1.तीन शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a triangle with three vertices),तीन बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (The area of a triangle formed by three points):

Area of a triangle with three vertices

तीन शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a triangle with three vertices):-

(i) जब किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना हो तथा उसका आधार व ऊँचाई (शीर्षलम्ब) दिया हो तो,निम्न सूत्र से ज्ञात किया जाता है:
त्रिभुज का क्षेत्रफल=$\frac{1}{2}$ × आधार × शीर्षलम्ब
(ii) यदि त्रिभुज के तीनों शीर्षों के निर्देशांक दिए हों तो एक विधि यह हो सकती है कि दूरी के सूत्र का प्रयोग करके त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात करें और फिर हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात कर लें।परन्तु यह विधि जटिल हो सकती है विशेष रूप से जब भुजाएँ अपरिमेय संख्याओं के रूप में हों जाएं।इसकी सरल विधि निम्न है:
मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2},y_{2}\right)$ और $C\left(x_{3}, y_{3}\right)$ हैं।क्रमशः बिन्दुओं A,B और C से x-अक्ष पर लम्ब AB,BQ और CR खींचिए।स्पष्टतः चतुर्भुज ABQP,APRC और BQRC समलम्ब चतुर्भुज हैं। अब आकृति से स्पष्ट है कि

Area of a triangle with three vertices

$\triangle$ ABC का क्षेत्रफल=समलम्ब चतुर्भुज ABQP का क्षेत्रफल+समलम्ब APRC का क्षेत्रफल-समलम्ब BQRC का क्षेत्रफल
एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल=$\frac{1}{2}$ × (समान्तर भुजाओं का योग) × उनके बीच दूरी
$\triangle$ ABC का क्षेत्रफल =$\frac{1}{2}(B Q+AP) Q P+\frac{1}{2}(A P+C R) P R-\frac{1}{2}(B Q+C R) Q R \\ =\frac{1}{2}\left(y_{2}+y_{1}\right) \left(x_{1}-x_{2}\right)+\frac{1}{2}\left(y_{1}+y_{3}\right) \left(x_{3}-x_{1}\right)-\frac{1}{2}\left(y_{2}+y_{3}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right) \\ =\frac{1}{2} \left[x_{1}\left(y_{2}-y_{1}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$
अतः $\triangle$ ABC का क्षेत्रफल=$\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2} \left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$ का संख्यात्मक मान है।
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2.तीन शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल के साधित उदाहरण (Area of a triangle with three vertices Solved Examples):

Example:1.उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:
(i) (2,3),(-1,0),(2,-4)
Solution:(2,3),(-1,0),(2,-4)
माना शीर्ष $A\left(x_{1}, y_{1}\right)=(2,3),B\left(x_{2}, y_{2}\right)=(-1,0), C\left(x_{3}, y_{3}\right)=(2,-4)$ हैं।
अतः $\triangle$ ABC का क्षेत्रफल=$\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2} \left(y_{3}-y_{1}\right) +x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ =\frac{1}{8}[2\left ( 0-(-4) \right )-1\left (-4-3\right )+2\left ( 3-0 \right )] \\ =\frac{1}{2}[2 \times 4-1 \times-7+2 \times 3] \\ =\frac{1}{2} \times[8+7+6] \\ =\frac{1}{2} \times 21 \\ =\frac{21}{2}$ वर्ग मात्रक
(ii) (-5,-1),(3,-5),(5,2)
Solution:(-5,-1),(3,-5),(5,2)
माना $\triangle$ ABC  के शीर्ष $A(x_{1}, y_{1})=(-5,-1),B\left(x_{2}, y_{2}\right)=(3,5), C\left(x_{3}, y_{3}\right)=(5,2)$ हैं।
$\triangle$ ABC का क्षेत्रफल=$\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3} \left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ =\frac{1}{2}[-5(-5-2)+3(2-(-1))+5(-1-(-5))] \\ =\frac{1}{2}[-5 \times -7+3 \times 3+5 \times 4] \\ =\frac{1}{2}[35+9+20] \\ =\frac{1}{2} \times 64 \\=32$  वर्ग मात्रक
Example:2.निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘k’ का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिन्दु संरेखी हों:
(i) (7,-2),(5,1),(3,k)
Solution:(7,-2),(5,1),(3,k)
माना $\left(x_{1}, y_{1}\right)=(7,-2),\left(x_{2}, y_{2}\right)=(5,1), C\left(x_{3}, y_{3}\right)=(3, k)$
संरेख होने का प्रतिबन्ध:

$x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)=0 \\ \Rightarrow (1-k)+5(k-(-2))+3(-2-1)=0 \\ \Rightarrow 7-7 k+5 k+10-9=0 \\ \Rightarrow -2 k+8=0 \\ \Rightarrow 2 k=8 \Rightarrow k=4$
(ii) (8,1),(k,-4),(2,-5)
Solution:(8,1),(k,-4),(2,-5)
माना $\left(x_{1}, y_{1}\right)=(8,1),\left(x_{2}, y_{2}\right)=(k, 4),\left(x_{3}, y_{3}\right)=(2,-5)$
संरेख होने का प्रतिबन्ध: $x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)=0 \\ \Rightarrow 8(-4-(-5))+k(-5-1)+2(1-(-4))=0 \\ \Rightarrow 8(-4+5)+k x-6+2(1+4)=0 \\ \Rightarrow 8 \times 1-6 k+10=0 \\ \Rightarrow-6 k+18=0 \\ \Rightarrow 6 k=18 \\ \Rightarrow k=3$

Area of a triangle with three vertices

Example:3.शीर्षों (0,-1),(2,1) और (0,3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution:माना $\triangle$ ABC के शीर्ष $A\left(x_{1}, y_{1}\right)=(0,-1), A\left(x_{2}, y_{2}\right)=(2,1), A\left(x_{3}, y_{3}\right)=(0,3)$ हैं।

Area of a triangle with three vertices

AB के मध्य-बिन्दु D के निर्देशांक=$\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) \\ =\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)=(1,0)$
BC के मध्य-बिन्दु E के निर्देशांक=$\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right) \\ =\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)=(1,2)$
AC के मध्य-बिन्दु F के निर्देशांक=$\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right) \\=\left(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)=(0,1)$
$\triangle$ DEF का क्षेत्रफल=$\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+y_{3} \left(y_{1}-y_{2}\right)\right]\\ =\frac{1}{2}[1(2-1)+1(1-0)+0(0-2)]\\ =\frac{1}{2}\left[1 \times 1+1 \times 1\right]=\frac{1}{2} \times 2=1$ वर्ग मात्रक
$\triangle$ ABC का क्षेत्रफल=$1\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right) +x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]\\ =\frac{1}{2}[0(1-3)+2(3-(-1))+0(-1-1)]\\ =\frac{1}{2}[2(3+1)]=\frac{1}{2} \times 8=4$
$\frac{\triangle DEF का क्षेत्रफल}{\triangle ABC का क्षेत्रफल}=\frac{1}{4}$
अतः दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात=1:4
Example:4.उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष इसी क्रम में (-4,-2),(-3,-5),(-3,-2) और (2,3) हैं।
Solution:माना चतुर्भुज ABCD के निर्देशांक A(-4,-2),B(-3,-5),C(3,-2) और D(2,3) हैं।

Area of a triangle with three vertices

$\triangle$ ABC में

$\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(-4,-2\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)=(-3,-5),\left(x_{3} y_{3}\right)=(3,-2)$
$\triangle$ ABC का क्षेत्रफल=$\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+y_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ = \frac{1}{2}\left [ -4\left(-5-(-2)\right )-3\left ( -2-(-2) \right )+3\left (-2-(-5) \right) \right ]\\ = \frac{1}{2}[-4(-5+2)-3(-2+2)+3(-2+5)] \\ = \frac{1}{2}[-4 \times-3-3 \times 0+3 \times 3] \\ = \frac{1}{2}[12+9]=\frac{21}{2}$ वर्ग मात्रक
$\triangle$ CDA में

$C\left(x,, y_{1}\right)=(3,-2), D\left(x_{2}, y_{2}\right)=(2,3) ,A\left(x_{3}, y_{3}\right)=(-4,-2)$
$\triangle$ CDA का क्षेत्रफल=$\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right) +x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ =\frac{1}{2}\left [ 3(3-(-2))+2(-2-(-2))-4(-2-3)\right ] \\ =\frac{1}{2}[3(3+2)+2(-2+2)-4(-5)] \\ =\frac{1}{2}[3 \times 5+2(0)-4 \times-5] \\ =\frac{1}{2}[15+20]=\frac{35}{2}$ वर्ग मात्रक
अब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल=($\triangle$ ABC का क्षेत्रफल)+($\triangle$ CDA का क्षेत्रफल)
=$\frac{21}{2}+\frac{35}{2}=\frac{56}{2}$=28 वर्ग मात्रक
Example:5.कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9,उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4,-6),B(3,-2) और C(5,2) हैं।
Solution:AD, $\triangle$ ABC की माध्यिका है। अतः D बिन्दु BC का मध्य बिन्दु है।
D के निर्देशांक $\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2} , \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\\ \left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right)=(4,0)$

Area of a triangle with three vertices

$\triangle$ ADC के लिए

$\left(x_{1}, y_{1}\right)=A(4,-6) ,\left(x_{2}, y_{2}\right)=D(4,0) ,\left(x_{3}, y_{3}\right)=C(5,2)$
$\triangle$ ADC का क्षेत्रफल=$\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right) +x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\=\frac{1}{2}[4(0-2)+4(2-(-6))+5(-6-0)] \\ = \frac{1}{2}[4 \times-2+4(2+6)+5 \times-6] \\= 5[-8+32-30] \\ =-\frac{6}{2}=-3$
=3 वर्ग मात्रक (संख्यात्मक मान)
$\triangle$ ABD के लिए

$\left(x_{1}, y_{1}\right)=A(4,-6),\left(x_{2},y_{2}\right)=B(3,-2),\left(x_{3}, y_{3}\right)=D(4,0)$
$\triangle$ ABD का क्षेत्रफल=$\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right) +x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]\\ =\frac{1}{2}\left [ 4(-2-0)+3(0-(-6))+4(-6-(-2) \right ]\\ =\frac{1}{2}[4 \times-2+3 \times 6+4(-6+2)]\\ =\frac{1}{2}[-8+18+4 \times-4]\\ =\frac{1}{2}[10-16]\\=\frac{1}{2} \times-6\\ =3$ वर्ग इकाई (संख्यात्मक मान)
क्षेत्रफल $\triangle$ ADC=क्षेत्रफल $\triangle$ ABD
अतः त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।

3.तीन शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल के सवाल (Area of a triangle with three vertices Questions):

Area of a triangle with three vertices

(1.)यदि A(-5,7),B(-4,-5),C(-1,-6) और D(4,5) चतुर्भुज के शीर्ष है तो चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(2.)सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1,1),(-2,7) और (3,-3) संरेख हैं।
(3.)बिन्दुओं A(3,2),B(11,8) और C(8,12) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)72 वर्ग इकाइयाँ (2.)25 वर्ग इकाई

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4.तीन शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a triangle with three vertices),तीन बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (The area of a triangle formed by three points) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

जब किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना हो तथा उसका आधार व ऊँचाई (शीर्षलम्ब) दिया हो
तो,निम्न सूत्र से ज्ञात किया जाता है: