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Remainder Theorem

1.शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem),शेषफल प्रमेय क्या है? (What is remainder theorem?):

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) बहुपदों के विभाजन से संबद्ध प्रमेय है जिसमें स्वतन्त्र चर x के किसी बहुपद f(x) को x-h से भाग देने पर प्राप्त शेषफल f(h) होता है।अर्थात् f(x)=(x-h) q(x)+f(h) यहाँ q(x) भागफल है।
शेषफल (Remainder):भाजन में विभाजन के पश्चात् जो बचे उसे शेषफल कहते हैं।हमें ज्ञात है कि 25 में 7 का भाग देने पर भागफल 3 और शेषफल 4 प्राप्त होता है।गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखते हैं: 25=(3×7)+4
इसी प्रकार 48 में 8 का भाग देने पर भागफल 6 तथा शेषफल शून्य प्राप्त होता है: 48=(6×8)+0
इसे हम कहते हैं कि 8,48 का एक गुणनखण्ड (Factor) है अथवा 48,8 का एक गुणज (Multiple) है।
सामान्य रूप से व्यक्त करने पर:
यदि p(x) और g(x) ऐसे बहुपद हों कि बहुपद p(x) की घात बहुपद g(x) की घात से बड़ी अथवा बराबर हो तथा g(x) \neq 0 हों तो हमें ऐसे दो बहुपद q(x) और r(x) प्राप्त होते हैं कि
p(x)=g(x).q(x)+r(x)
जहाँ r(x)=0 या r(x) की घात g(x) की घात से छोटी है।अर्थात् p(x) में g(x) से भाग देने पर भागफल q(x) और शेषफल r(x) प्राप्त होता है।
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2.शेषफल प्रमेय के उदाहरण (Remainder Theorem Examples):

बहुपद x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 में निम्नलिखित एक घातीय व्यंजक से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए:
Example:1.x-1
Solution:भागविधि

  x^{3}+2 x^{2}+5 x+8
x-1 x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ x^{4}-x^{3} \\ - \quad \quad +
  2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ 2 x^{3}-2 x^{2} \\ - \quad \quad +
  5 x^{2}+3 x+1 \\ 5 x^{2} - 5 x \\ - \quad \quad +
  8 x+1 \\ 8 x-8 \\ - \quad \quad +
 9

शेषफल=9
शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) द्वारा: x-1=0 \Rightarrow x=1 \\ p(1) =x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ p(1) =(1)^{4}+(1)^{3}+3(1)^{2}+3(1)+1 \\ =1+1+3+3+1 \\ P(1) =9
Example:2. x-\frac{1}{2}
Solution:भागविधि

 x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}+ \frac{15}{4} x+\frac{39}{8}
x-\frac{1}{2}x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ x^{4}-\frac{1}{2} x^{3} \\ - \quad \quad +
 \frac{3}{2} x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ \frac{3}{2} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2} \\ - \quad \quad +
 \frac{15}{4} x^{2}+3 x+1 \\ \frac{15}{4} x^{2}-\frac{15 x}{8}  \\ - \quad \quad +
 \frac{39 x}{8}+1 \\ \frac{39 x}{8}- \frac{39}{16} \\ - \quad \quad +
 \frac{55}{16}

शेषफल=\frac{55}{16}
शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) से:

x-\frac{1}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ P(x) =x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ P\left(\frac{1}{2}\right) =\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{1}{2}\right)+1 \\ \Rightarrow P\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+\frac{1}{1} \\ =\frac{1+2+12+24+16}{16} \\ =\frac{55}{16}
Example:3.x+\pi
Solution:भागविधि

 x^{3}+(1-\pi) x^{2}+\left(3-\pi+\pi^{2}\right) x+\left(3-3 \pi+\pi^{2}-\pi^{3}\right)
x+\pix^{4}+x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ x^{4} + \pi x^{3} \\ - \quad \quad -
 x^{3}(1-\pi)+3 x^{2}+3 x+1 \\ (1-\pi) x^{3}+\pi(1-\pi) x^{2} \\ - \quad \quad -
 (3-\pi+\pi^{2}) x^{2}+3 x+1 \\ \left(3-\pi+\pi^{2}\right) x^{2}+\left(3 \pi-\pi^{2}+\pi^{3}\right) x \\ - \quad \quad -
 \left(3-3 \pi+\pi^{2}-\pi^{3}\right) x+1 \\ \left(3-3 \pi+\pi^{2}-\pi^{3}\right) x+\left(3 \pi-3 \pi^{2}+\pi^{3}-\pi^{4}\right) \\ - \quad \quad -
 \pi^{4}-\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1

शेषफल=\pi^{4}-\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1
शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) द्वारा: x+\pi=0 \Rightarrow x=-\pi \\ P(x)=x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ P(-\pi)=(-\pi)^{4}+(-\pi)^{3}+3(-\pi)^{2}+3(-\pi)+1 \\ P(-\pi)=\pi^{4}-\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1
Example:4.3+2x
Solution:भागविधि

 \frac{x^{3}}{2}-\frac{1}{4} x^{2}+\frac{15}{8} x-\frac{21}{16}
2x+3x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\\ x^{4}+\frac{3}{2} x^{3} \\ - \quad \quad -
 -\frac{1}{2} x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ -\frac{1}{2} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2} \\ + \quad \quad +
 \frac{15}{4} x^{2}+3 x+1 \\ \frac{15 x^{2}}{4}+\frac{45 x}{8} \\ - \quad \quad -
 -\frac{21}{8} x+1 \\ -\frac{21}{8} x-\frac{63}{16} \\ + \quad \quad +
 \frac{79}{16}

शेषफल=\frac{79}{16}
शेषफल प्रमेय द्वारा 2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{2} \\ P(x) =x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ P\left(-\frac{3}{2}\right) =\left(\frac{-3}{2}\right)^{4}+\left(-\frac{-3}{2}\right)^{3}+3\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}+3\left(-\frac{3}{2}\right)+1 \\ \Rightarrow P\left(-\frac{3}{2}\right) =\frac{81}{16}-\frac{27}{8}+\frac{27}{4}-\frac{9}{2}+\frac{1}{1} \\ =\frac{81-54+108-72+16}{16} \\ =\frac{79}{16}
Example:5.x
Solution:भागविधि

 x^{3}+x^{2}+3 x+3
x x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ x^{4} \\ -
 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ x^{3} \\ -
 3 x^{2}+3 x+1 \\ 3 x^{2} \\-
 3 x+1 \\3x \\-
 1

शेषफल=1
शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) द्वारा: x=0 \\ p(x)=x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ P(0)=(0)^{4}+(0)^{3}+3(0)^{2}+3(0)+1 \\ P(0)=1

Example:6. 2 x^{3}+2 a x^{2}-5 x+a को x+a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
Solution:x+a=0 \Rightarrow x=-a \\ P(x)=2 x^{3}+2 a x^{2}-5 x+a \\ P(-a)=2(-a)^{3}+2 a(-a)^{2}-5(-a)+a \\ \Rightarrow P(-a)=-2 a^{3}+2 a^{3}+5 a+a \\ \Rightarrow P(-a)=6a
Example:7.जाँच कीजिए कि x+1,x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 का एक गुणनखण्ड है या नहीं।
Solution:x+1=0 \Rightarrow x=-1 \\ P(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ P(-1)=(-1)^{3}+3(-1)^{2}+3(-1)+1 \\=-1+3-3+1 \\ \Rightarrow P(-1)=0
अतः x+1 दिए हुए बहुपद का गुणनखण्ड है क्योंकि शेषफल शून्य है।
Example:8.बहुपद x^{3}+x^{2}-4 x+a और 2 x^{3}+a x^{2}+3 x-3 को x-2 से भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त होता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

 x^{2}+3 x+2
x-2x^{3}+x^{2}-4 x+a \\ x^{3}-2 x^{2} \\- \quad \quad +
 3 x^{2}-4 x+a \\ 3 x^{2}-6 x \\ - \quad \quad +
 2 x+a \\ 2 x-4 \\ - \quad \quad +
 4+a

शेषफल=4+a

 2 x^{2}+(4+a) x+(11+2a)
x-22 x^{3}+a x^{2}+3 x-3 \\2 x^{3}-4 x^{2} \\- \quad \quad +
 (4+a) x^{2}+3 x-3\\ (4+a) x^{2}+(8+2 a)x \\ - \quad \quad +
 (11+2a) x-3\\ (11+2 a) x-(22+4 a) \\- \quad \quad +
 19+4a

शेषफल=19+4a
प्रश्नानुसार शेषफल समान हैं।अतः
19+4 a=4+a \\ \Rightarrow 4 a-a=4-19 \\ \Rightarrow 3 a=-15 \\ \Rightarrow a=-5
शेषफल प्रमेय का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित बहुपदों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए:
Example:9.x^{3}-2 x^{2}-5 x+6
Solution:माना कि f(x)=x^{3}-2 x^{2}-5 x+6
x=1 रखने पर: f(1)=(1)^{3}-2(1)^{2}+5(1)+6=0
f(x) का एक गुणनखण्ड (x-1) है।
अब भाग विधि से:

 x^{2}-x-6
x-1x^{2}-2 x^{2}-5 x+6 \\ x^{3}-x^{2} \\ - \quad \quad +
 -x^{2}-5 x+6 \\ -x^{2}+x \\ + \quad \quad -
 -6 x+6 \\ -6 x+6  \\ + \quad \quad -
 0

x^{3}-2 x^{2}-5 x+6 =(x-1) \left(x^{2}-x-6\right) \\ =(x-1)\left[x^{2}-3 x+2 x-6\right] \\ =(x-1)[x(x-3)+2(x-3)] \\ =(x-1)(x+2)(x-3) \\ \Rightarrow x^{3}-2 x^{2}-5 x+6 =(x-1)(x+2)(x-3)

इस प्रश्न को निम्न प्रकार भी हल किया जा सकता है।

f(x) =x^{3}-2 x^{2}-5 x+6 \\ =x^{3}-x^{2}-x^{2}+x-6 x+6 \\ =x^{2}(x-1)-x(x-1)-6(x-1) \\ =(x-1)\left(x^{2}-x-6\right) \\ =(x-1)\left(x^{2}-3 x+2 x-6\right) \\ =(x-1)[x(x-3)+2(x-3)] \\ =(x-1)(x+2)(x-3)
Example:10.2 x^{3}- x^{2}-13 x-6
Solution:2 x^{3}-x^{2}-13 x-6
माना कि f(x)=2 x^{3}-x^{2}-13 x-6
x=-2 रखने पर:

f(-2) =2(-2)^{3}-(-2)^{2}-13(-2)-6 \\ =-16-4+26-6 =0
f(x) का एक गुणनखण्ड x+2 है।
अब भागविधि से:

 2 x^{2}-5 x-3
x+22 x^{3}-x^{2}-13 x-6 \\ 2 x^{3}+4 x^{2} \\ - \quad \quad -
 -5 x^{2}-13 x-6 \\ -5 x^{2}-10 x \\ +\quad \quad +
 -3 x-6 \\ -3 x-6 \\ +\quad \quad +
 0

2 x^{3}-x^{2}-13 x-6=(x+2)\left(2 x^{2}-5 x-3\right) \\ =(x+2)\left[2 x^{2}-6 x+x-3\right] \\ =(x+2)[2 x(x-3)+1(x-3)] \\ =(x+2)(x-2)(2 x+1)
इस प्रश्न को निम्न प्रकार भी हल किया जा सकता है:

f(x) =2 x^{3}-x^{2}-13 x-6 \\ =2 x^{3}+4 x^{2}-5 x^{2}-10 x-3 x-6 \\ =2 x^{2}(x+2)-5 x(x+2)-3(x+2) \\ =(x+2)\left(2 x^{2}-5 x-3\right) \\ =(x+2)\left(2 x^{2}-6 x+x-3\right) \\ =(x+2)[2 x(x-2)+1(x-3)] \\ f(x) =(x+2)(x-2)(2 x+1)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) को समझ सकते हैं।

3.शेषफल प्रमेय की समस्याएं (Remainder Theorem Problems):

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित बहुपदों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए:

\text { (1.) } y^{3}-7 y+6 \\ \text { (2.) } 2 x^{3}-6 x^{2}+3 x+10
प्रत्येक स्थिति में शेषफल ज्ञात कीजिए यदि f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x-1 को निम्न व्यंजकों को विभाजित किया जाए:
(3.)x-2  \\ (4.)x+2 \\ (5.) x+\frac{1}{2}
उत्तर (Answers): (1.)(y-1)(y-2)(y+3) \\ \text { (2.) }(x+1)(x-2)(x-5) \\ (3)- 3 \\ (4)-29 \\ (5)-\frac{31}{8}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem)को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.मुख्य बिन्दु (HIGHTLIGHTS):

(1.)शेषफल प्रमेय परिभाषा (Remainder Theorem Definition):यदि एक या उससे बड़ी घात को रैखिक बहुपद (Linear Polynomial),(x-a) से विभाजित किया जाए तो शेषफल f(a) होगा।
(2.)शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem):(i)जब एक बहुपद में दूसरे बहुपद का भाग दिया जाए तब या तो भाग पूरा-पूरा चला जाता है या कुछ शेष बच जाता है।
(ii)जब कोई व्यंजक शेष बच जाता है तो निश्चित ही वह भाजक से कम घात वाला व्यंजक होगा।
(3.)यदि किसी बहुपद में एक घातीय बहुपद (Polynomial of degree one) का भाग दिया जाए तो शेषफल हमेशा अचर (शून्य या अशून्य) होगा।
(4.)शेषफल प्रमेय के प्रयोग से बहुपद के गुणनखण्ड:
सर्वप्रथम हम बहुपद के पूर्णांक शून्य (Integral Zero) को ज्ञात करने का प्रयास करते हैं।(यह शून्य,बहुपद में अचर पद (Constant Term) का भाजक होगा जैसे ही हम बहुपद के शून्य को प्राप्त कर लेते हैं,हमें इसके संगत एक गुणनखण्ड मिल जाता है।इस प्रक्रिया की पुनरावृत्ति करते हुए शेष गुणनखण्ड भी आसानी से ज्ञात किए जा सकते हैं।

5.शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.एक पदी,द्विपद तथा त्रिपदी को परिभाषित करो। (Define Monomial Binomial and Trinomials.):

उत्तर:एक पदवाले बीजीय व्यंजक एक पदी (Monomial) कहलाते हैं।इसी प्रकार दो पदवाले द्विपद (Binomial) तथा तीन पदवाले त्रिपदी (Trinomial) व्यंजक कहलाते हैं।जैसे:2x एक पदी तथा 2x+3 द्विपद व्यंजक है।

प्रश्न:2.गुणनखंड क्या होते हैं? (What is factorisation?):

उत्तर:दिए हुए व्यंजकों के गुणन में लिखने की प्रक्रिया को गुणनखंड कहते हैं।गुणनखण्डन से प्राप्त व्यंजक को गुणनफल का गुणनखण्ड कहते हैं।

प्रश्न:3.भागविधि के क्रियापद लिखिए। (Write working steps of division method.):

उत्तर:स्टेप:1.सर्वप्रथम भाज्य और भाजक को मानक रूप में लिखते हुए पदों के चरों के घात के अवरोही क्रम (Descending) क्रम में लिखो।
स्टेप:2.भाज्य के प्रथम पद को भाजक के प्रथम पद से भाग देने पर प्राप्त पद को भागफल के स्थान पर लिखें।
स्टेप:3.भाजक को भागफल के प्रथम पद से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को भाज्य में से घटाएं।इस प्रकार शेषफल प्राप्त होगा।
स्टेप:4.स्टेप:3 में प्राप्त शेषफल को नया भाज्य मानकर पुनः स्टेप:2 की प्रक्रिया अपनाएं।इस प्रकार भागफल का दूसरा पद प्राप्त होगा।
स्टेप:5.स्टेप:3 की तरह ही भागफल के दूसरे पद को भाजक से गुणा करके प्राप्त गुणनफल को नए भाज्य में से घटाएं।इससे शेषफल प्राप्त होगा।
यह प्रक्रिया तब तक जारी रखते हैं जब तक कि नए भाज्य की घात भाजक की घात से कम नहीं हो जाती है।अंतिम चरण में भाज्य शेषफल बन जाता है और भागफलों के योग से पूर्ण भागफल बन जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Remainder Theorem

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem)

Remainder Theorem

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) बहुपदों के विभाजन से संबद्ध प्रमेय है जिसमें स्वतन्त्र चर x
के किसी बहुपद f(x) को x-h से भाग देने पर प्राप्त शेषफल f(h) होता है।अर्थात् f(x)=(x-h) q(x)+f(h)
यहाँ q(x) भागफल है।

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