1.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence):

Real Sequence in Real Analysis

वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence in Real Analysis) के इस आर्टिकल में अनुक्रमों की परिबद्धता,अनुक्रमों के सीमा बिन्दु,अनुक्रम अभिसारी है या नहीं आदि के बारे में अध्ययन करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम के साधित उदाहरण (Real Sequence in Real Analysis Solved Examples):

Example:1.निम्न अनुक्रमों की परिबद्धता की विवेचना कीजिए यदि nवाँ पद निम्न हो।
(Discuss the boundness of the sequences whose nth terms are given by)
Example:1(i). x_n=1+\frac{(-1)^n}{n}
Solution: x_n=1+\frac{(-1)^n}{n}
n=1,2,3,4,5,6…….. रखने परः
x_n=\left\{0,\frac{3}{2}, \frac{2}{3}, \frac{4}{4}, \frac{4}{5}, \ldots, \ldots,\right\} \\ \therefore x_n \geq 0 \forall n \in N
\text{ inf. } \left\langle x_n\right\rangle=0 तथा \sup \left\langle x_n\right\rangle=\frac{3}{2}
अतः अनुक्रम \Rightarrow \left\{x_n\right\} परिबद्ध है।
Example:1(ii). x_n=\frac{1-(-1)^n}{2}
Solution: x_n=\frac{1-(-1)^n}{2}
n=1,2,3,4,5,…..रखने परः
x_n=\{1,0,1,0 \ldots\}
अतः x_n \geq 0 \forall n \in N
तथा x_n \leq 1
अतः \Rightarrow \left\{x_n\right\} परिबद्ध है।
Example:1(iii). x_n=\left\{\begin{array}{l} -\frac{n}{2}, \text { जब n सम हो } \\ \frac{n+1}{2}, \text { जब n विषम हो } \end{array}\right.
Solution:- x_n=\left\{\begin{array}{l} -\frac{n}{2}, \text { जब n सम हो } \\ \frac{n+1}{2}, \text { जब n विषम हो } \end{array}\right. \\ x_n=\{\ldots-4,-3,-2,-1,1,2,3,4 \ldots . .\}
स्पष्ट है कि \Rightarrow \left\{x_n\right\} अपरिबद्ध अनुक्रम है।
Example:2.निम्न अनुक्रमों के सीमा बिन्दु ज्ञात कीजिए। (Find limit points of the following sequences):
Example:2(i). \left\{\sin \frac{n \pi}{2}\right\}
Solution: \left\{\sin \frac{n \pi}{2}\right\} \\ n=1, \sin \frac{\pi}{2}=1 \\ n=2, \sin \pi=0 \\ n=3, \sin \frac{3 \pi}{2}=-1
अतः अनुक्रम के सीमा बिन्दु हैं:-1,0,1
Example:2(ii). \left\{1+(-1)^n\right\}
Solution: \left\{1+(-1)^n\right\} \\ n=1, 1+(-1)^1=0 \\ n=2, 1+(-1)^2=2
अतः अनुक्रम के सीमा बिन्दु हैं: 0,2
Example:3.अनुक्रम की सीमा की परिभाषा से सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम \Rightarrow \left\{x_n\right\} जहाँ x_n=\frac{2 n^2+1}{2 n^2-1}, \forall n \in N ,1 को अभिसृत होता है।
(Use the definition of limit of the sequence to prove that the sequence \Rightarrow \left\{x_n\right\} where x_n=\frac{2 n^2+1}{2 n^2-1}, \forall n \in N converges to 1.)
Solution: x_n=\frac{2 n^2+1}{2 n^2-1}
माना कि \varepsilon > 0 कोई धनात्मक वास्तविक संख्या है।
\left|x_n-1\right| =\left|\frac{2 n^2+1}{2 n^2-1}-1\right| \\ =\left|\frac{2 n^2+1-2 n^2+1}{2 n^2-1}\right| \\ =\left|\frac{2}{2 n^2-1}\right|<\frac{2}{2 n^2-1}<\frac{2}{2 n^2}<\frac{1}{n^2} \\ <\frac{1}{n^2}<\varepsilon , \text { जबकि } n>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \\ \Rightarrow\left|x_n-1\right| < \varepsilon \forall n>n_0 \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x_n=1
\Rightarrow \left\{x_n\right\} ,1 को अभिसृत होती है।
Example:4.यदि \left\{x_n\right\} जहाँ x_n=\frac{2 n+3}{3 n+4} अनुक्रम हो,तो सिद्ध कीजिए \operatorname{Lim} x_n=\frac{2}{3}
(If \left\{x_n\right\} where x_n=\frac{2 n+3}{3 n+4} be any sequence then prove that \operatorname{Lim} x_n=\frac{2}{3} )
Solution: x_n=\frac{2 n+3}{3 n+4} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x_n =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2 n+3}{3 n+4} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2+\frac{3}{n}}{3+\frac{4}{n}} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x_n =\frac{2}{3}
Example:5.सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम \left\{x_n\right\} जहाँ x_n=\frac{1}{2^n} , ‘0’ को अभिसृत होता है।
(Prove that the sequence \left\{x_n\right\} ,where x_n=\frac{1}{2^n} converges to ‘0’.)
Solution: x_n=\frac{1}{2^n} \\ x_n \neq 0 ; \forall n \in N \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x_n =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{1}{2^n}\right) \\ =\frac{1}{2^{\infty}}=\frac{1}{\infty} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x_n=0
\therefore \left\{x_n\right\}, 0 को अभिसृत होता है।

Real Sequence in Real Analysis

Example:6.सिद्ध कीजिए कि निम्न अनुक्रम अभिसारी होंगे जहाँ n वें पद हैं:
(Prove that the following sequences are convergent where nth terms are):
Example:6(i). x_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}
Solution: x_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} \\ \Rightarrow x_n =\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) +\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\=1-\frac{1}{n+1} \\ =\frac{n+1-1}{n+1} \\ =\frac{n}{n+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n}{n(1+\frac{1}{n})} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x_n=1
\therefore \left\{x_n\right\} अभिसारी है।
Example:6(ii). x_n=\sqrt{n^2+n}-n
Solution: x_n=\sqrt{n^2+n}-n \\ =\frac{\sqrt{n^2+n}-n}{1} \times \frac{\sqrt{n^2+n}+n}{\sqrt{n^2+n}+n} \\ = \frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} \\ =\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} \\ =\frac{n}{\sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)}+n} \\ =\frac{n}{n \sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+n} \\ =\frac{n}{n\left[\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+1\right]} \\ =\frac{1}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+1} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x_n=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x_n=\frac{1}{2}
अतः अनुक्रम \left\{x_n\right\}, \frac{1}{2} को अभिसृत होता है।
Example:7.सिद्ध कीजिए कि निम्न अनुक्रम अभिसारी हैं।इनकी सीमा भी ज्ञात कीजिए:
(Prove that the following sequence are convergent.Also find limits.)
Example:7(i). \left\{x_n\right\} जहाँ x_1=1, x_{n+1}=\frac{\left(2 x_{n}+3\right)}{4}
Solution: x_1=1, x_{n+1}=\frac{\left(2 x_n+3\right)}{4}
x_{n+1} में n=1,2,3,….रखने परः
x_2=\frac{2 x_1+3}{4}=\frac{2 \times 1+3}{4}=\frac{5}{4} \\ x_3=\frac{2 x_2+3}{4}=\frac{2 \times \frac{5}{4}+3}{4}\\ =\frac{\frac{5}{2}+3}{4}=\frac{5+6}{2 \times 4} \\ \Rightarrow x_3 =\frac{11}{8} \\ x_4 =\frac{2 x_3+3}{4}=\frac{2 \times \frac{11}{8}+3}{4} \\ =\frac{\frac{11}{4}+\frac{3}{4}}{4}=\frac{11+12}{4 \times 4} \\ \Rightarrow x_4 =\frac{23}{16} \\ \therefore 1 < \frac{5}{4} < \frac{11}{8}< \frac{23}{16}
अर्थात् x_1<x_2<x_3<x_4<2
अब x_r-x_{r+1}=\frac{2 x_{r-1}+3}{4}-\frac{2 x_r+3}{4} \\ =\frac{2 x_{r-1}+3-2 x_r-3}{4} \\ =\frac{2 x_{r-1}-2 x_r}{4} \\ =\frac{x_{r-1}-x_r}{2}<0 \\ \Rightarrow x_{r} < x_{r+1}
पुनः x_r-\frac{3}{2}=\frac{2 x_r+3}{4}-\frac{3}{2} \\ =\frac{2 x_r+3-6}{4} \\ \Rightarrow x_r-\frac{3}{2} =\frac{2 x_r-3}{4}<0 \\ \therefore x_r+1 < \frac{3}{2}
अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त सेः
x_n < x_{n+1}< \frac{3}{2}
\Rightarrow \left\{x_n\right\} एकदिष्ट अभिसारी अनुक्रम है जो ऊपर से परिबद्ध है।
\Rightarrow \left\{x_n\right\} एक अभिसारी अनुक्रम है।
अब माना कि \operatorname{Lim} x_n=\xi \\ \therefore \operatorname{Lim} x_n=\lim x_{n+1}
और x_{n+1}=\frac{2 x_n+3}{4} \\ \therefore \operatorname{Lim} x_{n+1}=\frac{2 \operatorname{Lim} x_{n+3}}{4} \\ \Rightarrow \xi=\frac{2 \xi+3}{4} \\ \Rightarrow 4 \xi=2 \xi+3 \\ \Rightarrow 2 \xi=3 \\ \Rightarrow \xi=\frac{3}{2} \\ \therefore \operatorname{Lim} x_n=\frac{3}{2}
Example:7(ii). \left\{x_n\right\} जहाँ x_1=1, x_{n+1}=\sqrt{6+x_n} \quad \forall x \in N
Solution: x_1=1, x_{n+1}=\sqrt{6+x_n} \quad \forall x \in N
x_{n+1} में n=1,2,3,…..रखने परः
x_2=\sqrt{6+x_1}=\sqrt{6+1}=\sqrt{7} \\ x_3=\sqrt{6+x_2}=\sqrt{6+\sqrt{7}} \\ x_4= \sqrt{6+x_3} =\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{7}}} \\ \therefore 1< \sqrt{7}<\sqrt{6+\sqrt{7}}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{7}}}
अर्थात् x_1< x_2< x_3< x_4< 3
अब x_r-x_{r+1}=\sqrt{6+x_{r-1}}-\sqrt{6+x_r}< 0 \\ \Rightarrow x_r < x_r+1
पुनः x_{r+1}-3=\sqrt{6+x_r}-3< 0 \\ \therefore x_{r+1}<3
अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त सेः
x_n<x_{n+1}<3
\Rightarrow \left\{x_n\right\} एकदिष्ट अभिसारी अनुक्रम है जो ऊपर से परिबद्ध भी है।
\Rightarrow \left\{x_n\right\} एक अभिसारी अनुक्रम है।
अब माना कि \operatorname{Lim} x_n=\xi
\therefore \operatorname{Lim} x_n=\operatorname{Lim} x_{n+1} और x_{n+1}=\sqrt{6+x_n} \\ \operatorname{Lim} x_{n+1}=\sqrt{6+\operatorname{Lim} x_n} \\ \therefore \xi=\sqrt{6+\xi} \\ \Rightarrow \xi^2=6+\xi \\ \Rightarrow \xi^2-\xi-6=0 \\ \Rightarrow \xi^2-3 \xi+2 \xi-6=0 \\ \Rightarrow \xi(\xi-3)+2(\xi-3)=0 \\ \Rightarrow (\xi-3)(\xi+2)=0 \\ \Rightarrow \xi=-2,3
परन्तु x_n>0 \forall n \in N \therefore \xi \neq-2 \\ \therefore \operatorname{Lim} x_n=3
Example:7(iii). x_n जहाँ x=\sqrt{5}, x_{n+1}=\sqrt{5 x_n}
Solution: x_n=\sqrt{5}, x_{n+1}=\sqrt{5 x_n}
x_{n+1} में n=1,2,3,…..रखने परः
x_2=\sqrt{5 x_1}=\sqrt{5 \sqrt{5}} \\ x_3=\sqrt{5 x_2}=\sqrt{5 \sqrt{5 \sqrt{5}}} \\ x_4=\sqrt{5 x_3}=\sqrt{5 \sqrt{5 \sqrt{5 \sqrt{5}}}}
अर्थात् x_1<x_2<x_3<x_4< 5
अब x_r-x_{r+1}=\sqrt{5 x_{r-1}}-\sqrt{5 x_r}< 0 \\ \Rightarrow x_r < x_r+1
पुनः x_{r+1}-5=\sqrt{5 x_r}-5< 0 \\ \therefore x_{r+1}<5
अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त सेः
x_n<x_{n+1}<5
\Rightarrow \left\{x_n\right\} एकदिष्ट अभिसारी अनुक्रम है जो ऊपर से परिबद्ध भी है।
\Rightarrow \left\{x_n\right\} एक अभिसारी अनुक्रम है।
अब मानाकि \operatorname{Lim} x_n=\xi
\therefore \operatorname{Lim} x_n=\operatorname{Lim} x_{n+1} और x_{n+1}=\sqrt{5 x_n} \\ \operatorname{Lim} x_{n+1}=\sqrt{5 \operatorname{Lim} x_n} \\ \Rightarrow \xi=\sqrt{5 \xi} \\ \Rightarrow \xi^2=5 \xi \\ \Rightarrow \xi^2-5 \xi=0 \\ \Rightarrow \xi(\xi-5)=0 \\ \Rightarrow \xi=0,5
परन्तु x_n > 0 \forall n \in N \therefore \xi \neq 0 \\ \therefore \lim x_n=5
Example:8.सिद्ध करो कि अनुक्रम जहाँ
(Prove that the sequence,where)
(i) x_1>0 तथा x_n+1=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right) \forall n \in N
(ii) x_1=\frac{3}{2}, x_{n+1}=2-\frac{1}{x_n} ; \forall n \geq 1
एकदिष्ट परिबद्ध अनुक्रम है तथा इनकी सीमा भी ज्ञात कीजिए।
(are monotonic and bounded. Find the limit of sequences also.)
Solution:(i). x_1>0, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right) \forall n \in N
माना x_1=k>0 तथा x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)
इसलिए अनुक्रम के सभी पद धनात्मक है।
गणितीय आगमन सेः
x_{n+1} > x_n \leq n \in N \\ x_2-x_1 =\frac{1}{2}\left(x_1+\frac{2}{x_1}\right)-x_1 \\ =\frac{1}{2} x_1+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_1} \\ =\frac{1}{2} x_1=\frac{1}{2} k>0
यदि 0<k<\sqrt{2}
x_2>x_1 यदि 0<k<\sqrt{2}
मानाकि x_{n+1} > x_n \cdots(1) \\ x_{n+2}-x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_{n+1}+\frac{2}{x_{n+1}}\right)- \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(x_{n+1}+\frac{2}{x_n}-x_n-\frac{2}{x_n}\right) \\=\frac{1}{2} \frac{\left(x_{n+1}^2 x_n+2 x_n-x_n^2 x_{n+1}-2 x_{n+1}\right)}{x_{n+1} x_n} \\ =\frac{1}{2} \left[\frac{x_{n+1}\left(x_{n+1}-x_n\right)-2 \left(x_{n+1}-x_n\right)}{x_{n+1} x_n} \right] \\ =\frac{1}{2} \frac{\left(x_{n+1}-x_n\right)\left(x_{n+1}-2\right)}{x_{n+1} x_n} >0 [(1) से]
\Rightarrow \therefore x_{n+2}>x_{n+1}
इस प्रकार x_2 > x_1 और यदि x_{n+1}>x_{n} तब हम प्राप्त करते हैं x_{n+2}>x_{n+1}
\therefore गणितीय आगमन से x_{n+1}>x_{n} , \forall n \in N
\Rightarrow अतः अनुक्रम \left\{x_n\right\} एकदिष्ट अनुक्रम है जो कि ऊपर से परिबद्ध है
x_{n+1}>x_n \forall n \in N \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right) > x_n \\ \Rightarrow \frac{1}{2} x_n^2+ 1 > x_n^2 \\ \Rightarrow x_n^2-\frac{1}{2} x_n^2<1 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} x_n^2<1 \\ \Rightarrow x_n^2 <2 \\ \Rightarrow x_n<\sqrt{2} \\ \therefore \left\{x_n\right\} ऊपर से द्वारा परिबद्ध है।
अतः \left\{x_n\right\} एकदिष्ट वर्धमान परिबद्ध अनुक्रम है।
माना \operatorname{Lim} x_n=\xi \\ \therefore \lim x_n=\lim x_{n+1} और x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right) \\ \Rightarrow \xi=\frac{1}{2}\left(\xi+\frac{2}{\xi}\right) \\ \Rightarrow \xi=\frac{1}{2}\left(\frac{\xi^2+2}{\xi}\right) \\ \Rightarrow 2 \xi^2=\xi^2+2 \\ \Rightarrow \xi^2=2 \\ \Rightarrow \xi= \pm \sqrt{2}
परन्तु x_n>0 \forall x \in N \therefore \xi \neq -\sqrt{2} \\ \therefore \lim x_n=\sqrt{2}
(ii). x_1=\frac{3}{2}, x_{n+1}=2-\frac{1}{x_n} ; \forall n \geq 1
x_{n+1} में n=1,2,3,….रखने परः
x_2=2-\frac{1}{x_1}=2-\frac{x}{\frac{3}{2}}=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3} \\ x_3=2-\frac{1}{x_2}=2-\frac{1}{\frac{4}{3}}=2-\frac{3}{4}=\frac{5}{4} \\ x_4=2-\frac{1}{x_3}=2-\frac{1}{\frac{5}{4}}=2-\frac{4}{5}=\frac{6}{5} \\ \frac{3}{2}>\frac{4}{3}>\frac{5}{4}>\frac{6}{5}
अर्थात् x_1>x_2>x_3>x_4 >1
अब x_r-x_r+1 =x_r-\left(2-\frac{1}{x_r}\right) \\ =x_r-2+\frac{1}{x_r}>0 \\ \Rightarrow x_r>x_r+1
पुनः x_r+1-1=2-\frac{1}{x_r}-1 \\ =1-\frac{1}{x_r}>0 \\ \Rightarrow x_r+1 >1
अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से
1< x_n<x_{n+1}
\Rightarrow \left\{x_n\right\} एकदिष्ट ह्रासमान अभिसारी अनुक्रम है जो नीचे से परिबद्ध है।
ए\Rightarrow \left\{x_n\right\} क अभिसारी परिबद्ध अनुक्रम है।
अब माना कि \operatorname{Lim} x_n=\xi \\ \therefore \operatorname{Lim} x_n=\operatorname{Lim} x_{n+1}
और x_{n+1}=2-\frac{1}{x_n} \\ \Rightarrow \xi=2-\frac{1}{\xi} \Rightarrow \xi=\frac{2 \xi-1}{\xi} \\ \Rightarrow \xi^2=2 \xi-1 \\ \Rightarrow \xi^2-2 \xi+1=0 \\ \Rightarrow(\xi-1)^2=0 \\ \Rightarrow \xi=1 \\ \therefore \operatorname{Lim} x_n=1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) को समझ सकते हैं।

3.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम की समस्याएँ (Real Sequence in Real Analysis Problems):

Real Sequence in Real Analysis

(1.)सिद्ध कीजिए कि \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n का अस्तित्व है और 2 तथा 3 के बीच विद्यमान है।
(Show that \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n exists and lies between 2 and 3.)
(2.)सिद्ध करो कि अनुक्रम \langle x_n\rangle जो तथा द्वारा परिभाषित है एकदिष्ट वर्धमान x_1=1 तथा x_{n+1}=\sqrt{(2+2 n)}, \forall n \in N परिबद्ध है।इसकी सीमा भी ज्ञात कीजिए।
(Show that the sequence defined by and,is monotonically increasing x_1=1 and x_{n+1}=\sqrt{(2+2 n)}, \forall n \in N bounded. Also find its limit.)
उत्तर (Answer): (2.) \operatorname{Lim} x_n=2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Frequently Asked Questions Related to Real Sequence in Real Analysis),वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence in Real Analysis) के इस आर्टिकल
में अनुक्रमों की परिबद्धता,अनुक्रमों के सीमा बिन्दु,अनुक्रम अभिसारी है या नहीं आदि के बारे
में अध्ययन करके समझने का प्रयास करेंगे।