Elimination Method Class 10
1.विलोपन विधि कक्षा 10 (Elimination Method Class 10),कक्षा 10 में विलोपन विधि (Elimination Method in Class 10):
विलोपन विधि कक्षा 10 (Elimination Method Class 10) पर विचार करें जिसे एक चर को विलुप्त करने की विधि कहा जाता है।यह कभी-कभी प्रतिस्थापन विधि से अधिक सुविधाजनक रहती है।
दो रैखिक समीकरणों के ग्राफीय एवं बीजगणितीय निरूपण का उल्लेख(the Graphical and Algebraic Representation of Two Linear Equations)
| रेखा युग्म | अनुपातों की तुलना | साधनीयता के लिए निरूपण | ग्राफीय निरूपण | बीजगणितीय निरूपण |
| (Pair of Lines) | (Compare the Ratios) | (Representation for Solvability) | (Graphical Representation) | (Algebraic Interpretation) |
| a_1 x+b_1 y+c_1=0 | \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} | निकाय संगत तथा हल अद्वितीय | प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ | केवल एक हल (अद्वितीय) |
| a_2 x+b_2 y+c_2=0 | ||||
| \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2} | निकाय संगत तथा अनन्त हल | संपाती रेखाएँ | अपरिमित रूप से अनेक हल | |
| \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} | निकाय असंगत तथा कोई हल नहीं | समान्तर रेखाएँ | कोई हल नहीं |
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2.विलोपन विधि कक्षा 10 के साधित उदाहरण (Elimination Method Class 10 Solved Examples):
Example:1.निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए।कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
Example:1(i).x+y=5 और 2x-3y=4
Solution:x+y=5 ….. (1)
2x-3y=4 ….. (2)
विलोपन विधि:समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर:
\begin{array}{r} 3x+3y=15 \cdots(3) \\ 2x-3y=4 \cdots(2) \\ \text{ जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ 5x=19 \Rightarrow x=\frac{19}{5}
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\frac{19}{5}+y=5 \\ \Rightarrow y=5-\frac{19}{5} \\ \Rightarrow y=\frac{25-19}{5} \\ \Rightarrow y=\frac{6}{5} \\ x=\frac{19}{5}, y=\frac{6}{5}
विस्थापन विधि:
समीकरण (1) से:y=5-x ….. (4)
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:
2 x-3(5-x)=4 \\ \Rightarrow 2 x-15+3 x=4 \\ \Rightarrow 5 x=4+15 \\ \Rightarrow x=\frac{19}{5}
x का मान समीकरण (4) में रखने पर:
y=5-\frac{19}{5} \\=\frac{25-19}{5} \\ \Rightarrow y =\frac{6}{5} \\ x=\frac{19}{5}, x=\frac{6}{5}
Example:1(ii).3x+4y=10 और 2x-2y=2
Solution:3x+4y=10 ….. (1)
2x-2y=2 …… (2)
विलोपन विधि:
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर:
\begin{array}{r} 4 x-4 y=4 \cdots(3) \\ 3 x+4 y=10 \cdots(4)\\ \text{ जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ 7 x=14 \\ \Rightarrow x=\frac{14}{7}=2
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3 \times 2+4 y=10 \\ \Rightarrow 4 y=10-6 \\ \Rightarrow 4 y=4 \\ \Rightarrow y=\frac{4}{4}=1 \\ x=2, y=1
प्रतिस्थापन विधि:
समीकरण (1) से:
3x=10-4 y \\ \Rightarrow x =\frac{10-4 y}{3} \cdots(4)
x का मान समीकरण (2) में रखने पर:
2\left(\frac{10-4 y}{3}\right)-2 y=2 \\ \Rightarrow \frac{20-8 y-6 y}{3}=2 \\ \Rightarrow 20-14 y=6 \\ \Rightarrow -14 y=6-20 \\ \Rightarrow -14 y=-14 \\ \Rightarrow y=\frac{-14}{-14} \\ \Rightarrow y=1
y का मान समीकरण (4) में रखने पर:
x=\frac{10-4 \times 1}{3} \\ =\frac{10-4}{3} \\ =\frac{6}{3} \\ \Rightarrow x =2, y=1
Example:1(iii).3x-5y-4=0 और 9x=2y+7
Solution:3x-5y=4 …… (1)
9x-2y=7 ……. (2)
विलोपन विधि:समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर:
\begin{array}{r} 9 x-15y=12 \cdots(3) \\ 9 x-2 y=7 \cdots(2) \\ - \quad \quad + \quad \quad - \quad \quad \\ \text{ घटाने पर }\\ \hline \end{array} \\ -13 y=5 \\ \Rightarrow y=\frac{5}{-13}=-\frac{5}{13}
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3 x-5 \times -\frac{5}{13}=4 \\ \Rightarrow 3 x+\frac{25}{13}=4 \\ \Rightarrow 3 x=4-\frac{25}{13} \\ \Rightarrow 3 x=\frac{52-25}{13} \\ \Rightarrow 3 x=\frac{27}{13} \\ \Rightarrow x=\frac{27}{13} \times \frac{1}{3} \\ x=\frac{9}{13} \\ x=\frac{9}{13}, y=-\frac{5}{13}
प्रतिस्थापन विधि:
समीकरण (2) से:
9 x=7+2 y \\ \Rightarrow x=\frac{7+2 y}{9} \cdots(4)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3 x\left(\frac{7+2 y}{9}\right)-5 y=4 \\ \Rightarrow \frac{7+2 y}{3}-\frac{5 y}{1}=4 \\ \Rightarrow \frac{7+2 y-15 y}{3}=4 \\ \Rightarrow \frac{7-13 y}{3}=4 \\ \Rightarrow 7-13 y=12 \\ \Rightarrow-13 y=12-7 \\ \Rightarrow-13 y=5 \\ \Rightarrow y=-\frac{5}{13}
y का मान समीकरण (4) में रखने पर:
x=\frac{7+2 \times-\frac{5}{13}}{9} \\ =\frac{91-10}{13 \times 9} \\ =\frac{81}{13 \times 9} \\ \Rightarrow x =\frac{9}{13}, y=-\frac{5}{13}
Example:1(iv). \frac{x}{2}+\frac{2 y}{3} =-1 और x-\frac{y}{3}=3
Solution: \frac{x}{2}+\frac{2 y}{3} =-1 \\ \Rightarrow \frac{3 x+4 y}{6}=-1 \\ \Rightarrow 3 x+4 y=-6 \cdots(1) \\ x-\frac{y}{3}=3 \\ \Rightarrow 3 x-y=9 \cdots(2)
विलोपन विधि:
\begin{array}{r} 12 x-4 y=36 \cdots(3) \\ 3 x+4 y=-6 \cdots(1)\\ \text{ जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ 15 x=30 \\ \Rightarrow x=\frac{30}{15}=2
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3 \times 2+4 y=-6 \\ \Rightarrow 4 y=-6-6 \\ \Rightarrow y=-\frac{12}{4} \\ \Rightarrow y=-3 \\ x=2, y=-3
प्रतिस्थापन विधि:
समीकरण (2) से:
3x=9+y \\ x=\frac{9+y}{3} \cdots(4)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3\left(\frac{9+y}{3}\right)+4 y=-6 \\ \Rightarrow 9+y+4 y=-6 \\ \Rightarrow 5 y=-6-9 \\ \Rightarrow 5 y=-15 \\ \Rightarrow y=-\frac{15}{5} \\ \Rightarrow y=-3
y का मान समीकरण (4) में रखने पर:
x=\frac{9-3}{3} \\ \Rightarrow x=\frac{6}{3} \\ \Rightarrow x=2, y=-3
Example:2.निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और इनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
Example:2(i).यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें तो भिन्न 1 में बदल जाती है।यदि हर में 1 जोड़ दें तो यह हो जाती है।वह संख्या क्या है?
Solution:माना भिन्न का अंश x तथा हर y है।
भिन्न=\frac{x}{y}
प्रश्नानुसार:
\frac{x+1}{y-1}=1 \\ \Rightarrow x+1=y-1 \\ \Rightarrow x-y=-1-1 \\ \Rightarrow x-y=-2 \cdots(1) \\ \frac{x}{y+1}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow 2 x=y+1 \\ \begin{array}{r} \Rightarrow 2 x-y=1 \cdots(2) \\ x-y=-2 \cdots(1) \\ - \quad \quad + \quad \quad + \quad \quad \\ \text{ घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ x=3
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3-y=-2 \\ \Rightarrow-y=-2-3 \\ \Rightarrow-y=-5 \\ \Rightarrow y=5 \\ x=3, y=5
भिन्न=\frac{x}{y}=\frac{3}{5}
Example:2(ii).पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी।दस वर्ष पश्चात नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी।नूरी और सोनू की आयु कितनी है।
Solution:माना नूरी की आयु x वर्ष तथा सोनू की आयु y वर्ष है।
पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु=x-5
पाँच वर्ष पूर्व सोनू की आयु=y-5
x-5=3(y-5)
\Rightarrow x-5=3y-15
\Rightarrow x-3y=-15+5
\Rightarrow x-3y=-10 …… (1)
दस वर्ष पश्चात नूरी की आयु=x+10
दस वर्ष पश्चात सोनू की आयु=y+10
x+10=2(y+10)
\Rightarrow x+10=2y+20
\Rightarrow x-2y=20-10
\begin{array}{r} x-2y=10 \cdots(2) \\ x-3y=-10 \cdots(1) \\ - \quad \quad + \quad \quad + \quad \quad \\ \text{घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ y=20
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
x-3 \times 20=-10 \\ \Rightarrow x-60=-10 \\ \Rightarrow x=60-10 \\ \Rightarrow x=50
नूरी की आयु=50 वर्ष,सोनू की आयु=20 वर्ष
Example:2(iii).दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है।इस संख्या का नौ गुना संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है।वह संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना इकाई का अंक x तथा दहाई का अंक y है।
संख्या=10y+x
प्रश्नानुसार:
x+y=9 \cdots(1) \\ \\ \Rightarrow 9(10y+x)=2(10x+y) \\ \Rightarrow 90y+9x=20x+2y \\ \Rightarrow 20x-9x+2y-90y=0 \\ \Rightarrow 11x-88y=0 \\ \Rightarrow 11(x-8y)=0 \\ \begin{array}{r} \Rightarrow x-8y=0 \cdots(2) \\ \Rightarrow x+y=9 \cdots(1) \\ - \quad \quad - \quad \quad - \quad \quad \\ \text{ घटाने पर} \\ \hline \end{array} \\ -9y=-9 \\ \Rightarrow y=\frac{-9}{-9}=1
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
x+1=9 \\ \Rightarrow x=9-1=8
संख्या=18
Example:2(iv).मीना 2000 रुपए निकालने के लिए एक बैंक गई।उसने खजाँची से 50 रुपए तथा 100 रुपए के नोट देने के लिए कहा।मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए।ज्ञात कीजिए कि उसने 50 रुपए और 100 रुपए के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।
Solution:माना 50 रुपए के x नोट तथा 100 रुपए के y नोट है।
प्रश्नानुसार:
x+y=25 \cdots(1) \\ 50 x+100 y=2000 \\ \Rightarrow 50(x+2 y)=2000 \\ \Rightarrow x+2 y= \frac{2000}{50} \\ \begin{array}{r} \Rightarrow x+2 y=40 \cdots(2) \\ x+y=25 \cdots(1)\\ -\quad \quad - \quad \quad - \quad \quad \quad \\ \text{ घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ y=15
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
x+15=25 \\ \Rightarrow x=25-15 \\ \Rightarrow x=10
50 रुपए के 10 नोट तथा 100 रुपए के 15 नोट प्राप्त किए।
Example:2(v).किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है।सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रुपए अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के लिए 21 रुपए अदा किए।नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
Solution:माना प्रथम तीन दिनों का नियत किराया x रुपए तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया y रुपए है।
प्रश्नानुसार:सरिता ने किराया चुकाया
x+4y=27 …… (1)
सूसी ने किराया चुकाया
\begin{array}{r} x+2y=21 \cdots(2) \\ x+4y=27 \cdots(1)\\ - \quad \quad - \quad \quad - \quad \quad \quad \\ \text{ घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ -2 y=-6 \\ y=\frac{6}{2}=3
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
x+4×3=27 \\ x=27-12 \\ \Rightarrow x=15
अतः नियत किराया 15 रुपए तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया 3 रुपए है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विलोपन विधि कक्षा 10 (Elimination Method Class 10),कक्षा 10 में विलोपन विधि (Elimination Method in Class 10) को समझ सकते हैं।
3.विलोपन विधि कक्षा 10 पर आधारित सवाल (Questions Based on Elimination Method Class 10):
(1.)दो संख्याओं का अनुपात 5:6 है।यदि प्रत्येक संख्या में से 5 घटा दिये जाते हैं तो उनका अनुपात 4:5 हो जाता है।संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
(2.)एक व्यक्ति की आयु उसके पुत्र की आयु की 6 गुने से 5 वर्ष अधिक है।7 वर्ष पश्चात व्यक्ति की आयु पुत्र की आयु की 3 गुने से 3 अधिक होगी।दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)25 और 30 (2.)व्यक्ति की आयु 29 वर्ष,पुत्र की आयु 4 वर्ष
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विलोपन विधि कक्षा 10 (Elimination Method Class 10),कक्षा 10 में विलोपन विधि (Elimination Method in Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.विलोपन विधि कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related Elimination Method Class 10),कक्षा 10 में विलोपन विधि (Elimination Method in Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.विलोपन विधि की क्रियाविधि लिखिए। (Write the working Rule of Elimination Method):
उत्तर:चरण:1.सर्वप्रथम दोनों समीकरणों को उपयुक्त शून्येतर अचरों से, किसी एक चर (x अथवा y) के गुणांकों को संख्यात्मक रूप में समान करने के लिए,गुणा कीजिए।
चरण:2.पुन: एक समीकरण को दूसरे में जोड़े या उसमें से घटाएँ जिससे कि एक चर विलुप्त हो जाए।यदि आप एक चर में समीकरण पाते हैं तो चरण 3 में जाइए।
यदि चरण 2 में हमें चर रहित एक सत्य कथन प्राप्त हो तो मूल समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
यदि चरण 2 में हमें चर रहित असत्य कथन मिले,तो मूल समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है अर्थात यह असंगत है।
चरण:3. इस प्रकार एक चर (x या y) में प्राप्त समीकरण को,उस चर का मान ज्ञात करने के लिए,हल कीजिए।
चरण:4.x (या y) के इस मान को मूल समीकरणों में से किसी एक में,दूसरे चर का मान ज्ञात करने के लिए,प्रतिस्थापित कीजिए।
प्रश्न:2.दो चरों वाले युगपत रैखिक समीकरण किसे कहते हैं? (What is Called Simultaneous Linear Equation in Two Variables?):
उत्तर:दो चरों वाले दो रैखिक समीकरणों को एक साथ लेने पर यह दो चरों वाला युगपत समीकरण निकाय (system of simultaneous linear equation in two variables) कहलाता है यदि वे समीकरण x तथा y के समान मानों से सन्तुष्ट होते हैं (अर्थात x तथा y के जिन मानों से एक समीकरण सन्तुष्ट होता है x तथा y के उन मानों से दूसरा समीकरण भी सन्तुष्ट होता है।)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विलोपन विधि कक्षा 10 (Elimination Method Class 10),कक्षा 10 में विलोपन विधि (Elimination Method in Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
