1.बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Important Questions of Algebraic Identity),बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल कक्षा 9 (Important Questions of Algebraic Identity Class 9):

Important Questions of Algebraic Identity

बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Important Questions of Algebraic Identity) को हल करने पर बीजीय सर्वसमिकाओं को ठीक से समझ सकेंगे।बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल निम्न हैं:
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Application of Linear Equations Class9

2.बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Important Questions of Algebraic Identity):

Example:1.उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए।
Example:1(i).(x+3)(x+7)
Solution: (x+3)(x+7) \\ =x^2+(3+7) x+3 \times 7
[सर्वसमिका (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b से]

=x^2+10 x+21
Example:1(ii).(2x+7)(3x-5)
Solution: (2x+7)(3x-5) \\ =2 x \times 3 x+2 x \times(-5)+7 \times 3 x+7 \times-5 \\ =6 x^2-10 x+21 x-35 \\ =6 x^2+11 x-35
Example:1(iii). \left(x^2+\frac{3}{5}\right)\left(x^2-\frac{3}{5}\right)
Solution: \left(x^2+\frac{3}{5}\right)\left(x^2-\frac{3}{5}\right) \\ =\left(x^2\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2
[सर्वसमिका x^2-y^2=(x+y)(x-y) से]

=x^4-\frac{9}{25}
Example:1(iv).(x+2)(x-5)
Solution: (x+2)(x-5) \\ =x^2+(2-5) x+2 x-5
[सर्वसमिका (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b से]

=x^2-3 x-10
Example:2.बीजीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए।
Example:2(i).94×97
Solution:94×97
=(100-6)(100-3) \\ =100^2+(-6-3) \times 100+(-6)(-3)
[सर्वसमिका (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b से]
=1000-900+18
=9118
Example:2(ii).103×97
Solution:103×97
=(100+3) \times(100-3) \\ =100^2-3^2
[सर्वसमिका x^2-y^2=(x+y)(x-y) से]
=10000-9
=9991
Example:3.उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनखण्ड कीजिए।
Example:3(i). x^2-4 x+4
Solution: x^2-4 x+4 \\ =x^2-2 \times x \times 2+2^2
[ (a-b)^2=a^2-2 a b+b^2 से]

=(x-2)^2
Example:3(ii). \frac{x^2}{100}-y^2
Solution: \frac{x^2}{100}-y^2 \\ =\left(\frac{x}{10}\right)^2-y^2 \\ =\left(\frac{x}{10}-y\right) \left(\frac{x}{10}+y\right)
[ x^2-y^2=(x-y)(x+y) से]
Example:4.उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके निम्नलिखित का विस्तार कीजिए।
Example:4(i). (2+x-2 y)^2
Solution: (2+x-2 y)^2 \\ =(2)^2+x^2+(-2 y)^2+2 \times 2 \times x+2 \times x \times-2 y+2 \times 2 \times (-2 y) \\ =4+x^2+4 y^2+4 x-4 x y-8 y 
[सर्वसमिका (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 z y z+2 xz से]
Example:4(ii). (a+2 b+4 c)^2
Solution: (a+2 b+4 c)^2 \\ =(a)^2+(2 b)^2+(4 c)^2+2 \times a \times 2 b+2 \times 2 b \times 4 c+ 2 \times a \times 4 c
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2xz  से]

=a^2+4 b^2+16 c^2+4 a b+16 b c+8 a c
Example:4(iii). (m+2 n-5 p)^2
Solution: (m+2 n-5 p)^2 \\ = (m)^2+(2 n)^2+(-5 p)^2+2 \times m \times 2 n+2 \times m \times(-5 b) +2 \times 2 n \times(-5 p)
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 x z  से]

= m^2+4 n^2+25 p^2+4 m n-10 m p-20 n p
Example:4(iv). \left(3 a-7 b-c\right)^2
Solution: (3 a-7 b-c)^2 \\ =(3 a)^2+(-7 b)^2+\left(-c^2\right)^2+2 \times 3 a \times -7 b+2 \times(-7 b) \times(-c) +2 \times 3 a \times -c
[ \left(x^2+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 z x से]

=9 a^2+49 b^2+c^2-42 a b+14 b c-6 a c
Example:5.गुणनखण्ड कीजिए:

x^2+2 y^2+8 z^2+2 \sqrt{2} x y-8 y z-4 \sqrt{2} x z
Solution: x^2+2 y^2+8 z^2+2 \sqrt{2} x y-8 y z-4 \sqrt{2} x z \\ =\left(x^2\right)+(\sqrt{2} y)^2+(-2 \sqrt{2} z)^2+2 \times \sqrt{2} y \times x+2 \times(\sqrt{2} y)(-2 \sqrt{2} z) +2 \times x \times(-2 \sqrt{2} z) \\ =(x+\sqrt{2} y-2 \sqrt{2} z)^2
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 x z से तुलना करने पर]

Important Questions of Algebraic Identity

Example:6.निम्न घनों का विस्तार कीजिए:
Example:6(i). \left(1+2 x\right)^3
Solution: (1+2 x)^3 \\ =(1)^3+3 \times 1^2 \times 2 x+3 \times 1 \times(2 x)^2+(2 x)^3
[ (a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3 से]

=1+6x+12 x^2+8 x^3
Example:6(ii). \left(x-\frac{2}{3} y\right)^3
Solution: \left(x-\frac{2}{3} y\right)^3 \\ =(x)^3+3(x)^2\left(-\frac{2}{3} y\right)+3 \times x \times\left(-\frac{2}{3} y\right)^2+\left(-\frac{2}{3} y\right)^3
[ (x-y)^3=x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3  से]

=x^3-2 x^2 y+\frac{4}{3} x y^2-\frac{8}{27} y^3
Example:7.उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके मान ज्ञात कीजिए:
Example:7(i). (999)^3
Solution: (999)^3 \\ =(1000-1)^3 \\ =(1000)^3-3 \times(1000)^2 \times 1+3 \times 1000 \times(-1)^2-(1)^3 \\ =1000000000-3000000+3000-1
[ (x-y)^3=x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3 से]
=997,002,999
Example:7(ii). (1008)^3
Solution: (1008)^3 \\ =(1000+8)^3 \\ =(1000)^3+3(1000)^2 \times 8+3 \times 1000 \times 8^2+8^3
[ (a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3 से]
=1000000000+24000000+192000+512
=1024,192,512
Example:8.गुणनखण्ड कीजिए:
Example:8(i). 27 a^3-8 b^3-54 a^2 b+36 a b^2
Solution: 27 a^3-8 b^3-54 a^2 b+36 a b^2 \\ =(3 a)^3-(2 b)^3-3 \times(3 a)^2 \times 2 b+3 \times 3 a \times(2 b)^2-(2 b)^3
[ (a-b)^3=a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3 से तुलना करने पर]

=(3 a-2 b)^3
Example:8(ii). 27-125 x^3-135 x+225 x^2 
Solution: 27-125 x^3-135 x+225 x^2 \\ =(3)^3-(5 x)^3-3 \times(3)^2 \times 5 x+3 \times 3 \times(5 x)^2

[(x-y)^3=x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3 से]
=(3-5 x)^3
Example:9.गुणनखण्ड कीजिए:
Example:9(i). 125 x^3-8 y^3
Solution: 125 x^3-8 y^3 \\ =(5 x)^3-(2 y)^3 \\ =(5 x-2 y)\left[(5x)^2+(5 x)(2 y)+(2 y)^2\right]
[ a^3-b^3-(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right) से]

=(5 x-2 y)\left(25 x^2+10 x y+4 y^2\right)
Example:9(ii). 27 x^3+343 y^3
Solution: 27 x^3+343 y^3 \\ =(3 x)^3+(7 y)^3 \\ =(3 x+7 y)\left[(3 x)^2-3 x \times 7 y+(7 y)^2\right]
[ x^3+y^3=(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right) से]

=(3 x+7 y)\left(27 x^2-21 x y+49 y^2\right)
Example:10.सत्यापित कीजिए:

27 a^3+b^3+c^3-9abc=(3a+b+c)\left[3 a^2+b^2+c^2-3 a b-b c-3 a c\right]
Solution: 27 a^3+b^3+c^3-9abc=(3a+b+c)\left[3 a^2+b^2+c^2-3 a b-b c-3 a c\right] \\ \text { L.H.S. } 27 a^3+b^3+c^3-9 a b c \\ =(3 a)^3+b^3+c^3-3 \times 3 a \times b \times c
[ x^3+y^3+z^3-3 x y z=(x+y+z)\left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-zx\right) से]

=(3 a+b+c)\left[(3a)^2+b^2+c^2-3 a b-b c-3 a c\right] \\ =(3 a+b+c)\left(9 a^2+b^2+c^2-3 a b-b c-3 a c\right)=\text{R.H.S.}
Example:11.यदि x+y+z=0 हो तो सत्यापित कीजिए कि x^3+y^3+z^3=3 x y z
Solution: x^3+y^3+z^3-3 x y z=(x+y+z) \left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-x z\right)
x+y+z=0 रखने पर

\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3 x y z=0\left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-x z\right) \\ \Rightarrow x^3+y^3+z^3-3 x y z=0 \\ \Rightarrow x^3+y^3+z^3=3 x y z
Example:12.उपयुक्त बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए गणना कीजिए:

(-15)^3+(28)^3+(-13)^3
Solution: (-15)^3+(28)^3+(-13)^3
माना x=-15,y=28,z=-13
x+y+z=-15+28-13=0
x+y+z=0 रखने पर:

x^3+y^3+z^3-3 x y z=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x\right) \\ \Rightarrow x^3+y^3+z^3-3 x y z=0 \\ \Rightarrow x^3+y^3+z^3=3 x y z
x=-15,y=28,z=-13 रखने पर:

(-15)^3+(28)^3+(-13)^3=3 \times-15 \times 28 \times-13 \\ \Rightarrow(-15)^3+(28)^3+(-13)^3=16380
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Important Questions of Algebraic Identity),बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल कक्षा 9 (Important Questions of Algebraic Identity Class 9) को समझ सकते हैं।

3.बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल की समस्याएँ (Important Questions of Algebraic Identity Problems):

Important Questions of Algebraic Identity

निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:

(1.)(x+2 y+4 z)^2
(2.)(-3 x+y+5 z)^2
निम्नलिखित घन को प्रसारित रूप में लिखिए:

(3.)(2 x-3 y)^3
(4.)(a x+b y)^3
उत्तर (Answers): (1.)x^2+4 y^2+16 z^2+4 x y+16 y z+8 z x \\ (2.)9 x^2+y^2+25 z^2-6 x y+10 y z-30 z x \\ (3.)8 x^3-36 x^2 y+54 x y^2-27 y^3 \\ (4.)a^3 x^3+3 a^2 b x^2 y+3 a b^2 x y^2+b^3 y^3
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Important Questions of Algebraic Identity),बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल कक्षा 9 (Important Questions of Algebraic Identity Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Linear Equations in Two Variables 9th

4.बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Frequently Asked Questions Related to Important Questions of Algebraic Identity),बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल कक्षा 9 (Important Questions of Algebraic Identity Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Important Questions of Algebraic
Identity) को हल करने पर बीजीय सर्वसमिकाओं को ठीक से समझ सकेंगे।