1.क्षैतिज प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in Horizontal Elastic String),उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in Vertical Elastic String):

Motion in Horizontal Elastic String

क्षैतिज प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in Horizontal Elastic String) पर आधारित सवालों के साथ-साथ उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में कण की गति पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.क्षैतिज प्रत्यास्थ डोरी में गति पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Motion in Horizontal Elastic String):

Example:1.एक कण जिसका द्रव्यमान m है, एक चिकनी मेज पर स्थित दो बिन्दुओं A तथा B को मिलाने वाली रेखा पर सरल-आवर्त गति से गतिमान है और इन बिन्दुओं से प्रत्यास्थ डोरियों द्वारा जिनमें हर एक का तनाव सन्तुलन में T है,बंधा हुआ है।सिद्ध करो कि एक दोलन का काल 2 \pi \sqrt{\left[\frac{m l l^{\prime}}{T\left(l+l^{\prime}\right)}\right]} है,जहाँ l तथा l’ डोरियों में उनकी स्वाभाविक लम्बाई के ऊपर विस्तार है।
(A particle of mass m executes S.H.M. in the line joining two points A and B on a smooth table and is connected with these points by elastic strings whose tension in equilibrium are each T.Show that the time of an oscillation is 2 \pi \sqrt{\left[\frac{m l l^{\prime}}{T\left(l+l^{\prime}\right)}\right]} where l,l’ are the extensions of the strings beyond their natural lengths.)
Solution:माना डोरी की स्वाभाविक लम्बाई a और b है तथा माना O सन्तुलन की अवस्था है तथा इस स्थिति में

Motion in Horizontal Elastic String

कण को विस्थापित करके छोड़ते हैं।माना t समय के बाद इसकी स्थिति P पर है जहाँ OP=x
यदि T_1 तथा T_2 डोरी में तनाव है तब
T_1=\frac{\lambda_1}{a}(l+x) तथा T_2=\frac{\lambda_2}{b}\left(l^{\prime}-x\right)
गति का समीकरण
m \frac{d^2 x}{d t^2} =T_2-T_1 \\ =\left(\frac{\lambda_2}{b} l^{\prime}-\frac{\lambda_1}{a} l\right)-x\left(\frac{\lambda_1}{a}+\frac{\lambda_2}{b}\right) \\ \Rightarrow m \frac{d^2 x}{d t^2} =0-x\left(\frac{\lambda_1}{a}+\frac{\lambda_2}{b}\right) [(1) से]
\Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2} =-\frac{x}{m}\left(\frac{\lambda_1}{a}+\frac{\lambda_2}{b}\right) \\ =-\frac{x}{m}\left(\frac{T}{l}+\frac{T}{l^{\prime}}\right) [(1) से]

=-\frac{x T}{m}\left(\frac{l+l^{\prime}}{l l^{\prime}}\right) \\ \Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2} =-x \frac{T\left(l+l^{\prime}\right)}{m l l^{\prime}} \cdots(2)
दोलनकाल =\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}} \\ =\frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{T\left(l+l^{\prime}\right)}{m l l^{\prime}}}} [(2) से]

=2 \pi \sqrt{\left[\frac{m l l^{\prime}}{T\left(l+l^{\prime}\right)}\right]}
Example:2.एक प्रत्यास्थ डोरी,जिसका प्रत्यास्था गुणांक \lambda तथा स्वाभाविक लम्बाई a है,का एक सिरा चिकनी क्षैतिज मेज के एक नियत बिन्दु से बांधा गया है तथा दूसरा सिरा एक कण जो कि मेज पर है तथा जिसका द्रव्यमान m है,से बांधा गया है।द्रव्यमान m वाले कण को इतना खींचा गया है कि डोरी का विस्तार b हो जाता है और तब उसे छोड़ दिया जाता है।गति के लक्षण का वर्णन कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि एक सम्पूर्ण दोलन का आवर्तकाल होगा:
(one end of an elastic string whose modulus of elasticity is \lambda and whose unstretched  length a,is tied to a fixed point on the smooth horizontal table and the other end is tied to a particle of mass m which is lying on the table.The particle is pulled let go,describe the character of the motion and show that the period of one complete oscillation is):

2\left(\pi+\frac{2 a}{b}\right) \sqrt{\left(\frac{a m}{\lambda}\right)}
Solution:माना कि कण को B से छोड़ने पर किसी समय स्थिति P है जो A से x दूरी पर है।अतः इस क्षण डोरी में विस्तार x है।
अतः हुक्स नियम से तनाव PA की दिशा में होगा

T=\frac{\lambda x}{a}
जिसकी दिशा A की तरफ होगी।
कण पर केवल तनाव (बल) कार्य करता है अतः

p=m f=m \frac{d^2 x}{d t^2} \\ m \frac{d^2 x}{d t^2}=-T=-\lambda \frac{x}{a}
जहाँ m कण का द्रव्यमान है।
\Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2}=-\frac{\lambda x}{a m}=-\mu x  जहाँ \mu=\frac{\lambda}{a m}
उपर्युक्त समीकरण दर्शाती है कि यह A के सापेक्ष सरल आवर्त गति है अतः आवर्तकाल

=\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}}=\frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{\lambda}{a m}}} \\ =2 \pi \sqrt{\frac{a m}{\lambda}}
उपर्युक्त समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

v \frac{d v}{d x}=-\mu x \\ \Rightarrow \int v d v=-\int \mu x d x
समाकलन करने पर:

\Rightarrow \frac{v^2}{2}=-\mu \frac{x^2}{2}+k
यदि B इसकी अन्तिम स्थिति है तो AB=b तब
x=b, v=0 तथा k=\mu \frac{b^2}{a} \\ \therefore v^2=\mu\left(b^2-x^2\right)
जब कण A पर पहुँचता है तो डोरी अपनी स्वाभाविक लम्बाई प्राप्त कर लेती है तब इसका वेग
x=0 \Rightarrow v=\sqrt{\mu} b
कण A से O की तरफ इस वेग से गति करता है और रस्सी ढीली पड़ जाती है तथा तनाव समाप्त हो जाता है।कण इस स्थिर वेग \sqrt{\mu} b से A’ तक गति करता है जहाँ OA’=OA; डोरी पुन: अपनी स्वाभाविक लम्बाई को प्राप्त करती है।जैसे ही कण A से \sqrt{\mu} b वेग से शुरू होता है तो डोरी में पुनः तनाव उत्पन्न हो जाता है तथा कण A’ से सरल आवर्त गति B’ तक करता है जहाँ A’B’=AB, B’ पर कण रूक जाता है तथा पुन: वापस A’ की ओर वापस सरल आवर्त गति से लौटता है तथा A’ से A तक स्थिर वेग \sqrt{\mu} b से गति करता है तथा A से B तक सरल आवर्त गति करता है और पुन: B पर रूक जाता है।
B से A,A’ से B’,B’ से A तथा A से B सरल आवर्त गति और A से A’ व A’ से A तक स्थिर वेग से गति करता है।
यदि सम्पूर्ण गति का आवर्तकाल T हो तो
T=सरल आवर्त गति का समय+स्थिर वेग से गति का समय

=\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}}+\frac{4 a}{\sqrt{\mu} b}
A से A’ तथा पुन: वापिस A’ से A तक कुल दूरी 4a है तथा स्थिर वेग से गति करता है।

3.उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में गति पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Motion in Vertical Elastic String):

Example:2.एक भारहीन प्रत्यास्थ डोरी जिसकी स्वाभाविक लम्बाई l है तथा प्रत्यास्थ मापांक n ग्राम के भार के समान है,एक सिरे से लटकाई जाती है और उसके दूसरे छोर पर m ग्राम का एक पिण्ड बांध दिया जाता है।सिद्ध कीजिए कि एक लघु उर्ध्वाधर दोलन का समय

2 \pi \sqrt{\left(\frac{m l}{n g}\right)}
(An elastic string without weight the unstretched length is l and modulus of elasticity is the weight of n gram is suspended by one end and mass m gram is that the time of a small vertical oscillation is 2 \pi \sqrt{\left(\frac{m l}{n g}\right)})
Solution:डोरी के सन्तुलन की स्थिति में

mg=\lambda \frac{a}{l}=n g \frac{a}{l} \cdots(1) \\ \lambda=n g
गति का समीकरण
m \frac{d^2 x}{d t^2} =m g-T \\=m g-\lambda \left(\frac{x+a}{l}\right) \\ =m g-\frac{\lambda x}{l}-\frac{\lambda a}{l} \\=-\frac{\lambda x}{l} [(1) से]

\Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2} =-\frac{\lambda}{lm} x \\ \Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2} =-\frac{n g}{l m} \lambda=-\mu x
अतः गति सरल आवर्त गति है:

\mu=\frac{n g}{l m}
आवर्तकाल T=\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}} \\=\frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{n g}{lm}}} \\ T =2 \pi \sqrt{\left(\frac{l m}{n g}\right)}
Example:3.एक प्रत्यास्थ डोरी जिसका मापांक \lambda तथा स्वाभाविक लम्बाई l है।उर्ध्वाधर दिशा में लटक रही है।उसका एक सिरा किसी स्थिर बिन्दु पर लगा हुआ है और उसके दूसरे सिरे पर M संहति का कोई पिण्ड लगा हुआ है।इस पिण्ड को तब तक ऊपर उठाया जाता है जब तक डोरी की लम्बाई स्वाभाविक हो जाती है और फिर उसे विरामावस्था से छोड़ दिया जाता है।सिद्ध कीजिए कि तत्पश्चात होने वाले गति में अधिकतम गिरावट \frac{2mgl}{\lambda}  दूरी होगी।
(An elastic chord, modulus \lambda, natural length l, hangs vertically, one end being attached to a fixed point and the other to a body of mass M.The mass is raised till the string has its natural length and it then released from rest.Show that its greatest fall in the subsequent motion is \frac{2mgl}{\lambda} .)
Solution:सन्तुलन अवस्था में

Motion in Horizontal Elastic String

बिन्दु P पर गति समीकरण

M \frac{d^2 x}{d t^2} =M g-\frac{\lambda(x+y)}{l} \\=\frac{M g}{l}-\frac{\lambda x}{l}-\frac{\lambda y}{l} \\ =-\frac{\lambda y}{l} [(1) से]

समाकलन करने पर

\int v d v=-\int \frac{\lambda}{M l} y d y \\ \Rightarrow v^2=-\frac{\lambda y^2}{m l}+c_1
A पर जब y=-x तब v=0

c_{1}=\frac{\lambda x^2}{M l} \\ v^2=\frac{\lambda}{l M} \cdot\left(x^2-y^2\right)
जब v=0 तो x=y
अधिकतम गिरावट=x+y=2x

=\frac{2 lmg}{\lambda}
Example:6.m द्रव्यमान का एक कण प्रत्यास्थ डोरी के सिरे पर बांधा जाता है जिसकी स्वाभाविक लम्बाई a तथा प्रत्यास्थ मापांक 2mg है।यदि डोरी का ऊपरी सिरा O बिन्दु पर स्थिर हो तथा कण को O के उर्ध्वाधर ऊपर की ओर A बिन्दु से गिराया जाये, जहाँ OA=a, तो सिद्ध कीजिए कि कण का वेग B बिन्दु पर शून्य होगा जब OB=3a साथ ही यह भी प्रदर्शित कीजिए कि A से B तक का समय है

\sqrt{\left(\frac{a}{2g}\right)}\left[\frac{\pi}{2}+2 \sqrt{2}+\sin^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)\right]
(A particle of mass m is attached to one end of a light elastic string of natural length a and modulus of elasticity 2mg whose other end is fixed at O.The particle is let fall from A, where A is vertically above O and OA=a.Show that the velocity will be zero at B,where OB=3a.Show also that the time from A to B is)

\sqrt{\left(\frac{a}{2g}\right)}\left[\frac{\pi}{2}+2 \sqrt{2}+\sin^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)\right]
Solution:माना OC=a डोरी की स्वाभाविक लम्बाई है जिसका एक सिरा O पर स्थिर है।माना डोरी का प्रत्यास्था गुणांक \lambda तथा सिरे C पर m द्रव्यमान का कण बंधा है।

\lambda=2mg \cdots(1)
माना D पर संतुलन की अवस्था है ताकि CD=e,तब D पर कण का द्रव्यमान=डोरी में तनाव
\therefore m g=\lambda\left(\frac{e}{a}\right)=2 m g\left(\frac{e}{a}\right)[(1) से] ….(2)

e=\frac{a}{2} \cdots(3)
जब कण A से गिरता है (जहाँ A उर्ध्वाधर है तथा OA=a),A से C तक गुरुत्वाकर्षण बल के अधीन गति है अतः डोरी A से C तक ढीली है।जब यह C पर पहुँचेगा तब C पर गति
V^2=0+2 g \cdot 2 a \\ \Rightarrow V=2(g a)^{\frac{1}{2}} (नीचे की ओर)…..(4)
जब कण C से गिरता है तब डोरी में तनाव उत्पन्न होता है जबकि C से D कण के वेग में डोरी का तनाव बढ़ता है जो कि कण के भार से कम है।परन्तु C से नीचे कण चलता है तो कण का वेग घटता है तथा डोरी का तनाव कण के भार से ज्यादा हो जाता है।माना कि B पर कण विरामावस्था में आ जाता है जहाँ DB=b
t समय के पश्चात कण की स्थिति माना P पर है अर्थात् DP=x, P पर कण के भार द्वारा उर्ध्वाधर नीचे की ओर बल कार्य करता है तथा तनाव T=\frac{\lambda(e+x)}{a} उर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्य करता है।

Motion in Horizontal Elastic String

कण की गति का समीकरण

m \frac{d^2 x}{d t^2} =m g-T \\ =m g-\lambda\left(\frac{e+x}{a}\right) \\=m g-\frac{\lambda}{e}\left(\frac{e}{a}\right)-\lambda\left(\frac{x}{a}\right) \\ =-2 m g\left(\frac{x}{a}\right) [(1) व (2) से]

\Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2} =-\left(\frac{2 g}{a}\right) x \ldots(5)
जो कि सरल आवर्त गति का समीकरण है तथा C से B तक गति
पुन: (5) से:

v \frac{d v}{d x}=-\left(\frac{2 g}{a}\right) x
समाकलन करने पर:

\int v d v=-\left(\frac{2 g}{a}\right) \int x d x \\ v^2=-\frac{2 g}{a} x^2+C \cdots(6)
C पर, जब x=-DC=-e=-\frac{a}{2}, v^2=V^2 \\ v^2=V^2=4ag
अतः (6) से:

4 a g=-\left(\frac{2 g}{a}\right)\left(\frac{a^2}{4}\right)+C \\ \Rightarrow C=\frac{9 a g}{2}
अतः (6) का रूप:

v^2=\frac{9 a g}{2}-\frac{2g}{a} x^2 \\ \left(\frac{dx}{d t}\right)^2=\frac{2 g}{a}\left(\frac{9 a^2}{4}-x^2 \right) \cdots(7)
परन्तु B पर जब x=DB=b, v=0
तब (7) से:

0=\left(\frac{2 g}{a}\right)\left(\frac{9 a^2}{4}-b^2\right) \\ \Rightarrow b=\frac{3 a}{2} \cdots(8) \\   \therefore OB=OC+CD+DB=a+c+b
=a+\frac{a}{2}+\frac{3 a}{2} [(3) व (8) से]
\Rightarrow OB=3a
A से B तक समय:
माना A से C तक का समय t_1 तब v=u+gt
v=0+g t_1 \\ \Rightarrow t_1=\frac{v}{g} a \\ \Rightarrow t_{1}=2\left(\frac{a}{g}\right)^{\frac{1}{2}} [(1) से] ….(9)

[(7) से] \frac{dx}{dt}=\left(\frac{2 g}{a}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{9 a^2}{4}-x^2\right) \\ dt=\left(\frac{a}{2 g}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\left(\frac{9 a^2}{4}-x^2\right)^{\frac{1}{2}}} \cdots(10)
धनात्मक चिन्ह लिया गया है क्योंकि x बढ़ता है तब t बढ़ता है।
(10) का समाकलन करने पर:

t_2=\left(\frac{a}{2 g}\right)^{\frac{1}{2}} \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{3 a}{2}} \frac{d x}{\left[\left(\frac{3 a}{2}\right)^2-x^2\right]^{\frac{1}{2}}} \\ =\left(\frac{a}{2 g}\right)^{\frac{1}{2}}\left[\sin ^{-1} \frac{x}{\left(\frac{3 a}{2}\right)}\right]_{-\frac{a}{2}}^{\frac{3 a}{2}} \\ t_2=\left(\frac{a}{2 g}\right)^{\frac{1}{2}} \left[\sin ^{-1} (1)-\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)\right] \\ =\left(\frac{a}{2 g}\right)^{\frac{1}{2}} \left[\frac{\pi}{2}+\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right]
अतः A से B तक अभीष्ट समय=
=A से C तक समय+C से B तक समय

=t_1+t_2 \\ =2\left(\frac{a}{g}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{a}{2 g}\right)^{\frac{1}{2}}\left[\frac{\pi}{2}+\sin^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)\right] \\ =\sqrt{\left(\frac{a}{2 g}\right)}\left[\frac{\pi}{2}+2 \sqrt{2}+\sin^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)\right]
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा क्षैतिज प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in Horizontal Elastic String),उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in Vertical Elastic String) को समझ सकते हैं।

4.क्षैतिज प्रत्यास्थ डोरी में गति के सवाल (Motion in Horizontal Elastic String Questions):

Motion in Horizontal Elastic String

(1.)एक प्रत्यास्थ डोरी का एक सिरा, प्रत्यास्थता का मापांक \lambda, एक चिकनी क्षैतिज मेज पर एक बिंदु पर तय किया जाता है और दूसरा सिरा इतनी दूरी पर बांधा जाता है कि डोरी की लंबाई इसकी प्राकृतिक लंबाई l से दोगुनी के बराबर हो और फिर छोड़ दिया जाता है।दिखाएँ कि पूर्ण दोलन का समय है
(one end of an elastic string, modulus of elasticity \lambda, is fixed to a point on a smooth horizontal table and the other end is tied to a distance such that the length of the string is equal to twice its natural length l and is then released. Show that the time of complete oscillation is)

2(\pi+2) \sqrt{\left(\frac{l m}{\lambda}\right)}
(2.)दो हल्के प्रत्यास्थ तारों को द्रव्यमान m के एक कण से बांधा जाता है और उनके दूसरे सिरे को निश्चित बिंदुओं पर बांधा जाता है ताकि तार तने हुए हों। प्रत्येक का मापांक, तनाव T और लंबाई a और b है।दिखाएँ कि की दोलनकाल तारों की रेखा के अनुदिश है
(Two light elastic strings are fastened to a particle of mass m and their other ends to fixed points so that the strings are taut.The modulus of each being, the tension T and lengths a and b.Show that the period of an oscillation along the line of strings is) 

2 \pi\left[\frac{m a b}{(T+\lambda) (a+b)}\right]^{\frac{1}{2}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर क्षैतिज प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in Horizontal Elastic String),उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in Vertical Elastic String) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.क्षैतिज प्रत्यास्थ डोरी में गति (Frequently Asked Questions Related to Motion in Horizontal Elastic String),उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in Vertical Elastic String) से सम्बन्धित अकसर पूछे जाने वाले प्रश्न:

क्षैतिज प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in Horizontal Elastic String) पर आधारित सवालों के
साथ-साथ उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में कण की गति पर आधारित सवालों को हल करके समझने
का प्रयास करेंगे।