1.रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12वीं (Linear Programming Class 12th),रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming):

Linear Programming Class 12th

रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12वीं (Linear Programming Class 12th) के इस आर्टिकल में आहार सम्बन्धी,उत्पादन सम्बन्धी और परिवहन सम्बन्धी समस्याओं को रैखिक प्रोग्रामन विधि से हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Linear Programming in Class 12th

2.रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12वीं के साधित उदाहरण (Linear Programming Class 12th Solved Examples):

Example:1.एक आहारविद् दो भोज्यों P और Q का उपयोग करते हुए एक विशेष आहार तैयार करता है।भोज्य P का प्रत्येक पैकेट (जिसमें 30 ग्राम अंतर्विष्ट है) में कैल्शियम के 12 मात्रक लौह तत्व के 4 मात्रक,कोलेस्ट्रॉल के 6 मात्रक और विटामिन A के 6 मात्रक अंतर्विष्ट हैं जबकि उसी मात्रा के भोज्य Q के पैकेट में कैल्शियम तत्व के 3 मात्रक,लौह तत्व 20 मात्रक,कोलेस्ट्रॉल के 4 मात्रक और विटामिन A के 3 मात्रक अंतर्विष्ट है।आहार में कम से कम 240 मात्रक कैल्शियम,लौह तत्व के कम से कम 460 मात्रक और कोलेस्ट्रॉल के अधिक से अधिक 300 मात्रक अपेक्षित हैं।आहार में विटामिन A की मात्रा का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए? आहार में विटामिन A की अधिकतम मात्रा क्या है?
Solution:माना कि P भोज्य के x पैकेटों और Q भोज्य के y पैकेटों का उपयोग किया जाता हैं।स्पष्टतः x \geq 0, y \geq 0
हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैंः
भोज्य न्यूनतम आवश्यकता
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{ पैकिटों }  & \text{ भोज्य } & & \text{न्यूनतम } \\ \hline \text{ की संख्या} & x & y & \text{ आवश्यकता } \\ \hline \text{कैल्शियम} & 12 \text{मात्रक} & 3 \text{मात्रक} & 240 \text{मात्रक} \\ \text{लौह} & 4 \text{मात्रक} & 20 \text{मात्रक} & 460 \text{मात्रक} \\ \text{कोलेस्ट्रॉल} & 6 \text{मात्रक} & 4 \text { मात्रक } & 300 \text { मात्रक } \\ & & & \text{(अधिकतम)}\\ \text{विटामिन A} & 6 \text{मात्रक} & 3 \text { मात्रक } & \\ \hline \end{array}
कैल्शियम की कुल मात्रा 12x+3y है जिसके लिए न्यूनतम आवश्यक मात्रा 240 मात्रक है अतः
12x+3y \geq 240 \Rightarrow 4x+y \geq 80
लौह की कुल मात्रा 4x+20y है जिसके लिए न्यूनतम आवश्यक मात्रा 460 मात्रक है अतः
4x+20 y \geq 460 \Rightarrow x+5 y \geq 115
कोलेस्ट्रॉल की कुल मात्रा 6x+4y है जिसके लिए न्यूनतम आवश्यक मात्रा 300 है अतः
6 x+4 y \leq 300 \Rightarrow 3 x+2 y \leq 150
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
उद्देश्य फलन Max. Z=6x+3y
व्यवरोध 4x+y \geq 80, x+5y \geq 15 , \\ 3x+2y \leq 150, x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
4x+y=80,x+5y=115,3x+2y=150,x=0,y=0
4x+y=80 में y=0 रखने पर x=20
अब x=0 रखने पर y=80
अतः यह अक्षों को A(20,0) और B(0,80) पर काटती है।
इसी प्रकार x+5y=115 में y=0 रखने पर x=115
अब x=0 रखने पर y=23
अतः यह अक्षों को C(115,0) व D(0,23) पर काटती है।
3x+2y=150 में y=0 रखने पर x=50
अब x=0 रखने पर y=75
अतः यह अक्षों को E(50,0) व F(0,75) पर काटती है।
4x+y=80 व x+5y=115 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q(15,20) तथा 4x+y=80 व 3x+2y=150 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(2,72) और x+5y=115 व 3x+2y=150 का प्रतिच्छेद बिन्दु R(40,15) है।
4x+y \geq 8 में x=0,y=0 रखने पर 4(0)+0 \geq 80 \Rightarrow 0 \geq 80 जो कि असत्य है।
x+5y \geq 115 में x=0,y=0 रखने पर 0+5(0) \geq 115 \Rightarrow 0 \geq 115 जो कि असत्य है।अतः दोनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु  से विपरीत ओर स्थित है।
3x+2 y \leq 150 में x=0,y=0 रखने पर 3(0)+2(0) \leq 150 \Rightarrow 0 \leq 150 जो कि सत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
x \geq 0 का हल क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का हल क्षेत्र x-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर स्थित है।

Linear Programming Class 12th

इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र त्रिभुज PQR है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।त्रिभुज PQR के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
P(2,72),Q(15,20),R(40,15)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text { शीर्ष } & \text { निर्देशांक } & \text { उद्देश्य फलन Z का मान } \\ \hline P & (2,72) & 6 \times 2+3 \times 72=228 \\ Q & (15,20) & 6 \times 15+3 \times 20=150 \\ R & (40,15) & 6 \times 40+3 \times 15=285 \\ \hline \end{array}
अतः उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का अधिकतम मान 280 है जबकि भोज्य P के 40 पैकेट और भोज्य Q के 15 पैकेट खरीदे जाएँ।
x=40,y=15,Max. Z=285
Example:2.एक किसान दो प्रकार के चारे P और Q को मिलाता (मिश्रण) है।P प्रकार के चारे,जिसका मूल्य Rs.250 प्रति थैला जो कि पोषक तत्व A के 3 मात्रक,तत्व B के 2.5 मात्रक और तत्व C के 2 मात्रक रखता है जबकि Q प्रकार का चारा जिसका मूल्य Rs. 200 प्रति थैला है,पोषक तत्व A का 1.5 मात्रक,तत्त्व B का 11.25 मात्रक और तत्व C के तीन मात्रक रखता है।पोषक तत्वों A,B और C की न्यूनतम आवश्यकताएँ क्रमशः 18 मात्रक,45 मात्रक और 24 मात्रक हैं।प्रत्येक प्रकार के थैलों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि मिश्रण के प्रत्येक थैले का मूल्य न्यूनतम हो? मिश्रण के प्रत्येक थैले का न्यूनतम मूल्य क्या है?
Solution:माना कि P प्रकार के चारा के x थैले और Q प्रकार के y थेलों में मिलाया जाता हैं।स्पष्टतः x \geq 0, y \geq 0
हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैंः
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{थैलों } & \text{चारे } & \text{के प्रकार} & \text{न्यूनतम } \\ \hline & P & Q & \text{आवश्यकता} \\ \hline \text{ की संख्या} & x & y & \\ \hline \text{तत्व A } & 3 & 1.5 & 18 \\ \text{(मात्रक में)} & & & \\ \hline \text{तत्व B} & 2.5 & 11.25 & 45 \\ \text{(मात्रक में)} & & & \\ \hline \text{तत्व C } & 2 & 3 & 24 \\ \text{(मात्रक में)} & & & \\ \hline \text{मूल्य} & Rs. 250 & Rs. 200 & \\ \hline \end{array}
तत्व A की कुल मात्रा 3x+1.5y है जिसके लिए न्यूनतम आवश्यक मात्रा 18 मात्रक है अतः
3 x+1.5 y \geq 18
तत्व B की कुल मात्रा 2.5x+12.25y है जिसके लिए न्यूनतम आवश्यक मात्रा 45 मात्रक है अतः
2.5 x+11.25 y \geq 45
तत्व C की कुल मात्रा 2x+3y है जिसके लिए न्यूनतम आवश्यक मात्रा 24 है अतः
2 x+3 y \geq 24
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
उद्देश्य फलन Min Z=250x+200y
व्यवरोध 3 x+1.5 y \geq 18 \Rightarrow 2 x+y \geq 12 \\ 2.5 x+11.25 y \geq 45 \Rightarrow 2 x+9 y \geq 36 \\ 2 x+3 y \geq 24, x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
2x+y=12,2x+9y=36,2x+3y=24,x=0,y=0
2x+y=12 में y=0 रखने पर x=6
अब x=0 रखने पर y=12
अतः यह अक्षों को (6,0) और B(0,12) पर काटती है।
इसी प्रकार 2x+9y=36 में y=0 रखने पर x=18
अब x=0 रखने पर y=4
अतः यह अक्षों को C(18,0) व D(0,4) पर काटती है।
2x+3y=24 में y=0 रखने पर x=12
अब x=0 रखने पर y=8
अतः यह अक्षों को E(12,0) व F(0,8) पर काटती है।
2x+y=12 व 2x+9y=36 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q\left(\frac{9}{2}, 3\right) तथा 2x+y=12 व 2x+3y=24 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(3,6) और 2x+9y=36 व 3x+2y=24 का प्रतिच्छेद बिन्दु R(9,2) है।
2 x+y \geq 12 में x=0,y=0 रखने पर 2(0)+0 \geq 12 \Rightarrow 0 \geq 12 जो कि असत्य है।
इसी प्रकार 2x+9 y \geq 36 में x=0,y=0 रखने पर 2(0)+9(0) \geq 36 \Rightarrow 0 \geq 36 जो कि असत्य है।
2x+3 y \geq 24 में x=0,y=0 रखने पर 2(0)+3(0) \geq 24 \Rightarrow 0 \geq 24 जो कि असत्य है।
अतः तीनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु  से विपरीत ओर स्थित है।
x \geq 0 का हल क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का हल क्षेत्र x-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर स्थित है।

Linear Programming Class 12th

इनसे बना उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र YBPRCX है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।क्षेत्र YBPRCX के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
B(0,12),P(3,6),R(9,2),C(18,0)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text {शीर्ष} & \text {निर्देशांक} & \text {उद्देश्य फलन Z का मान} \\ \hline B & (0,12) & 250 \times 0+12 \times 200=2400 \\ \hline P & (3,6) & 250 \times 3+200 \times 6=1950 \\ \hline R & (9,2) & 250 \times 9+200 \times 2=2650 \\ \hline C & (18,0) & 250 \times 18+200 \times 0=4500 \\ \hline \end{array}
Z का न्यूनतम मान 1950 है।सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
असमिका 250 x+200y < 1950 \Rightarrow 544 y <39
यह रेखा \left(\frac{39}{5}, 0\right) व \left(0, \frac{39}{4}\right) से होकर जाती है और बिन्दु (3,6) पर स्थित है।इसमें x=0,y=0 रखने पर 250 \times 0+ 200 \times 0 < 39 \Rightarrow 0 <39 जो कि असत्य है।
5x+4y<39 क्षेत्र के नीचे के बिन्दु रेखा 5x+4y=39 के नीचे स्थित है अर्थात् मूलबिन्दु की ओर स्थित है जिसका कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ नहीं है।
अतः समस्या का हल है:
P प्रकार के चारे के x=3 थैले,Q प्रकार के चारे के y=6 थैले पर Min. Z=1950

Linear Programming Class 12th

Example:3.एक आहारविद् दो प्रकार के भोज्यों X और Y को इस प्रकार मिलाना चाहता है कि मिश्रण विटामिन A की कम से कम 10 मात्रक,विटामिन B की कम से कम 12 मात्रक,विटामिन C की 8 मात्रक हों,1 kg भोज्यों में विटामिन की मात्रा निम्नलिखित सारणी में दी गई है:
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text {भोज्य} & \text {विटामिन A} & \text {विटामिन B} & \text {विटामिन C} \\ \hline X & 1 & 2 & 3 \\ \hline Y & 2 & 2 & 1\\ \hline \end{array}
भोज्य X के 1 kg का मूल्य Rs.16 और भोज्य Y के 1 kg का मूल्य Rs. 20 है।वांछित आहार के लिए मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए।
Solution:माना कि भोज्य X का x किग्रा और भोज्य Y का y किग्रा मिश्रण में मिलाया जाता हैं।स्पष्टतः x \geq 0, y \geq 0
हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैंः
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline & \text{भोज्य } & & \text{न्यूनतम } \\ \hline \text{भोज्य की मात्रा } & X & Y & \text{आवश्यकता} \\ \hline \text{विटामिन A} & 1 & 2 & 10 \\ \text{ विटामिन B} & 2 & 2 & 12 \\ \text{विटामिन C} & 3 & 1 & 8 \\ \hline \text{1 kg भोज्य } & 16 & 20 & \\ \text{ का मूल्य } & & & \\ \hline \end{array}
विटामिन A की कुल मात्रा x+2y है जिसके लिए न्यूनतम आवश्यक मात्रा 10 मात्रक है अतः
x+2 y \geq 10
विटामिन B की कुल मात्रा 2x+2y है जिसके लिए न्यूनतम आवश्यक मात्रा 12 मात्रक है अतः
2 x+2 y \geq 12
विटामिन C की कुल मात्रा 3x+y है जिसके लिए न्यूनतम आवश्यक मात्रा 8 है अतः
3 x+y \geq 8
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
उद्देश्य फलन Min. Z=16x+20y
प्रतिबन्ध x+2 y \geq 10,2 x+2 y \geq 12 \Rightarrow x+y \geq 6, \\ 3x+y \geq 8, x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+2y=10,x+y=6,3x+y=8,x=0,y=0
x+2y=12 में y=0 रखने पर x=10
अब x=0 रखने पर y=5
अतः यह अक्षों को A(10,0) और B(0,5) पर काटती है।
इसी प्रकार x+y=6 में y=0 रखने पर x=6
अब x=0 रखने पर y=6
अतः यह अक्षों को C(6,0) और D(0,6) पर काटती है।
3x+y=8 में y=0 रखने पर x=\frac{8}{3}
अब x=0 रखने पर y=8
अतः यह अक्षों को E\left(\frac{8}{3}, 0\right) व F(0,8) पर काटती है।
x+2y=10 व x+y=6 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q(2,4) तथा x+2y=10 व 3x+y=8 का प्रतिच्छेद बिन्दु \left(\frac{6}{5}, \frac{22}{5}\right) और x+y=6 व 3x+y=8 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(1,5) है।
x+2y \geq 10 में x=0,y=0 रखने पर 0+2(0) \geq 10 \Rightarrow 0 \geq 10 जो कि असत्य है।
इसी प्रकार x+y \geq 6 में x=0,y=0 रखने पर 0+0 \geq 6 \Rightarrow 0 \geq 6 जो कि असत्य है।
3 x+y \geq 8 में x=0,y=0 रखने पर 3(0)+0 \geq 8 \Rightarrow 0 \geq 8 जो कि असत्य है।
अतः तीनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु  से विपरीत ओर स्थित है।
x \geq 0 का हल क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का हल क्षेत्र x-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर स्थित है।

Linear Programming Class 12th

इनसे बना उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र YFPQAX है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।क्षेत्र YFPQAX के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
F(0,8),P(1,5),Q(2,4),A(10,0)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text { शीर्ष } & \text { निर्देशांक } & \text { उद्देश्य फलन Z का मान } \\ \hline F & (0,8) & 16 \times 0+20 \times 8=160 \\ \hline P & (1,5) & 16 \times 1+20 \times 5=116 \\ \hline Q & (2,4) & 16 \times 2+20 \times 4=112 \\ \hline A & (10,0) & 16 \times 10+20 \times 0=160 \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि Z का न्यूनतम मान 112 है।परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
असमिका 16x+20y<112 का कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ नहीं है।
अतः समस्या का हल है:
भोज्य X का x=2 किग्रा,भोज्य Y का y=4 किग्रा मिश्रण बनाता है तो  Min. Z=₹ 112
Example:4.एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने A और B बनाता है।इस उद्देश्य के लिए निर्माण में तीन मशीनों की आवश्यकता पड़ती है और प्रत्येक प्रकार के खिलौने के निर्माण के लिए लगा समय (मिनटों में) निम्नलिखित हैः
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{खिलौने के प्रकार } & \text{मशीन} \\ \hline & I & II & II I \\ A & 12 & 18 & 6 \\ B & 6 & 0 & 9 \\ \hline \end{array}
प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घण्टे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है।यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर Rs. 7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर Rs. 5 का लाभ हो तो दर्शाइए कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार के 30 खिलौने निर्मित होने चाहिए।
Solution:माना कि A प्रकार के x खिलौने और B प्रकार के y खिलौने बनाएं जाते हैं।स्पष्टतः x \geq 0, y \geq 0
हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैंः
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline & \text{ खिलौने के } &  &\text{अधिकतम } \\ & \text{ प्रकार } & & \text{ उपलब्धता } \\ \hline & A & B & \\ \hline \text{खिलौनों} & X & Y & \\ \text{की संख्या} &  &  & \\ \hline \text{मशीन I } & 12 & 6 & 360 \\ \hline \text{ मशीन II } & 18 & 0 & 360 \\\hline \text{ मशीन III } & 6 & 9 & 360 \\ \hline \text{ लाभ } & Rs. 7.50 & Rs. 5 & \\ \hline \end{array}
मशीन I में खिलौनों के निर्माण में लगा कुल समय 12x+6y है जिसके लिए अधिकतम उपलब्ध समय 360 मिनट है।अतः
12x+6 y \leq 360 \Rightarrow 2 x+y \leq 60
मशीन II में खिलौनों के निर्माण में लगा कुल समय 18x है जिसके लिए अधिकतम उपलब्ध समय 360 मिनट है।अतः
18 x \leq 960 \Rightarrow x \leq 20
मशीन III में खिलौनों के निर्माण में लगा कुल समय 6x+9y है जिसके लिए अधिकतम उपलब्ध समय 360 मिनट है।अतः
6x+9y \leq 360 \Rightarrow 2 x+3 y \leq 120
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
उद्देश्य फलन Max Z=7.50x+5y
प्रतिबन्ध 2 x+y \leq 60, x \leq 20,2 x+3 y \leq 120, x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
2x+y=60,x=20,2x+3y=120,x=0,y=0
2x+y=60 में y=0 रखने पर x=30
अब x=0 रखने पर y=60
अतः यह अक्षों को A(30,0) और B(0,60) पर काटती है।
इसी प्रकार x=20 x-अक्ष को (20,0) पर काटती है और y-अक्ष के समान्तर है।
2x+3y=120 में y=0 रखने पर x=60
अब x=0 रखने पर y=40
अतः यह अक्षों को C(60,0) व D(0,40) पर काटती है।
2x+y=60 व x=20 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q(20,20) तथा 2x+y=60 व 2x+3y=120 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(15,30) और x=20 व 2x+3y=120 का प्रतिच्छेद बिन्दु \left(20, \frac{80}{3}\right) है।
2x+y \leq 60 में x=0,y=0 रखने पर 2(0)+0 \leq 60 \Rightarrow 0 \leq 60 जो कि सत्य है।
x \leq 20 में x=0 रखने पर 0 \leq 20 जो कि सत्य है।
2 x+3 y \leq 120 में x=0,y=0 रखने पर 2(0)+3(0) \leq 120 \Rightarrow 0 \leq 120 जो कि सत्य है।
अतः तीनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
x \geq 0 का हल क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का हल क्षेत्र x-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर स्थित है।

Linear Programming Class 12th

इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र ORPQD है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।बहुभुज ORPQD के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
O(0,0),R(20,0),Q(15,30),P(15,30),D(0,40)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{शीर्ष} & \text{निर्देशांक} & \text{उद्देश्य फलन Z का मान} \\ & & Z=7.50x+5y \\ \hline O & (0,0) & 7.50 \times 0+5 \times 0=0 \\ \hline R & (20,0) & 7.50 \times 20+5 \times 0=150 \\ \hline Q & (20,20) & 7.50 \times 20 \times 5 \times 20=250 \\ \hline P & (15,30) & 7.50 \times 15+5 \times 30=262.5 \\ \hline D & (0,40) & 7.50 \times 0+5 \times 40=200 \\ \hline \end{array}
अतः उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का अधिकतम मान ₹ 262.5 है जबकि A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार के 30 खिलौने बनाएं जाते हैं।अतः समस्या का हल है:
x=15,y=30,Max. Z=262.5
Example:5.एक हवाई जहाज अधिकतम 200 यात्रियों को यात्रा करा सकता है।प्रत्येक प्रथम श्रेणी के टिकट पर Rs. 1000 और सस्ते श्रेणी के टिकट पर Rs. 600 का लाभ कमाया जा सकता है।एयरलाइन कम से कम 20 सीटें प्रथम श्रेणी के लिए आरक्षित करती है।तथापि प्रथम श्रेणी की अपेक्षा कम से कम 4 गुने यात्री सस्ती श्रेणी के टिकट से यात्रा करने को वरीयता देते हैं।ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने टिकट बेचे जाएं ताकि लाभ का अधिकतमीकरण हो? अधिकतम लाभ कितना है?
Solution:माना प्रथम श्रेणी के x यात्री और सस्ती श्रेणी के y यात्री यात्रा करते हैं।स्पष्टतः x \geq 0, y \geq 0
हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैं:
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline & \text{ प्रथम श्रेणी } & \text{ सस्ती श्रेणी } & \text{ अधिकतम } \\  & \text{ के टिकट } & \text{  के टिकट } & \text{  कुल सीट }  \\ \hline \text{ टिकट } & x & y & 200 \\ \hline \text{प्रथम श्रेणी } & - & - & 20 \\  \text{के लिए } & & & \text{ (न्यूनतम) } \\ \text{आरक्षित } & & & \\ \text{ टिकट} & & & \\ \hline \text{से यात्रा को } & & & \\ \text{वरीयता}  & & & \\ \text{ न्यूनतम}  & 1 & 4 & \\ \hline \text{ लाभ } & 1000 & 600 & \\ \hline \end{array}
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
उद्देश्य फलन Max Z=1000x+600y
व्यवरोध x+y \leq 200 \\ x \geq 20, y \geq 4 x, x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+y=200,x=20,y=4x,x=0,y=0
x+y=200 में y=0 रखने पर x=200
अब x=0 रखने पर y=200
अतः यह अक्षों को (200,0) और B(0,200) पर काटती है।
इसी प्रकार x=20 x-अक्ष को (20,0) पर काटती है और y-अक्ष के समान्तर है।
y=4x मूलबिन्दु से होकर तथा प्रथम व तृतीय चतुर्थांश से होकर गुजरती है।
x+y=200 व x=20 का प्रतिच्छेद बिन्दु A(20,180) तथा x+y=200 व y=4x का प्रतिच्छेद बिन्दु B(40,160) और x=20 व y=4x का प्रतिच्छेद बिन्दु C(20,80) है।
x+y \leq 200 में x=0,y=0 रखने पर 0+0 \leq 200 \Rightarrow 0 \leq 200 जो कि सत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
x \geq 20 में x=0 रखने पर 0 \geq 20 जो कि असत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
y \geq 4 x में x=20,y=180 रखने पर 180 \geq 4 \times 20 \Rightarrow 180 \geq 80 जो कि सत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र A बिन्दु की ओर स्थित है।
x \geq 0 का हल क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का हल क्षेत्र x-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर स्थित है।

Linear Programming Class 12th

इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र त्रिभुज ABC है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
A(20,180),B(40,160),C(20,80)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{शीर्ष} & \text{निर्देशांक} & \text { उद्देश्य फलन Z का मान } \\ & & Z=1000 x+600 y \\ \hline A & (20,180) & 1000 \times 20+600 \times 180 \\ & &=128000 \\ \hline B & (40,160) & 1000 \times 40+600 \times 160 \\ & & =136000 \\ \hline O & (20,80) & 1000 \times 20+600 \times 80 \\ & & =68000 \\ \hline \end{array}
अतः उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का अधिकतम मान ₹ 136000 के लिए 40 सीट प्रथम श्रेणी 160 सीट सस्ती श्रेणी में होनी चाहिए अर्थात् समस्या का हल है:
x=40,y=160,Max. Z= ₹ 136000
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12वीं (Linear Programming Class 12th),रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) को समझ सकते हैं।

Linear Programming Class 12th

Also Read This Article:- Linear Programming in Class 12

3.रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12वीं (Frequently Asked Questions Related to Linear Programming Class 12th),रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12वीं (Linear Programming Class 12th) के इस आर्टिकल में आहार
सम्बन्धी,उत्पादन सम्बन्धी और परिवहन सम्बन्धी समस्याओं को रैखिक प्रोग्रामन विधि से हल
करके समझने का प्रयास करेंगे।