1.त्रिकोत्रमिति में दूरी और ऊँचाई (Distance and Height in Trigonometry),ऊँचाई और दूरी पर आधारित सरल समस्याएँ कक्षा 10 (Simple Problems Based on Height and Distance Class 10):

Distance and Height in Trigonometry

त्रिकोत्रमिति में दूरी और ऊँचाई (Distance and Height in Trigonometry) के इस आर्टिकल में त्रिकोणमिति की सहायता से ऊँचाई एवं दूरी की वास्तविक माप के बिना दो बिन्दुओं के मध्य दूरी या किसी वस्तु,मीनार या किसी निर्धारित लक्ष्य की ऊँचाई ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.त्रिकोत्रमिति में दूरी और ऊँचाई पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Distance and Height in Trigonometry):

Example:1.एक सीढ़ी को एक दीवार पर लगाने पर उसका ऊपरी सिरा दीवार के शिखर तक पहुँचता है।सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 1.5 मीटर की दूरी पर है और समतल के साथ 60° का कोण बनाता है।दीवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना दीवार की ऊँचाई PQ=h मीटर है जो समतल भूमि पर समकोण बनाता है।सीढ़ी समतल के साथ 60° का कोण बनाती है।सीढ़ी का निचला सिरा OQ=1.5 मीटर दूरी पर है।
समकोण $\triangle PQO$ में
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \\ \Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h}{1.5} \\ \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{h}{1.5} \\ \Rightarrow h=1.5 \sqrt{3}=1.5 \times 1.732=2.598 \\ \Rightarrow h \approx 2.60$ मीटर
Example:2.एक पतंग की डोरी की लम्बाई 100 मीटर है जो कि क्षैतिज से 60° का कोण बनाती है,यह मानकर कि सरल रेखा में है और उसका सिरा भूमि पर है,पतंग की भूमि से ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना पतंग की भूमि से ऊँचाई PQ=h मीटर है जो समतल से समकोण बनाता है।OP=100 मीटर और $\angle POQ=60^{\circ}$
समकोण $\triangle PQO$ में
$\sin \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }} \\ \sin 60^{\circ}=\frac{h}{100} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{100} \\ \Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2} \times 100 \\ \Rightarrow h=50 \sqrt{3}=50 \times 1.732=86.60 \\ \Rightarrow h=86.60$ मीटर
Example:3.किसी क्षैतिज समतल में स्थित एक उर्ध्वाधर बाँस के ऊपरी सिरे से एक तनी हुई रस्सी बाँधी गई है और रस्सी का दूसरा सिरा समतल पर स्थित है।सर्कस का एक कलाकार समतल से रस्सी पर चढ़ रहा है।बाँस की ऊँचाई 12 मीटर है और रस्सी समतल से 30° का कोण बनाती है।कलाकार द्वारा बाँस के ऊपरी सिरे तक पहुँचने में तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना रस्सी की लम्बाई (कलाकार द्वारा तय की गई दूरी)=OP=x मीटर है।बाँस समतल से समकोण बनाता है।बाँस की लम्बाई PQ=1.2 मीटर तथा $\angle POQ=30^{\circ}$
समकोण $\triangle PQO$ में
$\sin \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }} \\ \Rightarrow \sin 30^{\circ}=\frac{12}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{12}{x} \\ \Rightarrow x=24$ मीटर
Example:4.नदी पर बने किसी पुल के उस भाग की लम्बाई,जो ठीक नदी के ऊपर है,150 मीटर है और पुल नदी के किनारे से 45° का कोण बनाता है।नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3}$=1.732)

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना नदी की चौड़ाई OQ=x मीटर है।नदी के ऊपर पुल की लम्बाई OP=150 मीटर तथा $\angle POQ=45^{\circ}$
समकोण $\triangle PQO$ में
$\cos \theta=\frac{\text { आधार }}{\text { कर्ण }} \\ \Rightarrow \cos 45^{\circ}=\frac{x}{150} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{x}{150} \\ \Rightarrow x=\frac{150}{\sqrt{2}}=106.066 \\ \Rightarrow x \approx 106.07$ मीटर
Example:5.30 मीटर ऊँची मीनार से 28.5 मीटर दूर एक प्रेक्षक,जिसकी ऊँचाई 1.5 मीटर है,खड़ा है।प्रेक्षक की आँख से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना मीनार की चोटी का उन्नयन कोण $\theta$ है।प्रेक्षक OS=1.5 मीटर, PR=30 मीटर, SR=28.5 मीटर,PQ=PR-QR=30-1.5=28.5 मीटर
समकोण $\triangle PQO$ में
$\tan \theta =\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \\ \Rightarrow \tan \theta =\frac{PQ}{QO} \\ =\frac{28.5}{28.5} \\ =1 \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan 45^{\circ} \Rightarrow \theta=45^{\circ}$
Example:6.आँधी चलने से दो भागों में टूटे हुए एक वृक्ष का ऊपरी भाग समतल से 30° का कोण बनाता है।वृक्ष का ऊपरी सिरा जिस स्थान पर समतल को छूता है वह स्थान वृक्ष के आधार बिन्दु से 10 मीटर की दूरी पर है।वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना वृक्ष की ऊँचाई h तथा टूटे हुए भाग की लम्बाई $h_{2}$ व बिना टूटे भाग की लम्बाई $h_{1}$ है।OQ=10 मीटर
समकोण $\triangle PQO$ में
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text{ आधार }} \\ \tan 30^{\circ}=\frac{h}{10} \\ \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h_1}{10} \\\Rightarrow h_1=\frac{10}{\sqrt{3}} \\ \cos \theta=\frac{\text { आधार }}{ \text{ कर्ण }} \\ \Rightarrow \cos 30^{\circ}=\frac{10}{h_2} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10}{h_2} \\ \Rightarrow h_2=\frac{20}{\sqrt{3}}$
वृक्ष की ऊँचाई
$h=h_1+h_2\\ =\frac{10}{\sqrt{3}}+\frac{20}{\sqrt{3}} \\ =\frac{30}{\sqrt{3}}=10 \sqrt{3} \\ =10 \times 1.732 \\ \Rightarrow h=17.32$ मीटर
Example:7.एक क्षैतिज तल पर दो मीनार हैं।एक मीनार का शीर्ष दूसरी मीनार के मूल तल पर क्षैतिज से 60° का कोण बनाती है और दूसरी मीनार का शीर्ष पहली मीनार के मूल तल पर क्षैतिज से 30° का कोण बनाती है।मीनारों की ऊँचाईयों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना दो मीनारों की ऊँचाईयाँ क्रमशः $h_1$ और $h_2$ हैं।
$\angle PRQ=60^{\circ}, \angle SQR=30^{\circ}$
समकोण $\triangle PQR$ में
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \\ \Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h_1}{x} \\ \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{h_1}{x} \\ \Rightarrow h_1=\sqrt{3} x$
समकोण $\triangle SRQ$ में
$\tan 30^{\circ}=\frac{h_2}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h_2}{x} \\ \Rightarrow h_2=\frac{x}{\sqrt{3}} \\ h_1: h_2=\sqrt{3} x=\frac{x}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow h_1: h_2=3: 1$
Example:8.मीनार के आधार से 40 मीटर की दूरी पर क्षैतिज तल पर एक बिन्दु से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है और मीनार की चोटी पर रखी पानी की टंकी के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण 45° है।ज्ञात कीजिए
(i)मीनार की ऊँचाई (ii)टंकी की गहराई

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना मीनार की ऊँचाई $h_1$ तथा टंकी की गहराई $h_2$ है।QR=40 मीटर
$\angle PRQ=30^{\circ}, \angle SRQ=45^{\circ}$
(i)समकोण $\triangle PQR$ में
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \\ \Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h_1}{40} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h_1}{40} \\ \Rightarrow h_1=\frac{40}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow h_1 \approx 23.09$ मीटर
(ii)समकोण $\triangle SQR$ में
$\tan 45^{\circ}=\frac{SQ}{QR} \\ 1=\frac{h_1+h_2}{40} \\ \Rightarrow h_1+h_2=40 \\ \Rightarrow \frac{40}{\sqrt{3}}+h_2=40 \\ \Rightarrow h_2=40-\frac{40}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow h_2=\frac{40 \sqrt{3}-40}{\sqrt{3}}=\frac{40 \times 1.732-40}{1.732} \\ =\frac{69.28-40}{1.732} \\=\frac{29.28}{1.732} \\ =16.905 \\ \Rightarrow h \approx 16.91$ मीटर
Example:9.किसी मीनार के आधार से पहाड़ी की चोटी का उन्नयन कोण 60° है और पहाड़ी के आधार से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है।यदि मीनार की ऊँचाई 50 मीटर हो तो पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना पहाड़ी की ऊँचाई=h मीटर
$\angle SQR=60^{\circ}, \angle PRQ=30^{\circ}$
समकोण $\triangle PQR$ में
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \\ \Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{50}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{50}{x} \\ \Rightarrow x=50 \sqrt{3}$
समकोण $\triangle SRQ$ में
$\tan 60^{\circ}=\frac{h}{x} \\ \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{h}{50 \sqrt{3}} \\ h=50 \sqrt{3} \times \sqrt{3} \\ \Rightarrow h=150$ मीटर
Example:10.एक समतल पर बिन्दु P से,10 मीटर ऊँचे एक भवन की चोटी और एक वायुयान,जो भवन की चोटी के ठीक ऊपर कुछ ऊँचाई पर जा रहा है,के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° है।समतल से वायुयान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना समतल से वायुयान की ऊंचाई PQ=h मीटर है।
$\angle PSR=30^{\circ}, \angle PSQ=60^{\circ},PR=10$ मीटर
समकोण $\triangle PSR$ में
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \\ \Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{10}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{10}{x} \\ \Rightarrow x=10 \sqrt{3}$ मीटर
समकोण $\triangle QPS$ में
$\tan 60^{\circ}=\frac{PQ}{PS} \\ \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{h}{10 \sqrt{3}} \\ \Rightarrow h=30$ मीटर
Example:11.एक मीनार की चोटी से, 7 मीटर ऊँचे एक भवन के शिखर और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° और 60° है।मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना मीनार की ऊँचाई=h मीटर है।माना QR=ST=x,भवन के शिखर व आधार के अवनमन कोण क्रमशः
$\angle XPS=45^{\circ}, \angle XPR=60^{\circ}$
चित्र में
$\angle XPS=\angle PST=45^{\circ}$ (एकान्तर कोण)
$\angle XPR=\angle PRQ=60^{\circ}$ (एकान्तर कोण)
समकोण $\triangle PTS$ में
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text{ आधार }} \\ \tan 45^{\circ}=\frac{P T}{x} \\ \Rightarrow PT=x$
समकोण $\triangle PQR$ में
$\tan 60^{\circ}=\frac{PQ}{QR} \\ \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{PT+QT}{x} \\ \Rightarrow \sqrt{3} =\frac{x+7}{x} \quad[SR=TQ=7 \text{ मीटर }] \\ \Rightarrow \sqrt{3} x=x+7 \\ \Rightarrow \sqrt{3} x-x=7 \\ \Rightarrow x=\frac{7}{\sqrt{3}-1} \\ \Rightarrow x=\frac{7(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} \\ \Rightarrow x=\frac{7(\sqrt{3}+1)}{3-1} \\ \Rightarrow x=\frac{7}{2}(\sqrt{3}+1)$
मीनार की ऊँचाई
$h=PT+TQ \\ =\frac{7}{2}(\sqrt{3}+1)+7 \\ =7\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}+1\right) \\ =\frac{7(\sqrt{3} +1+2)}{2} \\ =\frac{7(1.732+3)}{2} \\ =\frac{7 \times 4.732}{2}=16.562 \\ \Rightarrow h \approx 16.56$ मीटर
Example:12.100 मीटर चौड़ी सड़क के किनारों पर दो बराबर ऊँचाई के खम्भे आमने-सामने स्थित हैं।सड़क के बीच में किसी बिन्दु से खम्भों के ऊपरी सिरों के उन्नयन कोण 30° और 60° है।बिन्दु की स्थिति और खम्भों की ऊँचाईयाँ ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना खम्भों की ऊँचाईयाँ h मीटर और सड़क के बीच बिन्दु से खम्भों के आधार की दूरीयाँ क्रमशः $x_1$ तथा $x_2$ मीटर है।
$x_1+x_2=100$ मीटर
$\angle TRS=30^{\circ}, \angle PRQ=60^{\circ}$
समकोण $\triangle PQR$ में
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \\ \tan 60=\frac{h}{x_1} \\ \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{h}{x_1} \\ x_1=\frac{h}{\sqrt{3}} \cdots(1)$
समकोण $\triangle TSR$ में
$\tan 30^{\circ}=\frac{h}{x_2} \\ \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x_2} \\ \Rightarrow x_2=\sqrt{3} h \cdots(2)$
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर:
$x_1+x_2=\frac{h}{\sqrt{3}}+\sqrt{3} h \\ \Rightarrow 100=h\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\right) \\ \Rightarrow 100=h\left(\frac{1+3}{\sqrt{3}}\right) \\ \Rightarrow h=\frac{100 \sqrt{3}}{4} \\ \Rightarrow h=25 \sqrt{3}=43.30$ मीटर
h का मान समीकरण (1) में रखने पर:
$x_1=\frac{25 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=25$ मीटर
बिन्दु की स्थिति 25 मीटर एक सिरे से
Example:13.क्षैतिज तल पर एक बिन्दु से,एक मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है मीनार की ओर 20 मीटर चलने के पश्चात मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 60° हो जाता है।मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना मीनार की ऊँचाई PQ=h मीटर है।SR=20 मीटर,QR=x
$\angle PSQ=30^{\circ}, \angle PRQ=60^{\circ}$
समकोण $\triangle PRQ$ में
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \\ \Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h}{x} \\ \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{h}{x} \\ \Rightarrow x=\frac{h}{\sqrt{3}} \cdots(1)$
समकोण $\triangle PQS$ में
$\tan 30^{\circ}=\frac{h}{x+20} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x+20} \\ \Rightarrow x+20=\sqrt{3} h \cdots(2)$
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर:
$\frac{h}{\sqrt{3}}+20=\sqrt{3} h \\ \Rightarrow \sqrt{3} h-\frac{h}{\sqrt{3}}=20 \\ \Rightarrow \frac{3 h-h}{\sqrt{3}}=20 \\ \Rightarrow h=\frac{20 \sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow h=10 \sqrt{3}=17.32$ मीटर
Example:14.150 मीटर ऊँचे प्रकाश स्तम्भ की चोटी से देखने पर,उसकी ओर आ रहे दो जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° है।यदि एक जहाज ठीक दूसरे के पीछे हो,तब दोनों जहाजों के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना दोनों जहाजों के बीच की दूरी $x_1$ मीटर तथा निकट के जहाज की प्रकाश स्तम्भ के आधार से दूरी $x_2$ मीटर है।
QR=$x_1$ मीटर,RS=$x_2$ मीटर
$\angle XPS=30^{\circ}, \angle XPR=45^{\circ}$
चित्र से
$PX \| QS \\ \angle XPS=\angle PSQ=30^{\circ}$ (एकान्तर कोण)
$\angle XPR=\angle PRQ=45^{\circ}$ (एकान्तर कोण)
समकोण $\triangle PQR$ में
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \\ \Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{150}{x_1} \\ \Rightarrow 1=\frac{150}{x_1} \\ \Rightarrow x_1=150$ मीटर
समकोण $\triangle PQS$ में
$\tan 30^{\circ}=\frac{150}{x_1+x_2}\\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{150}{x_1+x_2} \\ \Rightarrow x_1+x_2=150 \sqrt{3} \\ \Rightarrow 150+x_2=150 \sqrt{3}\left[ \because x_1=150 \text { मीटर }\right] \\ \Rightarrow x_2=150 \sqrt{3}-150 \\ \Rightarrow x_2=150(\sqrt{3}-1) \\ \Rightarrow x_2=150(1.732-1) \\ \Rightarrow x_2=150 \times 0.732=109.8$ मीटर
अतः दोनों जहाजों के बीच दूरी=109.8 मीटर
Example:15.5 मीटर ऊँची मीनार की चोटी पर एक ध्वज दण्ड लगा हुआ है।क्षैतिज तल पर स्थित किसी बिन्दु से ध्वज दण्ड के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण 60° है और इसी बिन्दु से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 45° है।ध्वज दण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना ध्वज दण्ड की ऊँचाई PQ=h मीटर है।मीनार की ऊँचाई QR=5 मीटर
माना SR=x मीटर
$\angle PSR=60^{\circ}, \angle QSR=45^{\circ}$
समकोण $\triangle QRS$ में
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text{ आधार }} \\ \tan 45^{\circ}=\frac{5}{x} \\ 1=\frac{5}{x} \\ \Rightarrow x=5$ मीटर
समकोण $\triangle PRS$ में
$\tan 60^{\circ}=\frac{P R}{x} \\ \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{5+h}{5} [PR=PQ+QR=5+h तथा x=5 मीटर] \Rightarrow 5 \sqrt{3}=5+h \\ \Rightarrow h=5 \sqrt{3}-5 \\ \Rightarrow h=5(\sqrt{3}-1)=5(1.732-1) \\ \Rightarrow h=0.732 \times 5=3.66$ मीटर
Example:16.50 मीटर ऊँची पहाड़ी के शिखर से किसी मीनार की चोटी और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° है।मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना मीनार की ऊँचाई PQ=h मीटर है।माना QR=PT=x मीटर
$\angle XSP=30^{\circ}, \angle XSQ=45^{\circ}$
चित्र से
$SX \| RQ \| PT \\ \angle XSP=\angle SPT=30^{\circ}$ (एकान्तर कोण)
$\angle XSQ=\angle SQR=45^{\circ}$ (एकान्तर कोण)
समकोण $\triangle SPT$ में
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \\ \Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{ST}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5 T}{x} \\ \Rightarrow x=\sqrt{3} ST \cdots(1)$
समकोण $\triangle SQR$ में
$\tan 45^{\circ}=\frac{50}{x} \\ \Rightarrow 1=\frac{50}{x} \Rightarrow x=50 \cdots(2)$
समीकरण (1) व (2) से:
$\sqrt{3} ST=50 \\ \Rightarrow ST=\frac{50}{\sqrt{3}}$
मीनार की ऊँचाई PQ=h=TR=SR-ST
$\Rightarrow h =50-\frac{50}{\sqrt{3}}=50\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right) \\ =50\left(\frac{1.732-1}{1.732}\right) \\ =\frac{50 \times 0.732}{1.732}=21.13 \\ \Rightarrow h \approx 21.13$ मीटर
Example:17.क्षैतिज तल पर स्थित एक मीनार उर्ध्वाधर खड़ी है और उसके शिखर पर 7 मीटर लम्बाई का एक ध्वज दण्ड लगा है।तल पर स्थित किसी बिन्दु से ध्वज दण्ड के आधार और ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 45° है।मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना मीनार की ऊँचाई PQ=h मीटर है।माना QS=x मीटर
$\angle PSQ=30^{\circ}, \angle RSQ=45^{\circ}$
समकोण $\triangle PQS$ में
$\tan 30^{\circ}=\frac{h}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x} \\ \Rightarrow x=\sqrt{3} h \cdots(1)$
समकोण $\triangle RQS$ में
$\tan 45^{\circ}=\frac{QR}{QS} \\ \Rightarrow 1=\frac{PR+PQ}{x} \\ \Rightarrow \sqrt{3h}=7+h$ [QR=PR+PQ=7+h]
$\sqrt{3} h-h=7 \\ \Rightarrow h=\frac{7}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3+1}}=\frac{7}{3-1}(1.732+1) \\ =\frac{7}{2} \times 2.732=9.562$ मीटर
मीनार की ऊँचाई $\approx$ 9.56 मीटर
Example:18.4000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ते हुए वायुयान के ठीक नीचे जिस क्षण दूसरा वायुयान आता है,उसी क्षण क्षैतिज तल पर किसी बिन्दु से इन वायुयानों के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° है।उस क्षण पर दोनों वायुयानों के बीच की उर्ध्वाधर दूरी ज्ञात कीजिए।

Distance and Height in Trigonometry

Solution:माना दोनों वायुयानों के बीच दूरी PQ=$h_1$ मीटर है।माना QR=$h_2$ तथा SR=x, $\angle QSR=45^{\circ}, \angle PSR=60^{\circ}$
समकोण $\triangle QSR$ में
$\tan 45^{\circ}=\frac{QR}{SR} \\ \Rightarrow 1=\frac{h_2}{x} \\ \Rightarrow x=h_2 \cdots(1)$
समकोण $\triangle PRS$ में
$\tan 60^{\circ}=\frac{P R}{SR} \\ \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{4000}{x} \\ \Rightarrow x=\frac{4000}{\sqrt{3}} \cdots(2)$
x का मान समीकरण (2) से (1) में रखने पर:
$h_2=\frac{4600}{\sqrt{3}}$ परंतु $h_1+h_2=4000 \\ \Rightarrow h_2 =4000-h_2=4000-\frac{4000}{\sqrt{3}} \\ =\frac{4000(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}} \\ =\frac{4000 \times(1.732-1)}{1.732} \\ =\frac{4000 \times 0.732}{1.722}=1690.531$ मीटर
दोनों वायुयानों के बीच उर्ध्वाधर दूरी h_2 \approx 1690.531 मीटर
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोत्रमिति में दूरी और ऊँचाई (Distance and Height in Trigonometry),ऊँचाई और दूरी पर आधारित सरल समस्याएँ कक्षा 10 (Simple Problems Based on Height and Distance Class 10) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोत्रमिति में दूरी और ऊँचाई की समस्याएँ (Distance and Height in Trigonometry Problems):

Distance and Height in Trigonometry

(1.)50 मीटर ऊँचे पुल से किसी नाव का अवनमन कोण 30° है।नाव की पुल से क्षैतिज दूरी ज्ञात कीजिए।
(2.)यदि किसी वृक्ष की छाया उसकी ऊँचाई की गुना लम्बी हो,तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)86.60 मीटर (2.)30°
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोत्रमिति में दूरी और ऊँचाई (Distance and Height in Trigonometry),ऊँचाई और दूरी पर आधारित सरल समस्याएँ कक्षा 10 (Simple Problems Based on Height and Distance Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिकोत्रमिति में दूरी और ऊँचाई (Frequently Asked Questions Related to Distance and Height in Trigonometry),ऊँचाई और दूरी पर आधारित सरल समस्याएँ कक्षा 10 (Simple Problems Based on Height and Distance Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.उन्नयन कोण को परिभाषित कीजिए। (Define the Elevation Angle):

उत्तर:जब कोई वस्तु,आँख से ऊपर हो,तो दृष्टि रेखा,क्षैतिज के साथ जो कोण बनाती है उसे उन्नयन कोण या उन्नतांश या उन्नति कोण कहते हैं।

प्रश्न:2.अवनमन कोण किसे कहते हैं? (What is the Angle of Depression?):

उत्तर:जब कोई वस्तु,आँख से नीचे हो,तो दृष्टि रेखा,क्षैतिज के साथ जो कोण बनाती है उसे अवनमन कोण या अवनति कोण कहते हैं।

प्रश्न:3.त्रिकोणमिति में ऊँचाई व दूरी की समस्याओं को हल करते समय किन बातों का ध्यान रखना चाहिए? (What Should Be Kept in Mind While Solving the Problems of Height and Distance?):

उत्तर:(1.)सर्वप्रथम प्रश्न को ध्यानपूर्वक पढ़ने के पश्चात चित्र बनाकर समकोण त्रिभुज का निर्माण करते हैं।
(2.)समकोण त्रिभुज में ज्ञात कोण का त्रिकोणमितीय अनुपातों आदि को ज्ञात भुजा के पदों में व्यक्त करते हैं।
(3.)दो वस्तुओं के बीच एक से दूसरे का उन्नयन कोण एवं दूसरी से पहली का अवनमन कोण समान होते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिकोत्रमिति में दूरी और ऊँचाई (Distance and Height in Trigonometry),ऊँचाई और दूरी पर आधारित सरल समस्याएँ कक्षा 10 (Simple Problems Based on Height and Distance Class 10) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

त्रिकोत्रमिति में दूरी और ऊँचाई (Distance and Height in Trigonometry) के इस आर्टिकल
में त्रिकोणमिति की सहायता से ऊँचाई एवं दूरी की वास्तविक माप के बिना दो बिन्दुओं के मध्य
दूरी या किसी वस्तु,मीनार या किसी निर्धारित लक्ष्य की ऊँचाई ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।