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Test of Divisibility from 2 to 99

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1.2 से 99 तक भाज्यता का परीक्षण का परिचय (Introduction to Test of Divisibility from 2 to 99),2 से 99 तक भाज्यता परीक्षण के नियम का परिचय (Introduction to Rules of Divisibility Test from 2 to 99):

  • 2 से 99 तक भाज्यता का परीक्षण (Test of Divisibility from 2 to 99) के नियमों के आधार पर आप चुटकियों में भाजकता का पता लगा सकते हैं।प्रतियोगिता परीक्षा में परीक्षार्थी के पास बहुत कम समय होता है।उन्हें कम समय में शीघ्रता से सवालों के सटीक उत्तर ढूंढने होते हैं। अक्सर 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 की भाज्यता के नियम तो हर कहीं मिल जाते हैं।परंतु बड़ी संख्याएँ यदि इन रूढ़ (अभाज्य) संख्याओं से विभाजित नहीं होती है तो उसकी भाजकता का एक नियम है उस नियम की मदद से आप शीघ्रता से भाजकता का पता लगा सकते हैं।नियम इस प्रकार है:”दी गई संख्या की किसी रूढ़ (अभाज्य) संख्या से भाजकता की जांच करने के लिए इकाई के अंक को एक निश्चित संख्या से गुणा करते हैं तथा प्राप्त गुणनफल में संख्या के शेष बचे अंको को जोड़ देते हैं।इस प्रकार प्राप्त योगफल यदि उस रूढ़ (अभाज्य) संख्या से विभाजित हो जाता है तो दी गई संख्या भी उस रूढ़ (अभाज्य) संख्या से विभाजित हो जाती है।”
  • 10 से 100 के मध्य की कुछ रूढ़ संख्याओं 13,17,19,23,29,37,43,47,53,59,67,73,79,83,89 तथा 97 से किसी संख्या की भाजकता जांच करने के लिए उस संख्या के इकाई के अंक को क्रमशः 4,12,2,7,3,2,13,33,16,6,47,2,8,25,9 तथा 68 से गुणा करते हैं तथा संख्या के शेष अंकों को उसमें जोड़ देते हैं।यदि योगफल सम्बन्धित रूढ़ संख्या (अभाज्य संख्या) से विभाजित हो जाता है तो वह संख्या भी इस रूढ़ संख्या से पूर्णतः विभाजित हो जाएगी।इस प्रक्रिया को आगे तक बढ़ाते हैं।
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2.2 से 99 तक भाज्यता का परीक्षण (Test of Divisibility from 2 to 99):

  • (1.)2 से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by 2):
    यदि किसी संख्या का इकाई का अंक 0,2,4,6,8 हो तो वह संख्या 2 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है। जैसे:228,612 इत्यादि।
  • (2.)3 से बात भाज्यता की जांच (Test of Divisibility by 3):
    यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाजित हो तो वह संख्या तीन से विभाजित होगी।जैसे:41232, 4+1+2+3+2=12,12,3 से पूर्णतः विभाजित है।अतः 41232 संख्या 3 से विभाजित होगी।
  • (3.)4 से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by 4):
    यदि किसी संख्या के अन्तिम दो अंक अर्थात् इकाई व दहाई का अंक सम्मिलित रूप से 4 से विभाजित हो जाता है तो वह संख्या 4 से पूर्णतः विभाजित हो जाएगी।जैसे:78328 में अंतिम दो अंक 28, 4 से विभाजित है।अतः 78328 संख्या 4 से विभाजित होगी।
  • (4.)5 से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by 5):
    यदि किसी संख्या का इकाई का अंक 0 या 5 हो तो वह संख्या 5 से विभाजित होगी।जैसे:13925,625 इत्यादि संख्या 5 से विभाजित होंगी क्योंकि इकाई का अंक 5 है।
  • (5.)6 से भाज्यता की जांच (Test Divisibility by 6):
    यदि कोई संख्या 2 और 3 से अलग-अलग विभाजित हो तो वह संख्या 6 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसे 1212 संख्या 2 (इकाई का अंक 2 है) और 3 (अंको का 1+2+1+2=6,3 से विभाजित है) से विभाजित है।अतः यह 6 से विभाजित होगी।
  • (6.)7 से भाज्यता की जांच (Test of Divisibility by 7):
    यदि किसी संख्या के इकाई के अंक को 2 से गुणा करके इकाई के अतिरिक्त संख्या में घटाते हैं।यदि शेषफल 7 से विभाजित है तो संख्या भी 7 से विभाजित होगी।यदि संख्या काफी बड़ी हो तो यह प्रक्रिया तब तक दोहराते हैं जब तक संख्या इतनी छोटी प्राप्त न हो जाए कि उसे सरलता से जाँचा जा सके कि वह 7 से विभाजित होती है या नहीं।जैसे 3449881, 344988-1×2=344986,34498-6×2=34486,3448-6×2=3436,343-6×2=331,33-2×1=31 यह संख्या 7 से विभाजित नहीं होती है।अतः 3449881 संख्या भी 7 से विभाजित नहीं होगी।
  • (7.)8 से भाज्यता की जांच (Test of Divisibility by 8):
    यदि संख्या के अंतिम तीन अंक अर्थात् इकाई,दहाई, सैकड़ा वाले अंक संयुक्त रूप से 8 से विभाजित हो तो वह संख्या 8 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसे:74248 के अन्तिम तीन अंकों 248 में 8 का भाग पूरा-पूरा जाता है।अतः 74248 संख्या 8 से पूर्णतः विभाजित होगी।
  • (8.)9 से भाज्यता की जाँच  (Test of Divisibility by 9):
    यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से पूर्णतः विभाजित है तो वह संख्या भी 9 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसे:18639, 1+8+6+3+9=27,27,9 से पूर्णतः विभाजित है अतः 18639 संख्या 9 से विभाजित होगी।
  • (9.)10 से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by 10):
    यदि किसी संख्या का इकाई का अंक 0 हो तो वह संख्या 10 से विभाजित होगी।जैसे:4520 का इकाई का अंक 0 है अतः 4520 संख्या 10 से पूर्णतः विभाजित हो जाएगी।
  • (10.)11 से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by 11):
    यदि किसी संख्या के सम व विषम स्थानों के अंकों के योगों का अंतर शून्य अथवा 11 से विभाजित हो तो वह संख्या 11 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसेः 14641 के सम स्थानों के अंकों का योग 4+4=8,विषम स्थानों के अंकों का योग 1+6+1=8,दोनों का अंतर 8-8=0 अतः 14641 संख्या 11 से पूर्णत विभाजित होगी।
  • (11.)13 से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by 13):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 4 से गुणा करके उसे शेष संख्या में जोड़ दें तथा योगफल 13 से विभाजित हो जाता है तो संख्या 13 से विभाजित हो जाएगी।जैसेः1495, 149+4×5=169,169,13 से विभाजित है।अतः 1495 संख्या 13 से पूर्णत: विभाजित होगी।
  • (12.)17 से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by 17):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 12 से गुणा करके शेष संख्या में जोड़ने पर 17 से विभाजित हो जाता है तो वह संख्या 17 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसे:87091,8709+1×12=8721,872+1×12=884,88+4×12=136,136 संख्या 17 से विभाजित है।अतः 87091 संख्या 11 से पूर्णत विभाजित होगी।
  • (13.)19 से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by 19):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 2 से गुणा करें तथा प्राप्त गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ने पर योगफल 19 से विभाजित हो जाता है तो वह संख्या भी 19 से पूर्णत विभाजित होगी।जैसे 234764, 23476+4×2=23484,2348+4×2=2356,235+6×2=247,24+7×2=38,38,19 से विभाजित हो जाती है।अतः 234764 संख्या 19 से पूर्णतः विभाजित होगी।
  • (14.)23 से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by 23):
    यदि संख्या के इकाई के अंकों को 7 से गुणा करने पर गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ने पर प्राप्त योगफल 23 से विभाजित हो तो संख्या 23 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसे:58949,5894+9×7=5957,595+7×7=644,64+4×7=92,92,23 से विभाजित है।अतः 58949 संख्या 23 से पूर्णतः विभाजित होगी।
  • (15.)29 से भाज्यता की जांच (Test of Divisibility by 29):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 3 से गुणा करके प्राप्त गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ दें तथा प्राप्त योगफल 29 से विभाजित हो जाता है तो संख्या 29 से विभाजित होगी।जैसेः38815, 3881+5×3=3896,389+6×3=407,40+7×3=61 जो 29 से विभाजित नहीं है।अतः 38815 संख्या 29 से पूर्णतः विभाजित नहीं है।
  • (16.)37 से भाज्यता की जांच (Test of Divisibility by 37):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 26 से गुणा करके प्राप्त गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ने पर शेषफल 37 से विभाजित हो जाता है तो वह संख्या भी 37 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसे:46546, 465+6×26=4810,481+0×26=481,48+1×26=74,74,37 से विभाजित है ।अतः 46546 संख्या 37 से पूर्णतः विभाजित होगी।
  • (17.)43 से भाज्यता की जांच (Test of Divisibility by 43):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 13 से गुणा करके प्राप्त गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ दें तो योगफल 43 से विभाजित हो तो संख्या भी 43 से विभाजित होगी।जैसे:241832,24183+2×13=24209,2420+9×13= 2537, 253+7×13=344,34+4×13=86,86,43 से विभाजित हो जाती है।अतः 241832 संख्या 43 से पूर्णतः विभाजित होगी।
  • (18.)47 से भाज्यता की जांच (Test of Divisibility by 47):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 33 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ने पर योगफल 47 से विभाजित हो जाता है तो संख्या भी 47 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसे:267383,26738+3×33=26837,2683+7×33=2914,291+4×33=423,42+3×33=141,14+1×33=47 जो कि 47 से विभाजित है। अतः 267386 संख्या 47 से पूर्णतः विभाजित होगी।
  • (19.)53 से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by 53):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 16 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ने पर योगफल 53 से विभाजित हो जाता है तो संख्या भी पूर्णतः 53 से विभाजित होगी।जैसे:242624, 24263+4×16=24327,2432+7×16=2544,254+4×16=318,31+8×16=159,159,53 से विभाजित है।अतः 242634 संख्या 53 से पूर्णतः विभाजित होगी।
  • (20.)67 से भाज्यता की जांच (Test of Divisibility by 67):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 47 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ने पर योगफल 47 से विभाजित हो जाता है तो संख्या भी पूर्णतः 47 से विभाजित होगी।जैसे:566032,59603+2×47=59697,5969+7×47=6298,629+8×47=1095,100+5×47=335,33+5×47=268,268 67 से विभाजित है। अतः 596032 संख्या 47 से पूर्णतः विभाजित होगी।
  • (21.)73 से भाज्यता की जांच (Test of Divisibility by 73):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 22 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ने पर योगफल 79 से विभाजित हो जाता है तो संख्या 79 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसे 199947, 19994+7×22=20148,2014+8×22=2190, 219+0×22=219, 219, 73 से विभाजित है। अतः 199947 संख्या 73 से पूर्णतः विभाजित होगी।
  • (22.)79 से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by 79):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 8 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ने पर योगफल 79 से विभाजित हो जाता है तो संख्या भी 79 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसेः199949, 19994+9×8=20066,2006+6×8=2054,205+4×8=237,23+7×8=79 जो कि 79 से विभाजित है।अतः 199949 संख्या 79 से पूर्णतः विभाजित होगी।
  • (23.)83 से भाज्यता की जांच (Test of Divisibility by 83):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 25 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ने पर योगफल 83 से विभाजित हो जाता है तो संख्या भी 83 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसे:102422, 10242+2×25=10292,1029+2×25=1079,107+9×25=332,33+2×25=83 जो कि 83 से विभाजित है।अतः 102422 संख्या 83 से पूर्णतः विभाजित होगी।
  • (24.)89 से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by 89):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 9 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ने पर योगफल 89 से विभाजित हो जाता है तो संख्या भी 89 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसेः892345,89234+5×9=89279,8927+9×9=9008,900+8×9=972,97+2×9=115,115, 89 से विभाजित नहीं है। अतः 892345 संख्या 89 से पूर्णतः विभाजित नहीं होगी।
  • (25.)97 से भाज्यता की जांच (Test of Divisibility):
    यदि संख्या के इकाई के अंक को 68 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को शेष संख्या में जोड़ने पर योगफल 97 से विभाजित हो जाता है तो संख्या भी 97 से पूर्णतः विभाजित होगी।जैसे:42319+3×68=44523,4452+3×68=4656,465+6×68=873,87+3×68=291,29+1×68=97 जो कि 97 विभाजित है।अतः 443193 संख्या 97 से पूर्णतः विभाजित होगी।

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3.10 से 100 तक संयुक्त संख्याओं से भाज्यता की जाँच (Test of Divisibility by Composite Numbers From 10 to 100):

  • 13 से 100 के बीच आने वाली संयुक्त संख्याओं की भाज्यता की उपर्युक्त नियमों से जाँच कर सकते हैं।जैसेः68=4×17,अतः 68 से भाज्यता की जांच के लिए 4 तथा 17 से अलग-अलग भाज्यता की जांच करनी होगी।यदि वह 4 तथा 17 से पूर्णतः विभाजित होती है तो 68 से भी विभाजित होगी। जैसे:83912 इसके अंतिम दो अंक 12,4 से विभाजित है अतः यह 4 से विभाजित होगी।17 से भाज्यता के लिए इकाई के अंक को 12 से गुणा करके शेष संख्या में जोड़ना होगा।
    8391+2×12=8415,841+5×12=901,90+1×12=102,10+2×12=34 जो कि 17 से विभाजित है।अतः 83912 संख्या 68 से पूर्णतः विभाजित होगी।

4.रूढ़ संख्याओं के लिए निश्चित संख्या ज्ञात करने का तरीका (A way to find a certain number for prime numbers):

  • आप चाहे तो आगे भी रूढ़ (अभाज्य) संख्याओं के लिए निश्चित संख्या निकाल सकते हैं।जैसे:101 के लिए निश्चित संख्या माना x है तथा 101 का कोई गुणज लेते हैं जैसेः202 है।
  • तब \frac{20+2×x}{101}=1\text{ (माना)}
    \Rightarrow {2x=101-20}
    \Rightarrow {2x=81}\text{ (पूर्णतः विभाजित नहीं होती है)}
  • अतः दांया पक्ष 1 नहीं हो सकता है।
    \text{ अब }\frac{20+2×x}{101}=2\text{ (माना)}
    \Rightarrow {2x=202-20}
    \Rightarrow {2x=182} 
    \Rightarrow {x=61}
  • अतः निश्चित संख्या 61 हुई।अब 101 से किसी भी संख्या की भाज्यता की जांच कर सकते हैं।जैसे: 124634,12463+4×61=12507,1250+7×6=1677,167+7×61=594,59+4×61=303 जो कि 101 से विभाजित है।अतः 124600 संख्या 101 से पूर्णता विभाजित होगी।
  • उपर्युक्त आर्टिकल में 2 से 99 तक भाज्यता का परीक्षण (Test of Divisibility from 2 to 99),2 से 99 तक भाज्यता परीक्षण के नियम (Rules of Divisibility Test from 2 to 99) के बारे में बताया गया है।

5.छात्रा ने गणित शिक्षक को भोजन कराया (The Student Gave Food to Maths Teacher) (Humour-Satire):

  • एक बार शिक्षा संस्थान में गणित शिक्षक गणित पढ़ा रहे थे।गणित कालांश के बाद लंच टाइम था। ज्योंही गणित कालांश समाप्त हुआ तो गणित शिक्षक बोले मैं लंच लेकर आता हूं।
  • एक छात्रा जिसका नाम मीना था उसने झट से उत्तर दिया कि सर (sir) मैं आपको यहीं कक्षा में लंच करा सकती हूं।
  • गणित शिक्षक (मीना से):वो कैसे?
  • मीना (गणित शिक्षक से):आप मेरे पास आएं।
    गणित शिक्षक मीना के पास चले गए।
  • मीना ने अपनी नोटबुक में एक प्याला और एक गोल-गोल चित्र बनाया।
    फिर मीना ने कहा:पहले प्याले के चित्र की ओर इशारा करते हुए कहा माना यह दाल है और गोल चित्र की ओर इशारा करते हुए कहा माना यह रोटी है।अब आप दाल रोटी खा लो।
  • गणित शिक्षक हंसते हंसते लोटपोट हो गए मीना ने जो गणित की भाषा का उपयोग करके दाल रोटी खिलाई।

6.2 से 99 तक भाज्यता का परीक्षण (Test of Divisibility from 2 to 99),2 से 99 तक भाज्यता परीक्षण के नियम (Rules of Divisibility Test from 2 to 99) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.रूढ़ या अभाज्य संख्या किसे कहते हैं? (What are prime numbers called?):

उत्तर:वे पूर्ण संख्याएं जिनमें स्वयं और एक के अतिरिक्त ओर कोई भी गुणनखंड नहीं होता अर्थात् जिसमें स्वयं तथा एक के अतिरिक्त किसी संख्या का भाग नहीं जाता है अभाज्य संख्याएं कहलाती है।जैसे:2,3,5,7,11,13,17 इत्यादि।

प्रश्न:2.भाज्य संख्या किसे कहते हैं? (What are composite numbers?):

उत्तर:वे पूर्ण संख्याएं जिनके स्वयं और एक के अतिरिक्त ओर भी गुणनखंड होते हैं अर्थात् जिनमें स्वयं और एक के अतिरिक्त संख्याओं से पूर्णतः विभाजित होती है भाज्य संख्या कहलाती है।जैसे 4,6,8,10,15,18,20 इत्यादि।

प्रश्न:3.भाग्य तथा अभाज्य संख्याओं की मुख्य बातें लिखिए।(Write down main points of composite and prime numbers):

उत्तर:(1.) संख्या 1 न तो भाज्य है और न अभाज्य संख्या है।
(2.)दो एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
(3.)अभाज्य (रूढ़) एवं यौगिक (संयुक्त) संख्याएं सम और विषम संख्याएँ होती है।
(4.)प्राकृत (अभाज्य,यौगिक,सम,विषम एवं पूर्ण संख्याएं) कभी ऋणात्मक नहीं होती है।
(5.)दो के अतिरिक्त सभी अभाज्य (रूढ़) संख्याएं विषम होती है।
(6.)वे दो अभाज्य संख्याएं जिनके बीच केवल सम संख्या होती है।अभाज्य जोड़ा कहलाती है।जैसे :5 व 7,11 व 13,17 व 19,29 व 31 इत्यादि।

  • उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा 2 से 99 तक भाज्यता का परीक्षण (Test of Divisibility from 2 to 99),2 से 99 तक भाज्यता परीक्षण के नियम (Rules of Divisibility Test from 2 to 99) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Test of Divisibility from 2 to 99

2 से 99 तक भाज्यता का परीक्षण
(Test of Divisibility from 2 to 99)

Test of Divisibility from 2 to 99

2 से 99 तक भाज्यता का परीक्षण (Test of Divisibility from 2 to 99) के
नियमों के आधार पर आप चुटकियों में भाजकता का पता लगा सकते हैं।प्रतियोगिता
परीक्षा में परीक्षार्थी के पास बहुत कम समय होता है।उन्हें कम समय में शीघ्रता से सवालों के सटीक उत्तर ढूंढने होते हैं।

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