

7.छात्र-छात्राओं से आज का प्रश्न (Today’s Question to Students)

🎯 विनर्स कॉर्नर:क्या आप इस सवाल का सही जवाब दे सकते हैं?अपने नाम के साथ नीचे कमेंट करें!सही जवाब देने वाले Top Students के नाम हमारी आगे post/is article ke update में Photo ya Special Mention के साथ publish की जाएगी।अपना जवाब अभी दर्ज करें!👇
*”ब्रजेश,जयेश,अमर और प्रवीर एक ताश का खेल खेल रहे हैं।अमर,जयेश के दाहिनी ओर है जोकि ब्रजेश के दाहिनी ओर है।अमर के दाहिनी ओर कौन है?”* (Brajesh,Jayesh,Amar and Praveer are playing a card game. Amar is to the right of Jayesh which is to the right of Brajesh. Who is to the right of Amar?)
*पिछली प्रश्नोत्तरी का हल*124

Rolle’s Theorem in Hindi: Algebraic and Geometrical Interpretation

चित्र में 60° पर झुकी हुई OX और OY दो सड़कें हैं।20 मिनट में A और B दोनों 1-1 किमी दूरी तय करेंगे।अतः AB=OB जिससे \angle OAB = \angle OBA \\ = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ
इस प्रकार त्रिभुज OAB समत्रिबाहु त्रिभुज हुआ।अतः A और B के बीच न्यूनतम दूरी AB=1 किमी
*Previous Quiz Solution*124
In the figure, OX and OY are two roads inclined at 60°. In 20 minutes both A and B will cover a distance of 1 km each. Hence, AB=OB from \angle OAB = \angle OBA \\ = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ
Thus the triangle OAB became an equilateral triangle. Hence, the minimum distance between A and B is AB=1 km
*”यह आर्टिकल **Satyam Mathematics** ब्लॉग पर **Satyam Coaching Centre** के द्वारा तैयार किया गया है।”*