1.कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations in Class 11),त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations):

Trigonometrical Equations in Class 11

कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations in Class 11) के इस आर्टिकल में त्रिकोणमितीय समीकरणों के व्यापक हल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण के उदाहरण (Trigonometrical Equations in Class 11 Examples):

निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरणों को सन्तुष्ट करने वाले के व्यापक मान ज्ञात कीजिए [प्रश्न 1-12]
Example:1. \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}
Solution: \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \sin \theta=\sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow \theta=n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{4}, n \in I
Example:2. \sin \theta=-1
Solution: \sin \theta=-1 \\ \Rightarrow \sin \theta=-\sin \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \sin \theta=\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) \\ \Rightarrow \theta=n \pi-(-1)^n \frac{\pi}{2}, n \in I
Example:3. \sin 3 \theta=-\frac{1}{2}
Solution: \sin 3 \theta=-\frac{1}{2} \Rightarrow \sin 3 \theta=-\sin \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \sin 3 \theta =\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow 3 \theta=n \pi-(-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in I \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{3}-(-1)^n \frac{\pi}{18}, n \in I
Example:4. \sin 5 \theta=\frac{1}{2}
Solution: \sin 5 \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \sin 5 \theta=\sin \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow 5 \theta=n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in I \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{5}+(-1)^n \frac{\pi}{30}, n \in I
Example:5. \cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}
Solution: \cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow \cos \theta=-\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{5 \pi}{6} \\ \theta=2 n \pi \pm \frac{5 \pi}{6}, n \in I
Example:6. \cos 3 \theta=-\frac{1}{\sqrt{2}}
Solution: \cos 3 \theta=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos 3 \theta=-\cos \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \cos 3 \theta=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow \cos 3 \theta=\cos \frac{3 \pi}{4} \\ \Rightarrow 3 \theta=2 n \pi \pm \frac{3 \pi}{4}, n \in I \\ \Rightarrow \theta=\frac{2}{3} n \pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in I
Example:7. \tan 3 \theta=-1
Solution: \tan 3 \theta=-1 \\ \Rightarrow \tan 3 \theta=-\tan \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \tan 3 \theta=\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow 3 \theta=n \pi-\frac{\pi}{4}, n \in I \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{3}-\frac{\pi}{12}, n \in I
Example:8. \tan m \theta+1=0
Solution: \tan 3 n \theta+1=0 \\ \Rightarrow \tan m \theta=-1 \\ \Rightarrow \tan m \theta=-\tan \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \tan m \theta=\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right) \\ m \theta=m \pi-\frac{\pi}{4}, n \in I \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{m}-\frac{\pi}{4 m}, n \in I
Example:9. \cot \theta=\sqrt{3}
Solution: \cot \theta=\sqrt{3} \\ \Rightarrow \cot \theta=\cot \left(\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \quad \theta=n \pi+\frac{\pi}{6}, n \in I
Example:10. \cot m \theta+\sqrt{3}=0
Solution: \cot m \theta+\sqrt{3}=0 \\ \Rightarrow \cot m \theta=-\sqrt{3} \\ \Rightarrow \tan m \theta=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \tan m \theta=-\tan \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \tan m \theta=\tan \left(-\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow m \theta=n \pi-\frac{\pi}{6}, n \in I \\ \Rightarrow \theta=\frac{1}{m}\left(n \pi-\frac{\pi}{6}\right), n \in I

Trigonometrical Equations in Class 11

Example:11. \operatorname{cosec} \theta=\frac{2}{\sqrt{3}}
Solution: \operatorname{cosec} \theta=\frac{2}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow \sin \theta=\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ \Rightarrow \theta=n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{3}, n \in I
Example:12. \sec \theta=-\sqrt{2}
Solution: \sec \theta=-\sqrt{2} \\ \Rightarrow \cos \theta=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \cos \theta=-\cos \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{3 \pi}{4} \\ \theta=2 n \pi \pm \frac{3 \pi}{4}, n \in I
निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए [प्रश्न 13-18]
Example:13. 4 \sin ^2 \theta=3
Solution: 4 \sin ^2 \theta=3 \\ \Rightarrow \sin ^2 \theta=\frac{3}{4} \\ \Rightarrow \sin \theta= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow \sin \theta= \pm \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ \Rightarrow \sin \theta=\sin \frac{\pi}{3}, \sin \theta=-\sin \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{3}, n \in I \\ \sin \theta=\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \\ \theta=n \pi-(-1)^n \frac{\pi}{3}, n \in I
Example:14. \operatorname{cosec}^2 \theta=2
Solution: \operatorname{cosec}^2 \theta=2 \\ \Rightarrow \sin ^2 \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{1-\cos 2 \theta}{2}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow 1-\cos 2 \theta=1 \\ \Rightarrow \cos 2 \theta=0 \\ \Rightarrow \cos 2 \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow 2 \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in I \\ \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{4}, n \in I
Example:15. 4 \cos ^2 \theta=1
Solution: 4 \cos ^2 \theta=1 \\ \Rightarrow \cos ^2 \theta=\frac{1}{4} \\ \Rightarrow \cos ^2 \theta= \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ \Rightarrow \cos ^2 \theta=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right]^2 \\ \Rightarrow \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in I
Example:16. 3 \tan ^2 \theta=1
Solution: 3 \tan ^2 \theta=1 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=\left(\tan \frac{\pi}{6}\right)^2 \\ \Rightarrow \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{6}
Example:17. \cot ^2 \theta=1
Solution: \cot ^2 \theta=1 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=1 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=\left(\tan \frac{\pi}{4}\right)^2 \\ \Rightarrow \quad \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in I
Example:18. \sec ^2 \theta=4
Solution: \sec ^2 \theta=4 \\ 1+\tan ^2 \theta=4 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=4-1 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=3 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=(\sqrt{3})^2 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=\left(\tan \frac{\pi}{3}\right)^2 \\ \Rightarrow \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in I
का मान ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरणों को सन्तुष्ट करें [19-21]
Example:19. \sin \theta=\frac{1}{2} और \cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}
Solution: \sin \theta=\frac{1}{2} और \cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \theta =\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \sin \theta=\sin \frac{\pi}{6}, \sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \sin \theta=\sin \frac{\pi}{6}, \sin \frac{5 \pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6} \cdots(1) \\ \cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos \theta=-\cos \frac{\pi}{6} \\ \cos \theta=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{6} \right) \cos \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right) ; \cos \left(\frac{7 \pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \theta=\frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6} \cdots(2)
(1) और (2) का उभयनिष्ठ मान लेने परः
\theta=\frac{5 \pi}{6} \\ \theta=2 n \pi+\frac{5 \pi}{6}, n \in I
Example:20. \cos \theta=-\frac{1}{\sqrt{2}} और \tan \theta=1
Solution: \cos \theta=-\frac{1}{\sqrt{2}} और \tan \theta=1 \\ \cos \theta=-\cos \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right), \cos \left(\pi+\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow \theta=\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4} \cdots(1) \\ \tan \theta=1 \\ \tan \theta=\tan \frac{\pi}{4}, \tan \left(\pi+\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4} \cdots(2)
(1) और (2) का उभयनिष्ठ मान लेने परः
\theta =\frac{5 \pi}{4} \\ \Rightarrow \theta =2 n \pi+\frac{5 \pi}{4}, n \in I
Example:21. \operatorname{cosec} \theta=2 और \cot \theta=-\sqrt{3}
Solution: \operatorname{cosec} \theta=2 और  \cot \theta=-\sqrt{3} \\ \Rightarrow \sin \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \sin \theta=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right), \sin \left(\pi-\frac{\pi}{6} \right) \\ \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6} \ldots(1) \\ \cot \theta=-\sqrt{3} \\ \tan \theta=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \tan \theta=-\tan \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right) \tan \left(2 \pi-\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \theta=\frac{5 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6} \cdots(2)
(1) और (2) का उभयनिष्ठ मान लेने परः
\theta=\frac{5 \pi}{6} \\ \theta=2 n \pi+\frac{5 \pi}{6}, n \in I
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations in Class 11),त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Trigonometrical Equations in Class 11):

Trigonometrical Equations in Class 11

निम्नलिखित समीकरणों को सन्तुष्ट करने वाले \theta के व्यापक मान ज्ञात कीजिए।
(1.) \sqrt{3} \sec 2 \theta=2
(2.) \tan 2 \theta=-\sqrt{3}
(3.) 4 \sin ^2 \theta=1
\theta का व्यापक मान ज्ञात कीजिए जो निम्न समीकरणों को सन्तुष्ट करें
(4.) \cot \theta=-\sqrt{3} और \operatorname{cosec} \theta=-2
उत्तर (Answers): (1.)\theta=n \pi \pm \frac{\pi}{12}, n \in I
(2.) \theta=\frac{n \pi}{2}-\frac{\pi}{6}, n \in I
(3.) \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{6} \quad n \in I
(4.) \theta=\frac{11 \pi}{6}, \theta=2 n \pi \pm \frac{11 \pi}{6}, n \in I
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations in Class 11),त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Trigonometrical Equations in Class 11),त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations in Class 11) के इस
आर्टिकल में त्रिकोणमितीय समीकरणों के व्यापक हल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को
हल करके समझने का प्रयास करेंगे।