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Method of detecting singularities

1.विचित्रताओं को पहचानने की विधियां का परिचय (Introduction to Method of detecting singularities )-

विचित्रताओं  को पहचानने की विधियां (Method of detecting singularities ) में विचित्रताओं के प्रकार,उनकी परिभाषा व पहचानने का अध्ययन करेंगे।कुछ फलन जिन बिंदुओं पर विश्लेषिक नहीं होते हैं,इस प्रकार के बिन्दुओं को विचित्र बिन्दु कहते हैं।
(1.)विश्लेषिक फलन की वियुक्त विचित्रताएं (Isolated singularities of an analytic function)-
परिभाषा:फलन f(z) के बिन्दु z=a वियुक्त विचित्रता या वियुक्त विचित्र बिन्दु है यदि हम ऐसी संख्या ज्ञात कर सकते हों कि प्रतिवेश |z-a|<\delta में a के अतिरिक्त अन्य कोई विचित्र बिन्दु नहीं है।यदि इस प्रकार का |\delta ज्ञात नहीं किया जा सके तो हम z=a को अवियुक्त विचित्रता कहते हैं।
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2.विचित्रता के प्रकार (kinds of singularities)-

मान लें कि फलन f(z) बिन्दु z=a जो कि फलन की वियुक्त विचित्रता है,के अतिरिक्त प्रान्त G में विश्लेषिक है।इस प्रकार f(z) धनात्मक वास्तविक संख्या r>0 के लिए निष्कासित प्रतिवेश 0<|z-a|<r में विश्लेषिक है। अतः लौरां प्रमेय के अनुसार

f\left( z \right) =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n } } { (z-a) }^{ n }+\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n } } { (z-a) }^{ -n }…..(1)
उपर्युक्त के दांये पक्ष में दूसरा भाग फलन f(z) का z=a पर मुख्य भाग (principal part) कहलाता है।इस मुख्यभाग के रूप की तीन संभावनाएं हैं।
(a) मुख्यभाग में कोई पद न हो
(b) मुख्यभाग में अशून्य गुणांकों वाले पदों की संख्या सीमित हो
(c) मुख्य भाग में अनन्त पद हों
(1.)अपनेय विचित्रता (Removable singularity)-
यदि मुख्यभाग में कोई पद नहीं है अर्थात् (z-a) की सभी ऋणात्मक घातों के गुणांक, { b }_{ n }शून्य है तो बिन्दु z=a फलन की कृत्रिम विचित्रता है तथा इसे अपनेय विचित्रता कहते हैं।
(2.)अनंतक (Pole)-
यदि फलन के लौरां प्रसार के मुख्यभाग में पदों की संख्या सीमित अर्थात् n>m के लिए { b }_{ n }=0 ({ b }_{ m } अन्तिम अशून्य गुणांक है) तथा इस स्थिति में

f\left( z \right) =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n } } { (z-a) }^{ n }+\sum _{ n=1 }^{ m }{ { b }_{ n } } { (z-a) }^{ -n }
उपर्युक्त अवस्था में बिन्दु z=a फलन f(z) का m कोटि का अनंतक कहलाता है।कोटि 1 तथा कोटि 2 के अनंतकों को क्रमशः एक घात अनंतक या साधारण अनंतक एवं द्विक-अनंतक कहते हैं।
(3.) अनिवार्य विचित्रता (Essential singularity)-
बिन्दु z=a के निष्कासित प्रतिवेश में फलन f(z) के लौरां प्रसार के मुख्यभाग में यदि अनन्त पद है तो z=a फलन f(z) की अनिवार्य विचित्रता है।

3.विचित्रताओं की अन्य विशेषताएं (Other features of singularities)-

(1.)अपनेय विचित्रता (Removable singularity)-
यदि एकमानी फलन f(z),बिन्दु z=a पर परिभाषित नहीं है लेकिन \underset { z\rightarrow a }{ Lim } f\left( z \right) परिमित रूप से विद्यमान हो तो z=a अपनेय विचित्रता है।
(2.)अनन्तक (pole)-
यदि एक ऐसा धनात्मक पूर्णांक n विद्यमान हो कि \underset { z\rightarrow a }{ Lim } { (z-a) }^{ n }f\left( z \right) =\lambda \neq 0 तब बिन्दु z=a फलन f(z) का n कोटि का अनंतक कहलाता है।
(3.) अनिवार्य विचित्रता (Essential singularity)-
यदि n का कोई ऐसा परिमित मान का अस्तित्व नहीं हो कि \underset { z\rightarrow a }{ Lim } { (z-a) }^{ n }f\left( z \right) एक अशून्य परिमित अचर प्राप्त हो तो z=a फलन f(z) की अनिवार्य विचित्रता कहलाती है।

4.विचित्रताओं को पहचानने की विधियां (Method of detecting singularities )-

(1.)अपनेय विचित्रता (Removable singularity)-
यदि एकमानी फलन f(z) बिन्दु z=a पर परिभाषित नहीं है लेकिन \underset { z\rightarrow a }{ Lim } f\left( z \right) \neq \infty विद्यमान है,तब z=a पर अपनेय विचित्रता है।
(2.)अनंतक (pole)-
(a)यदि\underset { z\rightarrow a }{ Lim } f\left( z \right) =\infty ,तो z=a,f(z) का अनंतक है।
(b)यदि f(z) के लौरां प्रसार के मुख्यभाग में परिमित पद हैं।माना कि इसमें n पद है अर्थात् \frac { 1 }{ { (z-a) }^{ n } } का गुणांक शून्य नहीं है,तो z=a ,n कोटि का अनंतक होगा।
(3.) अनिवार्य विचित्रता (Essential singularity)-
(a)यदि \underset { z\rightarrow a }{ Lim } f\left( z \right) विद्यमान नहीं हो तो z=a अनिवार्य विचित्रता होती है।
(b)यदि f(z) के लौरां प्रसार में पदों की संख्या अनन्त हो तो अनिवार्य विचित्रता होती है।
(4.)अनन्त पर विचित्रता (similarity at infinity)-
यहां फलन f(z) में z=\frac { 1 }{ \omega } लिखकर f\left( { \omega }^{ -1 } \right) =g\left( \omega \right) प्राप्त करें अब f(z) का z=\infty पर विचित्रता का स्वभाव g(w) का w=0 पर विचित्रता विश्लेषण के समान होगा।

(5.) वियुक्त अनिवार्य विचित्रता (Isolated essential singularity)-
 शून्यों  का सीमा बिन्दु (Limit point of zeros)
(6.) अवियुक्त अनिवार्य विचित्रता (Non-isolated essential singularity)-
अनन्तकों का सीमा बिन्दु (Limit point of poles)

5.विचित्रताओं को पहचानने की विधियां (Method of detecting singularities ) पर आधारित सवाल-

निम्न फलनों की विचित्रता की जाति ज्ञात कीजिए
(Find the kind of singularity of the following questions)
Question-1.z=\infty पर zcosecz

Solution-zcosecz\\ \frac { z }{ \sin { z } } \\ f\left( z \right) =\frac { z }{ \sin { z } } \quad \\ \Rightarrow \sin { z } =0\\ \Rightarrow z=n\pi \quad \quad ,n\epsilon I
अतः z=\infty अनंतकों का सीमा बिन्दु है। अतः अवियुक्त अनिवार्य विचित्रता है।
Question-2. z=-2 पर(z-3)\sin { \frac { 1 }{ (z+2) } } की
Solutionf\left( z \right) =(z-3)\sin { \frac { 1 }{ (z+2) } }
f(z)=0 से-

(z-3)\sin { \frac { 1 }{ (z+2) } } =0\\ \Rightarrow z=3,\quad \sin { \frac { 1 }{ (z+2) } } =0\\ \sin { \frac { 1 }{ (z+2) } } =0\\ \sin { n\pi } =\sin { \frac { 1 }{ (z+2) } } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ (z+2) } =n\pi \\ \frac { 1 }{ n\pi } =(z+2)\\ \Rightarrow z=\frac { 1 }{ n\pi } -2,n=0,1,2,3,4.......

शून्यकों का सीमा बिन्दु z=-2
z=-2 वियुक्त अनिवार्य विचित्रता है।

Question-3.z=0 पर \frac { z-\sin { z } }{ { z }^{ 3 } } की
Solutionf\left( z \right) =\frac { z-\sin { z } }{ { z }^{ 3 } } \\ f\left( z \right) =\frac { 1 }{ { z }^{ 3 } } \left\{ z-(z-\frac { { z }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { z }^{ 5 } }{ 5! } -........ \right\} \\ =\frac { { z }^{ 3 } }{ { z }^{ 3 } } \left\{ \frac { 1 }{ 3! } -\frac { { z }^{ 2 } }{ 5! } +........ \right\} \\ =\left\{ \frac { 1 }{ 3! } -\frac { { z }^{ 2 } }{ 5! } +........ \right\} \\ \underset { z\rightarrow 0 }{ Lim } f\left( z \right) =\frac { 1 }{ 3! } (जो परिमित रूप से विद्यमान है)
विचित्रता z=0, फलन f(z) की अपनेय विचित्रता है।

Question-4. \frac { \sin { z } }{ { (z-\pi ) }^{ 2 } } की z=0 पर
Solution-f\left( z \right) =\frac { \sin { z } }{ { (z-\pi ) }^{ 2 } }
विचित्रताएं ज्ञात करने हेतु { (z-\pi ) }^{ 2 }=0\\ z=\pi दो घात का अनंतक है।
Question-5. \sin { (\frac { 1 }{ z } ) } की z=0 पर
Solution-f\left( z \right) =\sin { (\frac { 1 }{ z } ) } \\ \sin { (\frac { 1 }{ z } ) } =0\\ \sin { (\frac { 1 }{ z } ) } =\sin { (n\pi ) } \\ n\pi =\frac { 1 }{ z } \\ z=\frac { 1 }{ n\pi } ,\quad \quad n\epsilon I
z=0,शून्यकों का सीमा बिन्दु है।
अतः वियुक्त अनिवार्य विचित्रता है।

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