1.गतिविज्ञान में ऊर्जा और कार्य (Energy and Work in Dynamics),ऊर्जा और इसके प्रकार (Energy and Its Kinds):

Energy and Work in Dynamics

गतिविज्ञान में ऊर्जा और कार्य (Energy and Work in Dynamics) के इस आर्टिकल में मुख्यतया ऊर्जा से सम्बन्धित सवालों को हल करके ऊर्जा को समझने का प्रयास करेंगे।
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2.गतिविज्ञान में ऊर्जा और कार्य के उदाहरण (Energy and Work in Dynamics Examples):

Example:1.एक प्रत्यास्थ डोरी जिसका मापांक तथा स्वाभाविक लम्बाई l है,उर्ध्वाधर दिशा में लटक रही है।उसका एक सिरा स्थिर बिन्दु पर लगा हुआ है।इस पिण्ड को तब तक ऊपर उठाया जाता है,जब तक डोरी की लम्बाई स्वाभाविक हो जाती है और फिर उसे विरामावस्था में छोड़ दिया जाता है।सिद्ध करो कि तत्पश्चात होने वाली गति से अधिकतम गिरावट \frac{2 m g l}{\lambda} दूरी की होगी।
(An elastic cord of modulus and natural length l,hangs vertically,one end being attached to a fixed point and other to a body of mass M.The mass is raised till the string has its natural length and is then released from rest.Show that its greatest fall in the subsequent motion is \frac{2 m g l}{\lambda}.)
Solution:सन्तुलन अवस्था में

Energy and Work in Dynamics

बिन्दु P पर गति का समीकरण
M \frac{d^2 x}{d t^2} =M g-\frac{\lambda(x+y)}{l} \\ =M g-\frac{\lambda x}{l}-\frac{\lambda y}{l} \\ =-\frac{\lambda y}{l} [(1) से]

\frac{d^2 x}{d t^2}=-\frac{\lambda y}{l m} \\ v \frac{d v}{d y}=-\frac{\lambda y}{m l} \\ v^2=-\frac{\lambda y^2}{m l}+C_1
A पर जब y=-x तब v=0

C_1=\frac{\lambda x^2}{m l} \\ \Rightarrow v^2=\frac{\lambda}{l m}\left(x^2-y^2\right)
जब v=0 तो x=y
अधिकतम गिरावट=x+y \\ =2 x \\ =\frac{2 l m g}{\lambda}
Example:2.यदि एक प्रत्यास्थ डोरी जिसकी स्वाभाविक लम्बाई एक समान छड़ के तुल्य है।डोरी को छड़ के दोनों सिरों पर संलग्न कर रखा है तथा इसके मध्य बिन्दु से लटका दिया।सिद्ध कीजिए कि छड़ जब तक नीचे जाती जाएगी तब तक डोरी क्षैतिज के साथ कोण बनाती है जो कि \cot ^3\left(\frac{1}{2} \theta\right)-\cot \left(\frac{1}{2} \theta \right) =2 n से प्राप्त होगा।जबकि डोरी का प्रत्यास्थ मापांक छड़ के भार का n गुणा है।
(If an elastic string whose natural length is that of a uniform rod,be attached to the rod at both ends and suspended by the middle point, show that the rod will sink until the strings are inclined to the horizon at an angle given by \cot ^3\left(\frac{1}{2} \theta\right)-\cot \left(\frac{1}{2} \theta\right)=2 n, where the modulus of the string being n times the weight of the rod.)
Solution:माना AB छड़ है,जिसकी लम्बाई 2a तथा डोरी का मध्य बिन्दु O है।

Energy and Work in Dynamics

छड़ द्वारा अवरोही ऊँचाई=OM=a \tan \theta
भार द्वारा किया गया कार्य=m g \cdot a \tan \theta
किए गए कार्य के विरुद्ध छड़ का तनाव
=2 \cdot\left(\frac{O+T}{2}\right) \times विस्तार

=\lambda \cdot \frac{O A-a}{a} \cdot(O A-a) \\ =n m g \cdot \frac{a \sec \theta-a(a \sec \theta-a)}{a} \\ =n m g \cdot a(\sec \theta-1)^2
निकाय विरामावस्था से प्रारम्भ होता और विरामावस्था पर समाप्त होता है,प्रारम्भ और अन्त दोनों स्थितियों में गतिज ऊर्जा शून्य है अतः किया गया कार्य शून्य है।
फलतः छड़ का भार=तनाव

\Rightarrow m g \cdot a \tan \theta=n m g a(\sec \theta-1)^2 \\ \Rightarrow \tan \theta=n(\sec \theta-1)^2 \\ \Rightarrow \tan \theta=\frac{n(1-\cos \theta)^2}{\cos ^2 \theta} \\ \Rightarrow \sin \theta \cos \theta=n(1-\cos \theta)^2 \\ \Rightarrow 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}\left(\cos ^2 \frac{\theta}{2}-\sin ^2 \frac{\theta}{2}\right)=4 n \sin^4 \frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow \cot ^3 \frac{\theta}{2}-\cos \frac{\theta}{2}=2 n
Example:3.एक भारी छल्ला जिसकी संहति m है,एक स्थिर उर्ध्वाधर छड़ पर खिसकता है तथा छड़ से a दूरी पर एक चिकने छल्ले जिसकी संहति 3m है,में से गुजरता है तथा छल्ले में से गुजरने के बाद वह खूंटी से बंधी हुई है।सिद्ध कीजिए कि खूंटी के धरातल पर यदि छल्ले (संहति m) को छड़ पर लाकर छोड़ दिया जाए तो वह \frac{12}{5} a दूरी में आवृत्त करेगा।
(A heavy ring of mass m slides on a fixed smooth vertical rod and is attached to a fine string which passes over a smooth peg distant a from the rod, and then after passing through a smooth ring of mass 3m, is tied to the peg. Show that, if m is dropped from the point in the rod at the same horizontal level as the peg,then it will oscillate through a distance \frac{12}{5} a.)
Solution:छल्ले के भार के कारण किया गया कार्य=mga
3m छल्ले के भार के कारण कार्य=3mgx
m द्रव्यमान के छल्ले के कारण कार्य=m g\left(\frac{x+0}{2}\right)
संतुलन की अवस्था में=3 m g x-\frac{m g x}{2} \\ =\frac{5 m g x}{2}
छल्ले को छोड़ने पर कार्य=\frac{\frac{5 m g x}{2}+0}{2} \\=\frac{5 m g x}{4} \\ \Rightarrow 3 m g a=\frac{5 m g x}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{12}{5} a
Example:4.ACB एक क्षैतिज सरल रेखा है जिसकी लम्बाई a+b है।एक भारी कण C पर,एक डोरी जिसकी लम्बाई b है को A से बांधा तथा एक प्रत्यास्थ डोरी जिसकी स्वाभाविक लम्बाई a है,से B को बांधा।यदि जब कण विरामावस्था से चलना प्रारम्भ करता है,तब AC डोरी 90° कोण पर आवर्तन करती है।डोरी का प्रत्यास्थ मापांक कण के दुगुने भार के बराबर है,तो सिद्ध कीजिए कि 4 a^3=b^2(a+2b) 
(ACB is a horizontal straight line of length a+b.A heavy particle at C is attached by an inextensible string of length b to A and by an unstretched elastic string of length a to B. If, when the particle starts from the string AC just oscillates through a right angle and the modulus of elasticity of the elastic string is equal to twice the weight of the particle, prove that 4 a^3=b^2(a+2b) .)
Solution:कण के भार के कारण तनाव=m g a \tan \theta

Energy and Work in Dynamics

डोरी में तनाव=2 m g\left(\frac{a \sec \theta-a}{a}\right)(a \sec \theta-a) \\ =2 m g a(\sec \theta-1)^2 \\ m g a \tan \theta=2 m g a(\sec \theta-1)^2 \\ \Rightarrow \tan \theta=2(\sec \theta-1)^2 \\ \Rightarrow \tan \theta=\frac{2(1-\cos \theta)^2}{\cos ^2 \theta} \\ \Rightarrow \sin \theta \cos \theta=2(1-\cos \theta)^2 \\ \Rightarrow \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \left(90^{\circ}-\theta \right) =2\left[1-\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)\right]^2 \\ \Rightarrow \sqrt{1-\sin ^2 \left(90^{\circ} -\theta \right)} \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=2\left[1-\sin (90^{\circ}-\theta)\right]^2 \\ \Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{(a+b)^2}} \cdot\left(\frac{b}{a+b}\right)=2\left[1-\frac{b}{a+b}\right]^2 \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+2 a b}}{(a+b)} \cdot \frac{b}{(a+b)}=2 \frac{a^2}{(a+b)^2} \\ \Rightarrow \sqrt{a(a+2 b)} \cdot b=2 a^2 \\ \Rightarrow a(a+2b) b^2=4 a^4 \\ \Rightarrow 4 a^3=b^2(a+2 b)
Example:5.एक प्रत्यास्थ रस्सी का सिरा स्थिर है तथा दूसरे सिरे पर एक मनुष्य जिसका भार w है,लटका हुआ है।रस्सी का प्रत्यास्थ मापांक nw है।वह रस्सी पर चढ़ना प्रारम्भ करता है,सिद्ध कीजिए कि जब वह स्थिर बिन्दु पर पहुँचता है तब उसके द्वारा किया गया कार्य= \frac{2 n+1}{2 n+2} (मनुष्य द्वारा किया गया कार्य,जो कि यदि अप्रत्यास्थ रस्सी पर उतनी दूरी चढ़ने में करता)।
(A man of weight w hanges at the end of a light extensible rope whose modulus is nw, the other end being fastened to a fixed point.He proceeds to climb up the rope.Prove that when he reaches the fixed point, he has done= \frac{2 n+1}{2 n+2} times the work,he would have to do in climbing,the same distance up an inextensible rope)
Solution:अप्रत्यास्थ रस्सी होने पर मनुष्य का भार=अप्रत्यास्थ रस्सी में तनाव

W=\frac{n w\left(l^{\prime}-l\right)}{l} \\ \Rightarrow n l+l=l^{\prime} \\ \Rightarrow l^{\prime} =\frac{(n+1) l}{n}
जब रस्सी अप्रत्यास्थ है तो मनुष्य के भार के कारण किया गया कार्य=w\left(\frac{n+1}{n}\right) l
प्रत्यास्थ डोरी पर चढ़ने में मनुष्य द्वारा किया गया कार्य =\left(l^{\prime}-l\right)\left(\frac{0+w}{2}\right) \\ =\left[\frac{(n+1) l}{n}-l\right] \frac{w}{2} \\ =\frac{w l}{2 n}
अतः किया गया कार्य=\frac{w(n+1) l}{n}-\frac{w l}{2 n} \\ =w \cdot\left[\frac{n+1}{n}-\frac{1}{2 n}\right] \\ =w \ell\left[\frac{2 n+2-1}{2 n}\right] \\=\left(\frac{2 n+1}{2 n}\right) w l \\ =\frac{2 n+1}{2(n+1)} \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right) w l \\ =\frac{2 n+1}{2 n+2}(मनुष्य द्वारा किया गया कार्य,जो कि यदि अप्रत्यास्थ रस्सी पर उतनी दूरी चढ़ने में करता)
Example:6.एक m संहति का छल्ला \frac{2 m M a}{M^2-m^2} एक चिकनी ऊर्ध्व छड़ पर खिसकता है।छड़ से a दूरी पर चिकनी खूंटी पर एक धागा छल्ले से संलग्न है तथा वह एक चिकनी खूंटी जो कि a दूरी पर है,उसके ऊपर से गुजरता है तथा इस धागे व दूसरे सिरे से एक द्रव्यमान M (>m) संलग्न है।छल्ले को खूंटी के समतल पर रोका गया तथा फिर छोड़ दिया गया।सिद्ध कीजिए कि छल्ला दूरी गिरने के पश्चात विरामावस्था में आ जाता है।
(A ring of mass m slides on a smooth vertical rod;attached to the ring is a light string passing over a smooth peg distance a from the rod,and at the other end of this string is a mass M (>m).The ring is held on a level with the peg and released.Show that it comes to rest after falling a distance)

\frac{2 m M a}{M^2-m^2}
Solution:निकाय विरामावस्था से शुरू होता है।माना इसे छोड़ने के बाद पुनः विरामावस्था में आ जाता है जब छल्ला प्रारम्भिक स्थिति से x दूरी गिर चुका है और ब्लाॅक h दूरी ऊपर चढ़ जाता है।छल्ले द्वारा स्थितिज ऊर्जा का त्याग ब्लाॅक द्वारा प्राप्त की गई स्थितिज ऊर्जा के बराबर है,जबकि द्रव्यमान इस क्षण कोई गतिज ऊर्जा नहीं रखता है।अतः
mgx=Mgh  …. (1)
अब हमें x तथा h के मध्य सम्बन्ध ज्ञात करना है
जब छल्ला x दूरी गिर चुका है,खूंटी और छड़ के बीच दूरी b हो तो जहाँ

b^2=a^2+x^2 \cdots(2)
यहाँ h=b-a अतः

\Rightarrow b^2=(h+a)^2 \cdots(3)
(2) व (3) से:

(h+a)^2=a^2+x^2 \\ \Rightarrow h^2+2 a h+a^2=a^2+x^2 \\ \Rightarrow x^2=h^2+2 a h \cdots(4)
माना P=\frac{m}{M}
तथा h=px
समीकरण (1) में रखने परः
m x=M h \\ \Rightarrow \frac{m}{M} x =h \\ (px)^2 =p^2 x^2 \\=h^2 \\ =x^2-2 a h [(4) से]
=x^2-2 a p x \\ \Rightarrow x^2-p^2 x^2=2 a p x \\ \Rightarrow x^2\left(1-p^2\right)=2 a p x \\ \Rightarrow x=\frac{2 a p}{1-p^2}
p का मान रखने पर:

\Rightarrow x=\frac{2 a \frac{m}{M}}{1-\frac{m^2}{M^2}} \\ =\frac{2 m M a}{M^2-m^2}
Example:7.एक लचीली परन्तु अप्रत्यास्थ जंजीर जिसकी लम्बाई l तथा भार wl है,एक मेज पर रखी जाती है तथा जंजीर का भाग जिसकी लम्बाई a है,वह मेज से लटकी हुई है।ऊर्जा के सिद्धान्त द्वारा सिद्ध कीजिए कि यदि जंजीर को छोड़ दिया जाए तो जंजीर \sqrt{\left\{\frac{g}{l}\left(x^2-a^2\right)\right\}} वेग से फिसल जाएगी।
(A flexible but inextensible chain of length l and weight wl is held on a smooth table and the length a over hanging.Apply the principle of energy to show that the velocity with which the chain will leave the table, if realesed is \sqrt{\left\{\frac{g}{l}\left(x^2-a^2\right)\right\}} )
Solution:लटकी जंजीर द्वारा किया गया कार्य=w a\left(\frac{a+0}{2}\right) \\ =w a^2
पूरी जंजीर द्वारा किया गया कार्य=w l \left(\frac{l+0}{2}\right) \\ =\frac{w l^2}{2}
माना जंजीर का वेग v है तब
गतिज ऊर्जा=किया गया कार्य

\Rightarrow \frac{1}{2} \frac{w l v^2}{g}=w l^2-w a^2 \\ \Rightarrow v^2=\frac{g}{l}\left(l^2-a^2\right) \\ \Rightarrow v=\sqrt{\left\{\frac{g}{l}\left(l^2-a^2\right)\right\}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गतिविज्ञान में ऊर्जा और कार्य (Energy and Work in Dynamics),ऊर्जा और इसके प्रकार (Energy and Its Kinds) को समझ सकते हैं।

3.गतिविज्ञान में ऊर्जा और कार्य के सवाल (Energy and Work in Dynamics Questions):

Energy and Work in Dynamics

(1.)एक हल्की ABCDE डोरी जिसका मध्य बिन्दु C है एक चिकने छल्ले B से गुजरती है,जहाँ D बिन्दु क्षैतिज तल पर एक सिरे से 2a दूरी पर स्थिर है।A,C,E प्रत्येक बिन्दुओं पर m द्रव्यमान बंधा हुआ है।प्रारम्भ में C को BD के मध्य बिन्दु O पर रखा जाता है और फिर स्वतन्त्र रूप से छोड़ दिया जाता है।सिद्ध करो कि यह विरामावस्था में आएगा जब O C=\frac{4}{3} a।यह भी सिद्ध करो कि जब C, O से दूरी गिर चुका होगा तो इसका वेग \sqrt{\frac{45}{86}} \text { ag } होगा।
(A light string ABCDE whose middle point is C passes through smooth rings B,D which are fixed in a horizontal plane at a distance 2a apart.To each of the points A,C, E is attached a mass m initially C is held at O the middle point of BD and is then set free.Show that when C has fallen through from O,its velocity is \sqrt{\frac{45}{86}} \text { ag } )
(2.)एक पिण्ड गुरुत्वाकर्षण बल के अधीन विरामावस्था से स्वतन्त्र रूप से छोड़ा जाता है।जब यह गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा P खो चुका है तब इसका वेग v है,तब पिण्ड का द्रव्यमान क्या होगा?
(A body falls from rest freely under gravity.If the speed is v when it has lost an amount P of gravitational potential energy,then what is the mass of body?)

उत्तर(Answer):- (2.) m=\frac{2 P}{v^2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गतिविज्ञान में ऊर्जा और कार्य (Energy and Work in Dynamics),ऊर्जा और इसके प्रकार (Energy and Its Kinds) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गतिविज्ञान में ऊर्जा और कार्य (Frequently Asked Questions Related to Energy and Work in Dynamics),ऊर्जा और इसके प्रकार (Energy and Its Kinds) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गतिविज्ञान में ऊर्जा और कार्य (Energy and Work in Dynamics) के इस आर्टिकल
में मुख्यतया ऊर्जा से सम्बन्धित सवालों को हल करके ऊर्जा को समझने का प्रयास करेंगे।