1.कक्षा 11 में बिन्दुपथ (Locus in Class 11),बिन्दुपथ (Locus):
कक्षा 11 में बिन्दुपथ (Locus in Class 11) के इस आर्टिकल में किसी चर बिन्दु द्वारा तय किया गया बिन्दुपथ ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
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2.कक्षा 11 में बिन्दुपथ पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Locus in Class 11):
Illustration:1.उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी
Illustration:1(i).बिन्दु (4,0) और (0,3) से दूरी बराबर हो।
Solution:माना चर बिन्दु P(h,k) की A(4,0) व B(0,3) से बराबर दूरी है तब
PA=PB
\Rightarrow PA^2=PB^2 \\ P A=\sqrt{(h-4)^2+(k-0)^2} \\ =\sqrt{\left(h^2-8 h+16+k^2\right)} \\ \Rightarrow PA^2=h^2-8 h+16+k^2 \cdots(2) \\ PB=\sqrt{(h-0)^2+(k-3)^2} \\ =\sqrt{h^2+k^2-6 k+9} \\ \Rightarrow P B^2=h^2+k^2-6 k+9 \cdots(3)
समीकरण (1),(2) व (3) सेः
h^2-8 h+16+k^2=h^2+k^2-6 k+9 \\ \Rightarrow -8 h+6 k=9-16 \\ \Rightarrow -(8h-6k)=-7 \\ \Rightarrow 8h-6k=7
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने पर अभीष्ट बिन्दुपथ:
8x-6y=7
Illustration:1(ii).x-अक्ष से दूरी y-अक्ष से दूरी की चार गुनी हो।
Solution:x-अक्ष से दूरी=k
y-अक्ष से दूरी=h
प्रश्नानुसार: k=4h
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने पर:4x=y
Illustration:2.एक बिन्दु इस प्रकार गमन करता है कि दो स्थिर बिन्दुओं 2 c^2 से इसकी दूरियों के वर्गों का योग अचर है।बिन्दुपथ का समीकरण ज्ञात कीजिए जबकि अचर बिन्दु (a,0) एवं (-a,0) है।
Solution:माना कि चर बिन्दु P(h,k) की स्थिर बिन्दुओं A(a,0) एवं B(-a,0) से दूरियों के वर्गों का योग 2 c^2 है।
समीकरण (1),(2) व (3) सेः
PA^2+PB^2=2c^2 \cdots(1) \\ PA=\sqrt{(h-a)^2+(k-0)^2} \\ =\sqrt{h^2-2 a h+a^2+k^2} \\ \Rightarrow P A^2=h^2-2 a h+a^2+k^2 \cdots(2) \\ PB=\sqrt{(h+a)^2+(k-0)^2} \\ =\sqrt{h^2+2 a h+a^2+k^2} \\ \Rightarrow P B^2=h^2+2 a h+a^2+k^2 \cdots(3)
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने परः
h^2-2 a h+a^2+k^2+h^2+2 a h+a^2+k^2=2 c^2 \\ \Rightarrow 2 h^2+2 a^2+2 k^2=2 c^2 \\ \Rightarrow h^2+k^2=c^2-a^2
अभीष्ट बिन्दुपथ:
x^2+y^2=c^2-a^2
Illustration:3.उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी बिन्दु (-g,-f) से दूरी c है।
Solution:माना चर बिन्दु P(h,k) की बिन्दु Q(-g,-f) से दूरी c है अतः
PQ=\sqrt{(h-(-g))^2+(k-(-f))^2}=c \\ \Rightarrow(h+g)^2+(k+f)^2=c^2 \\ \Rightarrow h^2+2 h g+g^2+k^2+2 k f+f^2=c^2 \\ \Rightarrow h^2+k^2+2 g h+2 f k+g^2+f^2-c^2=0
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने पर अभीष्ट बिन्दुपथ:
x^2+y^2+2 g x+2 f y+g^2+f^2-c^2=0
Illustration:4.यदि बिन्दु A(2,0),B(-2,0) और C(3,-3) दिए हुए हों जो कि प्रतिबन्ध PA^2+PB^2=2 PC^2 को सन्तुष्ट करते हो,तो P का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना चर बिन्दु P के निर्देशांक (h,k) हैं।
PA=\sqrt{(h-2)^2+(k-0)^2} \\ \Rightarrow P A^2=h^2-4 h+4+k^2 \\ PB=\sqrt{(h+2)+(k-0)^2} \\ =\sqrt{h^2+4 h+4+k^2} \\ \Rightarrow P B^2=h^2+4 h+4+k^2 \\ PC=\sqrt{(h-3)^2+(k+3)^2} \\ =\sqrt{h^2-6 h+9+k^2+6 k+9} \\ \Rightarrow P C^2=h^2-6 h+k^2+6 k+18 \\ PA^2+PB^2=2 PC^2 में मान रखने परः
h^2-4 h+4+k^2+h^2+4 h+4+k^2 =2\left(h^2-6 h+k^2-6 k+18\right) \\ \Rightarrow 2 h^2+2 k^2+8=2 h^2+2 k^2-12 h+12 k+36 \\ \Rightarrow 12 h-12 k=36-8 \\ \Rightarrow 4(3h-3k)=28 \\ \Rightarrow 3 h-3 k=7
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने पर अभीष्ट बिन्दुपथ:
3x-3y=7
Illustration:5.उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी बिन्दु (a,0) से दूरी y-अक्ष की दूरी से a अधिक है।
Solution:माना चर बिन्दु P(h,k) की A(a,0) से दूरी y-अक्ष की दूरी h से a अधिक है।
PA=\sqrt{(h-a)^2+(k-0)^2}=h+a \\ \Rightarrow \sqrt{h^2-2 a h+a^2+k^2}=h+a \\ \Rightarrow h^2-2 a h+a^2+k^2=(h+a)^2 \\ \Rightarrow h^2-2 a h+a^2+k^2=h^2+2 a h+a^2 \\ \Rightarrow k^2=4 a h
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने पर अभीष्ट बिन्दुपथ:
y^2=4ax
Illustration:6.सिद्ध कीजिए कि एक ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ जिसकी दो स्थिर बिन्दुओं (ae,0) एवं (-ae,0) से दूरियों का योग 2a होता है,निम्न होगा: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 जहाँ b^2=a^2\left(1-e^2\right)
Solution:माना चर बिन्दु P(h,k) का दो स्थिर बिन्दुओं A(ae,0) व B(-ae,0) से दूरियों का योग 2a है अतः
PA=\sqrt{(h-a e)^2+(k-0)^2} \\ \Rightarrow P A=\sqrt{(h-a e)^2+k^2} \cdots(1) \\ P B=\sqrt{(h+a e)^2+(k-0)^2} \\ \Rightarrow P B=\sqrt{(h+a e)^2+k^2} \cdots(2) \\ P A+P B \equiv 2 a \\ \Rightarrow \sqrt{(h-a e)^2+k^2}+\sqrt{(h+a e)^2+k^2}=2 a \\ \Rightarrow \sqrt{(h+a e)^2+k^2}=2 a-\sqrt{\left(h-a e\right)^2+k^2}
दोनों पक्षों का वर्ग करने परः
\Rightarrow(h+a e)^2+k^2=4 a^2-4 a \sqrt{(h-a e)^2+k^2} +(h-a e)^2+k^2 \\ \Rightarrow h^2+2aeh+a^2 e^2+k^2=4 a^2-4 a \sqrt{\left(h-a e\right)^2+k^2} +h^2-2aeh+a^2 e^2+k^2 \\ \Rightarrow 4 a \sqrt{(h-ae)^2+k^2}=4 a^2-4aeh \\ \Rightarrow \sqrt{(h-a e)^2+k^2}=a-e h
दोनों पक्षों का वर्ग करने परः
h^2+a^2 e^2-2 a e h+k^2=a^2-2 a e h+e^2 h^2 \\ \Rightarrow h^2-e^2 h^2+k^2=a^2-a^2 e^2 \\ \Rightarrow h^2\left(1-e^2\right)+k^2=a^2\left(1-e^2\right)\\ \Rightarrow \frac{h^2\left(1-e^2\right)}{a^2\left(1-e^2\right)}+\frac{k^2}{a^2\left(1-e^2\right)}=1 \\ \Rightarrow \frac{h^2}{a^2}+\frac{k^2}{a^2\left(1-e^2\right)}=1
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने पर अभीष्ट बिन्दुपथ:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 जहाँ b^2=a^2\left(1-e^2\right)
Illustration:7.उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए,जिसके निर्देशांक निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिए जाते हैं:
Illustration:7 (i). x=a \cos \theta, y=b \sin \theta ,जहाँ \theta चर राशि है।
Solution: x=a \cos \theta, y=b \sin \theta \\ \Rightarrow \frac{x}{a}=\cos \theta, \frac{y}{b}=\sin \theta
दोनों पक्षों का वर्ग करके जोड़ने परः
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta \\ \Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
जो कि अभीष्ट बिन्दुपथ है।
Illustration:7 (ii) . x=a \sec \theta , y=b \tan \theta ,जहाँ \theta चर राशि है।
Solution: x=a \sec \theta, y=b \tan \theta \\ \Rightarrow \frac{x}{a}=\sec \theta \cdots(1) , \frac{y}{b}=\tan \theta \cdots(2)
समीकरण (1) के वर्ग में से (2) का वर्ग करके घटाने परः
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta \\ \Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
जो कि अभीष्ट बिन्दुपथ है।
Illustration:7 (iii). x=\frac{a}{m^2}, y=-\frac{2 a}{m} ,जहाँ m चर राशि है।
Solution: m^2 x=a \cdots(1)\\ m=-\frac{2 a}{y} \cdots(2)
समीकरण (2) से m का मान (1) में रखने परः
\left(\frac{-2 a}{y}\right)^2 x=a \\ \Rightarrow \frac{4 a^2}{y^2}=a \\ \Rightarrow y^2=4 a x
जो कि अभीष्ट बिन्दुपथ है।
Illustration:7 (iv). y=a t^2, x=2 a t ,जहाँ t चर राशि है।
Solution: y=a t^2 \cdots(1) \\ x=2 a t \Rightarrow t=\frac{x}{2 a} \cdots(2)
t का मान समीकरण (2) से (1) में रखने परः
y=a\left(\frac{x}{2 a}\right)^2 \\ \Rightarrow y=a \cdot \frac{x^2}{4 a^2} \\ \Rightarrow x^2=4 a y
जो कि अभीष्ट बिन्दुपथ है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 11 में बिन्दुपथ (Locus in Class 11),बिन्दुपथ (Locus) को समझ सकते हैं।
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3.कक्षा 11 में बिन्दुपथ (Frequently Asked Questions Related to Locus in Class 11),बिन्दुपथ (Locus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.बिन्दुपथ किसे कहते हैं? (What is the Locus?):
उत्तर:एक या एक से अधिक दिए हुए प्रतिबन्धों के अनुसार किसी चर बिन्दु द्वारा तय किया गया पथ,उस बिन्दु का बिन्दुपथ कहलाता है।
उत्तर:किसी बिन्दु के बिन्दुपथ का समीकरण,बिन्दु के निर्देशांकों में ऐसा बीजीय सम्बन्ध है जिसको उन सभी बिन्दुओं के निर्देशांक सन्तुष्ट करते हैं,जो दिए हुए प्रतिबन्ध के अनुसार गमन करते हैं।
प्रश्न:3.दो वक्रों के प्राचलिक समीकरण का बिन्दुपथ (The Locus of the Parametric Equation of Two Curves):
उत्तर:यदि दो वक्रों के प्राचलिक समीकरण दिए हों तो उनके प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ इन समीकरणों में “प्राचल” को विलुप्त करने से प्राप्त होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 11 में बिन्दुपथ (Locus in Class 11),बिन्दुपथ (Locus) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Locus in Class 11
कक्षा 11 में बिन्दुपथ
(Locus in Class 11)
Locus in Class 11
कक्षा 11 में बिन्दुपथ (Locus in Class 11) के इस आर्टिकल में किसी चर बिन्दु द्वारा तय
किया गया बिन्दुपथ ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
Locus in Class 11
1.कक्षा 11 में बिन्दुपथ (Locus in Class 11),बिन्दुपथ (Locus):
Locus in Class 11
कक्षा 11 में बिन्दुपथ (Locus in Class 11) के इस आर्टिकल में किसी चर बिन्दु द्वारा तय किया गया बिन्दुपथ ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
2.कक्षा 11 में बिन्दुपथ पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Locus in Class 11):
Illustration:1.उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी
Illustration:1(i).बिन्दु (4,0) और (0,3) से दूरी बराबर हो।
Solution:माना चर बिन्दु P(h,k) की A(4,0) व B(0,3) से बराबर दूरी है तब
PA=PB
\Rightarrow PA^2=PB^2 \\ P A=\sqrt{(h-4)^2+(k-0)^2} \\ =\sqrt{\left(h^2-8 h+16+k^2\right)} \\ \Rightarrow PA^2=h^2-8 h+16+k^2 \cdots(2) \\ PB=\sqrt{(h-0)^2+(k-3)^2} \\ =\sqrt{h^2+k^2-6 k+9} \\ \Rightarrow P B^2=h^2+k^2-6 k+9 \cdots(3)
समीकरण (1),(2) व (3) सेः
h^2-8 h+16+k^2=h^2+k^2-6 k+9 \\ \Rightarrow -8 h+6 k=9-16 \\ \Rightarrow -(8h-6k)=-7 \\ \Rightarrow 8h-6k=7
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने पर अभीष्ट बिन्दुपथ:
8x-6y=7
Illustration:1(ii).x-अक्ष से दूरी y-अक्ष से दूरी की चार गुनी हो।
Solution:x-अक्ष से दूरी=k
y-अक्ष से दूरी=h
प्रश्नानुसार: k=4h
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने पर:4x=y
Illustration:2.एक बिन्दु इस प्रकार गमन करता है कि दो स्थिर बिन्दुओं 2 c^2 से इसकी दूरियों के वर्गों का योग अचर है।बिन्दुपथ का समीकरण ज्ञात कीजिए जबकि अचर बिन्दु (a,0) एवं (-a,0) है।
Solution:माना कि चर बिन्दु P(h,k) की स्थिर बिन्दुओं A(a,0) एवं B(-a,0) से दूरियों के वर्गों का योग 2 c^2 है।
समीकरण (1),(2) व (3) सेः
PA^2+PB^2=2c^2 \cdots(1) \\ PA=\sqrt{(h-a)^2+(k-0)^2} \\ =\sqrt{h^2-2 a h+a^2+k^2} \\ \Rightarrow P A^2=h^2-2 a h+a^2+k^2 \cdots(2) \\ PB=\sqrt{(h+a)^2+(k-0)^2} \\ =\sqrt{h^2+2 a h+a^2+k^2} \\ \Rightarrow P B^2=h^2+2 a h+a^2+k^2 \cdots(3)
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने परः
h^2-2 a h+a^2+k^2+h^2+2 a h+a^2+k^2=2 c^2 \\ \Rightarrow 2 h^2+2 a^2+2 k^2=2 c^2 \\ \Rightarrow h^2+k^2=c^2-a^2
अभीष्ट बिन्दुपथ:
x^2+y^2=c^2-a^2
Illustration:3.उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी बिन्दु (-g,-f) से दूरी c है।
Solution:माना चर बिन्दु P(h,k) की बिन्दु Q(-g,-f) से दूरी c है अतः
PQ=\sqrt{(h-(-g))^2+(k-(-f))^2}=c \\ \Rightarrow(h+g)^2+(k+f)^2=c^2 \\ \Rightarrow h^2+2 h g+g^2+k^2+2 k f+f^2=c^2 \\ \Rightarrow h^2+k^2+2 g h+2 f k+g^2+f^2-c^2=0
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने पर अभीष्ट बिन्दुपथ:
x^2+y^2+2 g x+2 f y+g^2+f^2-c^2=0
Locus in Class 11
Illustration:4.यदि बिन्दु A(2,0),B(-2,0) और C(3,-3) दिए हुए हों जो कि प्रतिबन्ध PA^2+PB^2=2 PC^2 को सन्तुष्ट करते हो,तो P का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना चर बिन्दु P के निर्देशांक (h,k) हैं।
PA=\sqrt{(h-2)^2+(k-0)^2} \\ \Rightarrow P A^2=h^2-4 h+4+k^2 \\ PB=\sqrt{(h+2)+(k-0)^2} \\ =\sqrt{h^2+4 h+4+k^2} \\ \Rightarrow P B^2=h^2+4 h+4+k^2 \\ PC=\sqrt{(h-3)^2+(k+3)^2} \\ =\sqrt{h^2-6 h+9+k^2+6 k+9} \\ \Rightarrow P C^2=h^2-6 h+k^2+6 k+18 \\ PA^2+PB^2=2 PC^2 में मान रखने परः
h^2-4 h+4+k^2+h^2+4 h+4+k^2 =2\left(h^2-6 h+k^2-6 k+18\right) \\ \Rightarrow 2 h^2+2 k^2+8=2 h^2+2 k^2-12 h+12 k+36 \\ \Rightarrow 12 h-12 k=36-8 \\ \Rightarrow 4(3h-3k)=28 \\ \Rightarrow 3 h-3 k=7
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने पर अभीष्ट बिन्दुपथ:
3x-3y=7
Illustration:5.उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी बिन्दु (a,0) से दूरी y-अक्ष की दूरी से a अधिक है।
Solution:माना चर बिन्दु P(h,k) की A(a,0) से दूरी y-अक्ष की दूरी h से a अधिक है।
PA=\sqrt{(h-a)^2+(k-0)^2}=h+a \\ \Rightarrow \sqrt{h^2-2 a h+a^2+k^2}=h+a \\ \Rightarrow h^2-2 a h+a^2+k^2=(h+a)^2 \\ \Rightarrow h^2-2 a h+a^2+k^2=h^2+2 a h+a^2 \\ \Rightarrow k^2=4 a h
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने पर अभीष्ट बिन्दुपथ:
y^2=4ax
Illustration:6.सिद्ध कीजिए कि एक ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ जिसकी दो स्थिर बिन्दुओं (ae,0) एवं (-ae,0) से दूरियों का योग 2a होता है,निम्न होगा: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 जहाँ b^2=a^2\left(1-e^2\right)
Solution:माना चर बिन्दु P(h,k) का दो स्थिर बिन्दुओं A(ae,0) व B(-ae,0) से दूरियों का योग 2a है अतः
PA=\sqrt{(h-a e)^2+(k-0)^2} \\ \Rightarrow P A=\sqrt{(h-a e)^2+k^2} \cdots(1) \\ P B=\sqrt{(h+a e)^2+(k-0)^2} \\ \Rightarrow P B=\sqrt{(h+a e)^2+k^2} \cdots(2) \\ P A+P B \equiv 2 a \\ \Rightarrow \sqrt{(h-a e)^2+k^2}+\sqrt{(h+a e)^2+k^2}=2 a \\ \Rightarrow \sqrt{(h+a e)^2+k^2}=2 a-\sqrt{\left(h-a e\right)^2+k^2}
दोनों पक्षों का वर्ग करने परः
\Rightarrow(h+a e)^2+k^2=4 a^2-4 a \sqrt{(h-a e)^2+k^2} +(h-a e)^2+k^2 \\ \Rightarrow h^2+2aeh+a^2 e^2+k^2=4 a^2-4 a \sqrt{\left(h-a e\right)^2+k^2} +h^2-2aeh+a^2 e^2+k^2 \\ \Rightarrow 4 a \sqrt{(h-ae)^2+k^2}=4 a^2-4aeh \\ \Rightarrow \sqrt{(h-a e)^2+k^2}=a-e h
दोनों पक्षों का वर्ग करने परः
h^2+a^2 e^2-2 a e h+k^2=a^2-2 a e h+e^2 h^2 \\ \Rightarrow h^2-e^2 h^2+k^2=a^2-a^2 e^2 \\ \Rightarrow h^2\left(1-e^2\right)+k^2=a^2\left(1-e^2\right)\\ \Rightarrow \frac{h^2\left(1-e^2\right)}{a^2\left(1-e^2\right)}+\frac{k^2}{a^2\left(1-e^2\right)}=1 \\ \Rightarrow \frac{h^2}{a^2}+\frac{k^2}{a^2\left(1-e^2\right)}=1
h,k को चलित निर्देशांक में बदलने पर अभीष्ट बिन्दुपथ:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 जहाँ b^2=a^2\left(1-e^2\right)
Illustration:7.उस बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए,जिसके निर्देशांक निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिए जाते हैं:
Illustration:7 (i). x=a \cos \theta, y=b \sin \theta ,जहाँ \theta चर राशि है।
Solution: x=a \cos \theta, y=b \sin \theta \\ \Rightarrow \frac{x}{a}=\cos \theta, \frac{y}{b}=\sin \theta
दोनों पक्षों का वर्ग करके जोड़ने परः
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta \\ \Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
जो कि अभीष्ट बिन्दुपथ है।
Illustration:7 (ii) . x=a \sec \theta , y=b \tan \theta ,जहाँ \theta चर राशि है।
Solution: x=a \sec \theta, y=b \tan \theta \\ \Rightarrow \frac{x}{a}=\sec \theta \cdots(1) , \frac{y}{b}=\tan \theta \cdots(2)
समीकरण (1) के वर्ग में से (2) का वर्ग करके घटाने परः
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta \\ \Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
जो कि अभीष्ट बिन्दुपथ है।
Illustration:7 (iii). x=\frac{a}{m^2}, y=-\frac{2 a}{m} ,जहाँ m चर राशि है।
Solution: m^2 x=a \cdots(1)\\ m=-\frac{2 a}{y} \cdots(2)
समीकरण (2) से m का मान (1) में रखने परः
\left(\frac{-2 a}{y}\right)^2 x=a \\ \Rightarrow \frac{4 a^2}{y^2}=a \\ \Rightarrow y^2=4 a x
जो कि अभीष्ट बिन्दुपथ है।
Illustration:7 (iv). y=a t^2, x=2 a t ,जहाँ t चर राशि है।
Solution: y=a t^2 \cdots(1) \\ x=2 a t \Rightarrow t=\frac{x}{2 a} \cdots(2)
t का मान समीकरण (2) से (1) में रखने परः
y=a\left(\frac{x}{2 a}\right)^2 \\ \Rightarrow y=a \cdot \frac{x^2}{4 a^2} \\ \Rightarrow x^2=4 a y
जो कि अभीष्ट बिन्दुपथ है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 11 में बिन्दुपथ (Locus in Class 11),बिन्दुपथ (Locus) को समझ सकते हैं।
Locus in Class 11
3.कक्षा 11 में बिन्दुपथ (Frequently Asked Questions Related to Locus in Class 11),बिन्दुपथ (Locus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.बिन्दुपथ किसे कहते हैं? (What is the Locus?):
उत्तर:एक या एक से अधिक दिए हुए प्रतिबन्धों के अनुसार किसी चर बिन्दु द्वारा तय किया गया पथ,उस बिन्दु का बिन्दुपथ कहलाता है।
प्रश्न:2.बिन्दुपथ का समीकरण पर टिप्पणी लिखो। (Write Comment on Equation of Locus):
उत्तर:किसी बिन्दु के बिन्दुपथ का समीकरण,बिन्दु के निर्देशांकों में ऐसा बीजीय सम्बन्ध है जिसको उन सभी बिन्दुओं के निर्देशांक सन्तुष्ट करते हैं,जो दिए हुए प्रतिबन्ध के अनुसार गमन करते हैं।
प्रश्न:3.दो वक्रों के प्राचलिक समीकरण का बिन्दुपथ (The Locus of the Parametric Equation of Two Curves):
उत्तर:यदि दो वक्रों के प्राचलिक समीकरण दिए हों तो उनके प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ इन समीकरणों में “प्राचल” को विलुप्त करने से प्राप्त होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 11 में बिन्दुपथ (Locus in Class 11),बिन्दुपथ (Locus) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Locus in Class 11
कक्षा 11 में बिन्दुपथ
(Locus in Class 11)
Locus in Class 11
कक्षा 11 में बिन्दुपथ (Locus in Class 11) के इस आर्टिकल में किसी चर बिन्दु द्वारा तय
किया गया बिन्दुपथ ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.