Geometric Mean in Statistics
1.सांख्यिकी में गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean in Statistics),गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean):
किसी समंक श्रेणी का सांख्यिकी में गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean in Statistics) उसके सभी मूल्यों के गुणनफल का वह मूल (Root) होता है जितनी उस श्रेणी में इकाइयां हैं।उदाहरणार्थ यदि दो संख्याओं के मूल्य 3 और 27 हैं तो उनका गुणोत्तर माध्य 9 होगा।इसी प्रकार यदि तीन संख्याओं के मूल्य क्रमश: 20,30 और 45 हैं तो उनका गुणोत्तर माध्य 30 होगा।गुणोत्तर माध्य के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
(i)GM=\sqrt[N]{X_{1} \times X_{2} \times X_{3} \times \cdots \times X_{n}}
G.M.गुणोत्तर माध्य (Geometric mean) के लिए प्रयुक्त हुआ है।
N पदों की संख्या (number of items) के लिए प्रयुक्त हुआ है।
X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots X_{N} पदों के मूल्य (Value of items) के लिए प्रयुक्त हुए हैं।
(ii)गुणोत्तर माध्य सूत्र (Geometric Mean Formula):
GM=Anti \log \left[\frac{\log X_{1}+\log X_{2}+\log X_{3}+\cdots \log X_{n}}{N}\right] \\ \Rightarrow GM=Anti \log \left[\frac{\sum \log x}{N}\right]
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2.सांख्यिकी में गुणोत्तर माध्य के साधित उदाहरण (Geometric Mean in Statistics Solved Exampls):
Example:1.निम्नलिखित विद्यार्थियों के एक समूह के मासिक व्यय को प्रदर्शित करती है।गुणोत्तर माध्य की गणना कीजिए:
(Calculate Geometric mean of the following series showing monthly expenditure of a batch of students):
Rupees 125,130,75,10,45,5,0.5,0.4,500,150
Solution:गुणोत्तर माध्य परिकलन सारणी (Geometric Mean Calculation Table)
| X | log X |
| 125 | 2.0969 |
| 130 | 2.1139 |
| 75 | 1.8751 |
| 10 | 1.0000 |
| 45 | 1.6535 |
| 5 | 0.6990 |
| 0.5 | \bar{1}.6990 |
| 0.4 | \bar{1}.6021 |
| 500 | 2.6990 |
| 150 | 2.1761 |
| Total | 13.6146 |
GM=Anti \log \left[\frac{\sum \log x}{N}\right] \\ =Anti \log \left(\frac{13.6146}{10}\right) \\ =Anti \log (1.36146) \\ GM=22.98
Example:2.निम्नलिखित संख्याओं के समूहों का गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिए:
(Find the Geometric mean of the following set of numbers):
(i)173,182,75,50,.8,0.08,0.8974
(ii)2574,475,75,5,0.8,0.08,0.00501,0.00901
(iii).8974,.0570,.0081,.5677,.0002,.0934,.0854,.5672
Solution:गुणोत्तर माध्य परिकलन सारणी (Geometric Mean Calculation Table)
| X_{1} | \log X_{1} | X_{2} | \log X_{2} | X_{3} | \log X_{3} |
| 173 | 2.2380 | 2574 | 3.4106 | 0.8974 | \bar{1}.9530 |
| 182 | 2.2601 | 475 | 2.6767 | 0.0570 | \bar{2}.7559 |
| 75 | 1.8751 | 75 | 1.8751 | 0.0081 | \bar{3}.9085 |
| 5 | 0.6990 | 5 | 0.690 | 0.5677 | \bar{1}.7541 |
| 0.8 | \bar{1}.9031 | 0.8 | \bar{1}.9031 | 0.0002 | \bar{4}.3010 |
| 0.08 | \bar{2}.9031 | 0.08 | \bar{2}.9031 | 0.0934 | \bar{2}.9703 |
| 0.8974 | \bar{1}.9530 | 0.00501 | \bar{3}.6998 | 0.0854 | \bar{2}.9315 |
| 0.000901 | \bar{4}.9547 | 0.000901 | \bar{4}.9547 | 0.5672 | \bar{1}.7538 |
| Total | 5.8314 | 2.1131 | \bar{10}.3281 |
(i) GM=\text { Antilog} \left(\frac{\sum \log X_{1}}{N}\right)\\=\text { Antilog}\left(\frac{5.8314}{7}\right)\\=\text { Antilog } (0.8330) \\ GM=6.808
(ii)GM=\text {Anti} \log \left(\frac{\sum \log X_{2}}{N}\right)\\ =\text{Anti} \log \left(\frac{2.1131}{8}\right)\\ =\text {Anti} \log(0.2641)\\ =1.837
(iii)GM=\text{Anti} \log \left(\frac{\sum \log X_{3}}{N}\right)\\ =\text{Anti} \log \left(\frac{\overline{10} \cdot 3281}{6}\right)\\ =\text{Anti} \log \left(\frac{\overline{16}+6.3281}{8}\right)\\ =\text{Anti} \log (\overline{2}+.7910)\\ =\text{Anti} \log (\overline{2} .7910)\\ \text {GM}=0.06180
Example:3.निम्न मूल्यानुपातों का गुणोत्तर माध्य की परिगणना कीजिए:
(Find out Geometric mean of the following price relatives):
| Commodity | Price Relations |
| Wheat | 207 |
| Rice | 198 |
| Pulses | 156 |
| Sugar | 124 |
| Salt | 107 |
| Oil | 196 |
Solution:गुणोत्तर माध्य परिकलन सारणी (Geometric Mean Calculation Table)
| Commodity | Price Relations | log X |
| Wheat | 207 | 2.3160 |
| Rice | 198 | 2.2967 |
| Pulses | 156 | 2.1931 |
| Sugar | 124 | 2.0934 |
| Salt | 107 | 2.0294 |
| Oil | 196 | 2.2923 |
| Total | 13.2209 |
GM=\text{Anti} \log \left(\frac{\sum \log X}{N}\right) \\ =\text{Anti} \log \left(\frac{13.2209}{6}\right) \\ =\text{Anti} \log(2.2035)\\ \Rightarrow GM=159.8
Example:4.एक देश की जनसंख्या में प्रथम दशक में 20% द्वितीय दशक में 30% तथा तृतीय दशक में 45% की वृद्धि हुई।जनसंख्या वृद्धि की औसत वृद्धि दर क्या रही?
(The population of a country increased by 20% in the first decade,30% in the second decade and 45% in the third decade.What is the average rate of increase per decade of the population?)
Solution:जनसंख्या में वृद्धि गुणोत्तर दर से होती है इसलिए गुणोत्तर माध्य के द्वारा औसत वृद्धि दर ज्ञात करेंगे।माना कि प्रत्येक दशक के प्रारम्भ में जनसंख्या 100 है।
| Decade | Population at the end of decade(X) | log X |
| I | 100+20=120 | 2.0792 |
| II | 100+30=130 | 2.1139 |
| III | 100+45=145 | 2.1614 |
| Total | 6.3545 |
GM=\text{Anti} \log \left(\frac{\sum \log X}{N}\right) \\ =\text{Anti} \log \left(\frac{6.3545}{3}\right) \\=\text{Anti} \log (2.1182) \\ =131.3
Hence Average Increase Rate =131.3-100=31.3%
Example:5.एक फर्म ने उसके 30 कर्मचारियों के लिए अपने-अपने वेतन वर्गों के अनुसार निम्नलिखित बोनस की घोषणा की:
(A firm having 30 employees declared bonus according to respective salary-groups given below):
| Salary group(Rs.) | Rate of Bonus | No. of Employees |
| 60-75 | 60 | 3 |
| 75-90 | 70 | 4 |
| 90-105 | 80 | 5 |
| 105-120 | 90 | 5 |
| 120-135 | 100 | 7 |
| 135-150 | 110 | 6 |
निम्न का परिकलन कीजिए (Calculate the following):
(i) Arithmetic mean of salary and bonus payable separately.
(ii) Geometric Mean of salary and bonus payable separately.
Solution:वेतन का समान्तर माध्य व गुणोत्तर माध्य परिकलन सारणी
(Arithmetic Mean and Geometric Mean of Salary Calculation Table) a=112.5
| Salary Group | Mid value(X) | d=x-a | u=\frac{x-a}{h} | f | fu | log X | f log X |
| 60-75 | 67.5 | -45 | -3 | 3 | -9 | 1.8293 | 5.4879 |
| 75-90 | 82.5 | -30 | -2 | 4 | -8 | 1.9165 | 7.666 |
| 90-105 | 97.5 | -15 | -1 | 5 | -5 | 1.9890 | 9.945 |
| 105-120 | 112.5 | 0 | 0 | 5 | 0 | 2.0512 | 10.256 |
| 120-135 | 127.5 | 15 | 1 | 7 | 7 | 2.1055 | 14.7385 |
| 135-150 | 142.5 | 30 | 2 | 6 | 12 | 2.1538 | 12.9228 |
| Total | 30 | -3 | 61.0162 |
पद विचलन रीति से समान्तर माध्य (Arithmetic Mean by Step Deviation Method)
\overline{X} =a+\left(\frac{\sum f u}{\sum f}\right) \times h \\ =112.5+\left(\frac{-3}{30}\right) \times 15 \\ =112.5-1.5 \\ =111
गुणोत्तर माध्य
GM=\text{Anti}\log \left(\frac{\sum f \log X }{N}\right) \\ =\text{Anti} \log \left(\frac{61.0162}{30}\right) \\ =\text{Anti} \log (2.0339) \\ =108.1
बोनस का समान्तर माध्य व गुणोत्तर माध्य परिकलन सारणी a=80
| Rate of Bonus | No. of employees | d=x-a | u=\frac{x-a}{h} | fu | log X | f log X |
| 60 | 3 | -20 | -2 | -6 | 1.7782 | 5.3346 |
| 70 | 4 | -10 | -1 | -4 | 1.8451 | 7.3804 |
| 80 | 5 | 0 | 0 | 0 | 1.9031 | 9.5155 |
| 90 | 5 | 10 | 1 | 5 | 1.9542 | 9.771 |
| 100 | 7 | 20 | 2 | 14 | 2.000 | 14 |
| 110 | 6 | 30 | 3 | 18 | 2.0414 | 12.2484 |
| Total | 30 | 27 | 58.2499 |
पद विचलन रीति से बोनस का समान्तर माध्य (Arithmetic Mean of Bonus by Step Deviation Method)
\overline{X}=a+\left(\frac{\sum f u}{\sum f}\right) \times h\\ =80+\left ( \frac{27}{30} \right ) \times 10\\ =80+9 \\ \Rightarrow \overline{X}=89बोनस का गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean of Bonus)
GM=\text{Anti} \log\left ( \frac{\sum f \log X}{N} \right ) \\=\text{Anti} \log\left ( \frac{58.2499}{30} \right ) \\=\text{Anti} \log(1.9417) \\ \Rightarrow GM=87.44
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean in Statistics),गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) को समझ सकते हैं।
3.सांख्यिकी में गुणोत्तर माध्य की समस्याएं (Geometric Mean in Statistics Problems):
(1.)निम्नलिखित संख्याओं के समूहों का गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिए:
(Calculate Geometric mean of the following set of numbers):
| I | II |
| 173.00 | 0.8974 |
| 182.00 | 0.0570 |
| 75.00 | 0.0081 |
| 5.00 | 0.5677 |
| 0.8 | 0.0002 |
| 0.08 | 0.0984 |
| 0.8974 | 0.0854 |
| 0.5672 |
(2.)निम्नलिखित समंकों से गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिए:
(Calculate Geometric mean from the following data):
| Size | frequency |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 12 | 5 |
| 13 | 4 |
| 14 | 3 |
| 15 | 1 |
उत्तर (Answers):(1.)G.M. of I=6.81,G.M. of II =0.0622
(2.)G.M.=12.26
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean in Statistics),गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.सांख्यिकी में गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean in Statistics),गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.व्यक्तिगत श्रेणी में गुणोत्तर माध्य ज्ञात करने की क्रियाविधि लिखें।(Type the procedure to determine the Geometric Mean in the Individual Series):
उत्तर:(i)दिये गए मूल्यों के logs ज्ञात किए जाते हैं।’Characteristic’निरीक्षण द्वारा और ‘Mantissa’ Log Table की सहायता से ज्ञात किया जाता है।
(ii)log s का जोड़कर \sum \log s निकाल लिया जाता है।
(iii)निम्नांकित सूत्र द्वारा गुणोत्तर माध्य ज्ञात किया जाता है: GM=Anti \log\left [ \frac{\sum \log X}{N} \right ]
इस प्रकार गुणोत्तर माध्य श्रेणी के मूल्यों के लघुगणकों की समान्तर माध्य का प्रतिलघुगणक है।
जब में पूर्णांश (Characteristics) ऋणात्मक होता है तो N से भाग देने के लिए उस जोड़ में संशोधन करना पड़ता है।पूर्णांश (Characteristics) तथा दशमलवांश (mantissa) में N का भाग इस प्रकार अलग-अलग दिया जाता है कि Characteristics,N से पूरा-पूरा विभाजित हो जाए,कुछ शेष न रहे।यदि पूर्णांश में कुछ शेष रहा हो तो वह भी ऋणात्मक होगा और उसे Mantissa के साथ शामिल नहीं किया जा सकता।कारण यह है कि Mantissa सदा धनात्मक (+) होता है।यदि ऋणात्मक पूर्णांश N से पूरा कटनेवाला नहीं है तो उसमें से ऐसा न्यूनतम अंक घटा देते हैं जिससे वह N से पूरा विभाज्य हो जाए तथा उसी न्यूनतम अंक को Mantissa में जोड़ देते हैं।उदाहरणार्थ पूर्णांश \overline{12} है तथा N=8 है तो \overline{12} में से 4 घटाएंगे अर्थात् -12-4=-16 जो कि 8 से पूरा विभाजित हो जाता है।फिर 4 को Mantissa में जोड़कर,उसे 8 से अलग से विभाजित करेंगे।
प्रश्न:2.खण्डित श्रेणी में गुणोत्तर माध्य ज्ञात करने की क्रियाविधि लिखें।(Type the procedure to determine the Geometric Mean in the Discrete Series):
उत्तर:खण्डित श्रेणी में गुणोत्तर माध्य ज्ञात करने की निम्नलिखित क्रियाविधि है:
(i)दिए हुए मूल्यों के Logs ज्ञात किए जाते हैं।
(ii)प्रत्येक Log में सम्बन्धित आवृत्ति से गुणा करके गुणनफलों का जोड़ [\sum (\log X f)] निकाला जाता है।
(iii)इसके पश्चात् निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:GM=\text{Anti} \log \left [ \frac{\sum (\log X \times f)}{N} \right ]
प्रश्न:3.अविच्छिन्न श्रेणी में गुणोत्तर माध्य ज्ञात करने की क्रिया विधि लिखें।(Type the method of determining the Geometric Mean in the Continuous Series):
उत्तर:अविच्छिन्न श्रेणी में पहले वर्गान्तरों के मध्य बिन्दु निकाले जाते हैं।फिर इन मध्य बिन्दुओं को मूल्य मानते हुए ठीक उसी प्रकार गुणोत्तर माध्य निकाला जाता है जिस प्रकार खण्डित श्रेणी में।
प्रश्न:4.प्रतिशत वृद्धि दरों तथा अनुपातों का औसत गुणोत्तर माध्य कैसे ज्ञात किया जाता है? (The Average Geometric Mean of percentage increase rates and ratios is determined by?)
उत्तर:गुणोत्तर माध्य का प्रमुख उपयोग प्रतिशत वृद्धि-दरों तथा अनुपातों का औसत निकालने में किया जाता है।विशेषतया जनसंख्या-वृद्धि, चक्रवृद्धि ब्याज,मूल्यों में होनेवाले प्रतिशत परिवर्तनों आदि की औसत दरें,गुणोत्तर माध्य पर आधारित चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र (Compound interest formula) के प्रयोग द्वारा ही ज्ञात किया जाता है।सूत्र निम्न प्रकार है:
(i)P_{N}=P_{0}(1+r)^{N}
(ii)r=\sqrt[N]{\frac{P_{N}}{P_{0}}}-1
P_{N}:संकेताक्षर निश्चित अवधि के बाद चर-मूल्य की राशि के लिए प्रयोग हुआ है।
P_{0}:संकेताक्षर अवधि के प्रारम्भ में चर-मूल्य के लिए प्रयोग हुआ है।
N:संकेताक्षर वर्षों आदि की संख्या के लिए प्रयोग हुआ है।
r:संकेताक्षर प्रति इकाई परिवर्तन की दर के लिए प्रयोग हुआ है।
प्रश्न:5.भारित गुणोत्तर माध्य कैसे ज्ञात किया जाता है? (How is weighted Geometric Mean determined?):
उत्तर:यदि विभिन्न मूल्यों का सापेक्षिक महत्त्व अलग-अलग हो तो समान्तर माध्य की भाँति गुणोत्तर माध्य को भी भारित किया जाता है।भारित गुणोत्तर माध्य निकालने की क्रियाविधि निम्न प्रकार है:
(i)प्रत्येक मूल्य का Log ज्ञात किया जाता है।
(ii)प्रत्येक Log में तत्सम्बन्धी भार W की गुणा करके गुणाओं का योग [\sum (\log X \times W)] निकाला जाता है।
(iii)फिर निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
WGM=\text{Anti} \log\left [ \frac{\sum (\log X \times W)}{\sum W} \right ]
प्रश्न:6.गुणोत्तर माध्य की गणितीय विशेषताएँ क्या है? (What are the Algebraic Properties of the Geometric Mean?):
उत्तर:गुणोत्तर माध्य में निम्नलिखित गणितीय विशेषताएँ पाई जाती हैं जिनके कारण सूचकांकों, अनुपातों व प्रतिशत दरों आदि की गणना में इसका काफी प्रयोग किया जाता है:
(i)गुणोत्तर माध्य में यह गुण पाया जाता है कि विभिन्न मूल्यों की पारस्परिक गुणा वही होती है जो प्रत्येक मूल्य के स्थान पर मूल्यों के गुणोत्तर माध्य रखने से आती है।उदाहरणार्थ 2,4,16 और 32 इन चार मूल्यों का गुणोत्तर माध्य 8 है।यदि 2,4,16 व 32 को आपस में गुणा किया जाए तो गुणनफल वही होगा जो इन मूल्यों के स्थान पर 8 लिखकर गुणा करने से प्राप्त होता है अर्थात् (2×4×16×32)=(8×8×8×8)
\Rightarrow \left(X_{1} \times X_{2} \times X_{3} \times \ldots X_{N}\right)=(G.M.)^{N}
यदि समंकमाला का गुणोत्तर माध्य व पदों की संख्या ज्ञात है तो इस गुणा के आधार पर विभिन्न मूल्यों का गुणनफल निकाला जा सकता है।
(ii)गुणोत्तर माध्य से कम (या बराबर) मूल्यों के अनुपातों का गुणनफल उससे अधिक मूल्यों के अनुपातों के गुणनफल के बराबर होता है अर्थात् यदि गुणोत्तर माध्य के उससे कम या बराबर मूल्यों से अलग-अलग अनुपात निकालकर उनकी आपस में गुणा की जाये तो परिणाम वही होगा जो उससे अधिक मूल्यों के गुणोत्तर माध्य पर निकाले गए अनुपातों की गुणा करने से प्राप्त होता है।उदाहरणार्थ 2,4,16,32 का गुणोत्तर माध्य 8 है।2 और 4 इससे कम है और 16 व 32 अधिक हैं।अतः \frac{8}{2} \times \frac{8}{4}=\frac{16}{8} \times \frac{32}{8}
इसी प्रकार \frac{G}{X \leq G} \times \frac{G}{X \leq G}=\frac{X>G}{G} \times \frac{X>G}{G}
G गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) है।
X व्यक्तिगत मूल्य है।
\leq संकेत कम या बराबर (less than or equal to) के लिए प्रयुक्त हुआ है।
गुणोत्तर माध्य का यह गुण बहुत महत्त्वपूर्ण है।इसी गुण के कारण यह माध्य सापेक्ष परिवर्तनों के माप के लिए सर्वश्रेष्ठ माना जाता है।छोटे मूल्यों को अधिक व बड़े मूल्यों को कम महत्त्व देने के कारण इसका सूचकांकों में बहुत प्रयोग होता है।
(iii)यदि किसी श्रेणी के दो या अधिक भागों के गुणोत्तर माध्य और पदों की संख्याएँ ज्ञात हों तो पूरे समूह का सामूहिक गुणोत्तर माध्य (Combined Geometric Mean) निकाला जा सकता है अर्थात्
\text {GM}_{1 \cdot 2}=\text{Anti} \log \left[\frac{N_{1} \log G_{1}+N_{2} \log G_{2}}{N_{1}+N_{2}}\right]
G_{1} व G_{1} दो भागों के गुणोत्तर माध्य (Geometric means of two parts) हैं।
N_{1} और N_{2} उन भागों में पदों की संख्याएँ (numbers of items in those parts) हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांख्यिकी में गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean in Statistics),गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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किसी समंक श्रेणी का सांख्यिकी में गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean in Statistics) उसके सभी मूल्यों
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मूल्य 3 और 27 हैं तो उनका गुणोत्तर माध्य 9 होगा
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Satyam
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