1.गतिविज्ञान में स्तब्धिका (Apsidal in Dynamics), स्तब्धिका दूरी (Apsidal Distance):

Apsidal in Dynamics

गतिविज्ञान में स्तब्धिका (Apsidal in Dynamics) के इस आर्टिकल में कण के पथ का समीकरण अर्थात् सकेन्द्र कक्षा का समीकरण ज्ञात करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.गतिविज्ञान में स्तब्धिका के उदाहरण (Apsidal in Dynamics Examples):

Example:10.एक कण एक केन्द्रीय बल के अधीन a दूरी पर ध्रुवीय रेखा के लम्बवत दिशा में अनन्त से प्राप्त वेग से प्रक्षिप्त किया जाता है।सिद्ध कीजिए कि सकेन्द्र कक्षा का समीकरण

r^{\left(\frac{n-3}{2}\right)}=a^{\left(\frac{m-3}{2}\right)} \cos \left\{\left(\frac{n-3}{2} \right)\theta \right\}
(A particle is projected at right angle at a distance a under a central force with the velocity from infinity.Show that the orbit is)

r^{\left(\frac{n-3}{2}\right)}=a^{\left(\frac{m-3}{2}\right)} \cos \left \{\left(\frac{n-3}{2} \right)\theta \right\}
Solution:दूरी घट रही है अतः गति का समीकरण v \frac{d v}{d x}=-P \\ v \frac{d v}{d r}=-P=-\frac{\mu}{r^n} \\ \Rightarrow \int_0^a v d v=-\int_{\infty}^a \frac{\mu}{r^n} d r \\ \Rightarrow \frac{v^2}{2}=-\frac{\mu}{(-n+1) a^{n-1}} \\ \Rightarrow v^2=\frac{2 \mu}{(n-1) a^{n-1}}
अब सकेन्द्र कक्षा (पथ) का अवकल समीकरण

h^2 u^2\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right) =P=\mu r^n \\ \Rightarrow h^2\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=\mu \cdot u^{n-2}
दोनों पक्षों को 2 \frac{d u}{d \theta} से गुणा करके समाकलन करने परः

v^2=n^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=\frac{2 \mu}{n-1} u^{n-1}+A
जब r=a \Rightarrow u=\frac{1}{a} तब v=V तथा \frac{d u}{d \theta}=0 \\ \frac{2 \mu}{(n-1) a^{n-1}}=\frac{h^2}{a^2}=\frac{2 \mu}{(n-1)\left(a^{n-1}\right)}+A \\ \Rightarrow A=0  तथा h^2=\frac{2 \mu}{(n-1) a^{n-3}}

A=0  तथा h^2 मान रखने परः

\frac{2 \mu}{(n-1) a^{n-3}}\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=\frac{2 \mu u^{n-1}}{n-1} \\ \Rightarrow u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2=\frac{2 \mu}{n-1} u^{n-1} \times \frac{(n-1) a^{n-3}}{2 \mu} \\ \Rightarrow u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2=\left(a^{n-3}\right) u^{n-1} \\ \Rightarrow \left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2=a^{n-3} u^{n-1}-u^2 \\ u=\frac{1}{r} \Rightarrow \frac{d u}{d \theta}=-\frac{1}{r^2}\left(\frac{d r}{d \theta}\right) \\ \Rightarrow\left(-\frac{1}{r^2}\right)^2 \left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2=\frac{a^{n-3}}{r^{n-1}}-\frac{1}{r^2} \\ \Rightarrow\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2 =\frac{a^{n-3}}{r^{n-5}}-r^2 \\ \Rightarrow\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2=\frac{a^{n-3}-r^{n-3}}{r^{n-5}} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=\frac{\sqrt{a^{n-3}-r^{n-3}}}{r^{\frac{n-5}{2}}} \\ \Rightarrow \int \frac{r^{\frac{n-5}{2}}}{\sqrt{\left(a^{\frac{n-3}{2}}\right)^2-\left(r^{\frac{n-3}{2}}\right)^2}} =\int d \theta \\ \text { put } r^{\frac{n-3}{2}}=t \Rightarrow \frac{n-3}{2} r^{\frac{n-5}{2}} dr=dt \\ \Rightarrow \int \frac{d t}{\sqrt{\left(a^{\frac{n-3}{2}}\right)^2-t^2}} =\frac{n-3}{2} \int d \theta \\ \Rightarrow \sin^{-1} \left(\frac{t}{a^{\frac{n-3}{2}}}\right)=\left(\frac{n-3}{2}\right) \theta+B \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{r^{\frac{n-3}{2}}}{a^{\frac{n-3}{2}}}\right)=\left(\frac{n-3}{2}\right) \theta+B
जब r=a \Rightarrow \theta=0 \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{a \frac{n-3}{2}}{a^{\frac{n-3}{2}}}\right)=B \\ \Rightarrow B=\sin ^{-1}(1)=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{r^{\frac{n-3}{2}}}{a^{\frac{n-3}{2}}}\right)=\left(\frac{n-3}{2}\right) \theta+\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \frac{r^{\frac{n-3}{2}}}{a^{\frac{n-3}{2}}}=\sin \left[\frac{\pi}{2}+\left(\frac{n-3}{2}\right) \theta\right] \\ \Rightarrow r^{\frac{n-3}{2}}=a^{\frac{n-3}{2}} \cos \left(\frac{n-3}{2}\right) \theta
Example:13.एक कण पर केन्द्रीय प्रतिकर्षी बल कार्यरत है जो कि केन्द्र से दूरी nवीं घात के समानुपाती है।यदि पथ के किसी बिन्दु पर वेग केन्द्र से उस बिन्दु तक गिरने से प्राप्त वेग के बराबर हो,तो प्रदर्शित कीजिए कि पथ के समीकरण का रूप निम्न है:

r^{\left(\frac{n+3}{2}\right)} \cos \left[\theta\left(\frac{n+3}{2}\right)\right]= अचर 
(A particle is acted on by a central repulsive force which varies as the nth power of the distance ;if the velocity at any point of the path be equal to that which would be acquired in falling from the centre to the point, show that the equation to the path is of the form)

r^{\left(\frac{n+3}{2}\right)} \cos \left[\theta\left(\frac{n+3}{2}\right)\right]=costant
Solution:दूरी घट रही है अतः गति का समीकरण v \frac{d v}{d x}=-P \quad(r=x) \\ v \frac{d v}{d x}=p=\mu x^n \\ \int_0^v v d v=\int_0^a \mu x^n dx
सीमाएँ:जब x=0 तो v=0 तथा जब x=a तो v=V \\ \therefore \frac{V^2}{2}=\mu \cdot\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^a \\ \Rightarrow V^2=\frac{2 \mu a^{n+1}}{n+1}
अब सकेन्द्र कक्षा (पथ) का समीकरण

h^2 u^2\left(\mu+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=-\mu r^n=-\frac{\mu}{u^n} \\ \Rightarrow h^2\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=-\frac{\mu}{u^{n+2}}
दोनों पक्षों को 2 \frac{d u}{d \theta} से गुणा करके समाकलन करने परः

v^2=h^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=\frac{2 \mu}{(n+1) u^{n+1}}+A
जब r=a, v=V=\frac{2 \mu a^{n+1}}{n+1} तब \frac{d u}{d \theta}=0 \\ \Rightarrow V^2=h^2\left(\frac{1}{a^2}+0\right)=\frac{2 \mu}{(n+1)} a^{n+1}+A \\ \Rightarrow \frac{2 \mu}{(n+1)} a^{n+1}=\frac{h^2}{a^2}=\frac{2 \mu}{n+1} a^{n+1}+A \\ \therefore A=0  तथा h^2=\frac{2 \mu}{n+1} a^{n+3}[/katex]
A तथा h^2 का मान रखने परः

जब \theta=0, r=a \Rightarrow u=\frac{1}{a} \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{a^{\frac{n+3}{2}}}{a^{\frac{n+3}{2}}}\right)=\left(\frac{n+3}{2}\right) 0+B \\ \Rightarrow B=\sin ^{-1}(1)=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left(a^{\frac{n+3}{2}} u^{\frac{n+3}{2}}\right)=\left(\frac{n+2}{2}\right) \theta+\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow a^{\frac{n+3}{2}} u^{\frac{n+3}{2}}=\sin \left[\left(\frac{n+3}{2}\right) \theta+\frac{\pi}{2}\right] \\ \Rightarrow \frac{a^{\frac{n+3}{2}}}{r^{\frac{n+3}{2}}}=\cos \left[\left( \frac{n+3}{2}\right) \theta\right] \left[\because u=\frac{1}{r}\right] \\ \Rightarrow r^{\frac{n+3}{2}} \cos \left[\left(\frac{n+3}{2}\right) \theta\right]=a^{\frac{n+3}{2}}

Apsidal in Dynamics

Example:14.एक नियत बल केन्द्र के परितः एक कण द्वारा रचित पथ ज्ञात कीजिए,जबकि केन्द्र की ओर त्वरण का रूप \frac{\mu}{r^2}+\frac{\mu^{\prime}}{r^3} है,पथ का समीकरण,वेग में अभिव्यक्त करना है,जहाँ V बल केन्द्र से a दूरी पर स्तब्धिका का वेग है।
(Find the path described about a fixed centre of force by a particle,when the acceleration toward the centre is of the form \frac{\mu}{r^2}+\frac{\mu^{\prime}}{r^3} in terms of the velocity V at an apse where distance is a from the centre of force.)
Solution:पथ का अवकल समीकरणः

h^2 u^2\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=P=\mu u^2+\mu^{\prime} u^3 \\ \Rightarrow h^2\left[u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right]=\mu+\mu^{\prime} u
दोनों पक्षों को 2 \frac{d u}{d \theta} से गुणा करके समाकलन करने परः

v^2=h^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=2 \mu u+\mu^{\prime} u^2+A \cdots(1)
प्रारम्भ में जब u=\frac{1}{a}, v=V तथा \frac{d u}{d \theta}=0 \\ \Rightarrow V^2=h^2 \left(\frac{1}{a^2} +0 \right)=\frac{2 \mu}{a}+\frac{\mu^{\prime}}{a^2}+A \\ A=V^2-\frac{2 \mu}{a}-\frac{\mu^{\prime}}{a^2} व h^2=a^2 V^2 \cdots(2) \\ \Rightarrow a^2 V^2\left[u^2+ \left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right] =2 \mu u+\mu^{\prime} u^2+A \\ \Rightarrow u^2+\left(\frac{d u}{d \theta} \right)^2=\frac{2 \mu u}{a^2 V^2}+\frac{\mu^{\prime} u^2}{a^2 V^2}+\frac{A}{a^2 V^2} \\ \Rightarrow \left(\frac{d u}{d \theta} \right)^2 =\frac{\mu^{\prime} u^2}{a^2 V^2}+\frac{2 \mu u}{a^2 V^2}+\frac{A}{a^2 V^2}-u^2 \\ \Rightarrow\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2=\frac{\left(u^{\prime}-a^2 V^2\right) u^2}{a^2 V^2}+\frac{2 \mu u}{a^2 v^2}+\frac{A}{a^2 v^2} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d \theta}=\sqrt{\left( \frac{\sqrt{\mu^{\prime} -a^2 v^2}}{a V} u+\frac{\mu}{a V}\right)^2+ \left(\frac{ \sqrt{A}}{a V}-\frac{\mu}{a V}\right)^2}  \\ \Rightarrow \int \frac{d u}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a V} u+\frac{\mu}{a V}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{A}}{a V}-\frac{\mu}{a V}\right)^2}}=\int d \theta \\ \text { put } \frac{\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a V} u+ \frac{\mu}{a V}=t \\ \Rightarrow d u=\frac{a V}{\sqrt{\mu^{\prime} -a^2 V^2}} d t \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a V} \theta+\alpha =\int \frac{d t}{\sqrt{t^2+\left(\frac{\sqrt{A}}{a V}-\frac{\mu}{a V}\right)^2}} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a V} \theta+\alpha=\log \left[t+\sqrt{t^2+\left(\frac{\sqrt{A}}{a V}-\frac{\mu}{a v}\right)^2}\right] \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a V} \theta+\alpha=\log \left[\frac{\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2}}{aV} u+\sqrt{\frac{ \mu^{\prime}-a^2 V^2}{a^2 V^2} u^2+\frac{2 \mu }{a^2 V^2}u+\frac{A}{a^2 V^2}}\right]
प्रारम्भ में जब \theta=\alpha तो u=\frac{1}{a} \\ \alpha=\log \left[\frac{\sqrt{ \mu^{\prime} -a^2 V^2}}{a^2 V}+\sqrt{\frac{\left(\mu^{\prime}-a^2 V^2\right)}{a^2 V^2}+\frac{2 \mu}{a^2 V^2}}+\frac{A}{a^2V^2}\right] \\ \Rightarrow \alpha=\log \left[\frac{\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a^2 V}+ \sqrt{\frac{\mu^{\prime}-a^2 V^2}{a^2 V^2}+\frac{2 \mu}{a^2 V^2}+\frac{1}{a^2 V^2}\left(V^2 -\frac{2 \mu}{a}-\frac{\mu^{\prime}}{a^2}\right)}\right] \\ \Rightarrow \alpha=\log \left[\frac{\sqrt{ \mu^{\prime} -a^2 V^2}}{a^2 V}\right] \frac{\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a V} \theta+\log \left(\frac{\sqrt{ \mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a^2 V}\right)=\log \left[\frac{\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a V} u +\sqrt{\frac{\left(\mu^{\prime}-a^2 V^2\right)}{a^2V^2}} u^2+\frac{2 \mu}{a^2V^2}+\frac{1}{a^2 V^2}\left(V^2-\frac{2\mu}{a}-\frac{\mu^{\prime}}{a^2}\right)\right] \\ \frac{\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a V} \theta= \log \frac{ \left[\frac{\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a V} u +\sqrt{\frac{\left(\mu^{\prime}-a^2 V^2\right)}{a^2V^2}} u^2+\frac{2 \mu}{a^2V^2}+\frac{1}{a^2 V^2}\left(V^2-\frac{2\mu}{a}-\frac{\mu^{\prime}}{a^2}\right)\right]}{\frac{\sqrt{ \mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a^2 V}} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2}}{a V} \theta= \log \frac{ \left[a\sqrt{\mu^{\prime}-a^2 V^2} +a \sqrt{\left(\mu^{\prime}-a^2 V^2\right)} u^2+2 \mu r+r^2 \left(V^2-\frac{2\mu}{a}-\frac{\mu^{\prime}}{a^2}\right)\right]}{r \sqrt{ \mu^{\prime}-a^2 V^2}}
Example:15.एक कण केन्द्रीय त्वरण \lambda^2\left(8 a u^2+a^4 u^5\right) सहित गतिशील है,इस कण को मूलबिन्दु से \frac{a}{3} दूरी पर स्तब्धिका से 9 \lambda वेग से प्रक्षिप्त किया गया है।प्रदर्शित करो कि इसके पथ का समीकरण \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{\left(\frac{a u+5}{a u-3}\right)}=\cot \left(\frac{\theta}{\sqrt{6}}\right)  है।
(A particle moves with a central acceleration \lambda^2\left(8 a u^2+a^4 u^5\right), it is projected with velocity 9 \lambda from an apse at a distance \frac{a}{3} from the origin; show that the equation to its path is) \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{\left(\frac{a u+5}{a u-3}\right)}=\cot \left(\frac{\theta}{\sqrt{6}}\right)
Solution:पथ का अवकल समीकरण

P=h^2 u^2\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=\lambda^2\left(8 a u^2+a^4 u^5\right) \\ \Rightarrow h^2\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=\lambda^2\left(8 a+a^4 u^3\right)
दोनों पक्षों को 2 \frac{d u}{d \theta} से गुणा करके समाकलन करने परः

v^2=n^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=\lambda^2 \left(16 a u+\frac{a^a u^4}{2}\right)+A
प्रारम्भ में r=\frac{a}{3} \Rightarrow u=\frac{3}{a}, v=9 \lambda तथा \frac{d u}{d \theta}=0 \\ \therefore 81 \lambda^2=h^2\left[\frac{9}{u^2}+0\right]=\lambda^2\left(48+\frac{81}{2}\right)+A \\ \therefore h^2=9 \lambda^2 a^2 तथा A=-\frac{15}{2} \lambda^2 \\ \therefore 9 \lambda^2 a^2\left[u^2+ \left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=\lambda^2\left[16 a u+\frac{a^4 u^4}{2}-\frac{15}{2}\right] \\ \Rightarrow 9 a^2\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2 =\left[\frac{a^4 u^4}{2}-9 a^2 u^2+16 a u-\frac{15}{2}\right] \\ \Rightarrow 18 a^2 \left(\frac{d u}{d v}\right)^2=\left[a^4 u^4-18 a^2 u^2+32 a u-15\right) \\ =(a u-1)\left(a^3 u^3+a^2 u^2-17 a u+15\right] \\ =(a u-1)(a u-1) \cdot\left(a^2 u^2+2 a u-15\right) \\ =(a u-1)^2 \cdot(a u+5)(a u-3) \\ \therefore 3 \sqrt{2} a\left(\frac{d u}{d \theta}\right) =(a u-1) \sqrt{(a u-3)(a u+5)} \\ \Rightarrow \int \frac{a d u}{(a u-3)(a u-1) \cdot \sqrt{\left(\frac{a u+5}{a u-3}\right)}}=\int \frac{d t}{3 \sqrt{2}} \\ \text { Put } a u+5=(a u-3) t^2 \\ \Rightarrow a u=\frac{3 t^2+5}{t^2-1} \\ \Rightarrow a d u=\frac{\left(t^2-1\right) \cdot 6 t-\left(3 t^2+5\right) \cdot 2 t}{\left(t^2-1\right)^2} d t \\ \Rightarrow a d u=\frac{-16 t}{\left(t^2-1\right)^2} d t \\ \Rightarrow a u-1=2 \left( \frac{t^2+3}{t^2-1} \right) तथा  a u-3=\frac{8}{t^2-1} \\ \therefore \int \frac{\frac{-16 t}{\left(t^2-1\right)^2} d t}{2 \frac{t^2+3}{t^2-1} \cdot \frac{8}{t^2-1} \cdot t}=\int \frac{d \theta}{3 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow \int-\frac{d t}{t^2+3}=\int \frac{d \theta}{3 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} \cot ^{-1} \cdot\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\theta}{3 \sqrt{2}}+B \\ \Rightarrow \cot ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right) =\frac{\theta}{\sqrt{6}}+C
प्रारम्भ में \theta=0, u=\frac{3}{a} \Rightarrow a u=3 \\ \therefore t^2=\frac{a u+5}{a u-3}=\infty
तथा \cot^{-1} \infty=0 \\ \therefore C=0 \\ \frac{t}{\sqrt{3}}=\cot \frac{\theta}{\sqrt{6}} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{\left(\frac{a u+5}{a u-3}\right)}=\cot \left(\frac{\theta}{\sqrt{6}}\right) 
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गतिविज्ञान में स्तब्धिका (Apsidal in Dynamics), स्तब्धिका दूरी (Apsidal Distance) को समझ सकते हैं।

3.गतिविज्ञान में स्तब्धिका के सवाल (Apsidal in Dynamics Questions):

Apsidal in Dynamics

(1.)यदि केन्द्रीय बल दूरी का एक मानी फलन हो तो सिद्ध कीजिए कि केवल दो स्तब्धिका दूरियाँ और एक स्तब्धिका कोण विद्यमान होता है।
(If a central force be a single valued function of the distance prove that there will be only two apsidal distance and one apsidal angle)
(2.)यदि एक कण केन्द्रीय बल \mu r^{-2 n-3} के अधीन स्तब्धिका से a दूरी पर अनन्त से प्राप्त वेग से प्रक्षिप्त किया जाता है,सिद्ध करो कि पथ का समीकरण r^n=a^n \cos n \theta
(If a particle is projected from an apse at a distance with the velocity from infinity under the action of a central force \mu r^{-2 n-3}, prove that the path is) r^n=a^n \cos n \theta
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गतिविज्ञान में स्तब्धिका (Apsidal in Dynamics), स्तब्धिका दूरी (Apsidal Distance) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गतिविज्ञान में स्तब्धिका (Frequently Asked Questions Related to Apsidal in Dynamics), स्तब्धिका दूरी (Apsidal Distance) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गतिविज्ञान में स्तब्धिका (Apsidal in Dynamics) के इस आर्टिकल में कण के पथ का
समीकरण अर्थात् सकेन्द्र कक्षा का समीकरण ज्ञात करके समझने का प्रयास करेंगे।