1.कक्षा 9वीं में चतुर्भुज (Quadrilaterals in Class 9th),चतुर्भुज (Quadrilaterals):

Quadrilaterals in Class 9th

कक्षा 9वीं में चतुर्भुज (Quadrilaterals in Class 9th) के इस आर्टिकल में चतुर्भुज,आयत,वर्ग आदि पर आधारित वस्तुनिष्ठ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 9वीं में चतुर्भुज के उदाहरण (Quadrilaterals in Class 9th Illustrations):

Illustration:1.एक चतुर्भुज के तीन कोण 75°,90° और 75° है।इसका चौथा कोण है:
(a) 90° (b) 95° (c) 105° (d) 120°
Solution: \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ} (चतुर्भुज के चारों कोणों का योग)
\Rightarrow 75^{\circ}+90^{\circ}+75^{\circ}+\angle D=360^{\circ} \\ \Rightarrow 240^{\circ} +\angle D=360^{\circ} \\ \Rightarrow \angle D=360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ}
विकल्प (d) सही है।
Illustration:2.एक आयत का एक विकर्ण उसकी एक भुजा से 25° पर नत है।इसके विकर्णों के बीच न्यून कोण हैं:
(a) 55° (b) 50° (c) 40° (d) 25°
Solution:विकर्ण का चौड़ाई के साथ नत कोण=90°-25°=65°
विकर्णों के बीच न्यून कोण=180°-(65°+65°)
=180°-130°=50°
विकल्प (b) सही है।
Illustration:3.ABCD एक समचतुर्भुज है,जिसमें \angle ACB=40^{\circ} है।तब \angle ADB है:
(a) 40° (b) 45° (c) 50° (d) 60°
Solution: \angle ACB=40^{\circ}, \angle A D B=\frac{180^{\circ}-40^{\circ} \times 2}{2}=50^{\circ}
विकल्प (c) सही है।
Illustration:4.चतुर्भुज PQRS की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को एक ही क्रम में,मिलाने पर बना चतुर्भुज एक आयत होता है,यदि
(a) PQRS एक आयत है (b) PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है (c) PQRS के विकर्ण परस्पर लम्ब हों (d) PQRS के विकर्ण बराबर हों
Solution:विकल्प (d) सही है।
Illustration:5.चतुर्भुज PQRS की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को,एक ही क्रम में मिलाने पर बना चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है,यदि
(a) PQRS एक समचतुर्भुज है (b) PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है (c) PQRS के विकर्ण परस्पर लम्ब हों (d) PQRS के विकर्ण बराबर हों
Solution:विकल्प (c) सही है।
Illustration:6.यदि चतुर्भुज ABCD के कोणों A,B,C और D का,इसी क्रम में लेने पर,अनुपात 3:7:6:4 है तो ABCD है एक
(a) समचतुर्भुज (b) समान्तर चतुर्भुज (c) समलम्ब (d) पतंग
Solution:विकल्प (c) सही है।
Illustration:7.यदि चतुर्भुज ABCD के \angle A और \angle B समद्विभाजक परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं, \angle B और \angle C के समद्विभाजक Q पर, \angle C और \angle D के R तथा \angle D और \angle A के S पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो PQRS है एक
(a) आयत (b) समचतुर्भुज (c) समान्तर चतुर्भुज (d) चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण सम्पूरक हैं
Solution: \frac{1}{2} \angle A+\frac{1}{2} \angle B=180-\angle P \\ \frac{1}{2} \angle C+\frac{1}{2} \angle D=180-\angle R
जोड़ने पर \frac{1}{2}(\angle A+\angle B+\angle C+\angle D)=360-\angle P -\angle R \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \times 360^{\circ}=360^{\circ}-(\angle P+\angle R) \\ \Rightarrow \angle P+\angle R= 360^{\circ}-180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle P+\angle R=180^{\circ}
इसी प्रकार \angle Q+\angle S=180^{\circ}
विकल्प (d) सही है।
Illustration:8.यदि APB और CQD दो समान्तर रेखाएँ हैं,तो कोणों \angle APQ, \angle BPQ, \angle CQP और \angle PQD के समद्विभाजक बनाते हैं।
(a) एक वर्ग (b) एक समचतुर्भुज (c) एक आयत (d) कोई अन्य समान्तर चतुर्भुज
Solution: \frac{1}{2} \angle A P Q+\frac{1}{2} \angle B P Q=\frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\ \Rightarrow \frac{1}{2}(\angle A P Q+\angle B P Q)=90^{\circ}
इसी प्रकार \frac{1}{2}(\angle CQP+\angle PQD)=90^{\circ}
अतः यह एक आयत है।
विकल्प (c) सही है।
Illustration:9.एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को,एक ही क्रम में,मिलाने पर बनने वाली आकृति होती है:
(a) एक समचतुर्भुज (b) एक आयत (c) एक वर्ग (d) कोई भी समान्तर चतुर्भुज
Solution:विकल्प (b) सही है।
Illustration:10. D और E क्रमशः \triangle ABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिन्दु है।O को A से मिलाया जाता है।यदि P और Q क्रमशः OB और OC के मध्य-बिन्दु है,तो DEQP एक
(a) वर्ग (b) आयत (c) समचतुर्भुज (d) समान्तर चतुर्भुज
Solution:D व E भुजा AB व AC के मध्य-बिन्दु हैं अतः
DE \| BC तथा DE=\frac{1}{2} BC \cdots(1) \\ OB+OC=\frac{1}{2} B C
(1) व (2) सेः
DE \| PQ व DE=PQ
अतः DEQP एक समान्तर चतुर्भुज है।
विकल्प (d) सही है।
Illustration:11.एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को,एक ही क्रम में,मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है,यदि
(a) यदि ABCD एक समचतुर्भुज है (b) ABCD के विकर्ण बराबर हैं (c) ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लम्ब हैं (d) ABCD के विकर्ण परस्पर लम्ब हैं
Solution:विकल्प (c) सही है।
Illustration:12.समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं।यदि \angle DAC=32^{\circ} और \angle AOB=70^{\circ} है तो \angle DBC है
(a)
Solution: \angle A D C=180^{\circ}-32^{\circ}-\left(180^{\circ}-70^{\circ}\right) \\ \quad \Rightarrow \angle A D C=180^{\circ}-32^{\circ}-110^{\circ}=38^{\circ} \\ \angle ADC=\angle DBC (एकान्तर कोण)
विकल्प (c) सही है।

Quadrilaterals in Class 9th

Illustration:13.एक समान्तर चतुर्भुज के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है?
(a) सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं
(b) सम्मुख कोण विकर्णों से समद्विभाजित होते हैं
(c) सम्मुख कोण बराबर होते हैं
(d) विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं
Solution:विकल्प (b) सही है।
Illustration:14.D और E क्रमशः \triangle ABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिन्दु हैं।DE को F तक बढ़ाया जाता है।यह सिद्ध करने के लिए कि CF रेखाखण्ड DA के बराबर और समान्तर हैं,हमें एक अतिरिक्त सूचना की आवश्यकता है,जो कि
(a) \angle DAE=\angle EFC (b) AE=EF (c) DE=EF (d) \angle ADE=\angle ECF
Solution:विकल्प (c) सही है।
Illustration:15.एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।यदि \angle BOC=90^{\circ} और \angle BDC=50^{\circ} हैं,तो \angle OAB हैः
Solution: \angle BDC+\angle COD+\angle OCD=180^{\circ} \cdots(1)\\ \angle COD+\angle B O C=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle COD+90^{\circ}=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle COD=90^{\circ}
(1) में रखने परः
50^{\circ}+90^{\circ}+\angle OCD=180^{\circ} \\ \angle OCD=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ} \\ \angle OAB=\angle OCD=40^{\circ} (एकान्तर कोण)
विकल्प (c) सही है।
Illustration:16.चार भुजाओं से घिरी आकृति को कहते हैं:
(a) विकर्ण (b) चतुर्भुज (c) त्रिभुज (d) वृत्त
Solution:विकल्प (b) सही है।
Illustration:17.एक चतुर्भुज के चारों कोणों का योग होता है:
(a) 240° (b) 360° (c) 180° (d) 280°
Solution:विकल्प (b) सही है।
Illustration:18.चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ और कोण परस्पर बराबर हों,वह चतुर्भुज है:
(a) आयत (b) समचतुर्भुज (c) वर्ग (d) समान्तर चतुर्भुज
Solution:विकल्प (c) सही है।
Illustration:19.समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ होती हैं:
(a) 2:3 के अनुपात में (b) 3:6 के अनुपात में (c) 5:4 के अनुपात में (d) बराबर
Solution:विकल्प (d) सही है।
Illustration:20.वर्ग में चारों कोणों की नाप क्रमशः होती हैं:
(a) 90°, 120°, 120°, 30° (b) 90°, 90°, 90°, 90°
(c) 90°, 10°, 100°, 120° (d) 90°, 80°, 60°, 130°
Solution:विकल्प (b) सही है।
Illustration:21.चतुर्भुज ABCD में A,B,C,D अन्तःकोण है।यदि A:B:C:D=1:2:3:4 हो तो 72° माप होगा:
(a) A का (b) B का (c) C का (d) D का
Solution: \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=x+2 x+3 x+4 x=360^{\circ} \\ \Rightarrow 10 x=360^{\circ} \\ \Rightarrow x=\frac{360^{\circ}}{10}=36^{\circ} \\ \angle B=2 x=2 \times 36^{\circ}=72^{\circ}
विकल्प (b) सही है।
Illustration:22.समान्तर चतुर्भुज ABCD में \angle A=70^{\circ} हो,तो \angle B का मान है:
(a) 10° (b) 110° (c) 70° (d) 90°
Solution: \angle A+\angle B=180^{\circ} (आसन्न कोण)
\Rightarrow 70^{\circ}+\angle B=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle B=180^{\circ}-70^{\circ} =140^{\circ}
विकल्प (b) सही है।
Illustration:23.चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हों लेकिन सभी कोण बराबर नहीं हों,होगा:
(a) आयत (b) समान्तर (c) चतुर्भुज वर्ग (d) समचतुर्भुज
Solution:विकल्प (d) सही है।
Illustration:24.समान्तर चतुर्भुज ABCD में \angle A=60^{\circ} हो तो \angle B का मान होगा:
(a) 30° (b) 60° (c) 90° (d) 120°
Solution: \angle A+\angle B=180^{\circ} (आसन्न कोण)
60^{\circ}+\angle B=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle B=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}
विकल्प (d) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा कक्षा 9वीं में चतुर्भुज (Quadrilaterals in Class 9th),चतुर्भुज (Quadrilaterals) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 9वीं में चतुर्भुज के सवाल (Quadrilaterals in Class 9th Questions):

Quadrilaterals in Class 9th

(1.)समान्तर चतुर्भुज ABCD में भुजा AB=6 सेमी और BC=4 सेमी तो AD होगी:
(a) 2 सेमी (b) 4 सेमी (c) 6 सेमी (d) 10 सेमी
(2.) \triangle ABC में \angle B समकोण है AC=5 सेमी और AB=3 सेमी तो BC की माप होगी:
(a) 8 सेमी (b) 5 सेमी (c) 4 सेमी (d) 3 सेमी
उत्तर (Answers):(1.)(b) (2.)(c)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 9वीं में चतुर्भुज (Quadrilaterals in Class 9th),चतुर्भुज (Quadrilaterals) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 9वीं में चतुर्भुज (Frequently Asked Questions Related to Quadrilaterals in Class 9th),चतुर्भुज (Quadrilaterals) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 9वीं में चतुर्भुज (Quadrilaterals in Class 9th) के इस आर्टिकल में चतुर्भुज,
आयत,वर्ग आदि पर आधारित वस्तुनिष्ठ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।