1.विविक्त गणित में गणितीय आगमन (Mathematical Induction Discrete Maths),गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction):

Mathematical Induction Discrete Maths

विविक्त गणित में गणितीय आगमन (Mathematical Induction Discrete Maths) के इस आर्टिकल में आगमन सिद्धान्त पर आधारित सवालों को समझने का प्रयास करेंगे।
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2.विविक्त गणित में गणितीय आगमन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Mathematical Induction Discrete Maths):

निम्नलिखित को गणितीय आगमन सिद्धान्त द्वारा n के सभी धन पूर्णांकीय मानों के लिए सिद्ध कीजिए:
(Prove the following by mathematical induction for all positive integral values of n):
Example:1. 1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2} n(n+1)
Solution:हमें सिद्ध करना हैः
1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2} n(n+1) \cdots(1)
(1) में n=1 रखने परः
L.H.S.=1 , R.H.S.=\frac{1}{2} n(n+1)=\frac{1}{2}(1)(1+1)=1
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन (1),n=1 के लिए सत्य है।
माना कि उपर्युक्त कथन (1),n=m के लिए सत्य है,अर्थात्
1+2+3+\cdots+m=\frac{1}{2}m(m+1) \cdots(2)
अब हमें सिद्ध करना है कि यह कथन n=m+1 के लिए भी सत्य होगा,अर्थात्
1+2+3+\cdots+(m+1)=\frac{1}{2}(m+1)(m+2) \cdots(3)
L.H.S. 1+2+3+\cdots+(m+1) \\ =1+2+3+\cdots+m+m+1 \\ =\frac{1}{2} m(m+1)+m+1 [(2) के प्रयोग से]
=\frac{m^2+m+2 m+2}{2} \\ =\frac{m^2+3 m+2}{2} \\ =\frac{m^2+2 m+m+2}{2} \\ =\frac{m(m+2)+1(m+2)}{2} \\ =\frac{1}{2}(m+1)(m+2)=R.H.S.
अतः कथन (1),n=m+1 के लिए भी सत्य है।फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से दिया गया कथन प्रत्येक n के लिए सत्य है।
Example:3.2+4+6+……..+2n=n(n+1)
Solution:हमें सिद्ध करना हैः
2+4+6+……..+2n=n(n+1)   …… (1)
(1) में n=1 रखने परः
L.H.S.=2,R.H.S.=n(n+1)=1(1+1)=2
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन (1),n=1 के लिए सत्य है।
माना कि उपर्युक्त कथन (1),n=m के लिए सत्य है,अर्थात्
2+4+6+……..+2m=m(m+1)   ….. (2)
अब हमें सिद्ध करना है कि यह कथन n=m+1 के लिए भी सत्य होगा,अर्थात्
2+4+6+……..+2m+2(m+1)=(m+1)(m+2) ……(3)
L.H.S. 2+4+6+\cdots+2 m+2(m+1) \\ =m(m+1)+2(m+1)    [(2) के प्रयोग से]
=m^2+m+2 m+2 \\ =m(m+1)+2(m+1) \\=(m+1)(m+2) =R.H.S.
अतः कथन (1),n=m+1 के लिए भी सत्य है।फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से दिया गया कथन प्रत्येक n के लिए सत्य है।
Example:4. 1+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^2
Solution:हमें सिद्ध करना हैः
1+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^2 , n \in I^{+} \cdots(1)
(1) में n=1 रखने परः
L.H.S.=1 , R.H.S.=1^2=1
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन (1),n=1 के लिए सत्य है।
माना कि उपर्युक्त कथन (1),n=m के लिए सत्य है,अर्थात्
1+3+5+\cdots+(2 m-1)=m^2 \ldots(2)
अब हमें सिद्ध करना है कि यह कथन n=m+1 के लिए भी सत्य होगा,अर्थात्
1+3+5+\cdots+[2(m+1)-1]=(m+1)^2 \\ \Rightarrow 1+3+5+\cdots+(2 m-1)+(2 m+1)=(m+1)^2 \cdots(3)
L.H.S. 1+3+5+\cdots+(2 m-1)+(2 m+1) \\ =m^2+(2 m+1) [(2) के प्रयोग से]
=m^2+2 m+1 \\ =(m+1)^2= R.H.S.
अतः कथन (1),n=m+1 के लिए भी सत्य है।फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से दिया गया कथन प्रत्येक n के लिए सत्य है।
Example:7. 1+4+7+\cdots+(3 n-2)=\frac{1}{2} n(3 n-1)
Solution:हमें सिद्ध करना हैः
1+4+7+\cdots+(3 n-2)=\frac{1}{2} n(3 n-1) , n \in I^{+} \cdots(1)
(1) में n=1 रखने परः
L.H.S.=1, R.H.S=\frac{1}{2} n(3 n-1)=\frac{1}{2} \times 1 \times(3 \times 1-1)=1
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन (1),n=1 के लिए सत्य है।
माना कि उपर्युक्त कथन (1),n=m के लिए सत्य है,अर्थात्
1+4+7+\cdots+(3 m-2)=\frac{1}{2} m(3 m-1) \cdots(2)
अब हमें सिद्ध करना है कि यह कथन n=m+1 के लिए भी सत्य होगा,अर्थात्
1+4+7+\cdots+(3 m-2)+[3(m+1)-2]=\frac{1}{2}(m+1)[3(m+1)-1] \\ 1+4+7+\cdots+(3 m-2)+(3 m+1)=\frac{1}{2}(m+1)(3 m+2) \cdots(3)
L.H.S. 1+4+7+\cdots+(3 m-2)+(3 m+1) \\ =\frac{1}{2} m(3 m-1)+(3 m+1) [(2) के प्रयोग से]
=\frac{1}{2}\left(3 m^2-m\right)+(3 m+1) \\ =\frac{3 m^2-m+6 m+2}{2} \\ =\frac{1}{2}\left(3 m^2+5 m+2\right) \\ =\frac{1}{2}\left[3 m^2+3 m+2 m+2\right] \\=\frac{1}{2}[3 m(m+1)+2(m+1)] \\ =\frac{1}{2}(m+1)(3 m+2)=R.H.S.
अतः कथन (1),n=m+1 के लिए भी सत्य है।फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से दिया गया कथन प्रत्येक n के लिए सत्य है।

Mathematical Induction Discrete Maths

Example:9. 1-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{n-1} n^2=(-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2}
Solution:हमें सिद्ध करना हैः
1-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{n-1} n^2=(-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2}
(1) में n=1 रखने परः
L.H.S.=1 , R.H.S. =(-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2}=(-1)^{1-1} \frac{1(1+1)}{2}=1
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन (1),n=1 के लिए सत्य है।
माना कि उपर्युक्त कथन (1),n=m के लिए सत्य है,अर्थात्
1-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{m-1} m^2=(-1)^{m-1} \frac{m(m+1)}{2} \cdots(2)
अब हमें सिद्ध करना है कि यह कथन n=m+1 के लिए भी सत्य होगा,अर्थात्
1-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{m-1} m^2+(-1)^m(m+1)^2=(-1)^m \frac{(m+1)(m+2)}{2} \cdots(3)
L.H.S. 1-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{m-1} m^2+(-1)^m \frac{(m+1)^2}{2} \\ (-1)^{m-1} \frac{m(m+1)}{2}+(-1)^m(m+1)^2 [(2) के प्रयोग से]
=(-1)^m(m+1)\left[-\frac{m}{2}+m+1\right] \\ =(-1)^m(m+1)\left(\frac{m}{2}+1\right) \\ =(-1)^m \frac{(m+1)(m+2)}{2}=R.H.S.
अतः कथन (1),n=m+1 के लिए भी सत्य है।फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से दिया गया कथन प्रत्येक n के लिए सत्य है।
Example:11. n^2+n एक प्राकृतिक संख्या है (is natural number), \forall n \in I^{+}
Solution:हमें सिद्ध करना हैः
n^2+n=2k, k \in N \cdots(1)
(1) में n=1 रखने परः
L.H.S. (1)^2+(1)=2, R.H.S.=2×1=2
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन (1),n=1 के लिए सत्य है।
माना कि उपर्युक्त कथन (1),n=m के लिए सत्य है,अर्थात्
m^2+m=2 \lambda \cdots(2)
अब हमें सिद्ध करना है कि यह कथन n=m+1 के लिए भी सत्य होगा,अर्थात्
(m+1)^2+m+1=2 \mu, \mu \in N
L.H.S=(m+1)^2+m+1 \\ =m^2+2 m+1+m+1 \\ =\left(m^2+m\right)+(2 m+2) \\ =2 \lambda+2 m+2 [(2) के प्रयोग से]
=2[\lambda+m+1] \\ =2 \mu जहाँ \mu=\lambda+m+1 \in N
=R.H.S.
अतः कथन (1),n=m+1 के लिए भी सत्य है।फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से दिया गया कथन प्रत्येक n के लिए सत्य है।
Example:13. 3^{2 n+2}-8 n-9,64 से विभाज्य है यदि n धन पूर्णांक है (is divisible by 64,if n is a positive integer).
Solution:हमें सिद्ध करना हैः 3^{2 n+2}-8 n-9,64k ,n \in z^{+} तथा k \in N \cdots(1)
(1) में n=1 रखने परः
L.H.S.=3^{2 n+2}-8 n-9 \\ =3^{2+2}-8 \times 1-9 \\ =81-17=64=64=64k=R.H.S.
अतः कथन (1),n=1 के लिए सत्य है।
माना कि उपर्युक्त कथन (1),n=m के लिए सत्य है,अर्थात्
3^{2 m+2}-8 m-9=64 k, k \in N \cdots(2)
अब हमें सिद्ध करना है कि यह कथन n=m+1 के लिए भी सत्य होगा,अर्थात्
3^{2 m+4}-8(m+1)-9=64 k^{\prime}, k^{\prime} \in N \cdots(3)
L.H.S.=3^{2 m+4}-8(m+1)-9 \\ =3^2\left(3^{2 m+2}-8 m-9\right)+64 m+64 \\ =9 \times 64 k+64 m+64 [(2) के प्रयोग से]
=64[9 k+m+1] \\ =64 k^{\prime} जहाँ k^{\prime}  \in 9 k+m+1 \in N
R.H.S.
अतः कथन (1),n=m+1 के लिए भी सत्य है।फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से दिया गया कथन प्रत्येक n के लिए सत्य है।
Example:16. n^4-4 n^2 ,3 से विभाज्य है (is divisible by 3 \forall n \geq 2 , n \in N)
Solution:हमें सिद्ध करना हैः n^4-4 n^2=3 \lambda, \lambda \in W तथा n \geq 2 \cdots(1)
(1) में n=1 रखने परः
L.H.S.=n^4-4 n^2 =2^4-4 \times 2^2=16-16=0 \\=0.3 =3 \lambda=R.H.S.
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन (1),n=1 के लिए सत्य है।
माना कि उपर्युक्त कथन (1),n=m के लिए सत्य है,अर्थात्
m^4-4 m^2=3 \lambda, \lambda \in W \cdots(2)
अब हमें सिद्ध करना है कि यह कथन n=m+1 के लिए भी सत्य होगा,अर्थात्
(m+1)^4-4(m+1)^2=3 \lambda^{\prime}, \lambda^{\prime} \in N \cdots(3)
L.H.S.=(m+1)^4-4(m+1)^2 \\ =(m+1)^2\left[(m+1)^2-4\right] \\ =(m+1)^2\left[m^2+2 m+1-4\right] \\ =(m+1)^2 \left(m^2+2 m-3\right) \\ =m^4-4 m^2+4 m^3+6 m^2-4 m-3 \\=3 \lambda+4 m^3+6 m^2-4 m-3 [(2) के प्रयोग से]
=3 \lambda^{\prime}
अतः कथन (1),n=m+1 के लिए भी सत्य है।फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से दिया गया कथन प्रत्येक n \geq 2 के लिए सत्य है।
Example:17. (11)^{n+2}+(12)^{2 n+1}, 133 से विभाज्य है प्रत्येक धन पूर्णांक n के लिए (is divisible by 133 \forall n \in I )
Solution:हमें सिद्ध करना हैः
(11)^{n+2}+(12)^{2 n+1}=133 k, \quad k \in N \cdots(1)
(1) में n=1 रखने परः
L.H.S (11)^{n+2}+(12)^{2 n+1} \\ =(11)^3+(12)^3=1331+1728=3059=133 \times 23 \\ =133 k(k=23 \in N)
अतः कथन (1),n=1 के लिए सत्य है।
माना कि उपर्युक्त कथन (1),n=m के लिए सत्य है,अर्थात्
(11)^{m+2}+(12)^{2 m+1}=133 \lambda, \lambda \in N \cdots(2)
अब हमें सिद्ध करना है कि यह कथन n=m+1 के लिए भी सत्य होगा,अर्थात्
(11)^{m+3}+(12)^{2 m+3}=133 \lambda^{\prime}, \lambda^{\prime} \in N \cdots(3)
L.H.S. =(11)^{m+3}+12^{2 m+3} \\ =11\left[(11)^{m+2}+12^{2 m+1}\right]+12^{2 m+3} -11(12)^{2 m+1} \\ =11 \times 133 \lambda+12^{m+1} (144-11) [(2) के प्रयोग से]
=11 \lambda \times 133+12^{2 m+1} \times 133 \\ =133\left(11 \lambda+12^{2 m+1}\right)=133 \lambda^{\prime} जहाँ \lambda^{\prime}=11 \lambda+12^{2 m+1} \in N
अतः कथन (1),n=m+1 के लिए भी सत्य है।फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से दिया गया कथन प्रत्येक n के लिए सत्य है।
Example:19.असमिका (inequality) 2^n > n^3 \forall n \geq 10
Solution:हमें सिद्ध करना हैः
2^n > n^3 \forall n \geq 10 \cdots(1)
(1) में n=10 रखने परः
L.H.S.=2^n =2^{10}=1024,R.H.S.=n^3=10^3=1000
1024 > 1000
अतः कथन (1),n=10 के लिए सत्य है।
माना कि उपर्युक्त कथन (1),n=m के लिए सत्य है,अर्थात्
2^m > m^3 \forall m \geq 10 \cdots(2)
अब हमें सिद्ध करना है कि यह कथन n=m+1 के लिए भी सत्य होगा,अर्थात्
2^{m+1} > (m+1)^3 \ldots(3)
हम जानते हैं कि 2^m>3 m^2+3 m+1 \forall m \geq 10 \cdots(4)
(2) व (4) को जोड़ने परः
2^m+2^m>m^3+3 m^2+3 m+1 \\ \Rightarrow 2 \cdot 2^m>(m+1)^3 \\ \Rightarrow 2^{m+1} > (m+1)^3
अतः कथन (1),n=m+1 के लिए भी सत्य है।फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से दिया गया कथन प्रत्येक n \geq 10 के लिए सत्य है।
Example:20.तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग 9 से विभाज्य है। (The sum of the cubes of three consecutive natural numbers is divisible by 9.)
Solution:हमें सिद्ध करना हैः
n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=9 k, k \in N \cdots(1)
(1) में n=1 रखने परः
L.H.S. (1)^3+(1+1)^3+(1+2)^3=1^3+2^3+3^3 \\=1+8+27=36=9 \times 4=9k=R.H.S.
अतः कथन (1),n=1 के लिए सत्य है।
माना कि उपर्युक्त कथन (1),n=m के लिए सत्य है,अर्थात्
m^3+(m+1)^3+(m+2)^3=9 \lambda, \lambda \in N \cdots(2)
अब हमें सिद्ध करना है कि यह कथन n=m+1 के लिए भी सत्य होगा,अर्थात्
(m+1)^3+(m+2)^2+(m+3)^3=9 \lambda^{\prime}, \lambda^{\prime} \in N \cdots(3)
L.H.S. (m+1)^3+(m+2)^3+(m+3)^3 \\ =(m+1)^3+(m+2)^3+m^3+9 m^2+27 m+9 \\ =m^3+(m+1)^3+(m+2)^3+9\left(m^2+3 m+1\right) \\ =9 \lambda+9\left(m^3+3 m+1\right) [(2) के प्रयोग से]
= 9\left[\lambda+m^3+3 m+1\right] \\ =9 \lambda^{\prime} जहाँ \lambda^{\prime}= \lambda+m^3+3 m+1 \in N
=R.H.S.
अतः कथन (1),n=m+1 के लिए भी सत्य है।फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से दिया गया कथन प्रत्येक n के लिए सत्य है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विविक्त गणित में गणितीय आगमन (Mathematical Induction Discrete Maths),गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) को समझ सकते हैं।

Mathematical Induction Discrete Maths

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3.विविक्त गणित में गणितीय आगमन (Mathematical Induction Discrete Maths),गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विविक्त गणित में गणितीय आगमन (Mathematical Induction Discrete Maths) के इस
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