1.आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem Class 10),थेल्स प्रमेय (Thales Theorem):

Basic Proportionality Theorem Class 10

आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem Class 10) जिसे थेल्स प्रमेय के नाम से भी जाता है निम्न प्रकार है:

Basic Proportionality Theorem Class 10(Thales)

प्रमेय (Theorem):1.यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित होती है।

Basic Proportionality Theorem Class 10

दिया है (Given): $\triangle$ ABC में $D E \parallel B C$ तथा DE अन्य दो भुजाओं AB और AC को क्रमशः D व E पर काटती है।
सिद्ध करना है (To Prove): $\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{B C}$
रचना (Construction):B और E तथा C और D को मिलाया।और फिर $DM \perp AC$ एवं $EN \perp A B$ खींचा।
उपपत्ति (Proof):$\triangle$ ADE का क्षेत्रफल=$\frac{1}{2}$ × आधार ×ऊँचाई

=$\frac{1}{2} \times AD \times EN \\ \Rightarrow \operatorname{ar}(ADE)=\frac{1}{2} \times A D \times EN$
इसी प्रकार $\operatorname{ar}(BDE)=\frac{1}{2} \times DB \times E N \\ \frac{\operatorname{ar}(ADE)}{\operatorname{ar}(B D E)}=\frac{\frac{1}{2} \times A D \times E N}{\frac{1}{2} \times D B \times E N} \\ \Rightarrow \frac{\operatorname{ar}(ADE)}{\operatorname{ar}(BDE)}=\frac{AD}{DB} \cdots(1)$
इसी प्रकार ar (ADE)=$\frac{1}{2} \times AE \times D M$
तथा $ar (D E C)=\frac{1}{2} \times AE \times D M \\ \frac{ar(A D E)}{a_{r}(D E C)}=\frac{\frac{1}{2} \times A E \times D M}{\frac{1}{2} \times E C \times D M} \\ \frac{ar(A D E)}{ar(D E C)}=\frac{A E}{E C} \cdots(2)$
$\triangle$ BDE और $\triangle$ DEC एक ही आधार DE तथा समान्तर रेखाओं BC और DE के बीच बने दो त्रिभुज हैं।
अत: ar(BDE)=ar(DEC)…. (3)
इसलिए (1),(2),(3) से:

$\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}$
प्रमेय (Theorem):2.आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का विलोम (Converse of Basic Proportionality Theorem):
यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे तो वह तीसरी भुजा के समान्तर होती है।

Basic Proportionality Theorem Class 10

दिया है (Given):$\triangle$ ABC में भुजा AB व AC को इस प्रकार प्रतिच्छेदित करती है कि

$\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}$
सिद्ध करना है (To Prove):$D E \| B C$
रचना (Construction):यदि DE भुजा BC के समान्तर न हो तो $B C \| P E^{\prime}$ खींची।
उपपत्ति (Proof):$B C \| P E^{\prime}$(रचना से)
$\frac{A D}{D B}=\frac{A E^{\prime}}{E^{\prime} C}$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)….(1)
$\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}$(दिया है)….(2)
(1) व (2) से:

$\frac{A E^{\prime}}{E^{\prime} C}=\frac{A E}{E C} \\ \Rightarrow \frac{A E^{\prime}}{E^{\prime} C}+ 1=\frac{A E}{EC}+1 \\ \Rightarrow \frac{A E^{\prime}+E^{\prime} C}{E^{\prime} C}=\frac{A E+E C}{E C} \\ \Rightarrow \frac{AC}{E^{\prime} C}=\frac{A C}{E C} \\ \Rightarrow E^{\prime} C=E C$
यह तभी संभव है जब E’, E के संपाती हो। अर्थात् DE’, DE के संपाती हो। फलतः $D E \| B C$
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2.आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के उदाहरण (Basic Proportionality Theorem Class 10 Examples):

Example:1.आकृति (i) और (ii) में $DE\|BC$ है।(i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए:
Solution:(i)$DE\|BC \\ \frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}$  (BPT से)

Basic Proportionality Theorem Class 10

$\frac{1.5}{3}=\frac{1}{E C} \\ E C=\frac{1}{0.5} \\ E C=2$ cm
Solution:(ii)$DE\|BC \\ \frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}$ (BPT से)

Basic Proportionality Theorem Class 10

$\frac{A D}{7.2}=\frac{1.8}{5.4} \\ \Rightarrow A D=\frac{1.8}{5.4} \times 7.2 \\ \Rightarrow A D=2.4$ cm
Example:2.किसी $\triangle PQR$ की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए बताइए कि क्या $EF \parallel QR$ है:

Basic Proportionality Theorem Class 10

(i)PE=3.9cm,EQ=3cm,PF=3.6cm और FR=2.4cm
Solution: $\frac{P E}{E Q}=\frac{3.9}{3}=1.3 \\ \frac{P F}{F R}=\frac{3.6}{2.4}=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow \frac{P E}{E Q} \neq \frac{P F}{F R}$ 
अत: $EF \not \parallel QR$
(ii)PE=4cm,QE=4.5cm,PF=8cm और RF=9cm

$\frac{P E}{Q E}=\frac{4}{4.5}=\frac{5}{9} \\ \frac{P F}{R F}=\frac{8}{9} \\ \frac{P E}{Q E} \neq \frac{P F}{R F}$
अत: $EF \not \parallel QR$
(iii)PQ=1.28cm,PR=2.56cm,PE=0.18cm और PF=0.36cm

$\frac{P Q}{P E}=\frac{1.28}{0.18}=\frac{64}{9} \\ \frac{P R}{P F}=\frac{2.56}{0.36}=\frac{64}{9} \\ \frac{P Q}{P E}=\frac{P R}{P F}$
अत: $EF \parallel QR$
Example:3.आकृति में यदि $L N \| C B$ और $L N \| C D$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A D}$ है।

Basic Proportionality Theorem Class 10

दिया है (Given):$L M \| C B$ और $LN \| C D$
सिद्ध करना है (To Prove): $\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A D}$
उपपत्ति (Proof):$\triangle$ ABC में $L M \| C B$
अत: $\frac{A M}{A B}=\frac{A L}{A C}$ (BPT से)
इसी प्रकार $\triangle$ ADC में $L N \| C D$
$\frac{A N}{A D}=\frac{A L}{A C}$  (BPT से)…..(2)

$\frac{A N}{A D}=\frac{A M}{A B}$ Q.E.D.
Example:4.आकृति में $DE \| AC$ और $DF \| AE$ है।सिद्ध कीजिए कि $\frac{B F}{F E}=\frac{B E}{E C}$ है।

Basic Proportionality Theorem Class 10

दिया है (Given): $DE \| AC$ और $DF \| AE$
सिद्ध करना है (To Prove): $\frac{B F}{F E}=\frac{B E}{E C}$
उपपत्ति (Proof):$\triangle$ BAE में $DF \| AE$
$\frac{B F}{F E}=\frac{B D}{D A}$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
$\triangle$ BAC में $D E \| A C$
$\frac{B E}{E C}=\frac{B D}{D A}$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)

$\frac{B F}{F E}=\frac{B E}{E C}$ Q.E.D.
Example:5.आकृति में $DE \parallel OQ$ और $DF \parallel OR$ है।दर्शाइए कि $EF \parallel QR$ है।

Basic Proportionality Theorem Class 10

दिया है (Given):$DE \parallel OQ$ और $DF \parallel OR$
सिद्ध करना है (To Prove): $EF\|QR$
उपपत्ति (Proof): $\triangle$ POQ में $DE \|OQ$
$\frac{P E}{EQ}=\frac{P D}{D O}$  (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से) …(1)

$\triangle$ POR में $DF \| OR$
$\frac{P F}{FR}=\frac{P D}{D O}$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
(1) व (2) से:

$\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}$
अब $\triangle$ POR में
$\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}$ (सिद्ध किया है)
$E F \| Q R$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से)

Basic Proportionality Theorem Class 10

Example:6.आकृति में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A,B और C इस प्रकार हैं कि $A B \| P Q$ और $A C \| P R$ है। दर्शाइए कि $BC \| Q R$ है।
दिया है (Given):$A B \| P Q$ और $A C \| P R$

Basic Proportionality Theorem Class 10

सिद्ध करना है (To Prove): $BC \| Q R$
उपपत्ति (Proof):$\triangle$ POQ में $A B \| P Q \\ \frac{A O}{P A}=\frac{B O}{B Q}$  (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
(1) व (2) से:
$\triangle$ POR में $A C \| P R \\ \frac{AO}{P A}=\frac{O C}{C R}$ (सिद्ध किया है)….(2)
$\frac{B O}{B Q}=\frac{O C}{C R}$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)

$\triangle$ QOR में

$\frac{B O}{B Q}=\frac{O C}{C R}$ (सिद्ध किया है)

$BC \parallel QR$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
Example:7.आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी को समद्विभाजित करती है।
दिया है (Given):$\triangle$ ABC में D, AB का मध्य-बिन्दु है अर्थात् AD=DB तथा $DE \| BC$

Basic Proportionality Theorem Class 10

सिद्ध करना है (To Prove):AE=EC
उपपत्ति (Proof):AD=DB (दिया है)

$\Rightarrow \frac{A D}{D B}=1 \cdots(1)$
$\triangle$ ABC में $DE \| BC$
$\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
(1) व (2) से:

$1=\frac{A E}{E C} \\ \Rightarrow A E=E C$
Example:8.आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलनेवाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।
दिया है (Given):$\triangle$ ABC में AB व AC के मध्य बिन्दुओं क्रमशः D और E हैं अर्थात् AD=DB और AE=EC है।

Basic Proportionality Theorem Class 10

सिद्ध करना है (To Prove): $DE \| BC$
उपपत्ति (To Proof):AD=DB (दिया है)

$\Rightarrow \frac{A D}{D B}=1 \cdots(1)$
AE=EC (दिया है)

$\frac{A E}{E C}=1 \cdots(2)$
(1) व (2) से:

$\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}$
अत: $D E \| B C$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से)
Example:9.ABCD एक समलम्ब है जिसमें $AB \| DC$ है तथा इसके विकर्ण परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\frac{A O}{BO}=\frac{C O}{D O}$ है।
दिया है (Given):ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है अर्थात् $AB \| CD$ तथा इसके विकर्ण DB व AC एक-दूसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

Basic Proportionality Theorem Class 10

सिद्ध करना है (To Prove): $\frac{A O}{BO}=\frac{C O}{D O}$
रचना (Construction):O से $OE \| DC$ खींची।
उपपत्ति (Proof): $\triangle$ ADC में $OE \| DC$
$\frac{A O}{CO}=\frac{A E}{E D}$  (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)…..(1)
परन्तु समलम्ब चतुर्भुज में $CD \| AB \\ OE \| CD$ (रचना से)

अत: $O E \| A B$
$\triangle$ ADB में $O E \| A B$
$\frac{E D}{A E}=\frac{D O}{BO}$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)

$\frac{B O}{D O}=\frac{A E}{ED} \cdots(2)$
(1) व (2) से:

$\frac{B O}{D O}=\frac{A O}{CO} \Rightarrow \frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}$
Example:10.एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{A O}{B O} =\frac{C O}{D O}$ है। दर्शाइए कि ABCD समलम्ब चतुर्भुज है।
दिया है (Given):ABCD समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण BD व AC एक-दूसरे को इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{A O}{B O} =\frac{C O}{D O}$

Basic Proportionality Theorem Class 10

सिद्ध करना है (To Prove):ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है अर्थात् $AB \parallel CD$
रचना (Construction):O से $OE \parallel DC$ खींची।
उपपत्ति (Proof):$\triangle$ BDC में $OE \parallel DC \\ \frac{B O}{D O}=\frac{B E}{E C}$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
$\frac{A O}{B O}=\frac{CO}{DO}$(दिया है)

$\Rightarrow  \frac{B O}{D O}=\frac{A O}{B O} \cdots(2)$
(1) व (2) से: $\frac{A O}{C O}=\frac{B E}{E C} \\ O E \parallel AB$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
$O E \parallel D C$ (रचना से)…..(4)
(3) व (4) से:

$A B \parallel CD$
अत: ABCD समलम्ब चतुर्भुज है।
Example:11.कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए रिक्त स्थानों को भरिए:
(i)सभी वृत्त…. होते हैं। (सर्वांगसम/समरूप)
उत्तर:समरूप
(ii)सभी वर्ग… होते हैं। (समरूप,सर्वांगसम)
उत्तर:समरूप
(iii) सभी…. त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्वबाहु, समबाहु)
उत्तर:समबाहु
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि (i) उनके संगत कोण…. हों। (ii) उनकी संगत भुजाएँ…. हों। (बराबर, समानुपाती)
उत्तर (i) बराबर (ii) समानुपाती
Example:12.निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए:
(i) समरूप
उत्तर:ताजमहल का स्मारक तथा ताजमहल का माॅडल
एक ही नेगेटिव फोटो की स्टैंप साइज फोटो, पासपोर्ट साइज फोटो, पोस्टकार्ड साइज फोटो
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं है।
उत्तर:एक त्रिभुज और एक वर्ग समरूप नहीं है।
एक चतुर्भुज और पंचभुज समरूप नहीं है।
Example:13.बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं :

Basic Proportionality Theorem Class 10

उत्तर:$\frac{P Q}{A B}=\frac{Q R}{B C}=\frac{P S}{C D}=\frac{S P}{D A}=\frac{1.5}{3} =\frac{1}{2}$ 
परन्तु $\angle P \neq \angle A ,\angle Q \neq \angle B, \angle R \neq \angle C ,\angle S \neq \angle D$ 
अत:चतुर्भुज समरूप नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem Class 10),थेल्स प्रमेय (Thales Theorem) को समझ सकते हैं।

3.आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय की समस्याएँ (Basic Proportionality Theorem Class 10 Problems):

Basic Proportionality Theorem Class 10

(1.)आकृति में यदि $DE \parallel BC$ हो तो x का मान होगा:

Basic Proportionality Theorem Class 10

(2.)दी गई आकृति $\triangle$  ABCमें $DE \parallel BC$  तथा AD=(7x-4)सेमी,AE=(5x-2)सेमी,DB=(3x+4)सेमी,BC=3xसेमी हो तो x का मान होगा:
उत्तर (Answers):(1)x=$\sqrt{7}$

(2.) 4 मीटर
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem Class 10),थेल्स प्रमेय (Thales Theorem) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem Class 10),थेल्स प्रमेय (Thales Theorem) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem Class 10) जिसे थेल्स प्रमेय
के नाम से भी जाता है निम्न प्रकार है: