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Rational Numbers and Decimal Expansion

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1 1.परिमेय संख्याएँ और दशमलव प्रसार (Rational Numbers and Decimal Expansion),परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनर्भ्रमण (Revisiting Rational Numbers and Their Decimal Expansions):
1.2 3.परिमेय संख्याएँ और दशमलव प्रसार के सवाल (Rational Numbers and Decimal Expansion Questions):

1.परिमेय संख्याएँ और दशमलव प्रसार (Rational Numbers and Decimal Expansion),परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनर्भ्रमण (Revisiting Rational Numbers and Their Decimal Expansions):

परिमेय संख्याएँ और दशमलव प्रसार (Rational Numbers and Decimal Expansion) से तात्पर्य है कि परिमेय संख्याओं के या तो सांत दशमलव प्रसार (Terminating Decimal Expansions) होते हैं या फिर असांत आवर्ती (Non-Terminating Repeating) दशमलव प्रसार होते हैं।

(i)0.375=\frac{375}{1000}=\frac{375}{10^{3}}
(ii)0.104=\frac{104}{1000}=\frac{104}{10^{3}}
(iii)0.0875=\frac{875}{10000}=\frac{875}{10^{4}}
(iv)23.3408=\frac{233408}{10000}=\frac{233408}{10^{4}}

इन सभी को ऐसी परिमेय संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसका हर 10 की कोई घात होगा।अंश व हर में उभयनिष्ठ गुणनखण्ड को हटाने पर उपर्युक्त संख्याओं का निम्न रूप प्राप्त होता है:

(i)0.375=\frac{375}{10^{3}}=\frac{3 \times 5^{3}}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{3}{2^{3}}
(ii)0.104=\frac{10^{4}}{10^{3}}=\frac{13 \times 2^{3}}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{13}{5^{3}} 
(iii)0.0875=\frac{875}{10^{4}}=\frac{7}{2^{4} \times 5}
(iv) 23.3408=\frac{233408}{10^{4}}=\frac{2^{2} \times 7 \times 521}{5^{4}}
ऐसा प्रतीत होता है कि हमने उस वास्तविक संख्या को जिसका दशमलव प्रसार एक सांत दशमलव है, एक \frac{p}{q} के रूप की परिमेय संख्या में बदल लिया है जहाँ p और q सहअभाज्य हैं तथा हर (अर्थात् q) में केवल 2 की घातें या 5 की घातें या दोनों की घातें हैं।हमें हर इसी प्रकार का दिखना चाहिए क्योंकि 10 की घातों में केवल 2 और 5 की घातें ही गुणनखण्ड के रूप में होगी।
प्रमेय (Theorem):1.मान लीजिए x एक ऐसी परिमेय संख्या है जिसका दशमलव प्रसार सांत है।तब x को \frac{p}{q} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ p और q सहअभाज्य हैं तथा q का अभाज्य गुणनखण्डन 2^{n}5^{m} के रूप का है जहाँ n,m ऋणेतर पूर्णांक हैं।
हमारे पास परिमेय संख्या \frac{p}{q} के रूप की है तथा q का अभाज्य गुणनखण्डन 2^{n}5^{m} के रूप का है जहाँ n और m ऋणेतर पूर्णांक हैं तो

(i)\frac{3}{8}=\frac{3}{2^{3}}=\frac{3 \times 5^{3}}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{375}{10^{3}}=0.375
(ii)\frac{13}{125}=\frac{13}{5^{3}}=\frac{13 \times 2^{3}}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{104}{10^{3}}=0.104
(iii) \frac{7}{80}=\frac{7}{2^{4} \times 5}=\frac{7 \times 5^{3}}{2^{4} \times 5^{4}}=\frac{875}{10^{4}}=0.0875
(iv) \frac{14588}{625}=\frac{2^{2} \times 7 \times 521}{5^{4}}=\frac{2^{6} \times 7 \times 521}{2^{4} \times 5^{4}}=\frac{233408}{10^{4}}=23.3408
अतः ये उदाहरण यह दर्शाते हैं कि किस प्रकार के रूप की एक परिमेय संख्या जहाँ q,2^{n}5^{m} के रूप का है, को \frac{a}{b} के ऐसे तुल्य परिमेय संख्या में बदला जा सकता है,जहाँ b,10 की कोई घात है।अतः इस प्रकार की परिमेय संख्या का एक सांत दशमलव प्रसार होगा।
प्रमेय (Theorem):2.मान लीजिए x=\frac{p}{q} एक परिमेय संख्या इस प्रकार की है कि q,2^{n}5^{m} के रूप का है जहाँ n और m ऋणेतर हैं।तब x का दशमलव प्रसार सांत होता है।
प्रमेय (Theorem):3.मान लीजिए x=\frac{p}{q} एक परिमेय संख्या इस प्रकार की है कि q का अभाज्य गुणनखण्डन 2^{n}5^{m} के रूप का नहीं है जहाँ n,m ऋणेतर पूर्णांक है।तब x का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।
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2.परिमेय संख्याएँ और दशमलव प्रसार के साधित उदाहरण (Rational Numbers and Decimal Expansion Examples):

Example:1.बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं:
(i)\frac{13}{3125} 
Solution:\frac{13}{3125} \\ \begin{array}{c|c} 5 & 3125 \\ \hline 5 & 625 \\ \hline 5 & 125 \\ \hline 5 & 25 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \end{array}\\ \frac{13}{3125} \\=\frac{13}{3125}=\frac{13}{5^{5}}=\frac{13}{2^{0} \times 5^{5}} 
अतः परिमेय संख्या का हर 2^{n}5^{m} के रूप का है।
फलतः \frac{13}{3125}  का दशमलव प्रसार सांत है।
(ii)\frac{17}{8}
Solution:\frac{17}{8} \\ \frac{17}{2^{3}}=\frac{17}{2^{3} \times 5^{0}}
अतः परिमेय संख्या का हर 2^{n}5^{m} के रूप का है।
फलतः \frac{17}{8} का दशमलव प्रसार सांत है।
(iii)\frac{64}{455}
Solution:\frac{64}{455} \\ =\frac{2^{6}}{5 \times 7 \times 13}
अतः परिमेय संख्या का हर 2^{n}5^{m} के रूप का नहीं है।
फलतः \frac{64}{455} का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(iv)\frac{15}{1600}
Solution:\frac{15}{1600} \\ =\frac{3 \times 5}{2^{6} \times 5^{2}}
अतः परिमेय संख्या का हर 2^{n}5^{m} के रूप का है।
फलतः \frac{15}{1600} का दशमलव प्रसार सांत है।
(v)\frac{29}{343}
Solution:\frac{29}{343} \\ =\frac{29}{7^{3}}
अतः परिमेय संख्या का हर 2^{n}5^{m} के रूप का नहीं है।
फलतः \frac{29}{343} का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(vi)\frac{23}{2^{3} 5^{2}}
Solution:\frac{23}{2^{3} 5^{2}}
अतः परिमेय संख्या का हर 2^{n}5^{m} के रूप का है।
फलतः \frac{23}{2^{3} 5^{2}} का दशमलव प्रसार सांत है।
(vii)\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}
Solution:\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}
अतः परिमेय संख्या का हर 2^{n}5^{m} के रूप का नहीं है।
फलतः \frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}} का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(viii)\frac{6}{15}
Solution:\frac{6}{15} \\ = \frac{2 \times 3}{3 \times 5} \\ = \frac{2}{5} \\ = \frac{2}{2^{0} \times 5^{0}}
अतः परिमेय संख्या का हर 2^{n}5^{m} के रूप का है।
फलतः \frac{6}{15} का दशमलव प्रसार सांत है।
(ix)\frac{36}{50}
Solution:\frac{36}{50} \\ = \frac{2^{2} \times 3^{2}}{2 \times 5^{2}} \\ = \frac{2 \times 3^{2}}{2^{0} \times 5^{2}}
अतः परिमेय संख्या का हर 2^{n}5^{m} के रूप का है।
फलतः \frac{36}{50} का दशमलव प्रसार सांत है।
(x)\frac{77}{210}
Solution:\frac{77}{210} \\ =\frac{7 \times 11}{2 \times 3 \times 5 \times 7} \\ =\frac{11}{2 \times 3 \times 5}
अतः परिमेय संख्या का हर 2^{n}5^{m} के रूप का नहीं है।
फलतः \frac{77}{210} का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

Example:2.ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत है।
(i)\frac{13}{3125}
Solution:\frac{13}{3125}
=\frac{13}{5^{5}} का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव के रूप में परिवर्तित करने के लिए हर को 10 की घात में परिवर्तित करने के लिए अंश व हर को 2^{5} से गुणा करने पर:

\frac{13 \times 2^{5}}{2^{5} \times 5^{5}}=\frac{416}{(10)^{5}}=0.00416
अतः का दशमलव प्रसार 0.00416 है।
(ii)\frac{17}{8}
Solution:\frac{17}{8}
=\frac{17}{2^{3}} का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव के रूप में परिवर्तित करने के लिए हर को 10 की घात में परिवर्तित करने के लिए अंश व हर को 5^{3} से गुणा करने पर:

=\frac{17 \times 5^{3}}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{2125}{10^{3}}=2.125
अतः \frac{17}{8} का दशमलव प्रसार 2.125 है।
(iv)\frac{15}{1600}
Solution:\frac{15}{1600}\\ =\frac{15}{2^{6} \times 5^{2}}
\frac{15}{2^{6} \times 5^{2}} का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव के रूप में परिवर्तित करने के लिए हर को 10 की घात में परिवर्तित करने के लिए अंश व हर को 5^{4} से गुणा करने पर:

=\frac{15 \times 5^{4}}{2^{6} \times 5^{6}}=\frac{9375}{10^{6}}=0.009375
अतः \frac{15}{1600} का दशमलव प्रसार 0.009375 है।
(vi)\frac{23}{2^{3}5^{2}}
Solution:\frac{23}{2^{3}5^{2}}
\frac{23}{2^{3}5^{2}} का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव के रूप में परिवर्तित करने के लिए हर को 10 की घात में परिवर्तित करने के लिए अंश व हर को 5 से गुणा करने पर:

=\frac{23 \times 5}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{115}{10^{3}}=0.115
अतः \frac{23}{2^{3}5^{2}} का दशमलव प्रसार 0.115 है।
(viii)\frac{6}{15}
Solution:\frac{6}{15} \\ =\frac{2}{5}
\frac{2}{5} का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव के रूप में परिवर्तित करने के लिए हर को 10 की घात में परिवर्तित करने के लिए अंश व हर को 2 से गुणा करने पर:

= \frac{2 \times 2}{2 \times 5} =\frac{4}{10}=0.4
अतः \frac{6}{15} का दशमलव प्रसार 0.4 है।
(ix)\frac{35}{50}
Solution:\frac{35}{50}=\frac{7}{10}=0.7
अतः \frac{35}{50} का दशमलव प्रसार सांत तथा 0.7 है।
Example:3.कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं।प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय है या नहीं।यदि यह परिमेय संख्या है और के रूप की है तो q के अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
(i)43.123456789
Solution:43.123456789

=\frac{43123456789}{1000000000} \\ =\frac{43123456789}{2^{9} \times 5^{9}}
यह \frac{p}{q} के रूप की है।अतः परिमेय संख्या है।

q=2^{9} \times 5^{9}
अतः q के अभाज्य गुणनखण्ड q=2^{9} \times 5^{9}  अर्थात् 2^{n}5^{n} के रूप के हैं।
(ii)1.120112001120001120000…
Solution:1.120112001120001120000…
इस संख्या का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती है और इसे \frac{p}{q} के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
अतः यह संख्या परिमेय संख्या नहीं है।
(iii)43.\overline{123456789}
Solution:43.\overline{123456789}
माना x=43.123456789123456789123456789…. ….(1)
दोनों पक्षों को 1000000000 से गुणा करने पर:
1000000000 x=43123456789.123456789123456789123456789….. ….(2)

समीकरण (2) मे  (1) घटाने पर : 

999999999 x=43123456746

\Rightarrow  x=\frac{43123456746}{999999999} 
इस संख्या का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है और इसे \frac{p}{q} के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।
q के अभाज्य गुणनखण्ड 3 तथा 37 के अतिरिक्त अभाज्य धन पूर्णांक सम्भव है।अतः q के गुणनखण्ड 2^{n}5^{m} के रूप का नहीं है।
अतः दी गई संख्या परिमेय संख्या है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिमेय संख्याएँ और दशमलव प्रसार (Rational Numbers and Decimal Expansion),परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनर्भ्रमण (Revisiting Rational Numbers and Their Decimal Expansions) को समझ सकते हैं।

3.परिमेय संख्याएँ और दशमलव प्रसार के सवाल (Rational Numbers and Decimal Expansion Questions):

(1.)संख्या \frac{3}{625} का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती?इसे दशमलव रूप में लिखिए।
(2.)34.12345 परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखण्ड के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
उत्तर (Answers):(1.)दशमलव प्रसार सांत है।0.0048
(2.)दशमलव प्रसार सांत है तथा हर के गुणनखण्ड के रूप के हैं।
उपर्युक्त सवालों को हर करने पर परिमेय संख्याएँ और दशमलव प्रसार (Rational Numbers and Decimal Expansion),परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनर्भ्रमण (Revisiting Rational Numbers and Their Decimal Expansions) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.परिमेय संख्याएँ और दशमलव प्रसार (Rational Numbers and Decimal Expansion),परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनर्भ्रमण (Revisiting Rational Numbers and Their Decimal Expansions) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.परिमेय संख्याओं के सांत या असांत आवर्ती की पहचान क्या है? (What is the identity of the terminating or non-terminating recurring of the rational numbers?):

उत्तर:यदि संख्या को \frac{p}{q} के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है जहां p तथा q सहअभाज्य हैं तथा हर (अर्थात् q) में केवल 2 की घातें या 5 की घातें हैं या दोनों की घातें हैं तो परिमेय संख्या सांत है।यदि 2 या 5 या दोनों के अतिरिक्त अन्य अभाज्य संख्या है अर्थात् हर 2^{n}5^{n} के रूप का नहीं है तो परिमेय संख्या असांत आवर्ती होती है।

प्रश्न:2.सांत परिमेय संख्याओं को दशमलव प्रसार में कैसे परिवर्तित करते हैं? (How do the terminating rational numbers convert into decimal expansion?):

उत्तर:हर को 10 की घात में परिवर्तित करते हैं। इसके लिए 2 या 5 की किसी घात से अंश व हर को गुणा करना पड़ सकता है।हर को 10 की घात में परिवर्तित करने के बाद 10 की जितनी घात होती है उतने अंश (Numerator) के अंको से पहले दशमलव लगाकर दशमलव प्रसार में परिवर्तित कर लिया जाता है।

प्रश्न:3.असांत आवर्ती परिमेय संख्या की पहचान क्या है? (What is the identity of the non-terminating repeating rational numbers?):

उत्तर:यदि \frac{p}{q} रूप की परिमेय संख्या इस प्रकार की है कि q का अभाज्य गुणनखंडन 2^{n}5^{m} के रूप का नहीं है जहां n,m ऋणेतर पूर्णांक है।तब \frac{p}{q} का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

प्रश्न:4.सांत परिमेय संख्या के हर के गुणनखंडन के बारे में क्या कह सकते हैं? (What can we say about the prime factor of denominator of the terminating rational numbers?):

उत्तर:सांत परिमेय संख्या \frac{p}{q} में हर q के अभाज्य गुणनखंडन 2^{n}5^{m} के रूप का होता है।यदि हर में 2 या 5 या दोनों के अतिरिक्त अन्य अभाज्य गुणनखंडन मौजूद है तो वह सांत परिमेय संख्या नहीं होती है बल्कि असांत अनावर्ती परिमेय संख्या होती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा परिमेय संख्याएँ और दशमलव प्रसार (Rational Numbers and Decimal Expansion),परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनर्भ्रमण (Revisiting Rational Numbers and Their Decimal Expansions) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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परिमेय संख्याएँ और दशमलव प्रसार
(Rational Numbers and Decimal Expansion)

Rational Numbers and Decimal Expansion

परिमेय संख्याएँ और दशमलव प्रसार (Rational Numbers and Decimal Expansion) से तात्पर्य है कि
परिमेय संख्याओं के या तो सांत दशमलव प्रसार (Terminating Decimal Expansions) होते हैं या फिर
असांत आवर्ती (Non-Terminating Repeating) दशमलव प्रसार होते हैं।

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