1.निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12),निश्चित् समाकलन के उदाहरण (Definite Integral Examples):

Definite Integral Class 12

निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12) में योग सीमा के रूप में तथा अन्तिम बिन्दुओं पर फलन के मानों के अन्तर के रूप में अध्ययन कराया जाता है।निश्चित् समाकलन का एक अद्वितीय मान होता है।एक निश्चित् समाकलन को अनिश्चित समाकलन की विधि से समाकलन किया जाता है तथा निश्चित् समाकलन का मान ज्ञात करने के लिए निश्चित् समाकलनों के गुणधर्मों का भी प्रयोग किया जाता है।तत्पश्चात् यह परिसर [a,b] पर f का निश्चित् समाकलन कहलाता है जहाँ a और b समाकलन की सीमाएँ कहलाती हैं a निम्न सीमा कहलाती है और b को उच्च सीमा कहते हैं।

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2.निश्चित् समाकलन कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Definite Integral Class 12):

Example:1. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1+\sin 2 x} d x$ का मान है?
Solution: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1+\sin 2 x} d x \\ I =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cos x\right)} d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{(\sin x+\cos x)^{2}} d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\sin x+\cos x) d x \\ =[-\cos x+\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ =-\cos \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{4}+\cos 0-\sin 0 \\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+1-0 \\I =1$
Example:2. $\int_{2}^{5} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{7-x}} d x$ का मान है?
Solution: $I=\int_{2}^{5} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{7-x}} d x \cdots(1) \\ I=\int_{2}^{5} \frac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{7-x}+\sqrt{x}} \cdots(2)$ 
[गुणधर्म IV से: $\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$]
(1) व (2) को जोड़ने पर:

$2 I =\int_{2}^{5}\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{7-x}}+\frac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{7-x}+\sqrt{x}}\right) d x \\=\int_{2}^{5}\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{7-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{7-x}}\right) d x \\ =\int_{2}^{5} 1 d x \\ =[x]_{2}^{5}=5-2=3$
Example:3. $\int_{a-c}^{b-c} f(x+c) d x$ का मान है:
Solution: $\int_{a-c}^{b-c} f(x+c) d x \\ =\int_{a-c}^{b} f(x+c) d x+\int_{b}^{-c} f(x+c) d x \\ =-\int_{b}^{a-c} f(x+c) d x+\int_{b}^{c} f(x+c) d x \\ =-\int_{b}^{a} f(x+c) dx-\int_{b}^{-c} f(x+c) d x -\int_{b}^{c} f(x+c) d x \\ =\int_{a}^{b} f(x+c) dx+\int_{b}^{c} f(x+c) d x -\int_{b}^{c} f(x+c) d x \\ =\int_{a}^{b} f(x+c) d x$
Example:4. $A(x)=\int_{0}^{x} \theta^{2} d \theta$ हो तो A(3) का मान होगा:
Solution: $A(x)=\int_{0}^{x} \theta^{2} d \theta \\ A(x)=\left[\frac{\theta^{3}}{3}\right]_{0}^{x} \\ \Rightarrow A(x)=\frac{x^{3}}{3} \\ \Rightarrow A(3)=\frac{3^{3}}{3}=9$
निम्नलिखित का समाकलन कीजिए:
Example:5. $\int_{1}^{2} \frac{(x+3)}{x(x+2)} d x$
Solution: $\int_{1}^{2} \frac{(x+3)}{x(x+2)} d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{x+2+1}{x(x+2)} d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{x+2}{x(x+2)} d x+\int_{1}^{2} \frac{1}{x(x+2)} d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x+\frac{1}{2} \int_{1}^{2}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\right] d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x+\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x-\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+2} d x \\ =\frac{3}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x-\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{x+2} d x \\ =\frac{3}{2}[\log x]_{1}^{2}-\frac{1}{2}[\log (x+2)]_{1}^{2} \\ =\frac{3}{2}[\log 2-\log 1]-\frac{1}{2}\left[\log 4-\log 3\right] \\ =\frac{3}{2} \log 2-\frac{1}{2} \log 4+\frac{1}{2} \log 3 \\ =\frac{3}{2} \log 2-\frac{1}{2} \log 2^{2}+\frac{1}{2} \log 3 \\=\frac{3}{2} \log 2-\log 2+\frac{1}{2} \log 3 \\=\frac{1}{2} \log 2+\frac{1}{2} \log 3 \\=\frac{1}{2} \log 6$
Example:6. $\int_{1}^{2} \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x$
Solution: $\int_{1}^{2} \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{x e^{x}+e^{x}-e^{x}}{(1+x)^{2}} d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{x e^{x}+e^{x}}{(1+x)^{2}} d x-\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{(1+x)^{2}} dx \\ =\int_{1}^{2} \frac{(1+x) e^{x}}{(1+x)^{2}} d x-\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{(1+x)^{2}} d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{1+x} d x-\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{(1+x)^{2}} d x \\ \int e^{x}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x=e^{x} f(x)$ से

=$\left[\frac{e^{x}}{1+x}\right]_{1}^{2} \\ =\frac{e^{2}}{3}-\frac{e}{2} \\ =\frac{2 e^{2}-3 e}{6} \\ =\frac{1}{6} e(2 e-3)$
Example:7. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x}\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right) d x$
Solution: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x}\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right) d x \\ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{x} \sin x}{1+\cos x} d x+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{x}}{1+\cos x} d x$
माना $f(x) =\frac{\sin x}{1+\cos x} \\ f^{\prime}(x) =\frac{(1+\cos x) \cos x+\sin ^{2} x}{(1+\cos x)^{2}} \\ =\frac{\cos x+\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{(1+\cos x)^{2}} \\ =\frac{1+\cos x}{(1+\cos x)^{2}} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =\frac{1}{(1+\cos x)} \\ \int e^{x}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x=e^{x} f(x)$ से 

$I=\left[\frac{e^{x} \sin x}{1+\cos x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\ =\frac{e^{\frac{\pi}{2}} \sin \frac{\pi}{2}}{1+\cos \frac{\pi}{2}}-\frac{e^{0} \sin \theta}{1+\cos 0}\\ =\frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{1}=e^{\frac{\pi}{2}}$
Example:8. $\int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{\left(x-x^{3}\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{4}} d x$
Solution: $\int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{\left(x-x^{3}\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{4}} d x \\ I=\int_{\frac{1}{3}}^{1}\left[x^{3}\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right)\right]^{\frac{1}{3}} d x \\ =\int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{x^{4}}{\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right)^{\frac{1}{3}}} d x \\ =\int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{3}} d x$

put $\frac{1}{x^{2}}-1=t \\ -\frac{2}{x^{3}} d x=d t \\ \frac{1}{x^{3}} d x=-\frac{d t}{2}$
जब x=$\frac{1}{3}$ तो t=8
जब x=1 तो t=0

Definite Integral Class 12

Example:9. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} \cos ^{2} x d x$
Solution: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} \cos ^{2} x d x \\ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2}\left(\frac{1+\cos 2 x}{2}\right) d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{2} d x+\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} \cos 2 x d x \\ =\frac{1}{2} \cdot\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{2} x^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2 x d x -\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{d}{d x} x^{2} \int \cos 2 x dx\right] d x \\ =\frac{1}{6}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{3}+\frac{1}{2}\left[x^{2} \frac{\sin 2 x}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} -\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 x \cdot \frac{\sin 2 x}{2} d x \\ =\frac{\pi^{3}}{48}+\frac{1}{4} \times 0-\frac{1}{2} x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x d x +\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{d}{d x}(x) \int \sin 2 x d x\right] d x \\ =\frac{\pi^{3}}{48}+\frac{1}{2}\left[\frac{x \cos 2 \pi}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{8}[\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ =\frac{\pi^{3}}{48}+\frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} \cos \pi-\frac{1}{8} \times 0 \times \cos 0-\frac{1}{8} \times 0 \\ =\frac{\pi^{3}}{48}-\frac{\pi}{8} \\ I =\frac{\pi}{48}\left(\pi^{2}-6\right)$
Example:10. $\int_{0}^{1} \tan ^{-1} x d x$
Solution: $\int_{0}^{1} \tan ^{-1} x d x \\ I =\int_{0}^{1} \tan ^{-1} x d x \\ =\tan ^{-1} x \int_{0}^{1} 1 \cdot d x-\int_{0}^{1}\left[\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right) \int 1 \cdot d x\right] d x \\ I=[x \tan^{-1} x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\left(\frac{x}{1+x^{2}}\right) d x \\ =[1 \tan^{-1}(1)-0]-\frac{1}{2}\left[\log \left(1+x^{2}\right)\right]_{0}^{1} \\ =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \log 2$
Example:11. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 3 x \sin 2 x d x$
Solution: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 3 x \sin 2 x d x \\ I =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \sin 3 x \sin 2 x d x \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[\cos x-\cos 5 x] d x$
[सूत्र से $2 \sin A \sin B=\cos (A-B)-\cos (A+B)$]

$I=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x d x-\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 5 x d x \\ =\frac{1}{2}[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\frac{1}{2}\left[\frac{\sin 5 x}{5}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ =\frac{1}{2}\left[\sin \frac{\pi}{4}-\sin 0\right]-\frac{1}{10}\left(\sin \frac{5 \pi}{4}-\sin 0\right) \\ =\frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{10} \sin 45 \\ =\frac{1}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ =\frac{5+1}{10 \sqrt{2}} \\ =\frac{6}{10 \sqrt{2}} \\ =\frac{3}{5 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow I =\frac{3 \sqrt{2}}{10}$
Example:12. $\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
Solution: $\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x \\ I=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x \\ I=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x$

put $\sin ^{-1} x=t \Rightarrow x=\sin t \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=d t$

जब x=0 तो t=0
जब x=$\frac{1}{\sqrt{2}}$ तो t=$\frac{\pi}{4}$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{t}{1-\sin ^{2} t} d t \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{t}{\cos ^{2} t} d t \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t \sec^{2} t d t \\ =t \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec ^{2} t d t-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left [ \frac{d}{d t}(t) \int \sec ^{2} t dt \right ] dt\\ =[t \tan t]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan t d t \\ =\frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4}-0-[\log \sec t]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ =\frac{\pi}{4}-\log \sqrt{2} \\ I =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \log 2$
Example:13. $\int_{-2}^{2}\left|1-x^{2}\right| d x$
Solution: $\int_{-2}^{2}\left|1-x^{2}\right| d x$
$\left|1-x^{2}\right|=-\left(1-x^{2}\right)$ जब $-2 \leq x \leq-1$
$\left|1-x^{2}\right|=1-x^{2}$ जब $-1 \leq x \leq 1$
$\left|1-x^{2}\right|=-\left(1-x^{2}\right)$ जब  $1 \leq x \leq 2$

$I=\int_{-2}^{-1}-\left(1-x^{2}\right) d x+\int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)-\int_{1}^{2}\left(1-x^{2}\right) d x \\ =-\left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{-1}+\left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}-\left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} \\ =-\left[-1+\frac{1}{3}+2-\frac{8}{3}\right]+1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}-\left[2-\frac{8}{3}-1+\frac{1}{3}\right] \\ =-\left[\frac{-3+1+6-8}{3}\right]+\left(\frac{3-1+3-1}{3}\right)-\left(\frac{6-8-3+1}{3}\right) \\ =-\left(-\frac{4}{3}\right)+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}$
Example:14. $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x(1+\sin x)}{\left(1+\cos ^{2} x\right)} d x$
Solution: $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x(1+\sin x)}{\left(1+\cos ^{2} x\right)} d x \\ I=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x}{1+\cos ^{2} x} d x+\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \\ f(x)=\frac{2 x}{1+\cos ^{2} x} d x \\ f(-x)=\frac{-2 x}{1+\cos ^{2} x}=-f(x)$
f(x)=-f(x) विषम फलन है
अतः $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x}{1+\cos ^{2} x} d x=0 \\ f(x)=\frac{2 x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \\ f(-x)=\frac{2 x \sin x}{1+\cos ^{2} x}$
f(x)=f(-x) सम फलन है
अतः $I=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{ 2x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x \\ I= 2\int_{0}^{\pi} \frac{2 x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x \\ I=4 \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x \cdots(1) \\ I =4 \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \sin (\pi-x)}{1+\cos ^{2}(\pi-x)} d x \\ =4 \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x \cdots(2)$
(1) व (2) को जोड़ने पर:

put $\cos x=t \Rightarrow-\sin x d x=d t$
जब x=0 तो t=1
जब x=$\pi$ तो t=-1

=$2 \pi \int_{1}^{-1} \frac{1}{1+t^{2}}(-d t) \\ =2 \pi \int_{-1}^{1} \frac{d t}{1+t^{2}} \\ =2 \pi\left[\tan ^{-1} t\right]^{1}_{-1} \\ =2 \pi[\tan^{-1} (1)-\tan^{-1} (-1)] \\ =2 \pi\left[\frac{\pi}{4}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right] \\ =2 \pi\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right) \\ =2 \pi\left(\frac{\pi}{2}\right) \\ \Rightarrow I=\pi^{2} \\ I=4$
Example:15. $\int_{0}^{\infty}\left(\cot ^{-1} x\right)^{2} d x$
Solution: $\int_{0}^{\infty}\left(\cot ^{-1} x\right)^{2} d x \\ I= \cot ^{-1} x \int_{0}^{\infty} 1 \cdot d x-\int_{0}^{\infty}\left[\frac{d}{d x}\left(\cot ^{-1} x\right)^{2} \int 1 \cdot d x\right] d x \\ =[x \cot^{-1} x]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} \frac{2 x \cot ^{-1} x}{1+x^{2}} d x \\ =\int_{0}^{\infty} \frac{2 x \cot ^{-1} x}{1+x^{2}} d x,[x \cot^{-1} x]_{0}^{\infty}=0$

put $\cot ^{-1} x=t \Rightarrow-\frac{1}{1+x^{2}} d x=d t$
जब x=0 तो t=$\frac{\pi}{2}$
जब x=$\infty$ तो t=0

$I=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} 2 t \cot t d t \\ =-2t \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \cot t dt+2\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \left[\frac{d}{d t}(t) \int \cot d t\right] d t \\ =-2 [t \log \sin t]_{\frac{\pi}{2}}^{0}-2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin t d t \\ =-2 \times 0-2 \left(-\frac{\pi}{2} \log 2\right) \\ \left[ \because \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin t d t=\frac{-\pi}{2} \log 2\right] \\ I =\pi \log 2$
Example:16. $\int_{0}^{\pi} \frac{d x}{1-2 a \cos x+a^{2}} , a>1$
Solution: $\int_{0}^{\pi} \frac{d x}{1-2 a \cos x+a^{2}} , a>1 \\ I=\int_{0}^{\pi} \frac{d x}{1-2 a \left(\frac{1-\tan ^{2} \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}}\right)+a^{2}} \\ =\int_{0}^{\pi} \frac{\left(1+\tan ^{2} \frac{x}{2}\right) d x}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}-2 a+2 a \tan ^{2} \frac{x}{2}+a^{2}+a^{2} \tan ^{2} \frac{x}{2}} \\ =\int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} \frac{x}{2} d x}{1-2 a+a^{2}+\left(1+2 a+a^{2}\right) \tan ^{2} \frac{x}{2}} \\ =\int_{0}^{\pi} \frac{1}{\left(1+2 a+a^{2}\right)} \cdot \frac{\sec ^{2} \frac{x}{2}}{ \frac{1-2 a+a^{2}}{1+2 a+a^{2}}+\tan ^{2} x} \\ =\frac{1}{(a+1)^{2}} \int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} \frac{x}{2}}{\left(\frac{a-1}{a+1}\right)^{2}+\tan ^{2} \frac{x}{2}}$

Put $\tan \frac{x}{2}=t \Rightarrow \frac{1}{2} \sec ^{2} x d x=d t$
जब x=0 तो t=0
जब x=$\pi$ तो t=$\infty$

$I=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(a+1)^{2}} \cdot \frac{2 d t}{\left(\frac{a-1}{a+1}\right)^{2}+t^{2}} \\ =\frac{1}{(a+1)^{2}} \cdot\left(\frac{2}{\frac{a-1}{a+1}}\right)\left[\tan^{-1} \frac{t}{\frac{a-1}{a+1}}\right]_{0}^{\infty} \\ =\frac{2}{(a+1)^{2}}\times \frac{a+1}{a-1} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{a^{2}-1} \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{a^{2}-1}$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12),निश्चित् समाकलन के उदाहरण (Definite Integral Examples) को समझ सकते हैं।

3.निश्चित् समाकलन कक्षा 12 पर आधारित सवाल (Questions Based on Definite Integral Class 12):

Definite Integral Class 12

(1.)सिद्ध कीजिए: $\int_{0}^{\pi} \frac{x d x}{1+\cos \alpha \sin x}=\frac{\pi \alpha}{\sin \alpha}$
(2.) $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(x^{2}+b^{2}\right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answer): (2)$\frac{\pi}{2 a b(a+b)}$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12),निश्चित् समाकलन के उदाहरण (Definite Integral Examples) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12),निश्चित् समाकलन के उदाहरण (Definite Integral Examples) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12) में योग सीमा के रूप में तथा
अन्तिम बिन्दुओं पर फलन के मानों के अन्तर के रूप में अध्ययन कराया जाता है।