Derivative of arc length

चाप लम्बाई का अवकलज का परिचय (Introduction to Derivative of arc length),चाप की लम्बाई का अवकलज का परिचय (Introduction to Derivative of length of an arc):

Derivative of arc length

• चाप लम्बाई का अवकलज (Derivative of arc length),चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of length of an arc):यदि वक्र के किसी स्थिर बिन्दु से मापी गई चाप की लम्बाई s को x का फलन मान लें अर्थात् s=f(x) तो s का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात किया जा सकता है।यहाँ चाप के मापों के मान स्वयं सिद्ध (axiom) पर आधारित होते हैं।
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चाप लम्बाई का अवकलज (Derivative of arc length),चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of length of an arc):

Derivative of arc length

• कार्तीय सूत्र (Cartesian Formula):
  माना कि वक्र का समीकरण y=f(x) है।यह भी माना कि P(x,y) तथा Q(+\delta{x},y+\delta{y}) वक्र पर दो निकटवर्ती (neighbouring) बिन्दु हैं।मान लो कि वक्र पर A स्थिर बिन्दु है तथा चाप AP=s,चाप AQ=s+\delta{s} तथा जीवा PQ=\delta{l}
  बिन्दु P तथा बिन्दु Q से क्रमशः PM तथा QN x-अक्ष पर लम्ब डाले तथा P से PL लम्ब QN पर डाला।
  अब \triangle{PLQ}\text{ में }\angle{PLQ}=90°
  तथा PQ^{2}=PL^{2}+LQ^{2}
  या \delta{l}^{2}=\delta{x}^{2}+\delta{y}^{2}
  अब (1) में (\delta{x})^{2} का भाग देने परः
  \left(\frac{\delta{x}}{\delta{x}}\right)^{2}=1+\left(\frac{\delta{y}}{\delta{x}}\right)^{2}
  पुनः \frac{\delta{s}}{\delta{x}}=\frac{\delta{s}}{\delta{l}}\frac{\delta{l}}{\delta{x}}=\pm{\frac{\delta{s}}{\delta{l}}}\sqrt{[1+(\frac{\delta{y}}{\delta{x}})^{2}]}
  तथा जब Q\rightarrow{P} तब \delta{x}\rightarrow{0} तो दोनों पक्षों की सीमा लेने परः
  \frac{ds}{dx}=\pm{}\sqrt{[1+(\frac{dy}{dx})^{2}]}
  x की बढ़ती हुई दिशा में यदि s भी बढ़ता है तो धनात्मक चिन्ह लिया जाता है अन्यथा ऋणात्मक।

Derivative of arc length

• उपर्युक्त आर्टिकल में चाप लम्बाई का अवकलज (Derivative of arc length),चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of length of an arc) के बारे में बताया गया है।