Numerical Solution by Iteration Method

Q: प्रश्न:1.देकार्त का चिन्ह नियम क्या है? (What is Descarte's Rule of Sign?):

उत्तर:किसी भी बीजीय समीकरण P_n(x)=0 में (1.)धन मूलों की संख्या P_n(x) में उसके गुणांकों के धन चिन्ह से ऋण तथा ऋण से धन के परिवर्तन की कुल संख्या से अधिक नहीं हो सकती। (2.)ऋण मूलों की संख्या P_n(-x) में उसके गुणांकों के धन चिन्ह से ऋण तथा ऋण से धन के परिवर्तन की कुल संख्या से अधिक नहीं हो सकती है। इस नियम को देकार्त चिन्ह नियम कहते हैं।

Q: प्रश्न:2.पुनरावृति विधि और उत्तरोत्तर सन्निकटन विधि में अन्तर स्पष्ट करें। (Differentiate Between Iteration Method and Successive Approximation Method):

उत्तर:(1.)उत्तरोत्तर सन्निकटन विधि,जैसे मिथ्या-स्थिति विधि,में हम एक अनुक्रम \left\langle x_n\right\rangle ज्ञात करते हैं जो एक सीमा \xi में अभिसरित होती है तथा जो सीमा समीकरण f(x)=0 को सन्तुष्ट करती है इसमें हम ऐसे प्रतिवर्तन सूत्र का (recursion formula) का प्रयोग करते हैं जो साधारण मान्यताओं द्वारा प्राप्त किया जाता है तथा किसी एक विशेष दिए हुए सम्बन्ध f(x)=0 पर निर्भर नहीं करता है। (2.)पुनरावृति विधि में हम ऐसे अनुक्रम \left\langle x_n\right\rangle ज्ञात करते हैं जो वांछित मान को अभिसरित होती है,लेकिन यहाँ हम जिस पुनरावृति सूत्र (iteration formula) का प्रयोग करते हैं वह सीधे दिए हुए सम्बन्ध f(x)=0 से चर x का स्पष्ट हल,प्राचलों तथा x के पदों से प्राप्त होता है।दूसरे शब्दों में हम समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते हैं: x=\phi(x)

Q: प्रश्न:3.पुनरावृति विधि में सन्निकटन मूल कैसे ज्ञात करते हैं? (How is the Approximation Root Determined by the Iteration Method?):

उत्तर:पहले हम लेखाचित्र या और किसी विधि से प्रारम्भिक सन्निकटन मान x ज्ञात करते हैं।इसे \phi(x) में प्रतिस्थापित कर अगला सन्निकटन ज्ञात करते हैं जो निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है: x_1=\phi(x_0) पुनः \phi(x) में x=x_1 प्रतिस्थापित कर अगला सन्निकटन x_2 ज्ञात करते हैं जो निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है: x_2=\phi(x_1) इसी प्रकार आगे भी उत्तरोत्तर सन्निकटन होंगे: x_3=\phi(x_2) \ldots \ldots \ldots \ldots x_n=\phi(x_{n-1}) इस प्रकार उत्तरोत्तर सन्निकटन की एक अनुक्रम \left\langle x_n\right\rangle प्राप्त होती है जो वांछित मूल को अभिसरित होती है। उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Iteration Method),मिथ्या-स्थिति विधि से बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Algebraic and Transcendental Equation by Regula-Falsi Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Mathematics Satyam January 7, 2025 Numerical Analysis No Comments

Contents hide

1 1.पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Iteration Method),मिथ्या-स्थिति विधि से बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Algebraic and Transcendental Equation by Regula-Falsi Method):

1.1 2.मिथ्या-स्थिति विधि द्वारा संख्यात्मक हल के उदाहरण (Numerical Solution by Regula-Falsi Method Illustrations):

1.2 3.पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल के उदाहरण (Numerical Solution by Iteration Method Illustrations):

1.2.1 4.पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Numerical Solution by Iteration Method):

1.2.2 5.पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Frequently Asked Questions Related to Numerical Solution by Iteration Method),मिथ्या-स्थिति विधि से बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Algebraic and Transcendental Equation by Regula-Falsi Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.3 प्रश्न:1.देकार्त का चिन्ह नियम क्या है? (What is Descarte’s Rule of Sign?):

1.2.4 प्रश्न:2.पुनरावृति विधि और उत्तरोत्तर सन्निकटन विधि में अन्तर स्पष्ट करें। (Differentiate Between Iteration Method and Successive Approximation Method):

1.2.5 प्रश्न:3.पुनरावृति विधि में सन्निकटन मूल कैसे ज्ञात करते हैं? (How is the Approximation Root Determined by the Iteration Method?):

1.2.5.1 Numerical Solution by Iteration Method

2 पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Iteration Method)

2.1 Numerical Solution by Iteration Method

1.पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Iteration Method),मिथ्या-स्थिति विधि से बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Algebraic and Transcendental Equation by Regula-Falsi Method):

Numerical Solution by Iteration Method

पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Iteration Method) के इस आर्टिकल में बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों के संख्यात्मक हल पुनरावृति विधि एवं मिथ्या-स्थिति विधि द्वारा ज्ञात करना सीखेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Bisection Method in Numerical Analysis

2.मिथ्या-स्थिति विधि द्वारा संख्यात्मक हल के उदाहरण (Numerical Solution by Regula-Falsi Method Illustrations):

Illustration:5.मिथ्या-स्थिति विधि द्वारा निम्न समीकरणों के सही तीन दशमलव स्थानों तक मूल ज्ञात कीजिए:
(Find the real root of the following equations correct to three decimal places by using Regular-Falsi method):
Illustration:5(ii). $x^2-\log _e x-12=0$
Solution: $x^2-\log _e x-12=0$
मान लो $f(x)=x^2-\log _e x-12=0 \\ \therefore f(3.5) =(3.5)^2-\log _e 3.5-12 \\ \approx 12.25-1.2527-12 \\ \Rightarrow f(3.5) \approx-1.0027 \\ f(3.7)=(3.7)^2-\log _e 3.7-12 \\ \approx 13.69-1.3083-12 \\ \Rightarrow f(3.7) \approx 0.3817$
f(x)=0 का एक मूल 3.5 तथा 3.7 के मध्य स्थित है।
मिथ्या-स्थिति का प्रतिवर्तन सूत्र हैः
$x_{n+1}=x_n-\frac{\left(x_n-x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)} \cdots(1)$
जहाँ प्रत्येक चरण के लिए $f\left(x_{n-1}\right) f\left(x_n\right) <0$
प्रथम सन्निकटन:
(1) में $n=2, x_1=3.5, f\left(x_1\right)=-1.0027 ,x_2=3.7, f\left(x_2\right)=0.3817$ रखने पर
$x_3=x_2-\frac{\left(x_2-x_1\right) f\left(x_2\right)}{f\left(x_2\right)-f \left(x_1\right)} \\ =3.7-\frac{(3.7-3.5)(0.3817)}{0.3817+1.0027} \\ =3.7-\frac{0.2 \times 0.3817}{1.3844} \\ =3.7-\frac{0.07634}{1.3844} \\ \approx 3.7-0.0551 \\ \Rightarrow x_3 \approx 3.6449$
अब $f(3.6449)=(3.6449)^2-\log _2 3.6449-12 \\ \approx 13.2853-1.2933-12 \\ \Rightarrow f(3.6449) \approx-0.008$
अतः मूल अन्तराल [3.6449,3.7] के मध्य स्थित होगा।
द्वितीय सन्निकटन
पुनः (1) में
$n=3, x_2=3.6449, f\left(x_2\right)=-0.008 ,x_3=3.7 , f\left(x_3\right)=0.3817$ रखने पर
$x_4=x_3-\frac{\left(x_3-x_2\right) f\left(x_3\right)}{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)} \\ =3.7-\frac{(3.7-3.6449)(0.3817)}{0.3817+0.008} \\ \approx 3.7-\frac{0.0551 \times 0.3817}{0.3897} \\ \approx 3.7-\frac{0.021}{0.3897} \\ \approx 3.7-0.0539 \\ \Rightarrow x_4 \approx 3.6461$
अतः अभीष्ट वास्तविक मूल लगभग 3.646 होगा।
Illustration:5(iii). $x \log _{10} x=1.2$
Solution: $x \log _{10} x=1.2$
मान लो $f(x)=x \log _{10} x-1.2=0 \\ f(2.7)=2.7 \log _{10} 2.7-1.2 \approx 1.1647-1.2 \\ \Rightarrow f(2.7) \approx-0.0353$
तथा $f(2.8)=2.8 \log _{10} 2.8-1.2 \\ \approx 1.2520-1.2 \\ \Rightarrow f(2.8) \approx 0.052$
f(x)=0 का एक मूल 2.7 तथा 2.8 के मध्य स्थित है।
मिथ्या-स्थिति का प्रतिवर्तन सूत्र हैः
$x_{n+1}=x_n-\frac{\left(x_n-x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)}$
जहाँ प्रत्येक चरण के लिए $f\left(x_{n-1}\right) f\left(x_n\right) <0$
प्रथम सन्निकटन:
(1) में $n=2, x_1=2.7, f\left(x_1\right)=-0.0353 ,x_2=2.8, f\left(x_2\right)=0.052$ रखने पर
$x_3=x_2-\frac{\left(x_2-x_1\right) f\left(x_2\right)}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)} \\ =2.8-\frac{(2.8-2.7)(0.652)}{0.052+0.0353} \\ =2.8-\frac{0.1 \times 0.052}{0.0873} \\ \approx 2.8-\frac{0.0052}{0.0873} \\ \approx 2.8-0.0595 \\ \Rightarrow x_3 \approx 2.7405 \\ f(2.7405)=2.7405 \log _{10} 2.7405-1.2 \\ \approx 1.1998-1.2 \\ f(2.7405) \approx-0.0002$
द्वितीय सन्निकटन:
पुनः (1) में
$n=3, x_2=2.7405, f\left(x_2\right)=-0.000 , x_3=2.8, f\left(x_3\right)=0.052 \\ x_4=x_3-\frac{\left(x_3-x_2\right) f\left(x_3\right)}{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)} \\ =2.8-\frac{(2.8-2.7405)(0.052)}{0.052+0.0002} \\ =2.8-\frac{0.0595 \times 0.052}{0.0533} \\ \approx 2.8-\frac{0.0031}{0.0552} \\ \approx 2.8-0.0594 \\ \Rightarrow x_4 \approx 2.7406$
अतः अभीष्ट वास्तविक मूल लगभग 2.7406 होगा।
Illustration:5(iv). $x^x=100$ ,four decimal places
Solution: $x^x=100$
मान लो $f(x)=x^x-100=0 \\ \because f(3.5)=(3.5)^{3.5}-100 \\ \approx 80.21178-100 \\ \Rightarrow f(3.5) \approx-19.78822$
तथा $f(3.6)=(3.6)^{3.6}-100 \\ \approx 100.62108-100 \\ \Rightarrow f(3.6) \approx 0.62108$
अतः f(x)=0 का एक मूल 3.5 व 3.6 के मध्य स्थित है।
मिथ्या-स्थिति का प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) हैः
$x_{n+1}=x_n-\frac{\left(x_n-x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)} \cdots(1)$
जहाँ प्रत्येक चरण के लिए $f\left(x_{n-1}\right) f\left(x_n\right) <0$
प्रथम सन्निकटन:
सूत्र (1) में
$n=2, x_1=3.5, f\left(x_1\right)=-19.78822 ,x_2=3.6, f\left(x_2\right)=0.62108$ रखने पर
$x_3=x_2-\frac{\left(x_2-x_1\right) f\left(x_2\right)}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)} \\ =3.6-\frac{(3.6-3.5)(0.62108)}{0.62108+19.78822} \\ =3.6-\frac{0.1 \times 0.62108}{20.4093} \\ =3.6-\frac{0.062108}{20.4093} \\ \approx 3.6-0.00304 \\ \Rightarrow x_3 \approx 3.59696$
अब $f\left(x_3\right) =(3.59696)^{3.59696}-100 \\ \approx 99.92592-100 \\ \Rightarrow f\left(x_3\right) \approx-0.07408$
अतः मूल अन्तराल [3.59696,3.6] में स्थित होगा।
पुनः (1) में
$n=3, x_2=3.59696, f\left(x_2\right)=-0.07408 ,x_3=3.6, f\left(x_3\right)=0.62108$ रखने पर
$x_4=x_3-\frac{\left(x_3-x_2\right) f\left(x_3\right)}{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)} \\ =3.6-\frac{(3.6-3.59696)(0.62108)}{0.621084+0.07408} \\ =3.6-\frac{0.00304 \times 0.62108}{0.69516} \\ \approx 3.6-\frac{0.00189}{0.69516} \\ \approx 3.6-0.00272 \\ \Rightarrow x_4 \approx 3.59728 \\ f\left(x_4\right)=(3.59728)^{3.59728}-100 \\ \approx 99.99885-100 \\ \Rightarrow f\left(x_4\right) \approx-0.115$
अतः मूल अन्तराल [3.59728,3.6] में स्थित होगा।
पुनः (1) में
$n=4, x_3=3.59728, f\left(x_3\right)=-0.115 , x_4 =3.6, f\left(x_4\right)=0.62108$ रखने परः
$x_5=x_4-\frac{\left(x_4-x_3\right) f\left(x_4\right)}{f\left(x_4\right)-f\left(x_3\right)} \\ =3.6-\frac{(3.6-3.59728) \times(0.62108)}{0.62108+0.115} \\ =3.6-\frac{0.00272 \times 0.62108}{0.73608} \\ \approx 3.6-\frac{0.00169}{0.73608} \\ \approx 3.6-0.00229 \\ \Rightarrow x_5 \approx 3.59771$
अतः चार दशमलव स्थानों तक वास्तविक मूल लगभग 3.5977 होगा।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Iteration Method),मिथ्या-स्थिति विधि से बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Algebraic and Transcendental Equation by Regula-Falsi Method) को समझ सकते हैं।

3.पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल के उदाहरण (Numerical Solution by Iteration Method Illustrations):

Illustration:6.पुनरावृति विधि द्वारा निम्न समीकरणों के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए:
(Find the real root of the following equations by iteration method):
Illustration:6(i). $e^{3 x}-3 x=0$
Solution: $e^{3 x}-3 x=0$
मान लो $f(x)=e^x-3 x$
तब $f(0)=e^0-3(0)=1$
तथा $f(1)=e^1-3(1)=-0.28171$
अतः समीकरण का मूल 0 तथा 1 के मध्य स्थित है जिसे ज्ञात करने के लिए समीकरण को $x=\phi(x)$ के रूप में निम्न प्रकार लिखते हैं:
अब यदि मूल का प्रारम्भिक सन्निकटन मान $x_{0}=0.5$ लें तथा $x_1, x_2, x_3,\cdots , x_n$ उत्तरोत्तर मान हों तो
$x=\frac{e^x}{3} \\ \Rightarrow x_1=\phi\left(x_0\right)=\frac{e^{0.5}}{3} \approx 0.54957 \\ x_2=\phi\left(x_1\right)= \frac{e^{0.54957}}{3} \approx 0.5775 \\ x_3=\phi\left(x_2\right)=\frac{e^{0.5775}}{3} \approx 0.59386 \\ x_4=\phi\left(x_3\right)=\frac{e^{0.59386}}{3} \approx 0.60366 \\ x_5=\phi\left(x_4\right)= \frac{e^{0.60366}}{3} \approx 0.60959 \\ x_6=\phi \left(x_5\right)=\frac{e^{0.60959}}{3} \approx 0.61323 \\ x_7= \phi\left(x_6\right)=\frac{e^{0.61323}}{3} \approx 0.61546 \\ x_8=\phi\left(x_7\right)= \frac{e^{0.61546}}{3} \approx 0.61683 \\ x_9=\phi\left(x_8\right)=\frac{e^{0.61683}}{3} \approx 0.61768 \\ x_{10}=\phi\left(x_9\right)=\frac{e^{0.61768}}{3} \approx 0.61820 \\ x_{11}=\phi\left(x_{10}\right)= \frac{e^{0.61820}}{3} \approx 0.61852 \\ x_{12}=\phi\left(x_{11}\right)=\frac{e^{0.61852}}{3} \approx 0.61872 \\ x_{13}=\phi\left(x_{12}\right)=\frac{e^{0.61872}}{3} \approx 0.61885 \\ x_{14}= \phi\left(x_{13}\right)= \frac{e^{0.61885}}{3} \approx 0.61893 \\ x_{15}=\phi\left(x_{14}\right)= \frac{e^{0.61893}}{3} \approx 0.61898 \\ x_{16}=\phi(x_{15})=\frac{e^{0.61898}}{3} \approx 0.61901$
अतः चार दशमलव स्थान तक मूल का मान 0.6190
Illustration:6(ii). $\tan x=x$
Solution: $\tan x=x$
मान लो $f(x)=\tan x-x$
तब $f(4.4)=\tan 4.4-4.4 \\ \approx \tan \left(\frac{4.4 \times 180 \times 7}{22}\right)-4.4 \\ \begin{array}{c} \tan (4.4 \text { रेडियन })=\tan 4.4 \times \frac{180}{\pi} \text { डिग्री } \\ =\tan \left(\frac{4.4 \times 180}{\frac{22}{7}} \text { डिग्री }\right) \\ =\tan \left(\frac{5544}{7} \text { डिग्री } \right)=\tan 252^{\circ} \end{array} \\ =\tan 252^{\circ}-4.4 \\ \approx 3.07768-4.4 \\ \Rightarrow f(4.4) \approx-1.32232$
इसी प्रकार
$f(4.5)=\tan (4.5 \text {रेडियन})-4.5 \\ =\tan \left(257.72^{\circ}\right)-4.5 \left[ \because 4.5 \text {रेडियन} =257.72^{\circ} \right] \\ \approx 4.59411-4.5 \\ \Rightarrow f(4.5) \approx 0.09411$
अतः समीकरण का मूल 4.4 तथा 4.5 के मध्य स्थित है जिसे ज्ञात करने के लिए समीकरण को $x=\phi(x)$ के रूप में निम्न प्रकार लिखते हैं:
$x=\tan x \\ \Rightarrow x=\phi(x)=\tan x \\ \phi^{\prime}(x)=\sec ^2 x$
अब यदि मूल का प्रारम्भिक सन्निकटन मान $x_{0}=4.495$ लें तथा $x_1, x_2,x_3,\cdots, x_n$ इसके उत्तरोत्तर मान हों तो
$x_1=\phi \left(x_0\right)=\tan \left(4.495 \text { रेडियन } \right) \approx 4.4903 \\ x_2=\phi \left(x_1\right)=\tan \left(4.4903 \text { रेडियन } \right) \approx 4.3929$
अतः चार दशमलव स्थान तक 4.4 व 4.5 के बीच मूल का वास्तविक मान 4.4903 होगा।

Numerical Solution by Iteration Method

Illustration:7.पुनरावृति विधि द्वारा समीकरण $2 x=\cos x+3$ का मूल सही तीन दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
(Find the root of the $2 x=\cos x+3$ equation correct to three decimal places by the method of iteration.)
Solution: $2 x=\cos x+3$
मान लो $f(x)=\cos x-2 x+3$
मान लो x=1.5 रेडियन= $\frac{1.5 \times 180}{3.1428}$ डिग्री
$\Rightarrow x=85.91^{\circ}$
f(1.5 रेडियन)= $\cos 85.91^{\circ}-2 \times 1.5+3$
$\Rightarrow$ f(1.5 रेडियन) $\approx 0.07132-3+3 \approx 0.07132$
x=1.6 रेडियन= $\frac{1.6 \times 180}{3.1428}=91.63^{\circ}$
f(1.6 रेडियन)= $\cos 91.63^{\circ}-2 \times 1.6+3 \\ \approx-0.0284-3.2+3$
$\Rightarrow$ f(1.6 रेडियन) $\approx -0.2284$
अतः समीकरण का मूल 1.5 तथा 1.6 के मध्य स्थित है जिसे ज्ञात करने के लिए समीकरण को $x=\phi (x)$ के रूप में निम्न प्रकार लिखते हैं:
$x=\frac{1}{2}(\cos x+3) \\ \phi(x)=\frac{1}{2}(\cos x+3) \\ \phi^{\prime}(x)=-\frac{1}{2} \sin x \\ \left|\phi^{\prime}(x)\right|=\frac{1}{2} |\sin x| < 1$
अतः पुनरावृति विधि से मान ज्ञात करना सम्भव है।
अब यदि मूल का प्रारम्भिक सन्निकटन मान $x_0=1.51$ लें तथा $x_1, x_2, x_3,\cdots , x_n$ इसके उत्तरोत्तर मान हों तो
$x_1=\phi\left(x_0\right)=\frac{1}{2}\left(\cos x_0+3\right) \\ =\frac{1}{2}(\cos (1.51 \text { रेडियन } )+3) \\ \approx \frac{1}{2}\left(\cos 86.4833^{\circ}+3\right) \\ \approx \frac{1}{2}(0.06159+3) \\ \Rightarrow x_1 \approx 1.530695 \\ x_2=\phi\left(x_1\right)=\frac{1}{2}(\cos 1.53069 \text { रेडियन }+3) \\ \approx \frac{1}{2}\left(\cos 87.6683^{\circ}+3\right) \\ \approx \frac{1}{2}(0.04068+3) \\ \Rightarrow x_2 \approx 1.52034 \\ x_3=\phi\left(x_2\right)=\frac{1}{2}(\cos 1.5203 \text{रेडियन} +3) \\ \approx \frac{1}{2}\left(\cos 87.0756^{\circ}+3\right) \\ \approx \frac{1}{2}(0.05102+3) \\ \Rightarrow x_3 \approx 1.52551 \\ x_4 =\phi\left(x_3\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \left(1.52551 \text { रेडियन}\right)+3\right] \\ \approx \frac{1}{2}\left(\cos 87.3717^{\circ}+3\right) \\ \approx \frac{1}{2}(0.04586+3) \\ \Rightarrow x_4 \approx 1.52293 \\ x_5=\phi \left(x_4\right)=\frac{1}{2}(\cos 1.52293 \text { रेडियन }+3) \\ \approx \frac{1}{2}\left(\cos 87.2239^{\circ}+3\right) \\ \approx \frac{1}{2}(0.04843+3) \\ \Rightarrow x_5 \approx 1.52422 \\ x_6=\phi\left(x_5\right)=\frac{1}{2}(\cos 1.52422 \text { रेडियन }+3) \\ \approx \frac{1}{2}\left(\cos 87.2978^{\circ}+3\right) \\ \approx \frac{1}{2}(0.04714+3) \\ \Rightarrow x_6 \approx 1.52357$
अतः तीन दशमलव स्थान तक मूल का वास्तविक मान 1.524 होगा।
Illustration:8.x=0.12 से प्रारम्भ करके पुनरावृति विधि द्वारा समीकरण $x=0.21 \sin (0.5+x)$ को हल कीजिए।
(Starting with x=0.12,solve $x=0.21 \sin (0.5+x)$ by using iteration method.)
Solution: $x=0.21 \sin (0.5+x)$
माना $f(x)=0.21 \sin (0.5+x)-x \\ f^{\prime}(x)=0.21 \cos (0.5+x)-1 \\ \Rightarrow \left|f^{\prime}(x)\right|=|0.21 \cos (0.5+x)-1| < 1$
अतः पुनरावृति विधि से मान ज्ञात करना सम्भव है।
अब समीकरण का मूल 0.12 से प्रारम्भ करके ज्ञात करने के लिए समीकरण को $x=\phi(x)$ के रूप में निम्न प्रकार लिखते हैं:
$x=\phi(x)=6.21 \sin (0.5+x)$
प्रारम्भिक मान $x_0=0.12$ लें तथा $x_1, x_2, x_3, x_4,\cdots, x_n$ इसके उत्तरोत्तर मान हों तो:
$x_1=\phi\left(x_0\right)=0.21 \sin (0.5+0.12)$ रेडियन
$\approx 0.21 \sin$ (0.62 रेडियन)
$\approx 0.21 \sin 35.5097^{\circ}$ [0.62 रेडियन= $\frac{0.62 \times 180}{3.1428}$ डिग्री]
$\approx 0.21 \times 0.58084 \\ \approx 0.121976 \\ \Rightarrow x_1 \approx 0.1220 \\ x_2=\phi\left(x_1\right)=0.21 \sin (0.5+6.122)$ रेडियन
= $0.21 \sin (0.622)$ रेडियन
$\approx 0.21 \sin 35.6243^{\circ}$ [0.622 रेडियन= $\frac{0.622 \times 180}{3.1428}$ =35.6243° डिग्री]
$\approx 0.21 \times 0.58247 \\ \Rightarrow x_2 \approx 0.12232 \\ x_3=\phi\left(x_2\right)=0.21 \sin (0.5+0.12232)$ रेडियन
$\approx 0.21 \sin 0.62232$ रेडियन
[0.62232 = $\frac{0.62232 \times 180}{3.1428} =35.6426^{\circ}$ रेडियन]
$\approx 0.21 \sin 35.6426^{\circ} \\ \approx 0.21 \times 0.58273 \\ \approx 0.12237 \\ \Rightarrow x_3 \approx 0.1224 \\ x_4=\phi\left(x_3\right)=0.21 \sin (0.5+0.1224)$ रेडियन
= $0.21 \sin 0.6224$ रेडियन
[0.6224 = $\frac{0.6224 \times 180}{3.1428}=35.6472^{\circ}$ रेडियन]
$\approx 0.21 \sin 35.6472^{\circ} \\ \approx 0.21 \times 0.58279 \\ \approx 0.12239 \\ \Rightarrow x_4 \approx 0.12239$
अतः चार दशमलव तक मूल का वास्तविक मान लगभग 0.1240 होगा।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Iteration Method),मिथ्या-स्थिति विधि से बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Algebraic and Transcendental Equation by Regula-Falsi Method) को समझ सकते हैं।

4.पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Numerical Solution by Iteration Method):

Numerical Solution by Iteration Method

(1.)पुनरावृति विधि द्वारा समीकरण $x^3-2 x^2-4=0$ का वास्तविक मूल सही तीन दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
(Find the real root of the equation $x^3-2 x^2-4=0$ correct to three places of decimals by iteration method):
(2.)पुनरावृति विधि द्वारा समीकरण $3 x-\log _{10} x=6$ मूल सही पाँच दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
(Find by iteration method,the real root of the equation $3 x-\log _{10} x=6$ ,correct to five significant figures):
उत्तर (Answers):(1.)2.594 (2.)2.10795
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Iteration Method),मिथ्या-स्थिति विधि से बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Algebraic and Transcendental Equation by Regula-Falsi Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Euler-Maclaurin Summation Formula

5.पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Frequently Asked Questions Related to Numerical Solution by Iteration Method),मिथ्या-स्थिति विधि से बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Algebraic and Transcendental Equation by Regula-Falsi Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.देकार्त का चिन्ह नियम क्या है? (What is Descarte’s Rule of Sign?):

उत्तर:किसी भी बीजीय समीकरण $P_n(x)=0$ में
(1.)धन मूलों की संख्या $P_n(x)$ में उसके गुणांकों के धन चिन्ह से ऋण तथा ऋण से धन के परिवर्तन की कुल संख्या से अधिक नहीं हो सकती।
(2.)ऋण मूलों की संख्या $P_n(-x)$ में उसके गुणांकों के धन चिन्ह से ऋण तथा ऋण से धन के परिवर्तन की कुल संख्या से अधिक नहीं हो सकती है।
इस नियम को देकार्त चिन्ह नियम कहते हैं।

प्रश्न:2.पुनरावृति विधि और उत्तरोत्तर सन्निकटन विधि में अन्तर स्पष्ट करें। (Differentiate Between Iteration Method and Successive Approximation Method):

उत्तर:(1.)उत्तरोत्तर सन्निकटन विधि,जैसे मिथ्या-स्थिति विधि,में हम एक अनुक्रम $\left\langle x_n\right\rangle$ ज्ञात करते हैं जो एक सीमा $\xi$ में अभिसरित होती है तथा जो सीमा समीकरण f(x)=0 को सन्तुष्ट करती है इसमें हम ऐसे प्रतिवर्तन सूत्र का (recursion formula) का प्रयोग करते हैं जो साधारण मान्यताओं द्वारा प्राप्त किया जाता है तथा किसी एक विशेष दिए हुए सम्बन्ध f(x)=0 पर निर्भर नहीं करता है।
(2.)पुनरावृति विधि में हम ऐसे अनुक्रम $\left\langle x_n\right\rangle$ ज्ञात करते हैं जो वांछित मान को अभिसरित होती है,लेकिन यहाँ हम जिस पुनरावृति सूत्र (iteration formula) का प्रयोग करते हैं वह सीधे दिए हुए सम्बन्ध f(x)=0 से चर x का स्पष्ट हल,प्राचलों तथा x के पदों से प्राप्त होता है।दूसरे शब्दों में हम समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते हैं: $x=\phi(x)$

प्रश्न:3.पुनरावृति विधि में सन्निकटन मूल कैसे ज्ञात करते हैं? (How is the Approximation Root Determined by the Iteration Method?):

उत्तर:पहले हम लेखाचित्र या और किसी विधि से प्रारम्भिक सन्निकटन मान x ज्ञात करते हैं।इसे $\phi(x)$ में प्रतिस्थापित कर अगला सन्निकटन ज्ञात करते हैं जो निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$x_1=\phi(x_0)$
पुनः $\phi(x)$ में $x=x_1$ प्रतिस्थापित कर अगला सन्निकटन $x_2$ ज्ञात करते हैं जो निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$x_2=\phi(x_1)$
इसी प्रकार आगे भी उत्तरोत्तर सन्निकटन होंगे:
$x_3=\phi(x_2) \ldots \ldots \ldots \ldots x_n=\phi(x_{n-1})$
इस प्रकार उत्तरोत्तर सन्निकटन की एक अनुक्रम $\left\langle x_n\right\rangle$ प्राप्त होती है जो वांछित मूल को अभिसरित होती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Iteration Method),मिथ्या-स्थिति विधि से बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Algebraic and Transcendental Equation by Regula-Falsi Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

No.	Social Media	Url
1.	Facebook	click here
2.	you tube	click here
3.	Instagram	click here
4.	Linkedin	click here
5.	Facebook Page	click here
6.	Twitter	click here

Numerical Solution by Iteration Method

पुनरावृत्ति विधि द्वारा संख्यात्मक हल
(Numerical Solution by Iteration Method)