1.ग्रुप समाकारिता या समूह समाकारिता (Group Homomorphism or Group Morphism):

Group Homomorphism or Group Morphism

इस आर्टिकल में ग्रुप समाकारिता या समूह समाकारिता (Group Homomorphism or Group Morphism) की कुछ प्रमेयों तथा उन पर आधारित उदाहरण के बारे में अध्ययन करेंगे।
प्रमेय (Theorem):9.सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक असीमित चक्रीय ग्रुप पूर्णांकों के योज्य ग्रुप के तुल्यकारी होता है।
(Prove that infinite cyclic group is isomorphic to the additive group of intergers.):
उपपत्ति (Proof):माना कि G एक असीमित चक्रीय ग्रुप है जिसका जनक a है।यदि n एक पूर्णांक है तो G के अवयव a^{n} के रूप में है।
अब यदि a^{n}=a^{m} हो जहाँ m,n \in Z तथा n>m
a^{n}=a^{m} \Rightarrow a^{n} a^{-m}=a^{m} a^{-m} \\ \Rightarrow a^{n-m}=a^{0}=e \\ \Rightarrow o(a) सीमित है
\Rightarrow ग्रुप G जिसका जनक a है वह भी सीमित है जो कि असत्य है क्योंकि हमने G को असीमित माना है।
अतः a^{n}=a^{m} तभी होगा जबकि m=n होगा।
अब G=\left\{\cdots a^{-3}, a^{-2}, a^{-1}, a^{0}=e, a, a^{2}, a^{3}, \cdots\right\} \\ \left\{a^{x} \mid \forall x \in Z\right\}
तथा Z={………,-3,-2,-1,0,1,2,3,……} योज्य ग्रुप है।
प्रतिचित्रण F : G \rightarrow Z इस प्रकार परिभाषित करें कि

f\left(a^{x}\right)=x \quad \forall a^{x} \in G
अब a^{m}, a^{n} \in G के लिए 

a^{m} \neq a^{n} \Rightarrow m \neq n \\ \Rightarrow f\left(a^{m}\right) \neq f\left(a^{n}\right)
\therefore  f एकैकी है।
तथा \forall x \in Z के लिए a^{x} \in G ऐसा है कि

f\left(a^{x}\right)=x
f आच्छादक है।
साथ ही f\left(a^{m} \cdot a^{n}\right)=f\left(a^{m+n}\right)=m+n=f\left(a^{m}\right)+f\left(a^{n}\right)
 \therefore f समाकारिता है।
उपर्युक्त से f समूह G से समूह Z पर एकैकी, आच्छादक तथा समाकारिता है फलतः f तुल्यकारिता है।
अर्थात् G \cong Z
प्रमेय (Theorem):10.मान लें f : G \rightarrow H ग्रुप G से H पर तुल्यकारिता है तथा g: H \rightarrow K ग्रुप H से ग्रुप K पर तुल्यकारिता है।सिद्ध कीजिए कि संयुक्त प्रतिचित्रण gof ग्रुप G से ग्रुप K पर तुल्यकारिता है।
(Let f : G \rightarrow H be an isomorphism from the group G onto group H and g: H \rightarrow K be an isomorphism from the group H on to the group K.Show that the composite mapping gof is an isomorphism from G onto K.)
उपपत्ति (Proof):चूँकि f : G \rightarrow H तथा g: H \rightarrow K दो तुल्यकारी हैं अतः f तथा g एकैकी आच्छादक है इसलिए फलन g \circ f : G \rightarrow K का अस्तित्व है तथा यह भी एकैकी तथा आच्छादक प्रतिचित्रण होगा।
पुनः \forall a, b \in G के लिए
(g \circ f)(a b)=g[f(a b)]
=g[f(a) f(b)]  [चूँकि f तुल्यकारिता है]
=g[f(a)] g[f(b)] [चूँकि g तुल्यकारिता है]
=(g \circ f)(a)(g \circ f)(b)
\therefore gof भी ग्रुप G से ग्रुप K पर एक ग्रुप समाकारिता है।
अतः gof ग्रुप G से ग्रुप K पर एकैकी,आच्छादक तथा समाकारिता है अतः तुल्यकारिता है।
अतः G \cong K
प्रमेय (Theorem):11.किसी समूह G के सभी स्वंकारी फलन का समुच्चय A_{G} फलन की गुणन क्रिया के सम्बन्ध में समूह होता है।
(The set A_{G} of all automorphism of a group G with composition of functions as binary operation is a group.)
उपपत्ति (Proof):यदि A_{G} ={f:समूह G का स्वंकारी फलन है}
अब फलन की गुणन क्रिया (composite function) o के सम्बन्ध में A_{G} को समूह सिद्ध करेंगे।
माना कि G में * द्विआधारी संक्रिया है।
संवृतता (Closure Property):माना कि f,g \in A_{G} तब f,g समूह G से स्वयं पर एकैकी तथा आच्छादक है।यदि a,b \in G हो तो

(gof) (a * b)=g[f(a * b)] \\ =g[f(a) * f(b)] \\ =g[f(a)] * g[f(b)] \\ =(g \circ f)(a) *(g \circ f)(b)
\therefore gof भी समूह G में स्वंकारिता है।अतः A_{G} फलन की गुणन क्रिया (या “संयुक्त फलन” संक्रिया) के लिए संवृत्त है।
साहचर्यता (Associativity):चूँकि “फलन की गुणन क्रिया” (या संयुक्त फलन) सहचारी होती है इसलिए समुच्चय A_{G}  में भी सहचारी होगी अर्थात् (f \circ g) \circ h= f \circ (g \circ h) \forall f,g,h \in A_{G}
तत्समक का अस्तित्व (Existence of Identity):ग्रुप G पर तत्समक प्रतिचित्रण I_{G} की स्वंकारिता (automorphism) है क्योंकि स्पष्टतः I_{G} एकैकी तथा आच्छादक है तथा यदि a,b \in G हो तो

I_{G}(a * b)=a * b=I_{G}(a) * I_{G}(b)
इस प्रकार I_{G} \in A_{G} तथा यदि f \in A_{G} के लिए

I_{G} \circ f=f=f \circ I_{G}
प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse):माना f \in A_{G} चूँकि f एकैकी तथा आच्छादक G से G पर है।इसलिए f^{-1} का अस्तित्व है तथा f^{-1} एकैकी तथा आच्छादक G से G पर है।
माना a,b \in G तो G के दो ऐसे अवयवों का अस्तित्व है कि

f^{-1}(a)=a^{\prime} \Rightarrow f\left(a^{\prime}\right)=a
तथा f^{-1}(b)=b^{\prime} \Rightarrow f(b^{\prime})=b
साथ ही f^{-1}(a * b)=f^{\prime}\left[f\left(a^{\prime}\right) * f(b^{\prime})\right]\\ =f^{-1}\left[f\left(a^{\prime} * b^{\prime} \right)\right]\\ =a^{\prime} * b^{\prime}=f^{-1}(a) *{f}^{-1}(b)
\therefore  f^{-1} भी G में स्वकारिता है अतः f^{-1} \in A_{G}
\therefore A_{G} में इसके प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम है।
उपर्युक्त विवेचन से यह सिद्ध हो गया कि A_{G},फलन गुणन क्रिया (संयुक्त फलन संक्रिया) के लिए समूह है।
प्रमेय (Theorem) 12:सिद्ध कीजिए कि किसी ग्रुप G में प्रतिचित्रण

f: G \rightarrow G, f(x)=x^{-1}, \forall x \in G

एक स्वाकारिता होगी यदि और केवल यदि G क्रमविनिमेय है।
(Show that f: G \rightarrow G defined by f(x)=x^{-1}, \forall x \in G is an automorphism iff G is abelian.)
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता:माना कि f स्वाकारिता है
यदि x,y \in G तो
f(x y)=(x y)^{-1} \\ =y^{-1} x^{-1} \\ =f(y)f(x) \\ =f(yx) [चूँकि f स्वाकारिता है]
चूँकि f एकैकी है
\therefore xy=yx
अतः G एक क्रमविनिमेय ग्रुप है।
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता:माना कि G क्रमविनिमेय ग्रुप है तथा x,y \in G तब

f(x)=f(y) \Rightarrow x^{-1}=y^{-1} \\ \Rightarrow \left(x^{-}\right)^{-1}=\left(y^{-1}\right)^{-1} \\ \Rightarrow x=y
अतः f एकैकी है
साथ ही प्रत्येक x \in G \Rightarrow x^{-1} \in G तथा f\left(x^{-1}\right)=\left(x^{-1}\right)^{-1}= x
\therefore f आच्छादक है
पुनः f(x y)=(x y)^{-1}=y^{-1} x^{-1}=x^{-1} y^{-1}
=f(x) f(y) [चूँकि G क्रमविनिमेय है]
अतः ग्रुप G स्वयं पर तुल्यकारी है,अतः स्वाकारिता है।
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2.ग्रुप समाकारिता या समूह समाकारिता के उदाहरण (Group Homomorphism or Group Morphism Examples):

Example:1. f_{1}, f_{2} , f_{3}, f_{4} चार रूपान्तरणों के ग्रुप G के तुल्यकारी क्रमचय समूह ज्ञात कीजिए जहाँ f_{1}, f_{2} , f_{3}, f_{4} निम्न प्रकार सम्मिश्र संख्याओं से स्वयं पर परिभाषित हैं

f_{1}(z)=z, f_{2}(z)=-z, f_{3}(z)=\frac{1}{z} तथा f_{4}(z)=-\frac{1}{z}
(Find the permutation group isomorphic to the group G of four transformations f_{1}, f_{2} , f_{3}  and f_{4} defined as

f_{1}(z)=z, f_{2}(z)=-z, f_{3}(z)=\frac{1}{z} and f_{4}(z)=-\frac{1}{z}
of the infinitive complex plane onto itself.)
Solution:G=\left \{ f_{1}, f_{2} , f_{3}, f_{4} \right \} \forall a \in  के लिए f_{a} को परिभाषित करते हैं

f_{a}: G \rightarrow G ; f_{1}(z)=z \\ f_{2}(z)=-z \\ f_{3}(z)=\frac{1}{z} \\ f_{4}(z)=-\frac{1}{z} \\ a=f_{1} \\ f_{1}=\begin{pmatrix} f_{1} & f_{2} & f_{3} &f_{4}\\ f_{1}\left(f_{1}\right) & f_{1} \left(f_{2}\right) & f_{1}\left(f_{3}\right) & f_{1}\left(f_{4}\right) \end{pmatrix} \\ \Rightarrow f_{1}=\left(\begin{array}{llll}f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4}\end{array}\right) \\ \Rightarrow f_{1}=\left(\begin{array}{cccc} z & -z & \frac{1}{z} & -\frac{1}{z} \\ z & -z & \frac{1}{z} & -\frac{1}{z} \end{array}\right) \\ a=f_{2} \\ \Rightarrow f_{2}=\left(\begin{array}{cccc}f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\f_{2}\left(f_{1}\right) & f_{2}\left(f_{2}\right) & f_{2}\left(f_{3}\right) & f_{2}\left(f_{4}\right)\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cccc}f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\f_{2} & f_{1} & f_{4} & f_{3}\end{array}\right) \\ f_{2} =\left(\begin{array}{cccc} z & -z & \frac{1}{z} & -\frac{1}{z}\\ -z & z & -\frac{1}{z} & \frac{1}{z} \end{array}\right)\\ a=f_{3} \\ f_{3}= \begin{pmatrix}f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\ f_{3}\left(f_{1}\right) & f_{3}\left(f_{2}\right) & f_{3}\left(f_{3}\right) &f_{3}\left(f_{4}\right)\end{pmatrix} \\ =\left(\begin{array}{llll}f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\f_{3} & f_{4} & f_{1} & f_{2}\end{array}\right) \\ \Rightarrow f_{3}=\left(\begin{array}{cccc}z & -z & \frac{1}{z} & -\frac{1}{z}\\-\frac{1}{z} & \frac{1}{z} & z & -z\end{array}\right) \\ a=f_{4} \\ f_{4}= \begin{pmatrix}f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\ f_{4}\left(f_{1}\right) & f_{4}\left(f_{2}\right) & f_{4}\left(f_{3}\right) &f_{4}\left(f_{4}\right)\end{pmatrix} \\ =\left(\begin{array}{llll}f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\f_{4} & f_{3} & f_{2} & f_{1}\end{array}\right) \\ \Rightarrow f_{4}=\left(\begin{array}{cccc}z & -z & \frac{1}{z} & -\frac{1}{z}\\-\frac{1}{z} & \frac{1}{z} & -z & z\end{array}\right)
Example:2.यदि a किसी ग्रुप G में एक निश्चित अवयव हो तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिचित्रण f_{a} : G \rightarrow G, f_{a}(x)=a x a^{-1}, \forall a \in G स्वाकारिता G की है।
(If a be an element of a group G, the mapping f_{a} : G \rightarrow G, f_{a}(x)=a x a^{-1}, \forall a \in G is an automorphism of G.)
Solution:माना कि a, b \in G तब f(a)=f(b) \Rightarrow x^{-1} a x=x^{-1} b x \\ \Rightarrow a=b a=b [G में निरसन नियम से]
f एकैकी है।
पुनः G के प्रत्येक अवयव के लिए x a x^{-1},G का एक ऐसा अवयव विद्यमान है कि
f(x a x^{-1})=x^{-1}\left(x a x^{-1}\right) x \\ =(x^{-1} x) a(x^{-1} x) \\ =e a e \\ \Rightarrow f=a
f आच्छादक है।
साथ ही किन्हीं a, b \in G के लिए
f(a b)=x^{-1}(a b) x \\ =x^{-1}\left(a x x^{-1} b\right) x \\ =(x^{-1} a x)\left(x^{-1} b x\right) [G में साहचर्यता है]
=f(a).f(b)
f समाकारिता है
अतः उपर्युक्त से स्पष्ट है कि f स्वाकारिता है।
निम्न ग्रुप के तुल्यकारी क्रमचय ग्रुप ज्ञात कीजिए:
(Find the permutation group isomorphic to the groups.)
Example:3. \left ( Z_{4},+_{4} \right ) 

Solution:- G=\left(Z_{4},+_{4}\right)=\{0,1,2,3\}

सारणी (Table) (ii)

\begin{array}{c|cccc} +4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\3 & 3 & 0 & 1 & 2\end{array}
सारणी (Table) (ii)

\begin{array}{c|cccc} \bullet & 1 & -1 & i & -i \\ \hline 1 & 1 & -1 & i & -i \\ -1 & -1 & 1 & -i & i \\ i & i & -i & -1 & 1 \\-i & -i & i & 1 & -1\end{array}
उपर्युक्त सारणी में 0 के स्थान पर 1,1 के स्थाथ पर -1,2 के स्थान पर i,तथा 3 के स्थान पर -i प्रतिस्थापित करें तो सारणी समरूप हो जाती है।

0 +_{4} 0 =0 \Leftrightarrow 1 \cdot 1=1\\ 0 +_{4} 1 =1 \Leftrightarrow 1 \cdot (-1)=-1\\ 0 +_{4} 2=2 \Leftrightarrow 1 \cdot (i)=i\\ 0 +_{4} 3=3 \Leftrightarrow 1 \cdot(-i)=-i\\1 +_{4} 0=1 \Leftrightarrow(-1) \cdot(1)=-1\\1 +_{4} 1=2 \Leftrightarrow(-1) \cdot(-1)=1\\1 +_{4} 2=3 \Leftrightarrow(-1)(i)=-i\\1 +_{4} 3=0 \Leftrightarrow(-1) \cdot(-i)=i\\2 +_{4} 0=2 \Leftrightarrow (i) \cdot(1)=i\\2 +_{4} 1=3 \Leftrightarrow(i) \cdot(-1)=-i\\2 +_{4}2=0 \Leftrightarrow(i) \cdot(i)=-1\\2 +_{4} 3=1 \Leftrightarrow (i) \cdot (-i)=1
इसी प्रकार आगे
तुल्यकारी क्रमचय ग्रुप हैं: \left \{ \left ( 1,-1,i,-i \right ) ,\bullet \right \}

Group Homomorphism or Group Morphism

Example:4 \left ( Z_{3}^{\prime},\bullet _{3} \right ) अशून्य संख्याओं1,2

Solution:-सारणी (Table) (i)

\begin{array}{r|rr} \bullet _{3} & 1 & 2 \\\hline 1 & 1 & 2 \\2 & 2 & 1\end{array}

सारणी (Table) (ii)

\begin{array}{r|rr} \bullet _{3} & 1 & -1 \\\hline 1 & 1 & -1 \\-1 & -1 & 1\end{array}

उपर्युक्त सारणी में 1 के स्थान पर 1,2 के स्थाथ पर -1 प्रतिस्थापित करें तो सारणी(i) तथा सारणी (ii) समरूप हो जाती है।

1 \bullet_{3} 1=1 \Leftrightarrow 1 \bullet_{3} 1=1 \\ 1 \bullet_{3} 2=2 \Leftrightarrow 1 \bullet_{3} (-1)=-1 \\ 2 \bullet_{3} 1=2 \Leftrightarrow(-1) \bullet_{3} (1)=-1 \\ 2 \bullet_{3} 2=1 \Leftrightarrow(-1) \bullet_{3} (-1)=1 \\ f(1)=1, f(-2)=-1

स्पष्टतः f एकैकी तथा आच्छादक है

 f(x \cdot y) =f(x) \cdot f(y) \\ f(1 \bullet_{3} 2) =f(2)=-1 \\ =(1) \cdot (-1) \\ \Rightarrow f(x \cdot y) =f(x) \cdot f(y)

सिद्ध कीजिए कि निम्न ग्रुप तुल्यकारी ग्रुप है :
(Prove that the following groups are isomorphic groups):
Example:5.\left[\{1,-1\}, \bullet \right] ;\left(Z_{2},+_{2}\right)\{(1),(1,2)\}
Solution:सारणी (Table) (i)

\begin{array}{c|cc}\bullet & 1 & -1 \\\hline 1 & 1 & -1 \\-1 & -1 & 1\end{array}
सारणी (Table) (ii)

\begin{array}{r|rr}+_{2} & 0 & 1 \\\hline 0 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0\end{array}
सारणी (Table) (iii)

\begin{array}{c|cc}& (1) & (1 \quad 2) \\ \hline(1) & (1) & (1 \quad 2) \\(1 \quad 2) & (1 \quad 2) & (1)\end{array}
उपर्युक्त सारणी (i) में 1 के स्थान पर 0 तथा (-1) के स्थान पर 1 रखते हैं तो सारणी (i) तथा सारणी (ii) समरूप हो जाती है।इसी प्रकार सारणी (i) व (iii),सारणी (ii) व (iii) समरूप हो जाती है।

0 +_{2} 0=0 \Leftrightarrow 1 \cdot 1=1 \\0 +_{2} 1=1 \Leftrightarrow 1 \cdot(-1)=-1 \\1 +_{2} 0=1 \Leftrightarrow(-1) \cdot 1=-1 \\1 +_{2} 1=0 \Leftrightarrow(-1) \cdot(-1)=1
यदि हम निम्न प्रकार प्रतिचित्रण f परिभाषित करें:
f(0)=1,f(1)=-1
स्पष्टतः f एकैकी तथा आच्छादक है तथा

f\left ( x +_{2} y \right )=f(x) \cdot f(y)
f एक तुल्यकारिता है।
Example:6. \left(Z_{3}^{\prime},\bullet_{3} \right),\left[\left\{\phi_{1}, \phi_{2}\right\}, \circ\right]
जहाँ (Where) \phi_{1}(x)=x , \phi_{2}(x)=\frac{1}{x}
Solution:सारणी (Table) (i)

\begin{array}{c|cc}\bullet_{3} & 1 & 2 \\\hline 1 & 1 & 2 \\2 & 2 & 1\end{array}
सारणी (Table) (ii)

\begin{array}{c|cc}0 & \phi_{1} & \phi_{2} \\\hline \phi_{1} & x & \frac{1}{x} \\ \phi_{2} & \frac{1}{x} & x\end{array}
यदि उपर्युक्त सारणी (i) में 1 के स्थान पर \phi_{1} तथा 2 के स्थान पर \phi_{2} रखते हैं तो सारणी (i) तथा (ii) दोनों समरूप हो जाती है।

1 \bullet_{3} 1 =1 \Leftrightarrow \phi_{1}(x) \circ \phi_{1}(x)= x\\ 1 \bullet_{3} 2=2 \Leftrightarrow \phi_{1}(x) \circ \phi_{2}(x)=\frac{1}{x}\\ 2 \bullet_{3} 1=2 \Leftrightarrow \phi_{2}(x) \circ \phi_{1}(x)=\frac{1}{x}\\ 2 \bullet_{3} 2=1 \Leftrightarrow \phi_{2}(x) \circ \phi_{2}(x)=x
यदि हम निम्न प्रकार प्रतिचित्रण परिभाषित करें:

f(1)=\phi_{1}, f(2)=\phi_{2}
स्पष्टतः f एकैकी तथा आच्छादक है तथा

f\left ( x \bullet_{3} y \right )=f(x) \cdot f(y)
f तुल्यकारिता है।
Example:7.यदि f ग्रुप G से G’ पर एक आच्छादक समाकारिता है तो gof ग्रुप G से G” पर एक आच्छादक समाकारिता होती है और f की अष्टि gof की अष्टि का एक उपग्रुप होती है।
(If f is a homomorphism of a group G onto a group G’ and g is isomorphism of G onto a group G” then gf is a homomorphism of G onto G”.Also the kernel of f is subgroup of that of gof.)
Solution:f,G से G पर प्रतिचित्रण तथा g,G’ से G” पर प्रतिचित्रण है।
इसलिए gof,G से G’ पर प्रतिचित्रण है

(g \circ f)(x)=g[f(x)] \forall x \in G
माना a, b \in G तब
(gof) (ab)=g [f(ab)]
=g[f(a) f(b)] [f समाकारिता है]
=g[f(a)] g[f(b)] [g समाकारिता है]
=[(gof)(a)] [(gof)(b)]

f \subset g \circ f \left [ x \in f , y \in f \Rightarrow x y^{-1} \in f \right ]
gof समाकारिता है G से G” पर
माना K, gof की अष्टि है तब
K=\left\{y \in G:(g \circ f)(y)=e^{\prime \prime} \text{ जहाँ } e^{\prime \prime},G^{\prime} \text{ का तत्समक अवयव है } \right\}
माना K’,f की अष्टि है तब
K^{\prime}=\left \{ x^{\prime} \in G :f(z)=e^{\prime} \text{ जहाँ  } e^{\prime}, G^{\prime} \text{ का तत्समक अवयव है } \right \}
दोनों K तथा K’,G’ के विशिष्ट समूह हैं तथा K’,K का उपसमूह है इसके लिए K^{\prime} \subseteq K सिद्ध करना है।
माना K^{\prime} \in K^{\prime} तथा f(K’)=e’
(gof)(K’)=g[f(K’)]=g(e’)=e”
इसी प्रकार K^{\prime} \in K^{\prime} \Rightarrow  K^{\prime} \in K \\ K^{\prime} \subseteq K
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ग्रुप समाकारिता या समूह समाकारिता (Group Homomorphism or Group Morphism) को समझ सकते हैं।

3.ग्रुप समाकारिता या समूह समाकारिता के सवाल (Group Homomorphism or Group Morphism Questions):

Group Homomorphism or Group Morphism

(1.)सिद्ध कीजिए कि फलन f : G \rightarrow G^{\prime};f(x)=2 x \forall x \in G तुल्यकारी है।जहाँ पर G पूर्णांकों का जोड़ संक्रिया समूह है और G’ शून्य सहित सम पूर्णांकों का जोड़ संक्रिया वाला समूह है।
(Show that the mapping f : G \rightarrow G^{\prime};f(x)=2 x \forall x \in G  is the isomorphic where G is the additive group of even integers including zero.)
(2.)यदि R जोड़ संक्रिया के लिए वास्तविक संख्याओं का समूह है और R^{+} गुणन संक्रिया के लिए धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समूह है तब सिद्ध कीजिए कि f: R \rightarrow R^{+}, f(x)=e^{x} \forall x \in R
द्वारा परिभाषित तुल्यकारिता है।
(If R is the additive group of real numbers and R^{+} the multiplicative group of positive real numbers then prove that defined by f: R \rightarrow R^{+}, f(x)=e^{x} \forall x \in R is an isomorphic.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ग्रुप समाकारिता या समूह समाकारिता (Group Homomorphism or Group Morphism) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.ग्रुप समाकारिता या समूह समाकारिता (Group Homomorphism or Group Morphism) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

इस आर्टिकल में ग्रुप समाकारिता या समूह समाकारिता (Group Homomorphism or Group Morphism)
की कुछ प्रमेयों तथा उन पर आधारित उदाहरण के बारे में अध्ययन करेंगे।