1.सांख्यिकी में परिघात एवं पृथुशीर्षत्व (Moments and Kurtosis in Statistics),परिघात एवं पृथुशीर्षत्व (Moments and Kurtosis):

Moments and Kurtosis in Statistics

सांख्यिकी में परिघात एवं पृथुशीर्षत्व (Moments and Kurtosis in Statistics) के इस आर्टिकल में परिघात से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में परिघात एवं पृथुशीर्षत्व के साधित उदाहरण (Moments and Kurtosis in Statistics Solved Examples):

Example:1.यह सिद्ध कीजिए कि समान्तर माध्य से परिघात की सहायता से प्रारम्भिक मूल बिन्दु पर आधारित परिघात निम्न सूत्रों द्वारा परिकलित किए जा सकते हैं:
(Show that the moments about the origin may be derived from moments about mean by the following formulae):
v_2=\mu_2+\bar{d} x ; v_3=\mu_3+3 \mu_2 \bar{d} x+\bar{d} x^2 ; v_4=4 \mu_3 \bar{d} x+6 \mu_2 \bar{d} x^2+\bar{d} x^4
Solution: v_1=(\mu+\bar{d} x)^{1}=\mu_1+\bar{d} x=\bar{d} x\left[\because \mu_1=0\right] \\ v_2=(\mu+\bar{d} x)^2=\mu_2+2 \mu_1 \bar{d} x+\bar{d} x^2=\mu_2+\bar{d} x^2 \\ v_3=(\mu+\bar{d} x)^3=\mu_3+3 \mu_2 \bar{d} x+3 \mu_1 \bar{d} x^2+\bar{d} x^3 \\ \Rightarrow v_3=\mu_3+3 \mu_2 \bar{d} x+\bar{d} x^3 \\ v_4=(\mu+\bar{d} x)^4=\mu_4+4 \mu_3 \bar{d} x+6 \mu_2 \bar{d} x^2+4 \mu_1 \bar{d} x^2+\bar{d} x^4 \\ \Rightarrow v_4=\mu_4+4 \mu_3 \bar{d} x+6 \mu_2 \bar{d} x^2+\bar{d} x^4
Example:2.किसी पद वितरण 3 से लिए गए प्रथम,द्वितीय तथा तृतीय अपकिरण-घातों का मूल्य क्रमशः 2,10 तथा 30 है।0 से लिए गए इन प्रथम तीनों अपकिरण-घातों का मूल्य ज्ञात कीजिए।इस पद वितरण का प्रसरण या विचरणांक भी ज्ञात कीजिए।
(The first three moments of a distribution about the value 3 of the variable are 2,10 and 30 respectively.Obtain the first three moments about 0.Also calculate the variance of the distribution.)
Solution:ज्ञात है: A=3, v_1=2, v_2=10, v_3=30\\ \therefore \overline{X}=A+\frac{\Sigma d x}{N}=A+v_1=3+2=5 \\ \overline{X}=5 ; A=0 \therefore \bar{d} X=\overline{X}-A=5-, 0=5 \\ \mu_1=v_1-v_1=2-2=0 \\ \mu_2=v_2-v_1^2=10-2^2=6 \\ \mu_3=v_3-3 v_2 v_1+2 v_1^3 \\ =30-3 \times 10 \times 2+2 \times(2)^3 \\ =30-60+16 \\ \Rightarrow \mu_3=-14 \\ \mu_1=0, \mu_2=6, \mu_3=-14
v_1 (शून्य से)=\overline{d} x=5
v_2 (शून्य से)=\mu_2+\bar{d} x^2=6+(5)^2=31
v_3 (शून्य से)=\mu_3+3 \mu_2 \bar{d} x+\bar{d} x^3 \\ =-14+3 \times 6 \times 5+(5)^3=-14+90+125 \\ \Rightarrow v_3=201
Example:3.एक वितरण में मूल्य 2 (A=2) से लिए गए प्रथम चार परिघातों के मान 1,2.5,5.5 और 16 हैं।समान्तर माध्य \overline{X} से और शून्य (0) से चारों परिघातों के मूल्य ज्ञात कीजिए।
(The first four moments of a distribution about the value 2 (A=2) are 1,2.5,5.5 and 16 respectively.Calculate the four moments about the arithmetic mean \overline{X} and about zero.)
Solution:ज्ञात हैः A=2, v_1=1, v_2=2.5, v_3=5.5, v_4=16 \\ \therefore \bar{X}=A+\frac{\Sigma d x}{N}=A+v_1=2+1=3 \\ \bar{X}=3, A=0 \therefore \bar{d} x=\bar{X}-A=3-0=3 \\ \mu_1=v_1-v_1=1-1=0 \\ \mu_2=v_2-v_1^2=2.5-(1)^2=2.5-1=1.5= \sigma^2 \\ \mu_3=v_3-3 v_2 v_1+2 v_1^3 \\ =5.5-3 \times 2.5 \times 1+2 \times 1^3=5.5-7.5+2=0 \\ \Rightarrow \mu_3=0 \\ \mu_4=v_4-4 v_3 v_1+6 v_2 v_1^2-3 v_1^4 \\ =16-4 \times 5.5 \times 1+6 \times 2.5 \times 1^2-3 \times 1^4 \\ =16-22+15-3=6 \\ \Rightarrow \mu_4=6 \\ \mu_1=0, \mu_2=1.5, \mu_3=0, \mu_4=6
प्रथम परिघात (0 से) v_1=\mu_1+\bar{d} x=0+3=3
द्वितीय परिघात (0 से) v_2=\mu_2+\bar{d} x^2=1.5+3^2=10.5
तृतीय परिघात (0 से) v_3=\mu_3+3 \mu_2 \bar{d} x+\bar{d} x^3 \\ \Rightarrow v_3=0+3 \times 1.5 \times 3+3^3=13.5+27=40.5
चतुर्थ परिघात (0 से) v_4=\mu_4+4 \mu_3 \overline{d}x+6 \mu_2 \overline{d} x^2+\overline{d } x^4 \\ =6+4 \times 0 \times 3+6 \times 1.5 \times 3^2+3^4 \\ \Rightarrow v_4=6+81+81=168 \\ v_1=3, v_2=10.5, v_3=40.5, v_4=168
Example:4.एक पद वितरण में मूल्य 4 पर आधारित चारों परिघातों के माप क्रमशः -1.5,17,-30 और 108 हैं। \beta_1 और \beta_2 ज्ञात कीजिए और उनके मूल्यों की समीक्षा कीजिए।
(In a distribution,the measures of four moments about the value 4 are respectively -1.5,17,-30 and 108.Find \beta_1 and \beta_2 and comment their values.)
Solution: v_1=-1.5, v_2=17, v_3=-30, v_4=108 \\ \mu_1 =v_1-v_1=-1.5-(-1.5)=0 \\ \mu_2=v_2-v_1^2=17-(-1.5)^2=17-2.25=14.75 \\ \mu_3=v_3-3 v_2 v_1+2 v_1^3=-30+(3 \times 17 \times-1.5)+2 \times(-1.5)^3 \\ \Rightarrow \mu_3 =-30+76.5-675=39.75 \\ \mu_4 =v_4-4 v_3 v_1+6 v_2 v_1^2-3 v_1^4 \\ =108-(4 \times-30 \times -1.5)+(6 \times 17 \times (-1.5)^2) -3 \times(-1.5)^4 \\=108-180+229.5-15.1875 \\ =337.50-195.1875 \\ \Rightarrow \mu_4 =142.3125 \\ \beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}=\frac{(39.75)^2}{(14.75)^3} \approx \frac{1580.0625}{3209.0468} \\ \Rightarrow \beta_1 \approx 0.492 \\ \beta_2 =\frac{\mu_4}{\mu_2^2} \\ =\frac{142.3125}{(14.75)^2} \\ =\frac{142.3125}{217.5625} \\ \Rightarrow \beta_2 \approx 0.654
Example:5.एक बंटन के चार परिघात 1,4,10 और 46 हैं।उस बंटन के पहले चार केन्द्रीय परिघात तथा बीटा गुणांक ज्ञात कीजिए।बंटन की प्रकृति पर टिप्पणी कीजिए।
(The first four moments of a distribution are 1,4,10 and 46 respectively.Compute the first four central moments and beta-constants.Comment on the nature of the distribution.)
Solution: v_1=1, v_2=4, v_3=10, v_4=46 \\ \mu_1=v_1-v_1=1-1=0 \\ \mu_2=v_2-v_1^2=4-(1)^2=3 \\ \mu_3=v_3-3 v_2 v_1+2 v_1^3=10-3 \times 4 \times 1+2 \times(1)^3 \\ \Rightarrow \mu_3=10-12+2=0 \\ \mu_4=v_4-4 v_3 v_1+6 v_2 v_1^2-3 v_1^4 \\ =46-4 \times 10 \times 1+6 \times 4 \times 1^2-3 \times (1)^4 \\ \Rightarrow \mu_4=46-40+24-3=27 \\ \beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}=\frac{0^2}{3^3}=0 \\ \beta_2=\frac{\mu_4}{\mu_2^2}=\frac{27}{3^2}=3
Distribution is perfectly symmetrical and mesokurtosis.
Example:6.किसी बंटन के प्रथम चार केन्द्रीय परिघात 0,2.5,0.7 और 18.75 है।उक्त बंटन की विषमता और पृथुशीर्षत्व की जाँच कीजिए।
(The first four moments of a distribution are 0,2.5,0.7 and 18.75.Test the skewness and kurtosis of the distribution.)
Solution: \mu_1=0, \mu_2=2.5, \mu_3=0.7, \mu_4=18.75\\ \beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3} =\frac{(0.7)^2}{(2.5)^3}=\frac{0.49}{15.625} \\ \sqrt{\beta_1} \approx \sqrt{\frac{0.49}{15.625}} \approx 0.177 \\ \beta_2=\frac{\mu_4}{\mu_2^2}=\frac{18.75}{(2.5)^2}=\frac{18.75}{6.25} \\ \Rightarrow \beta_2=3

Moments and Kurtosis in Statistics

Example:7.निम्न संख्याओं का तृतीय परिघात ज्ञात कीजिए।इन संख्याओं का माध्य से तृतीय परिघात भी ज्ञात कीजिए:
(Find the third moment for the following set of numbers.Find also the third moment about the mean of these numbers.)
2,3,7,8 and 10
Solution:Calculation Table of Moments

कल्पित माध्य (A=7) से परिघात
v_1=\frac{\Sigma d x}{N}=\frac{-5}{5}=-1 \\ v_2=\frac{\Sigma d^2 x}{N}=\frac{51}{5}=10.2 \\ v_3=\frac{\Sigma d^3 x}{N}=\frac{-161}{5}=-32.2 \\ v_4=\frac{\Sigma d^4 x}{N}=\frac{963}{5}=192.6
समान्तर माध्य \frac{\Sigma x}{N}=\frac{30}{5}=6
\bar{X}=6 से परिघात
\mu_1=v_1-v_1=-1-(-1)=-1+1=0 \\ \mu_2=v_2-v_1^2=10.2-(-1)^2=9.2 \\ \mu_3=v_3-3 v_2 v_1+2 v_1^3 \\ =-32.2-3 \times 10.2 \times(-1)+2(-1)^3 \\ =-32.2+30.6-2 \\ \Rightarrow \mu_3=-3.6 \\ \mu_4=v_4-4 v_3 v_1+6 v_2 v_1^2-3 v_1^4=192.6-4 \times(-32.2) \times(-1)+6 \times 10.2 \times(-1)^2 -3(-1)^4 \\ =192.6-128.8+61.2-3 \\ \Rightarrow \mu_4=122
कल्पित माध्य 7 से परिघात:
v_1=-1, v_2=10.2, v_3=-32.2, v_4=192.6
वास्तविक समान्तर माध्य से परिघात
\mu_1=0, \mu_2=9.2, \mu_3=-3.6, \mu_4=122
Example:8.निम्न प्रदत्त मूल्यों का संशोधित परिघात निकालिए यदि वर्ग-विस्तार 3 हो:
(Find the corrected moments of the following values if the magnitude of the class-interval is 3):
\mu_2= 43.353 ; \mu_3=-9.774 ; \mu_4=5508.567
Solution:- corrected \mu_2=Incorrected \mu_2-\frac{i^2}{12} \\ =43.353-\frac{(3)^2}{12}=43.353-0.75 \\ \Rightarrow \text { corrected } \mu_2=42.603
corrected \mu_4=\text{Incorrected } \mu_4 -\frac{1}{2} \mu_2 i^2+\frac{7}{240} i^4 \\ =5508.567-\frac{2}{2} \times 43.353 \times 3^2+\frac{7}{240} \times 3^4 \\ =5508.567-195.0885+2.3625 \\ \Rightarrow \mu_4=5315.841
Example:9.किसी चर के द्वितीय,तृतीय और चतुर्थ परिघात क्रमशः 19.67,29.26 तथा 866 हैं। \beta_2 -गुणांक ज्ञात कीजिए।
(The second,third and fourth moments of a variate are 19.67,29.26 and 866 respectively.Find the \beta_2 -coefficient.)
Solution: \mu_2=19.67, \mu_3=29.26, \mu_4=866 \\ \beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}= \frac{(29.26)^2}{(19.67)^3} \approx \frac{856.1476}{7610.498} \\ \beta_1 \approx 0.1125 \\ \beta_2=\frac{\mu_4}{\mu_2^2}=\frac{866}{(19.67)^2} =\frac{866}{386.9089} \\ \Rightarrow \beta_2 \approx 2.238
Example:10.निम्न बंटन से समान्तर माध्य से परिघात निकालिए। \beta_1 तथा \beta_2 द्वारा विषमता और शीर्षत्व का मापन कीजिए:
(From the following distribution,obtain the moments about the mean.Also measures skewness and kurtosis through \beta_1 and \beta_2 ):

Solution:Calulation Table of Moments

कल्पित माध्य (A=5.5) से परिघात
v_1=\frac{\Sigma f d x}{N}=\frac{24}{320}=0.075 \\ v_2=\frac{\Sigma f d^2 x}{N}=\frac{582}{320}=1.81875 \\ v_3=\frac{\Sigma f d^3 x}{N}=\frac{156}{320}=0.4875 \\ v_4=\frac{\Sigma f d^4 x}{N}=\frac{2598}{320}=8.11875
वास्तविक समान्तर माध्य से परिघात
\mu_1=v_1-v_1=0.075-0.075=0 \\ \mu_2 =v_2-v_1^2=1.81875-(0.075)^2=1.81875-0.005625 \\ \Rightarrow \mu_2 =1.813125 \\ \mu_3=v_3-3 v_2 v_1+2 v_1^3 \\ =0.4875-3 \times 1.81875 \times 0.075+2 \times(0.075)^3 \\ =0.4875-0.409218+0.0008437 \\ \Rightarrow \mu_3 \approx 0.0791 \\ \mu_4=v_4-4 v_3 v_1+6 v_2 v_1^2-3 v_1^4 \\ =8.11875-4 \times 0.4875 \times 0.075+6 \times 1.8185 \times 0.015^2 -3 \times(0.075)^4 \\ =8.11875-0.14625+0.06138-0.000095 \\ \Rightarrow \mu_4 \approx 8.033 \\ \beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}=\frac{(0.0791)^2}{(1.813125)^3} \approx 0.001 \\ \Rightarrow \sqrt{\beta_1}=+0.031 \\ \beta_2=\frac{\mu_4}{\mu_2^2}=\frac{8.033}{(1.813125)^2} \approx 2.44 \\ \Rightarrow \beta_2 \approx 2.44\\ \mu_1=0, \mu_2=1.813125, \mu_3 \approx 0.0791, \mu_4 \approx 8.033 \\ \beta_1 \approx 0.001, \sqrt{\beta_1} \approx+0.031, \beta_2 \approx 2.44
\beta_{2} \approx 2.44<3 वक्र चपटे शीर्ष वाला (platy-kurtic) है।अल्प विषमता है।
Example:11.निम्न समंक-सामग्री के समान्तर माध्य,माध्य विचलन,प्रमाप विचलन,विषमता और शीर्षत्व का निर्धारण कीजिए:
(Determine the \overline{X} ,M.D.,S.D.,skewness and kurtosis from the following data):

Solution:Calculation Table of Moments

समान्तर माध्य (\bar{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =22+\frac{0}{10} \\ \Rightarrow \bar{X}=22
माध्य विचलन \delta_{\overline{X}}=\frac{\Sigma f|d \bar{X}|}{N} \\ =\frac{76}{10} \\ \Rightarrow \delta_{\overline{X}}=7.6
प्रमाप विचलन (\sigma)=\sqrt{\frac{\Sigma f d^2 x}{N}} \\ =\sqrt{\frac{810}{10}} \\ \Rightarrow \sigma=9
समान्तर माध्य से परिघात का परिकलन
\mu_1=\frac{\Sigma f(X-\overline{X})}{N}=\frac{\Sigma f d x}{N}=\frac{0}{10}=0 \\ \Rightarrow \mu_1=0 \\ \mu_2=\frac{\Sigma f(X-\overline{X})^2}{N}=\frac{\Sigma f d^2 x}{N}=\frac{810}{10}=81 \\ \mu_3=\frac{\Sigma f(X-\overline{X})^3}{N}=\frac{\Sigma f d^3 x}{N}=\frac{-1440}{10}=-144 \\ \mu_4=\frac{\Sigma f(X-\overline{X})^4}{N}=\frac{148170}{10}=14817 \\ \beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}=\frac{(-144)^2}{(81)^3}=\frac{20736}{53144} \approx 0.039 \\ \Rightarrow \sqrt{\beta_1} \approx- 0.197 \\ \beta_2=\frac{\mu_4}{\mu_2^2}=\frac{14817}{(81)^2}=\frac{14817}{6561} \approx 2.258 \\ \Rightarrow \beta_2 \approx 2.26 \\ \beta_2 \approx 2.26<3 अतः वक्र platy-kurtic है।
\overline{X}=22, \delta_{\overline{X}}=7.6, \sigma=9, \mu_1=0, \mu_2=81 \\ \mu_3=-144, \mu_4=14817, \beta, \approx 0.039 \\ \sqrt{\beta_1} \approx-0.197, \beta_2 \approx 2.26
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में परिघात एवं पृथुशीर्षत्व (Moments and Kurtosis in Statistics),परिघात एवं पृथुशीर्षत्व (Moments and Kurtosis) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में परिघात एवं पृथुशीर्षत्व पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Moments and Kurtosis in Statistics):

Moments and Kurtosis in Statistics

(1.)एक श्रेणी का समान्तर माध्य 5 है और पहले चार केन्द्रीय परिघातों के मान 0,3,0 और 26 हैं।प्रथम चार परिघात ज्ञात कीजिए:(i.)कल्पित मूलबिन्दु पर आधारित और (ii)शून्य पर आधारित
(2.)निम्न आवृत्ति बंटन से समान्तर माध्य पर आधारित पहले चार परिघात ज्ञात कीजिए।
\begin{array}{|cc|}\hline \text{वर्गान्तर} & \text{आवृत्ति } \\ 2.5 & 4 \\ 7.5 & 10 \\ 12.5 & 20 \\ 17.5 & 36 \\ 22.5 & 16 \\ 27.5 & 12 \\ 32.5 & 2 \\ \hline \end{array}
उत्तर (Answers):(1.)(i)मूलबिन्दु पर आधारित v_1=1, v_2=4, v_3=10, v_4=45
(ii)शून्य पर आधारित v_1=5, v_2=28, v_3=170, v_4=1101
(2.) v_1^{\prime}=-0.06, v_2^{\prime}=1.78, v_3^{\prime}=-0.42 ,v_4^{\prime}=8.74 \\ \mu_1=0 \\ \mu_2=44.41, \mu_3=-12.504, \mu_4=5423.5
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में परिघात एवं पृथुशीर्षत्व (Moments and Kurtosis in Statistics),परिघात एवं पृथुशीर्षत्व (Moments and Kurtosis) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में परिघात एवं पृथुशीर्षत्व (Frequently Asked Questions Related to Moments and Kurtosis in Statistics),परिघात एवं पृथुशीर्षत्व (Moments and Kurtosis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में परिघात एवं पृथुशीर्षत्व (Moments and Kurtosis in Statistics) के
इस आर्टिकल में परिघात से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।