Various Forms of Equation of Line 11th
1.रेखा के समीकरण के विविध रूप कक्षा 11 (Various Forms of Equation of Line 11th),गणित में रेखा के समीकरण के विविध रूप (Various Forms of Equation of Line in Mathematics):
रेखा के समीकरण के विविध रूप कक्षा 11 (Various Forms of Equation of Line 11th) विभिन्न प्रतिबन्धों के अन्तर्गत निम्नलिखित रूप हैंः
(1.)क्षैतिज एवं उर्ध्वाधर रेखाएँ (Horizontal and Vertical Lines):
यदि एक क्षैतिज रेखा L, x-अक्ष से a दूरी पर है तो रेखा के प्रत्येक बिन्दु की कोटि या तो a या -a है [आकृति(a)]।इसलिए रेखा L का समीकरण या तो y=a या y=-a है।चिन्ह का चयन रेखा की स्थिति पर निर्भर करता है कि रेखा y-अक्ष के ऊपर या नीचे है।इसी प्रकार,x-अक्ष से b दूरी स्थित एक उर्ध्वाधर रेखा का समीकरण या तो x=b या x=-b है [आकृति (b)]।
(2.)बिन्दु-ढाल रूप (Point-Slope form):
कल्पना कीजिए कि P_0\left(x_0, y_0\right) एक उर्ध्वेतर रेखा L, जिसकी ढाल m है, पर स्थित एक नियत बिन्दु है।मान लीजिए कि L पर एक स्वेच्छ बिन्दु P(x,y) है।(आकृति)
तब परिभाषा से, L की ढाल इस प्रकार हैः
m=\frac{y-y_0}{x-x_0} अर्थात् y-y_0=m\left(x-x_0\right) \cdots(1)
क्योंकि बिन्दु P_0\left(x_0, y_0\right) ,L के सभी बिन्दुओं (x,y) के साथ (1) को सन्तुष्ट करता है और तल का कोई अन्य बिन्दु (1) को सन्तुष्ट नहीं करता है।इसलिए समीकरण (1) ही वास्तव में दी हुई रेखा L का समीकरण है।
इस प्रकार नियत बिन्दु \left(x_0, y_0\right) से जानेवाली ढाल m की रेखा पर बिन्दु (x,y) है यदि और केवल यदि इसके निर्देशांक समीकरण y-y_0=m\left(x-x_0\right) को सन्तुष्ट करते हैं।
(3.)ढाल-अन्तःखण्ड रूप (Slope-intercept form):
कभी-कभी हमें एक रेखा का मान उसकी ढाल तथा उसके द्वारा किसी एक अक्ष पर काटे गए अन्तःखण्ड द्वारा होता है।
स्थिति:I.कल्पना कीजिए कि ढाल m की रेखा L, y-अक्ष पर मूलबिन्दु से c दूरी पर प्रतिच्छेद करती है (आकृति)।दूरी c रेखा L का y-अन्तःखण्ड कहलाती है।स्पष्ट रूप से उस बिन्दु के निर्देशांक जहाँ यह रेखा y-अक्ष से मिलती है,(0,c) है।इस प्रकार L की ढाल m है और यह एक स्थिर बिन्दु (0,c) से होकर जाती है।इसलिए, बिन्दु ढाल रूप से, L का समीकरण
y-c=m(x-0)
\Rightarrow y=mx+c
इस प्रकार, ढाल m तथा y-अन्तःखण्ड c वाली रेखा पर बिन्दु (x,y) केवल और केवल तभी होगी यदिः
y=mx+c …. (3)
ध्यान दीजिये कि c का मान धनात्मक या ऋणात्मक होगा यदि y-अक्ष से अन्तःखण्ड क्रमशः धन या ऋण भाग से बना हो।
स्थितिःII.कल्पना कीजिए ढाल m वाली रेखा x-अक्ष से d अन्तःखण्ड बनाती है।तब रेखा L का समीकरण है।
y=m(x-d) ….. (4)
स्थिति (1) में कही वर्णित स्थिति से विद्यार्थी स्वयं इस समीकरण को प्राप्त कर सकते हैं।
(4.)दो बिन्दु रूप (Two point form):
मान लीजिए रेखा L दो दिए बिन्दुओं P_1\left(x_1, y_1\right) \text { और } P_2\left(x_2, y_2\right) से जाती है और L पर व्यापक बिन्दु P(x,y) है (आकृति)।
तीन बिन्दु P_1,P_2 और P संरेख है,इसलिए
P_1 P की ढाल= P_1 P_2 की ढाल
\Rightarrow \frac{y -y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ \Rightarrow y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)
इस प्रकार \left(x_1, y_1\right) \text { और } \left(x_2, y_2\right) बिन्दुओं से जानेवाली रेखा का समीकरणः
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)
(5.)अन्तःखण्ड रूप (Intercept form):
कल्पना कीजिए कि रेखा L,x-अन्तःखण्ड a और y-अन्तखण्ड b बनाती है।स्पष्टतया L,x-अक्ष से बिन्दु (a,0) और y-अक्ष के बिन्दु (0,b) पर मिलती है (आकृति)।
रेखा के दो बिन्दु रूप समीकरण सेः
y-0=\frac{b-0}{0-a}(x-a) \\ \Rightarrow a y=-b x+a b \\ \Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
इस प्रकार x-अक्ष और y-अक्ष से क्रमशः a और b अन्तःखण्ड बनाने वाली रेखा का समीकरण निम्नलिखित हैः
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \cdots(5)
(6.)लम्ब रूप (Normal Form):
कल्पना कीजिए कि निम्नलिखित आँकड़ों सहित हमको एक उर्ध्वेतर रेखा ज्ञात है
(i)मूलबिन्दु से रेखा पर लम्ब की लम्बाई।
(ii) लम्ब एवं धन x-अक्ष के बीच का कोण।
मान लीजिए कि L एक रेखा है जिसकी मूलबिन्दु O से लाम्बिक दूरी OA=p और धन x-अक्ष और OA के बीच का कोण \angle XOA= \omega . कार्तीय तल में रेखा L की संभव स्थितियाँ आकृति में दर्शायी गयी है।अब हमारा उद्देश्य L का ढाल और इस पर एक बिन्दु ज्ञात करना है।प्रत्येक स्थिति में x-अक्ष पर AM लम्ब डाला गया है।
प्रत्येक स्थिति में OM=p \cos \omega और MA=p \sin \omega इस प्रकार बिन्दु A के निर्देशांक (p \cos \omega, p \sin \omega) हैं।
इसके अतिरिक्त रेखा L, OA पर लम्ब है।
रेखा L की ढाल=-\frac{1}{OA \text { की ढाल }}=-\frac{1}{\tan \omega}=-\frac{\cos \omega}{\sin \omega}
इस प्रकार रेखा L की ढाल=-\frac{\cos \omega}{\sin \omega} है और बिन्दु A(p \cos \omega, p \sin \omega) उस पर स्थित है।
इसलिए बिन्दु-ढाल रूप से रेखा का समीकरणः
y-p \sin \omega=-\frac{\cos \omega}{\sin \omega}(x-p \cos \omega) \\ \Rightarrow x \cos \omega+y \sin \omega=p\left(\sin ^2 \omega+\cos ^2 \omega\right) \\ \Rightarrow x \cos \omega+y \sin \omega=p
अतः मूलबिन्दु से लाम्बिक दूरी p और धन x-अक्ष तथा लम्ब के बीच कोण w वाली रेखा का समीकरण इस प्रकार हैः
x \cos \omega+y \sin \omega=p \ldots(6)
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2.रेखा के समीकरण के विविध रूप कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Various Forms of Equation of Line 11th Solved Examples):
प्रश्न 1 से 8 तक, रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गये प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता हैः
Example:1.x और y अक्षों के समीकरण लिखिए।
Solution:x-अक्ष का समीकरण y=0
y-अक्ष का समीकरण x=0
Example:2.ढाल \frac{1}{2} और बिन्दु (-4,3) से जाने वाली।
Solution: m=\frac{1}{2} \left(x_0, y_0\right)=(-4,3)
रेखा का समीकरणः
y-y_0=m\left(x-x_0\right) \\ \Rightarrow y-3=\frac{1}{2}(x+4) \\ \Rightarrow 2 y-6=x+4 \\ \Rightarrow x-2 y+10=0
Example:3.बिन्दु (0,0) से जाने वाली और ढाल m वाली।
Solution: y-y_0=m\left(x-x_0\right) \\ \Rightarrow y-0=m(x-0) \\ \Rightarrow y=m x
Example:4.बिन्दु \left(2,2 \sqrt{3} \right) से जाने वाली और x-अक्ष से 75° के कोण पर झुकी हुई।
Solution: m=\tan 75^{\circ} \\ m=\tan \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) \\ =\frac{\tan 45^{\circ} +\tan 30^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}} \\ m=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-1 \times \frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}
रेखा का समीकरणः
y-y_0=m\left(x-x_0\right) \\ \Rightarrow y-2 \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}(x-2) \\ \Rightarrow (\sqrt{3}-1) y-2 \sqrt{3}(\sqrt{3}-1) =(\sqrt{3}+1) x-2 \sqrt{3}-2 \\ \Rightarrow (\sqrt{3}+1) x-(\sqrt{3}-1) y=2 \sqrt{3}+2+2 \sqrt{3}(\sqrt{3}-1) \\ \Rightarrow (\sqrt{3}+1) x-(\sqrt{3}-1) y=2 \sqrt{3}+2-6+2 \sqrt{3} \\ \Rightarrow (\sqrt{3}+1) x-(\sqrt{3}-1) y=4(\sqrt{3}-1)
Example:5.मूलबिन्दु के बांई ओर x-अक्ष को 3 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने तथा ढाल -2 वाली।
Solution:d=3,m=-2
रेखा का समीकरणः
y=m(x-d) \\ \Rightarrow y=-2(x-3) \\ \Rightarrow 2 x+y-6=0
Example:6.मूलबिन्दु से ऊपर y-अक्ष को 2 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली और x-अक्ष की धन दिशा के साथ 30° का कोण बनाने वाली।
Solution: c=2, m=\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}
रेखा का समीकरणः
y=m x+c \\ y=\frac{1}{\sqrt{3}} x+2 \\ \Rightarrow \sqrt{3} y=x+2 \sqrt{3} \\ \Rightarrow x-\sqrt{3} y+2 \sqrt{3}=0
Example:7.बिन्दुओं (-1,1) और (2,-4) से जाते हुए।
Solution:दो बिन्दुओं (-1,1) व (2,-4) से गुजरने वाली रेखा का समीकरणः
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-1=\frac{-4-1}{2+1}(x+1) \\ \Rightarrow 3(y-1)=-5(x+1) \\ \Rightarrow 3 y-3=-5 x-5 \\ \Rightarrow 5 x+3 y+5-3=0 \\ \Rightarrow 5 x+3 y+2=0
Example:8.उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी मूलबिन्दु से लाम्बिक दूरी 5 इकाई और लम्ब, धन x-अक्ष से 30° का कोण बनाती है।
Solution:p=5,w=30°
रेखा का लम्ब रूप में समीकरणः
x \cos \omega+y \sin \omega=p \\ \Rightarrow x \cos 30^{\circ}+y \sin 30^{\circ}=5 \\ \Rightarrow x \times \frac{\sqrt{3}}{2}+y \times \frac{1}{2}=5 \\ \Rightarrow \sqrt{3} x+y=10
Example:9.के शीर्ष P(2,1),Q(-2,3) और R(4,5) हैं।शीर्ष R से जाने वाली माध्यिका का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:PQ का मध्य बिन्दु=\left(\frac{2-2}{2}, \frac{1+3}{2}\right)
=(0,2)
अतः (0,2) तथा (4,5) से जाने वाली रेखा का समीकरणः
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-2=\frac{5-2}{4-0}(x-0) \\ \Rightarrow y-2=\frac{3}{4} x \\ \Rightarrow 4 y-8=3 x \\ \Rightarrow 3 x-4 y+8=0
Example:10.(-3,5) से होकर जाने वाली और बिन्दु (2,5) और (-3,6) से जाने वाली रेखा पर लम्ब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:(2,5) व (-3,6) से जाने वाली रेखा की प्रवणता
m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6-5}{-3-2} \\ \Rightarrow m_1=-\frac{1}{5}
लम्बवत होने का प्रतिबन्ध
m_{1} m_{2}=-1 \\ \left (-\frac{1}{5}\right ) m_2=-1 \\ \Rightarrow m_2=5 \\ \Rightarrow m=m_2=5
m=5 प्रवणता तथा (-3,5) से गुजरने वाली रेखा का समीकरणः
Example:11.एक रेखा (1,0) तथा (2,3) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखण्ड पर लम्ब है तथा उसको 1:n के अनुपात में विभाजित करती है।रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(x_1, y_1\right)=(1,0), \left(x_2, y_2\right)=(2,3) \\ m_{1} : m_{2}=1: n
निर्देशांक x=\frac{m_1 x_2+m_2 x_1 }{m_1+m_2} \\ \Rightarrow x =\frac{1 \times 2+n \times 1}{1+n} =\frac{2+n}{1+n} \\ y=\frac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2} \\ \Rightarrow y =\frac{1 \times 3+n \times 0}{1+n}=\frac{3}{1+n}
(1,0) तथा (2,3) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-n_1}=\frac{3-0}{2-1}=3
लम्बवत होने का प्रतिबन्ध m_{1} m_{2}=-1 \\ 3 m_2=-1 \Rightarrow m_2=-\frac{1}{3} \\ \left(\frac{2+n}{1+n},\frac{3}{1+n}\right) से गुजरने वाली तथा प्रवणता m=m_{2}=-\frac{1}{3} वाली रेखा की समीकरणः
y-y_1=m\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-\frac{3}{1+n}=-\frac{1}{3}\left(x-\frac{2+n}{1+n}\right) \\ \Rightarrow(1+n) y-3=-\frac{(1+n) x+(2+n)}{3} \\ \Rightarrow(1+n) x+3(1+n) y=n+11
Example:12.एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों से समान अन्तःखण्ड काटती है और बिन्दु (2,3) से जाती है।
Solution:अन्तःखण्ड रूप
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
प्रश्नानुसार a=b
\Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1 \\ \Rightarrow x+y=a \cdots(1)
यह (2,3) से गुजरती है अतः
2+3=a
\Rightarrow a=5
(1) में रखने परः
\Rightarrow x+y=5
Example:13.बिन्दु (2,2) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा अक्षों से कटे अन्तःखण्डों का योग 9 है।
Solution:a+b=9
\Rightarrow b=9-a
अन्तःखण्ड रूप
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{9-a}=1
यह (2,2) से गुजरती है अतः
\frac{2}{a}+\frac{2}{9-a}=1 \\ \Rightarrow 2(9-a)+2 a=a(9-a) \\ \Rightarrow 18-2 a+2 a=9 a-a^2 \\ \Rightarrow a^2-9 a+18=0 \\ \Rightarrow a^2-6 a-3 a+18=0 \\ \Rightarrow a(a-6)-3(a-6)=0 \\ \Rightarrow (a-3)(a-6)=0 \\ \Rightarrow a=3,6
जब a=3 तो b=9-a=9-3=6
जब a=6 तो b=9-a=9-6=3
अतः रेखा का समीकरणः
\frac{x}{3}+\frac{y}{6}=1 \Rightarrow 2 x+y=6 \\ \frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1 \Rightarrow x+2 y=6
Example:14.बिन्दु (0,2) से जाने वाली और धन x-अक्ष से \frac{2 \pi}{3} के कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।इसके समान्तर और y-अक्ष को मूलबिन्दु से 2 इकाई नीचे की दूरी पर प्रतिच्छेद करती हुई रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
Solution: m=\tan \left(\frac{2 \pi}{3}\right) \\ =\tan (\pi-\frac{\pi}{3}) \\ =-\tan \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow m=-\sqrt{3}
(0,2) से जाने वाली तथा प्रवणता m=-\sqrt{3} वाली रेखा का समीकरणः
y-y_1=m\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-2 =-\sqrt{3}(x-0) \\ \Rightarrow \sqrt{3} x+y-2=0
समान्तर रेखाओं की प्रवणताः
m_{1}=m_{2} \\ m_{2}=-\sqrt{3}
अतः y-अक्ष को मूलबिन्दु से 2 इकाई नीचे की दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा का समीकरणः
y=m x+c \Rightarrow y=-\sqrt{3} x-2 \\ \Rightarrow \sqrt{3} x+y+2=0
Example:15.मूलबिन्दु से किसी रेखा पर डाला गया लम्ब रेखा बिन्दु से बिन्दु (-2,9) पर मिलता है,रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:(0,0) तथा (-2,9) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणताः
m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{9-0}{-2-0} \\ \Rightarrow m_1=-\frac{9}{2}
लम्बवत होने का प्रतिबन्धः
m_1 m_2=-1 \\ \left(-\frac{9}{2}\right) m_2=-1 \Rightarrow m_2=\frac{2}{9} \\ m_{1}=m_{2}=\frac{2}{9}
अतः (-2,9) से गुजरने वाली तथा प्रवणता वाली रेखा का समीकरणः
y-y_1=m\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-9=\frac{2}{9}(x+2) \\ \Rightarrow 9 y-81=2 x+y \\ \Rightarrow 2 x-9 y+85=0
Example:16.ताँबे की छड़ की लम्बाई L (सेमी में) सेल्सियस ताप C का रैखिक फलन है।एक प्रयोग में यदि L=124.942 जब C=20 और L=125.134 जब C=110 हो तो L को C के पदों में व्यक्त कीजिए।
Solution: L-L_1=\frac{L_2-L_{1}}{C_2-C_{1}}\left(C-C_1\right) \\ \Rightarrow L-124.942=\frac{125 \cdot 134-124.942}{110-20}(C-20) \\ \Rightarrow L=\frac{0.192}{90}(C-20)+124.942
Example:17.किसी दूध भण्डार का स्वामी प्रति सप्ताह 980 लीटर दूध, 14 रु. प्रति लीटर के भाव से और 1220 लीटर दूध 16 रु. प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है।विक्रय मूल्य तथा मांग के मध्य के सम्बन्ध को रैखिक मानते हुए ज्ञात कीजिए कि प्रति सप्ताह वह कितना दूध 17 रु. प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है?
Solution: \left(x_1, y_1\right)=(980,14) \\ \left(x_2, y_2\right)=(1220,16)
दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरणः
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-14=\frac{16-14}{1220-980}(x-980) \\ \Rightarrow y-14=\frac{2}{240}(x-980) \\ \Rightarrow y-14=\frac{1}{120}(x-980) \\ \Rightarrow 120 y-1680=x-980 \\ \Rightarrow x=120 y-1680+980 \\ \Rightarrow x=120 y-700
जब y=17 \Rightarrow x=120 \times 17-700=1340 लीटर
Example:18.अक्षों के बीच रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु P(a,b) है।दिखाइए कि रेखा का समीकरण \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2 है।
Solution:रेखाखण्ड के x-अक्ष पर निर्देशांक \left( x_{1},0 \right) तथा y-अक्ष पर निर्देशांक \left( 0,y_{1} \right) हैं।
मध्य बिन्दु a=\frac{x_1+0}{2} \Rightarrow x_1=2 a \\ b=\frac{0+y_1}{2} \Rightarrow y_1=2 b
रेखा का अन्तःखण्ड रूपः
\frac{x}{x_{1}}+\frac{y}{y_1}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{2 a}+\frac{y}{2b}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2
Example:19.अक्षों के बीच रेखाखण्ड को बिन्दु R(h,k), 1:2 के अनुपात में विभक्त करता है।रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:माना रेखाखण्ड द्वारा अक्षों पर कटान बिन्दु के निर्देशांक \left(h_{1},0 \right) तथा \left(0,k_{1} \right) हैं।
\left(x_1 y_1\right)=\left(h_1, 0\right),\left(x_2, y_2\right)=\left(0, k_1\right) \\ m_1 : m_2=1 : 2 \\ x=\frac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2} \\ \Rightarrow h=\frac{1 \times 0+2 \times h_1}{1+2} \Rightarrow h_1=\frac{3 h}{2} \\ y=\frac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2} \\ k=\frac{1 \times k_1 + 2 \times 0}{1+2} \Rightarrow k_1=3 k
रेखाखण्ड का अन्तःखण्ड रूपः
\frac{x}{h_1} + \frac{y}{k_1}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{3 h}+\frac{y}{3 k}=1 \\ \Rightarrow \frac{2 x}{3 h} + \frac{y}{3 k}=1 \\ \Rightarrow 2 k x+h y=3 h k
Example:20.रेखा के समीकरण की संकल्पना का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि तीन बिन्दु (3,0),(-2,-2) और (8,2) संरेख हैं।
Solution:दो बिन्दुओं (3,0) व (-2,-2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरणः
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right) \\ y-0=\frac{-2-0}{-2-3}(x-3) \\ \Rightarrow y=\frac{2}{5}(x-3)
यदि (8,2) इस रेखा पर है तोः
x=8 रखने परः
y=\frac{2}{5}(8-5) \\ \Rightarrow y =\frac{2}{5} \times 5=2 Hence Proved
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा रेखा के समीकरण के विविध रूप कक्षा 11 (Various Forms of Equation of Line 11th),गणित में रेखा के समीकरण के विविध रूप (Various Forms of Equation of Line in Mathematics) को समझ सकते हैं।
3.रेखा के समीकरण के विविध रूप कक्षा 11 की समस्याएं (Various Forms of Equation of Line 11th Problems):
(1.)उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिस पर मूलबिन्दु से डाले गए लम्ब की लम्बाई 3 इकाई है तथा वह लम्ब x-अक्ष की धन दिशा के साथ \tan ^{-1}\left (\frac{5}{12}\right ) का कोण बनाती है।
(2.)यदि \alpha चर हो तब रेखा x \cos \alpha + y \sin \alpha=3 द्वारा अक्षों के मध्य काटे गए अन्तःखण्ड के मध्य बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.) 12 x+5 y-39=0
(2.) \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{4}{9}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रेखा के समीकरण के विविध रूप कक्षा 11 (Various Forms of Equation of Line 11th),गणित में रेखा के समीकरण के विविध रूप (Various Forms of Equation of Line in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.रेखा के समीकरण के विविध रूप कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Various Forms of Equation of Line 11th),गणित में रेखा के समीकरण के विविध रूप (Various Forms of Equation of Line in Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः
प्रश्न:1.ढाल-अन्तःखण्ड रूप में कितने प्रतिबन्ध आवश्यक हैं? (How Many Restrictions are Required in the Slope-intercept Form?):
उत्तरःढाल-अन्तःखण्ड रूप रेखा का समीकरण y=mx+c है।इसमें दो अचरों को ज्ञात करने के लिए हमें रेखा के समीकरण को सन्तुष्ट करने के लिए दो प्रतिबन्ध चाहिए।
प्रश्नः2.रेखा के समीकरण के कौन-कौनसे रूप होते हैं? (What are the Forms of the Equation of Line?):
उत्तरः(1.)क्षैतिज एवं उर्ध्वाधर रेखाएँ (Horizontal and Vertical Lines)
(2.)बिन्दु-ढाल रूप (Point-Slope form)
(3.)दो बिन्दु रूप (Two point Form)
(4.)ढाल-अन्तःखण्ड रूप (Slope-intercept form)
(5.)अन्तःखण्ड रूप (Intercept form)
(6.)लम्ब रूप (Normal Form)
प्रश्नः3.रेखा के समीकरण के विविध रूप की मुख्य बातें लिखिए। (Write Down HIGHLIGHTS of Various Forms of Equation of Line):
उत्तरः(1.)x-अक्ष से a दूरी पर स्थित क्षैतिज रेखा का समीकरण या तो y=a या y=-a है।
(2.)y-अक्ष से b दूरी पर पर स्थित उर्ध्वाधर रेखा समीकरण या तो x=b या x=-b
(3.)स्थिर बिन्दु \left(x_{0}, y_{0}\right) से जाने वाली और ढाल m वाली रेखा बिन्दु (x,y) स्थित होगा यदि और केवल यदि इसके निर्देशांक समीकरण y-y_0=m\left(x-x_0\right) को सन्तुष्ट करते हैं।
(4.)बिन्दुओं \left(x_1, y_1\right) \text { और } \left(x_2, y_2\right) से जाने वाली रेखा का समीकरण इस प्रकार हैः
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)
(5.)ढाल m और y-अन्तःखण्ड c वाली रेखा पर बिन्दु (x,y) होगा यदि और केवल यदि y=mx+c
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रेखा के समीकरण के विविध रूप कक्षा 11 (Various Forms of Equation of Line 11th),गणित में रेखा के समीकरण के विविध रूप (Various Forms of Equation of Line in Mathematics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Various Forms of Equation of Line 11th
रेखा के समीकरण के विविध रूप कक्षा 11
(Various Forms of Equation of Line 11th)
Various Forms of Equation of Line 11th
रेखा के समीकरण के विविध रूप कक्षा 11 (Various Forms of Equation of Line 11th)
विभिन्न प्रतिबन्धों के अन्तर्गत निम्नलिखित रूप हैंः(1.)क्षैतिज एवं उर्ध्वाधर रेखाएँ
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
