1.शंकु का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Volume of Cone),शंकु का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cone Class 9):

Important Examples of Volume of Cone

शंकु का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Volume of Cone) के इस आर्टिकल में शंकु का आयतन,शंकु की तिर्यक ऊँचाई,शंकु के आधार की त्रिज्या,शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल से सम्बन्धित सवालों को हल करेंगे।
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2.शंकु का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Volume of Cone):

Example:1.एक लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई 14 सेमी और आधार की त्रिज्या 6 सेमी है।उसका आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई (h)=14 सेमी
आधार की त्रिज्या (r)=6 सेमी
लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times 14 \\ =\frac{11088}{21} \\ =528 घनसेमी
Example:2.एक शंकु की ऊँचाई 28 सेमी तथा आधार की त्रिज्या 21 सेमी है।उसका वक्रपृष्ठ,सम्पूर्ण पृष्ठ तथा आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:शंकु की ऊँचाई (h)=28 सेमी
आधार की त्रिज्या (r)=21 सेमी
शंकु की तिर्यक ऊँचाई
l=\sqrt{h^2+r^2} \\ \Rightarrow l =\sqrt{(28)^2+(21)^2} \\ =\sqrt{784+441} \\ =\sqrt{1225} \\ \Rightarrow l =35 सेमी
शंकु का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल=\pi r l \\ =\frac{22}{7} \times 21 \times 35 \\ =\frac{16170}{7} \\ =2310 वर्गसेमी
शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi r(l+r) \\ =\frac{22}{7} \times 21 \times(35+21) \\ =\frac{22}{7} \times 21 \times 56 \\ =\frac{25872}{7} \\ =3696 वर्गसेमी
शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 28 \\ =\frac{271656}{21} \\ =12936 घनसेमी
Example:3.एक शंकु के आधार का व्यास 14 सेमी तथा ऊँचाई 24 सेमी है।उसकी तिरछी ऊँचाई,वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल तथा आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:शंकु के आधार की त्रिज्या (r)=\frac{14}{2}=7 सेमी
शंकु की ऊँचाई (h)=24 सेमी
शंकु की तिर्यक ऊँचाई
l=\sqrt{h^2+r^2} \\ =\sqrt{(24)^2+(7)^2} \\ =\sqrt{576+49} \\ =\sqrt{625} \\ \Rightarrow l=25 सेमी
शंकु का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल=\pi rl \\ =\frac{22}{7} \times 7 \times 25 \\ =550 वर्गसेमी
शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi(l+r) \\ =\frac{22}{7} \times 7 \times(25+7) \\ =\frac{22}{7} \times 7 \times 32 \\ =\frac{4928}{7}=704 वर्गसेमी
शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{3} \times 7 \times 7 \times 24 \\ =\frac{25872}{21} \\ =1232 घनसेमी
Example:4.एक शंकु का आयतन 16632 घनसेमी है।यदि इसकी ऊँचाई 9 सेमी हो तो आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Solution:शंकु की ऊँचाई (h)=9 सेमी
शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h=16632 \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^2 \times 9=16632 \\ \Rightarrow r^2=\frac{16632 \times 3 \times 7}{22 \times 9} \\ =\frac{349272}{198} \\ =1764 \\ \Rightarrow r=\sqrt{1764} \\ \Rightarrow r=42 सेमी

Important Examples of Volume of Cone

Example:5.एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 1232 घनसेमी है तथा ऊँचाई 24 सेमी है।शंकु की तिरछी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:शंकु की ऊँचाई (h)=24 सेमी
शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h=1232 \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^2 \times 24=1232 \\ \Rightarrow r^2=\frac{1232 \times 3 \times 1}{22 \times 24} \\ =\frac{25872}{528} \\ =49 \\ \Rightarrow r=\sqrt{49} \\ \Rightarrow r=7 सेमी
शंकु की तिर्यक ऊँचाई
l=\sqrt{h^2+r^2} \\ =\sqrt{(24)^2+(3)^2} \\ =\sqrt{576+49} \\ =\sqrt{625} \\ \Rightarrow l=25 सेमी
Example:6.एक लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई और त्रिज्या का अनुपात 12:5 है।यदि शंकु का आयतन 8478 घनसेमी है,तो शंकु की तिरछी ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( \pi=3.14 लीजिए)
Solution:माना शंकु की ऊँचाई (h)=12x
शंकु की त्रिज्या (r)=5x
अतः शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \times 3.14 \times(5 x)^2 \times 12 x=8478 \\ \Rightarrow x^3=\frac{8478 \times 3}{3.14 \times 5 \times 5 \times 12} \\ =\frac{25434}{942} \\ =27 \\ \Rightarrow x^3=(3)^3 \\ \Rightarrow x=3
शंकु की ऊँचाई (h)=12x=12×3=36 सेमी
शंकु की त्रिज्या (r)=5x=5×3=15 सेमी
शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(l)=\sqrt{h^2+r^2} \\ =\sqrt{(36)^2+(15)^2} \\ =\sqrt{1296+225} \\ =\sqrt{1521} \\ \Rightarrow l=39 सेमी
Example:7.एक शंकु के आकार के टेन्ट में 22 व्यक्ति बैठ सकते हैं।प्रतिव्यक्ति बैठने के 2 वर्गमीटर स्थान की आवश्यकता है तथा सांस लेने के लिए 10 घनमीटर हवा की आवश्यकता है।शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:शंकु के आधार का क्षेत्रफल=\pi r^2=22 \times 2 \text { मी }^2 =44 वर्गमीटर

\Rightarrow \frac{22}{7} \times r^2 =44 \\ \Rightarrow r^2 =\frac{44 \times 7}{22} \\ \Rightarrow r^2 =2 \times 7 \\ \Rightarrow r =\sqrt{14}
शंकु का आयतन=व्यक्तियों की संख्या×प्रतिव्यक्ति द्वारा सांस ली गई हवा का आयतन
\Rightarrow \frac{1}{3} \pi r^2 h =22 \times 10 \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times h =220 \\ \Rightarrow h =\frac{220 \times 3 \times 7}{22 \times 14} \\ =\frac{4620}{308} \\ =15 \\ \Rightarrow h =15 मीटर
Example:8.एक 9 मीटर ऊँचे शंकु के आकार के तम्बू के आधार की परिधि 44 मीटर है।इसके अन्दर की वायु का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:शंकु के आधार की परिधि
\Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r=44 \\ \Rightarrow r=\frac{44 \times 7}{2 \times 22} \\ \Rightarrow r=7 मीटर
शंकु की ऊँचाई (h)=9 मीटर
शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 9 \\ =\frac{9702}{21} \\ =462 घनमीटर
Example:9.शंकु के आकार का एक बर्तन जिसकी अन्दर से त्रिज्या 5 सेमी तथा ऊँचाई 24 सेमी है पानी से भरा हुआ है।यह पानी बेलनाकार जार जिसकी अन्दर से त्रिज्या 10 सेमी है में उँडेल दिया जाता है।ज्ञात कीजिए कि बेलनाकार जार में पानी कितनी ऊँचाई तक भरा है।
Solution:शंकु की त्रिज्या (r)=5 सेमी
शंकु की ऊँचाई (h)=24 सेमी
शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h=\frac{1}{3} \times \frac{2}{7} \times 5 \times 5 \times 24 \\ =\frac{13200}{21}
बेलन की त्रिज्या (r)=10 सेमी
बेलन का आयतन=\pi r^2 h \\ =\frac{22}{7} \times 10 \times 10 \times h \\ =\frac{2200h}{7} \\ \frac{2200 h}{7}=\frac{13200}{21} \\ \Rightarrow h=\frac{13200 \times 7}{2200 \times 21} \\ =\frac{92400}{46200} \\ \Rightarrow h=2 सेमी
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा शंकु का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Volume of Cone),शंकु का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cone Class 9) को समझ सकते हैं।

3.शंकु का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित समस्याएं (Problems Based on Important Examples of Volume of Cone):

Important Examples of Volume of Cone

(1.)एक शंकु के आकार के बर्तन की त्रिज्या 10 सेमी और ऊँचाई 18 सेमी है,पानी से पूरा भरा हुआ है।इसे 5 सेमी त्रिज्या के एक बेलनाकार बर्तन में ऊँडेला जाता है।बेलनाकार बर्तन में पानी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( \pi=\frac{22}{7} लीजिए)
(2.)एक अर्द्ध वृत्ताकार कागज का व्यास 24 सेमी है।इसे मोड़कर एक खुला शंक्वाकार कप बनाया जाता है।कप की गहराई और आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)h=24 सेमी (2.)h=10.38 सेमी,आयतन=391.41 घनसेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर शंकु का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Volume of Cone),शंकु का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cone Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.शंकु का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Important Examples of Volume of Cone),शंकु का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cone Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

शंकु का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Volume of Cone) के
इस आर्टिकल में शंकु का आयतन,शंकु की तिर्यक ऊँचाई,शंकु के आधार की त्रिज्या,शंकु
का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल