1.रेखा के दिक्-कोसाइन कक्षा 12 (Direction Cosines Class 12),कक्षा 12 में रेखा के दिक्-कोसाइन (Direction Cosines in Class 12):

Direction Cosines Class 12

रेखा के दिक्-कोसाइन कक्षा 12 (Direction Cosines Class 12) के इस आर्टिकल में रेखाओं के दिक्-कोसाइन ज्ञात करने के लिए सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.रेखा के दिक्-कोसाइन कक्षा 12 के उदाहरण (Direction Cosines Class 12 Examples):

Example:1.यदि एक रेखा x,y और z-अक्ष के साथ क्रमशः 90°,135°,45° के कोण बनाती है तो इसकी दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।
Solution: l=\cos \alpha=\cos 90^{\circ}=0 \\ m=\cos \beta=\cos 135^{\circ}=\cos \left(98^{\circ}+45^{\circ}\right) \\ \Rightarrow m=\cos \beta=-\sin 45^{\circ}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ n=\cos \gamma=\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}
अतः रेखा के दिक्-कोसाइन: 0,-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}
Example:2.एक रेखा की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक्षों के साथ समान कोण बनाती है।
Solution:रेखा अक्षों के साथ समान कोण बनाती है अतः \alpha=\beta=\gamma \\ l^2+m^2+n^2=1 \\ \Rightarrow \cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma=1 \\ \Rightarrow \cos ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1 \\ \Rightarrow 3 \cos ^2 \alpha=1 \Rightarrow \cos ^2 \alpha=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \cos \alpha= \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
अतः रेखा के दिक्-कोसाइनः \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
Example:3.यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात -18,12,-4 हैं तो इसकी दिक्-कोसाइन क्या हैं?
Solution:a=-18,b=12,c=-4
\sqrt{a^2+b^2+c^2} =\sqrt{(-18)^2+12^2+(-4)^2} \\ =\sqrt{324+144+16} \\ \Rightarrow \sqrt{a^2+b^2+c^2} =\sqrt{484}=22
अतः रेखा की दिक्-कोसाइनः l=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{-18}{22}=\frac{-9}{11} \\ m=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{12}{22}=\frac{6}{11} \\ n=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=-\frac{4}{22}=-\frac{2}{11}
अतः दिक्-कोसाइन \frac{-9}{11}, \frac{6}{11},-\frac{2}{11}

Direction Cosines Class 12

Example:4.दर्शाइए कि बिन्दु (2,3,4),(-1,-2,1),(5,8,7) संरेख हैं।
Solution:माना A(2,3,4),B(-1,-2,1),C(5,8,7)
AB की दिक्-कोसाइनः
\frac{x_2-x_1}{P Q}, \frac{y_2-y_1}{P Q}, \frac{z_2-z_1}{P Q} \\ l_1=\frac{-1-2}{\sqrt{(-1-2)^2+(-2-3)^2+(1-4)^2}} \\ =\frac{-3}{\sqrt{(-3)^2+(-5)^2+(-3)^2}}=\frac{-3}{\sqrt{9+2519}} \\ \Rightarrow l_1=\frac{-3}{\sqrt{43}} \\ m_1=\frac{-2-3}{\sqrt{43}}=\frac{-5}{\sqrt{43}} \\ n_1=\frac{1-4}{\sqrt{43}}=\frac{-3}{\sqrt{43}}
अतः AB की दिक्-कोसाइनः \frac{-3}{\sqrt{43}}, \frac{-5}{\sqrt{43}}, \frac{-3}{\sqrt{43}}
BC की दिक्-कोसाइनः
l_2=\pm \frac{5+1}{\sqrt{(5+1)^2+(8+2)^2+(7-1)^2}} \\ =\pm \frac{6}{\sqrt{36+100+36}}= \pm \frac{6}{\sqrt{172}} =\pm \frac{3}{\sqrt{43}} \\ \Rightarrow l_2 =-\frac{3}{\sqrt{43}} \\ m_2= \pm \frac{8+2}{\sqrt{172}}= \pm \frac{10}{2 \sqrt{43}} \\ \Rightarrow m_2=-\frac{5}{\sqrt{43}} , \\ n_2= \pm \frac{7-1}{\sqrt{172}}= \pm \frac{6}{2 \sqrt{43}} \Rightarrow n_2=\frac{-3}{\sqrt{43}}
BC की दिक्-कोसाइनः -\frac{3}{\sqrt{43}}, \frac{-5}{\sqrt{43}}, -\frac{3}{\sqrt{43}}
अतः l_{1}=l_{2} , m_{1}=m_{2} , n_{1}=n_{2}
दिक्-कोसाइन समान है फलतः बिन्दु संरेख है।
Example:5.एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु (3,5,-4),(3,5,-4) और (-5,-5,-2) हैं।
Solution:माना A(3,5,-4),B(3,5,-4) और C(-5,-5,-2)
AB के दिक्-कोसाइन:
\frac{x_2-x_1}{A B}, \frac{y_2-y_1}{A B}, \frac{z_2-z_1}{A B}\\ x_2-x_1=-1-3=-4, y_2-y_1=1-5=-4 , z_2-z_1=2+4=6 \\ AB=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} \\ =\sqrt{(-4)^2 +(-4)^2+(6)^2}=\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68} \\ \Rightarrow A B=2 \sqrt{17}
अतः AB के दिक्-कोसाइन: l_{1}=\frac{-4}{2 \sqrt{17}}=\frac{-2}{\sqrt{17}}, m_1=\frac{-4}{2 \sqrt{17}}=\frac{2}{\sqrt{17}} ,n_1=\frac{6}{2 \sqrt{17}}=\frac{3}{\sqrt{17}} \\ =-\frac{2}{\sqrt{17}},-\frac{2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}
BC के दिक्-कोसाइन:
\frac{x_3-x_2}{B C}, \frac{y_3-y_2}{B C}, \frac{z_3-z_2}{B C} \\ x_3-x_2=-5+1=-4, y_3-y_2=-5-1=-6, z_3-z_2=-2-2=-4 \\ BC=\sqrt{\left(y_3-x_2\right)^2+\left(y_3-y_2\right)^2+\left(z_3-z_2\right)^2} =\sqrt{(-4)^2+(-6)^2+(-4)^2} \\ \Rightarrow BC=\sqrt{16+36+16}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}
अतः BC के दिक्-कोसाइन:
l_{2}=\frac{-4}{2 \sqrt{17}}=-\frac{2}{\sqrt{17}} , m_{2}=\frac{-6}{2 \sqrt{17}}=-\frac{3}{\sqrt{17}} , n_2=\frac{-4}{2 \sqrt{17}}=-\frac{2}{\sqrt{17}} \\ =-\frac{2}{\sqrt{17}},-\frac{3}{\sqrt{17}} ,-\frac{2}{\sqrt{17}}
CA के दिक्-कोसाइन: \frac{x_1-x_3}{C A}, \frac{y_1-y_3}{C A}, \frac{z_1-z_3}{C A} \\ x_1-x_3=3+5=8, y_{1}-y_3=5+5=10, z_1-z_3=-4+2=-2 \\ CA=\sqrt{\left(x_1-x_3\right)^2+\left(y_1-y_3\right)^2+\left(z_1-z_3\right)^2}=\sqrt{(8)^2+(10)^2+(-2)^2} \\ \Rightarrow C A=\sqrt{64+100+4}=\sqrt{168}=2 \sqrt{42}
अतः CA के दिक्-कोसाइन:
l_3=\frac{8}{2 \sqrt{42}}=\frac{4}{\sqrt{42}} \\ m_3=\frac{10}{2 \sqrt{42}}=\frac{5}{\sqrt{42}}, n_3=\frac{-2}{2 \sqrt{42}}=-\frac{1}{\sqrt{42}} \\ =\frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}},-\frac{1}{\sqrt{42}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रेखा के दिक्-कोसाइन कक्षा 12 (Direction Cosines Class 12),कक्षा 12 में रेखा के दिक्-कोसाइन (Direction Cosines in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.रेखा के दिक्-कोसाइन कक्षा 12 के सवाल (Direction Cosines Class 12 Questions):

Direction Cosines Class 12

(1.)सिद्ध कीजिए कि बिन्दु A(3,-5,1),B(-1,0,8) और C(7,-10,-6) संरेख हैं।
(2.)यदि O मूलबिन्दु हो और दो बिन्दु P(2,3,4) एवं Q(1,-2,1) हैं।सिद्ध कीजिएः OP \perp OQ
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रेखा के दिक्-कोसाइन कक्षा 12 (Direction Cosines Class 12),कक्षा 12 में रेखा के दिक्-कोसाइन (Direction Cosines in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइन (Direction Cosines of a Line Passing Through Two Points):

क्योंकि दो बिन्दुओं से होकर जाने वाली रेखा अद्वितीय होती है।इसलिए दो दिए गए बिन्दुओं P(x_1,y_1,z_1) और  Q(x_2,y_2,z_2) से गुजरने वाली रेखा की दिक्-कोसाइन को निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं:

Direction Cosines Class 12

मान लीजिए कि रेखा PQ की दिक्-कोसाइन l,m,n हैं और x,y और z-अक्ष के साथ कोण क्रमशः \alpha,\beta,  \gamma बनाती हैं।
मान लीजिए P और Q से लम्ब खींचिए जो XY-तल को R तथा S पर मिलते हैं।P से एक अन्य लम्ब खींचिए जो QS को N पर मिलता है। अब समकोण त्रिभुज PNQ में, \angle PQN= \gamma \\ \cos \gamma=\frac{N Q}{P Q}= \frac{z_2-z_1}{PQ}
इसी प्रकार \cos \beta=\frac{y_2-y_1}{P Q}  और \cos \alpha=\frac{x_2-x_1}{PQ}
अतः बिन्दुओं  P(x_1,y_1,z_1) तथा Q(x_2,y_2,z_2) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड PQ की दिक्-कोसाइन
\frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} हैं।
जहाँ PQ=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}

5.रेखा के दिक्-कोसाइन कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Direction Cosines Class 12),कक्षा 12 में रेखा के दिक्-कोसाइन (Direction Cosines in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रेखा के दिक्-कोसाइन कक्षा 12 (Direction Cosines Class 12) के इस आर्टिकल में रेखाओं
के दिक्-कोसाइन ज्ञात करने के लिए सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।