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Envelope of Paths of a Projectile: BSc Mathematics Guide

September 29, 2026 Dynamics No Comments
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1 1.प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप: बीएससी गणित गाइड (Envelope of Paths of a Projectile: BSc Mathematics Guide):
1.1 2.प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप के साधित उदाहरण (Envelope of Paths of a Projectile Solved Illustrations):
1.2 3.छात्र-छात्राओं से प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप के प्रैक्टिस प्रोब्लम्स (Practice Problems of Envelope of Paths of a Projectile for Students):
1.2.1 4.प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप: बीएससी गणित गाइड (Frequently Asked Questions Related to Envelope of Paths of a Projectile: BSc Mathematics Guide) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
1.2.2 प्रश्न:1.किसी समय t पर वेग का सूत्र लिखो। (At some point of time,Write the formula of velocity t.)
1.2.3 प्रश्न:2.उच्चत्तम ऊँचाई तक जाने का सूत्र लिखो। (Write the formula for reaching the highest height)
1.2.4 प्रश्न:3.अन्वालोपीय परवलयज पर टिप्पणी लिखो। (Write a note on enveloping paraboloid):
1.2.5 5.छात्र-छात्राओं से आज का प्रश्न (Today’s Question to Students)

1.प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप: बीएससी गणित गाइड (Envelope of Paths of a Projectile: BSc Mathematics Guide):

प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप (Envelope of Paths of a Projectile) के इस आर्टिकल में प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप के सवालों को स्टेप-बाइ-स्टेप हल करके समझने का प्रयास करेंगे।

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2.प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप के साधित उदाहरण (Envelope of Paths of a Projectile Solved Illustrations):

Illustration: 1. उर्ध्वाधर दिशा में ऊपर फेंके हुए किसी रॉकेट का पृथ्वी धरातल से h मीटर ऊँचाई पर अपने सर्वोच्च बिन्दु पर विस्फोट होता है। यदि उसका प्रत्येक टुकड़ा u वेग से रवाना हो तो सिद्ध करो कि सभी टुकड़े पृथ्वी पर पहुँचने पर \frac{u(u^2+2gh)^{\frac{1}{2}}}{g} त्रिज्या वाले वृत्त के अन्दर ही जाकर गिरेंगे.
(A rocket fired vertically upwards bursts at its highest point h meter above the ground. If each fragment starts with the same velocity u, prove that all fragments on reaching the ground be within a circle of radius \frac{u(u^2+2gh)^{\frac{1}{2}}}{g}.)
Solution: (1) मान लें कि विस्फोट का प्वाइंट जमीन से h ऊँचाई पर मूलबिन्दु O(0, 0) है, ग्राउंड से ऊर्ध्वाधर y से प्रदर्शित करते हैं y = h.
(2) गतिकी का समीकरण:
जब टुकड़ा u वेग से क्षैतिज से \alpha कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है तो इसके किसी समय t पर निर्देशांक (x, y) हैं तो क्षैतिज विस्थापन x = (u\cos\alpha)t.
t=\frac{x}{u\cos\alpha}
3 सेकण्ड बाद प्रक्षेप्य (क्षैतिज की ओर से) का विस्थापन y=-(u\sin\alpha)t+\frac{1}{2}gt^2 से t का मान स्थापित गति से रखने पर,
y=-x\tan\alpha+\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\alpha}
\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha का प्रयोग करने पर
y=-x\tan\alpha+\frac{gx^2}{2u^2}(1+\tan^2\alpha)
द्विघात समीकरण के रूप में व्यक्त करने पर:
\left(\frac{gx^2}{2u^2}\right)\tan^2\alpha-x\tan\alpha+\left(\frac{gx^2}{2u^2}-y\right)=0
किसी बिन्दु से जाने पर खास कोण निर्धारित करने के लिए वास्तविक दिशा \alpha होनी चाहिए। अतः इसके लिए ऊपर दिए गए द्विघात समीकरण का विविक्तकर (Discriminant) (D\geq0) होना चाहिए।
D=(-x)^2-4\left(\frac{gx^2}{2u^2}\right)\left(\frac{gx^2}{2u^2}-y\right)\geq0
असमानता को x^2 से विभाजित करने पर
(x\neq0)
1-\frac{2g}{u^2}\left(\frac{gx^2}{2u^2}-h\right)\geq0
असमानता सीमा द्वारा ज्ञात करने के लिए x^2 को अलग करने (Isolated) करने पर
1+\frac{2gh}{u^2}\geq\frac{gx^2}{u^2}
दोनों पक्षों को \frac{u^2}{g^2} से गुणा करने पर
x^2\leq\frac{u^4}{g^2}\left(1+\frac{2gh}{u^2}\right)
\Rightarrow x^2\leq\frac{u^2}{g^2}(u^2+2gh)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर अधिकतम क्षैतिज परास
x\leq\frac{u\sqrt{u^2+2gh}}{g}
अतः समीकरण द्वारा अधिकतम क्षैतिज परास
R=\frac{u\sqrt{u^2+2gh}}{g}
Illustration: 2. यदि प्रक्षेप्य वेग u तथा v किसी तट समतल पर गिरने के समय वेग है जबकि समतल के ऊपर की ओर प्रक्षेप अधिकतम होता है और u समतल पर गिरने के समय वेग है, जबकि समतल के नीचे की ओर प्रक्षेप अधिकतम हो, तो इस हेतु u वेग v_1 तथा v_2 का मध्यानुपाती है अर्थात्
u^2=v_1v_2
u be the velocity of projection and  v_1   the velocity of striking the plane when projected so that the range up the plane is maximum and v_2 the velocity of striking the plane so that the range down the plane is maximum, prove that u is a mean proportional between v_1 and v_2 or u^2=v_1v_2.
Solution: माना नत समतल क्षैतिज के साथ \beta कोण बनाता है। स्थिति-I. नत समतल पर ऊपर नत समतल पर अधिकतम परास, प्रक्षेप कोण \alpha और अन्त कोण (Inclination angle) \beta के बीच सम्बन्ध दिया जाता है।
\alpha=\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}
माना समतल पर प्रक्षेप u वेग से करता है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण सिद्धान्त का प्रयोग करने पर h_1 पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा से प्राप्त हुई गतिज ऊर्जा से से प्राप्त हुई स्थितिज ऊर्जा (Potential energy) को घटाने पर
v_1^2=u^2-2gh_1\qquad ...(1)
जहाँ h_1 क्षैतिज बिन्दु से प्रक्षेप बिन्दु से उच्चतम बिन्दु तक ढलान वाले बिन्दु तक की दूरी है।
समतल के ऊपर अधिकतम परास R_1 लेते हैं।
h_1=R_1\sin\beta\qquad ...(2)
नत समतल पर परास
R_1=\frac{u^2}{g(1+\sin\beta)}\qquad ...(3)
समीकरण (2) में समीकरण (3) से मान रखने पर:
h_1=\frac{u^2\sin\beta}{g(1+\sin\beta)}
h_1 का मान समीकरण (1) में रखने पर:
v_1^2=u^2-2g\left[\frac{u^2\sin\beta}{g(1+\sin\beta)}\right]
\Rightarrow v_1^2=u^2\left[1-\frac{2\sin\beta}{1+\sin\beta}\right]
\Rightarrow v_1^2=u^2\left(\frac{1-\sin\beta}{1+\sin\beta}\right)\qquad ...(A)
स्थिति-2. नत तल के नीचे प्रक्षेप नत तल की ओर अधिकतम परास के लिए, अधिकतम परास सूत्र में \beta के स्थान पर -\beta से:
R_2=\frac{u^2}{g(1-\sin\beta)}
प्रक्षेप से गिरने पर ऊर्ध्वाधर ऊँचाई
h_2=R_2\sin\beta
प्रक्षेप से नीचे बिन्दु पर टकराने पर ऊर्जा संरक्षण से यह गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है।
v_2^2=u^2+2gh_2
h_2 का मान रखने पर:
v_2^2=u^2+2g\left[\frac{u^2\sin\beta}{g(1-\sin\beta)}\right]
=u^2\left[1+\frac{2\sin\beta}{1-\sin\beta}\right]
\Rightarrow v_2^2=u^2\left(\frac{1+\sin\beta}{1-\sin\beta}\right)\qquad ...(B)
(A) व (B) को गुणा करने पर:
v_1^2v_2^2=\left[u^2\left(\frac{1-\sin\beta}{1+\sin\beta}\right)\right]\left[u^2\left(\frac{1+\sin\beta}{1-\sin\beta}\right)\right]
\Rightarrow v_1^2v_2^2=u^4
\Rightarrow u^2=v_1v_2
Example: 3. Illustration:3.पृथ्वी पर रखी हई तोप समुद्र पर किसी जहाज में रखी उसी के समान तोप से h ऊंचाई पर है। यदि तोपों से चलाए जाने वाले गोलों के प्रारम्भिक वेग u हों तो सिद्ध करो कि पृथ्वी वाली तोप समुद्र वाली तोप की तुलना में अधिक क्षैतिज दूरी तक वार कर सकती है।
\frac{u}{g}\left[\sqrt{u^2+2gh}-\sqrt{u^2-2gh}\right]
(A gun on a height h above the similar gun on a ship at sea. If the muzzle velocity of their shells is u, show that the gun on land can engage the gun at sea at a horizontal distance greater than that a which the gun at sea can engage the gun on land.)
\frac{u}{g}\left[\sqrt{u^2+2gh}-\sqrt{u^2-2gh}\right]
Solution:माना x प्रक्षेप द्वारा क्षैतिज तय की गई इरी है या परवलय की सीमा।अधिकतम क्षैतिज परास R,दी हुई उर्ध्वाधर ऊँचाई का अन्तर h परवलय की सीमा से ज्ञात कर सकते हैं:
x^2=\frac{2u^2}{g}\left(\frac{u^2}{2g}-y\right)
जहाँ x अधिकतम क्षैतिज परास है y बन्दूक के सापेक्ष लक्ष्य की ऊँचाई है।
स्थिति I. गन में जहाज पर जमीन वाली तोप से वार करने पर लक्ष्य बन्दूक के नीचे h पर है, इसलिए लक्ष्य वाली तोप (तोप से) ऊर्ध्वाधर स्थिति पर है y=-h

y=-h पर्वत की समीकरण में रखने पर
x_1^2=\frac{2u^2}{g}\left(\frac{u^2}{2g}-(-h)\right)
\Rightarrow x_1^2=\frac{2u^2}{g}\left(\frac{u^2}{2g}+h\right)
\Rightarrow x_1^2=\frac{u^2}{g^2}(u^2+2gh)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर
x_1=\frac{u}{g}\sqrt{u^2+2gh}
स्थिति-II: यहाँ बन्दूक समतल पर है, इसलिए भूमि वाली बन्दूक (लक्ष्य) की ऊर्ध्वाधर स्थिति है y=+h
y=h परवलय की समीकरण में रखने पर:
x_2^2=\frac{2u^2}{g}\left(\frac{u^2}{2g}-h\right)
\Rightarrow x_2^2=\frac{u^2}{g^2}(u^2-2gh)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
x_2=\frac{u}{g}\sqrt{u^2-2gh}
दोनों प्रक्षेप्य परास के बीच अन्तर समुद्रतल बन्दूक (तोप) की तुलना में भूमि वाली बन्दूक की परास कितनी अधिक है अतः हम x_1-x_2 की गणना करेंगे।
x_1-x_2=\frac{u}{g}\sqrt{u^2+2gh}-\frac{u}{g}\sqrt{u^2-2gh}
\Rightarrow x_1-x_2=\frac{u}{g}\left[\sqrt{u^2+2gh}-\sqrt{u^2-2gh}\right]

Illustration:4.O बिन्दु से u वेग से हर दिशा में कुछ कण फेंके गये हैं,g को अचर माना गया है।सिद्ध करो कि सारे पथ एक अन्वालोपीय परवलयज के अन्दर स्थित होंगे।यदि किसी कमरे की छत से h ऊंचाई पर हो,तो प्रक्षेप्य के द्वारा पहुंचा जा सकने वाला छत का भाग एक वृत्त होगा जिसका क्षेत्रफल निम्न होगा:
(In vacuum particles are projected in all directions from a point O with a velocity u,g being assumed constant.Show that all their path lie within an enveloping paraboloid.If there be a ceiling at height h above O,show that its portion with in reach of such particles is a circle whose area is

\frac{\pi u^2}{g}\left(\frac{u^2}{g}-2h\right)
Solution:जब कण O (मूलबिन्दु) से प्रारम्भिक वेग u से सभी दिशाओं में प्रक्षेपित किया जाता है,वे जिस क्षेत्र की सीमा तक पहुँच सकते हैं वह सतह द्वारा दिया जाता है जो अन्वालोपीय परवलय कहलाता है।
अन्वालोपीय परवलय का मानक समीकरण बेलनाकर निर्देशांक (Cylendrical coordinate) के रूप में (r,z) है:
r^2=\frac{u^2}{g^2}(u^2-2gz)
r : O से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष से क्षैतिज दूरी है।
z : O से ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है।
g : ऊपर से नीचे की ओर त्वरण के कारण त्वरण है।
छत होने के कारण लक्ष्य का क्षेत्र ज्ञात करना है। छत O से h ऊँचाई पर स्थित है, प्रक्षेपण बिन्दु O से ऊपर।
इसलिए, हम पर पहुँचने वाले क्षेत्र की सीमा (boundary) ज्ञात करने के लिए enveloping paraboloid की समीकरण में z=h प्रतिस्थापित करेंगे।
r^2=\frac{u^2}{g^2}(u^2-2gh)
\Rightarrow r^2=\frac{u^2}{g}\left(\frac{u^2}{g}-2h\right)
वृत्त के क्षेत्रफल में से r का मान रखने पर:
r^2=\frac{u^2}{g}\left(\frac{u^2}{g}-2h\right)
यदि त्रिज्या r हो तो
A=\pi r^2
=\pi\left[\frac{u^2}{g}\left(\frac{u^2}{g}-2h\right)\right]
\Rightarrow A=\frac{\pi u^2}{g}\left(\frac{u^2}{g}-2h\right)
Example: 5. सिद्ध करो कि किसी तल पर \alpha झुकाव वाले नत समतल पर अधिकतम range  \sin \alpha उत्केन्द्रता वाला एक दीर्घवृत्त होगा जिसकी नाभि प्रक्षेपण बिन्दु पर होगी। (Show that the area commanded by a gun placed on an inclined plane is an ellipse of eccentricity \sin \alpha, where α is the inclination of the plane and of focus, the point of projection.)
Solution: मान लीजिए एक प्रोजेक्शन का पाॅइंट (तोप की जगह) O मूलबिन्दु है।मान लीजिए कि तल क्षैतिज के साथ \alpha कोण बनाता है।
(1.)नत समतल पर प्रक्षेप्य की परास जब किसी प्रक्षेप्य को मूलबिन्दु से क्षैतिज के साथ कोण पर प्रारम्भिक वेग u के साथ फायर किया जाता है तो,झुके हुए तल पर एक रेखा के साथ उसकी परास R,जो सबसे ज्यादा ढाल वाली रेखा के साथ का कोण बनाती है,को टेक्जेक्टरी और तल के प्रतिच्छेद से तय किया जाता है।
झुके हुए तल किसी भी दिशा में ज्यादा से ज्यादा रेंज के लिए,सभी सम्भावित परास को कवर किए जा सकने वाले क्षेत्र की सीमा,अन्वालोपीय परवलयज और झुक हुए तल के प्रतिच्छेदन से मिलता है।
(2.) अन्तर्वलयी परवलयज की समीकरण
अन्तर्वलयी परवलयज (उस क्षेत्र की सीमा जहाँ तक वैक्यूम रेखी दिशाओं में वेग u के साथ प्रक्षेप करने वाली तोप से पहुँचाया जा सकता है) को मानक समीकरण (Standard equation) से दिखाया जाता है।
x^2+y^2=\frac{u^2}{g^2}(u^2-2gz)
जहाँ z = पृथ्वी तल के ऊपर की दिशा में तथा x,y = प्रक्षेपण बिन्दु पर क्षैतिज दूरी हैं।
(3.) नत तल का समीकरण
मान लीजिए कि झुके हुए तल पर की सबसे ज्यादा ढाल वाली रेखा x-अक्ष के साथ \alpha कोण पर ऊपर की ओर झुकी हुई है तथा इस अक्ष के ध्रुव तल को कोई भी बिन्दु इस समीकरण को पूरा करता है।
z=x\tan\alpha
(4.) परवलयज और नत तल का प्रतिच्छेदन बिन्दु के ऊपर तल पर गोली की पहुँच वाली क्षेत्र की सीमा का पता लगाने के लिए, इस अन्तर्वलयी परवलयज के समीकरण में z=x\tan\alpha रखने पर
x^2+y^2=\frac{u^2}{g^2}(u^2-2gx\tan\alpha)
\Rightarrow x^2+\frac{2u^2\tan\alpha}{g}x+y^2=\frac{u^4}{g^2}
(5.) केन्द्र और उत्केन्द्रता की पहचान इसे नत समतल तल पर कोणिक सेक्शन के मानक रूप में बदलने के लिए, अतः इस तल के साथ सीधी निर्देशांक को मापेंगे।
मान लीजिए x' समतल पर इस ओर से ज्यादा ढाल वाली रेखा के साथ दूरी है।
x=x'\cos\alpha
प्रतिच्छेद समीकरण में x का मान रखने पर
9^2+\frac{2u^2\tan\alpha}{g}(x'\cos\alpha)+y^2=\frac{u^4}{g^2}
\Rightarrow x'^2\cos^2\alpha+\frac{2u^2\sin\alpha}{g}x'+y^2=\frac{u^4}{g^2}
\Rightarrow \cos^2\alpha\left(x'^2+\frac{2u^2\sin\alpha}{g\cos^2\alpha}x'+\frac{u^4\sin^2\alpha}{g^2\cos^4\alpha}\right)+y^2=\frac{u^4}{g^2}+\frac{u^4\sin^2\alpha}{g^2\cos^2\alpha}
\Rightarrow \cos^2\alpha\left(x'+\frac{u^2\sin\alpha}{g\cos^2\alpha}\right)^2+y^2=\frac{u^4}{g^2}(1+\tan^2\alpha)
=\frac{u^4}{g^2\cos^2\alpha}
समीकरण को \frac{u^4}{g^2\cos^2\alpha} से भाग देने पर
\frac{\left(x'+\frac{u^2\sin\alpha}{g\cos\alpha}\right)^2}{\frac{u^4}{g^2\cos^2\alpha}}+\frac{y^2}{\frac{u^4}{g^2\cos^2\alpha}}=1
\Rightarrow\frac{(x'-x_0)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
के मानक रूप में है।
अतः दीर्घवृत्त (semi-major axis) a और अर्द्ध लघु अक्ष (semi-minor axis) b
a=\frac{u^2}{g\cos\alpha},\qquad b=\frac{u^2}{g\cos\alpha}
Example: 6. एक वायुयान h ऊँचाई पर u वेग से क्षैतिज दिशा में उड़ रहा है। वायुयान से नष्ट करने वाली बम एक तोप पर ऊर्ध्वाधर रूप से गिरती है, जिसमें वायुयान उड़ रहा है। h दूरी पर स्थित है। तोप से u वेग से गोलियाँ दागी जाती हैं। सिद्ध करो कि वायुयान को नष्ट करने के लिए
\frac{u}{g}\sqrt{u^4-2u^2gh-g^2h^2}
तक परास के अन्दर होना चाहिए, जबकि यह मान लें कि u^2>2u^2gh+g^2h^2.
An aeroplane is flying horizontally at a height h with velocity u. An anti-aircraft gun is situated vertically below the aeroplane. The gun fires shells with velocity u aircraft. gun is situated on the ground at a distance h from the vertical plane in which the aeroplane is flying. The gun can fire shells with velocity u. Prove that the aeroplane is within the range of the gun for a time \frac{2}{ug}\sqrt{u^4-2u^2gh-g^2h^2} assuming that
u^2>2u^2gh+g^2h^2
Solution:(1.)निर्देशांक सेट करें
मान लीजिए कि एंटी एयरक्राफ्ट तोप मूलबिन्दु O पर स्थित है।
हवाई जहात x-अक्ष के समानान्तर एक उर्ध्वाधर तल में उड़ता है,जो तोप से z-अक्ष की दिशा में उर्ध्वाधर क्षैतिज दूरी h पर है।हवाई जहान की ऊँचाई स्थिर है यानी y=k।इसलिए किसी समय t पर हवाई जहाज की स्थिति को  कार्तीय निर्देशांक में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
(x,y,z)=(ut,k,h)
(2.) परास में होने की शर्त
हवाई जहाज गन की परास में तब होता है जब वह प्रारम्भिक वेग u के साथ छोड़े गए शेल के प्रक्षेप्य परवलयज पर या उसके अन्दर स्थित हो।
त्रिविमीय निर्देशांक में अन्तर्वलयी परवलयज का मानक समीकरण इस प्रकार है:
x^2+y^2=\frac{u^2}{g^2}-\frac{2u^2}{g}y
(3.) हवाई जहाज के निर्देशांक:
x=ut,\quad y=h,\quad z=0
अतः इसकी परास
x^2+z^2\leq\frac{u^4}{g^2}-\frac{2u^2}{g}y
0^2+h^2\leq\frac{u^4}{g^2}-\frac{2u^2}{g}h
\Rightarrow u^2 t^2\leq\frac{u^4}{g^2}-\frac{2u^2h}{g}-h^2
\Rightarrow t^2 \leq\frac{u^4-2u^2gh-g^2h^2}{g^2u^2}
(4.) कुल समय की अवधि की गणना करना
जब नेगेटिव साइड पर समीकरण लागू होता है तो हवाई जहाज शेल में प्रवेश करता है और पॉजिटिव साइड पर लागू होने पर बाहर निकलता है। इस प्रकार समय की सीमाएँ t_1 और t_2 हैं।
t=\pm\sqrt{\frac{u^4-2u^2gh-g^2h^2}{g^2u^2}}
कुल समय अवधि T, जिसके दौरान हवाई जहाज शेल की परास में रहता है, इन दोनों समयों का अन्तर है।
T=t_2-t_1
\Rightarrow T=\frac{\sqrt{u^4-2u^2gh-g^2h^2}}{gu}-\left(-\frac{\sqrt{u^4-2u^2gh-g^2h^2}}{gu}\right)
\Rightarrow T=\frac{2}{gu}\sqrt{u^4-2u^2gh-g^2h^2}

उपर्युक्त उदाहरणों के हल द्वारा प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप: बीएससी गणित गाइड (Envelope of Paths of a Projectile: BSc Mathematics Guide) को समझ सकते हैं।

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3.छात्र-छात्राओं से प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप  के प्रैक्टिस प्रोब्लम्स (Practice Problems of Envelope of Paths of a Projectile for Students):

(1.)यदि किसी पिंड को इस प्रकार के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है कि क्षैतिज सीमा u समय की सबसे बड़ी ऊँचाई है,तो प्रक्षेप्य का कोण क्या है?
(If a body is projected at such an angle that the horizontal range is u time the greatest height,then the angle of project is?)
(2.)सामान्य प्रक्षेप्य का समीकरण y=x-x^2 द्वारा दिया गया है।प्रक्षेपण का वेग क्या है?
(Equation of common projectile is given by y=x-x^2 .What is the velocity of the projection?)
उत्तर (Answer): (1.) 45^\circ \\ (2.) u=\sqrt{\frac{g}{2}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप: बीएससी गणित गाइड (Envelope of Paths of a Projectile: BSc Mathematics Guide) को अच्छी तरह से समझ सकते हैं क्योंकि स्वयं प्रैक्टिकल रूप से सवालों को हल करने पर कांसेप्ट अच्छी तरह समझ में आती है।
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4.प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप: बीएससी गणित गाइड (Frequently Asked Questions Related to Envelope of Paths of a Projectile: BSc Mathematics Guide) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.किसी समय t पर वेग का सूत्र लिखो। (At some point of time,Write the formula of velocity t.)

उत्तर: v=\sqrt{u^2-2g\left(u\sin\alpha\right)t+g^2t^2}

प्रश्न:2.उच्चत्तम ऊँचाई तक जाने का सूत्र लिखो। (Write the formula for reaching the highest height)

उत्तर: h=\frac{u^2}{2g}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप: बीएससी गणित गाइड (Envelope of Paths of a Projectile: BSc Mathematics Guide) की प्राइमरी टर्म्स के बारे में जान सकते हैं।

प्रश्न:3.अन्वालोपीय परवलयज पर टिप्पणी लिखो। (Write a note on enveloping paraboloid):

उत्तर:जब विभिन्न कण बिन्दु O से विभिन्न उर्ध्वाधर तलों में फेंके जाते हैं तो हमें विभिन्न परवलय (Enveloping Parabolas) प्राप्त होते हैं जो सारे एक परवलयज (paraboloid) पर स्थित होते हैं।जिसे अन्वालोपीय परवलयज कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रक्षेप्य के पथों का अन्वालोप: बीएससी गणित गाइड (Envelope of Paths of a Projectile: BSc Mathematics Guide) की प्राइमरी टर्म्स के बारे में जान सकते हैं।

5.छात्र-छात्राओं से आज का प्रश्न (Today’s Question to Students)

🎯 विनर्स कॉर्नर:क्या आप इस सवाल का सही जवाब दे सकते हैं?अपने नाम के साथ नीचे कमेंट करें!सही जवाब देने वाले Top Students के नाम हमारी आगे post/is article ke update में Photo ya Special Mention के साथ publish की जाएगी।अपना जवाब अभी दर्ज करें!👇
*”एक व्यापारी ने तीन प्रकार की चीनी 2:3:5 के अनुपात में मिलाकर 40 रुपए प्रति किलो का मिश्रण तैयार किया।यदि पहले दो प्रकार की चीनी का मूल्य 20 रुपए तथा 30 रुपए प्रति किग्रा हो तो तीसरे प्रकार की चीनी का मूल्य प्रति किग्रा था?”*
(A trader mixed three types of sugar in the ratio of 2 : 3 : 5 and prepared a mixture of Rs. 40 per kg. If the price of the first two types of sugar is Rs. 20 and Rs. 30 per kg, then the price of the third type of sugar was per kg?)
*पिछली प्रश्नोत्तरी का हल*124
उनके बैठने का क्रम निम्नवत है:

Rendered by QuickLaTeX.com

उत्तर:प्रवीर
*Previous Quiz Solution*124
Their seating order is as follows:

Rendered by QuickLaTeX.com

Answer:Praveer
*”यह आर्टिकल **Satyam Mathematics** ब्लॉग पर **Satyam Coaching Centre** के द्वारा तैयार किया गया है।”*

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Sanjay Kumawat

(1.)**Satyam Narain Kumawat** **Website Name:Satyam Mathematics** *Owner:satyamcoachingcentre.in* *Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)* **Teaching Mathematics aur Anya Anubhav** ***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan ***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav ***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan* ****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.A dedicated math expert with 23+ years of teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.After guiding thousands of students through Satyam Coaching Center,now share Mathematics,Trigonometry (Upto M.sc) and Educational Strategies in simple language on this blog from December 2018.* (2.)**(Technical Expert & Co-Admin):** ***Name:Sanjay Kumawat* *Qualification:Graduate in Mechanical Engineering (B.Tec) in 2013* *Profession:Physics Lecturer* *Teaching Experience:15 Years and Teaching to NEET,JEE Students* *Technical Experience:5 Years Coding and Article Editing,Classic Photo Editing by Laptop in Satyam Coaching Centre Blog* *A school lecturer and digital content strategist.On this blog,he handles all the responsibility of coding,image editing,SEO, and technical management,so that the mathematical content reaches the readers in a very accurate and beautiful form.* Updated on 15.06.2026

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