1.9वीं में दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variable 9th),दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म (Linear Equations in Two Variables):

Linear Equations in Two Variable 9th

9वीं में दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variable 9th) के इस आर्टिकल में रैखिक समीकरण युग्मों तथा रैखिक समीकरण के वस्तुनिष्ठ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.9वीं में दो चरों वाले रैखिक समीकरण के साधित उदाहरण (Linear Equations in Two Variables 9th Solved Illustrations):

निम्न समीकरण युग्मों को हल कीजिए।
Illustration:1.3x+2y=9,x+3y=10
3x+2y=9  ….. (1)
x+3y=10 ……. (2)
समीकरण (2) को 3 से गुणा करने परः
\begin{array}{cc}3 x+9 y=30 & \cdots(3) \\ 3 x+2 y=9 & \cdots(1) \\ - \quad \quad - \quad \quad - \quad \quad  & \text{घटाने पर} \\ \hline \end{array} \\ 7 y=21 \Rightarrow y=\frac{21}{7}=3
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3x+2(3)=9 \\ \Rightarrow x=\frac{9-6}{3} \\ \Rightarrow x=\frac{3}{3}=1
x=1,y=3
Illustration:2.x+y=16,4x+7y=36
Solution:x+y=16   …. (1)
4 x+7 y=36 \\ \Rightarrow 7 y=36-4 x \\ \Rightarrow y=\frac{36-4 x}{7} \cdots(2)
y का मान समीकरण (2) से (1) में रखने परः
x+\frac{36-4 x}{7}=16 \\ \Rightarrow \frac{7 x+36-4 x}{7}=16 \\ \Rightarrow 3 x+36=112 \\ \Rightarrow 3 x=112-36 \\ \Rightarrow x=\frac{76}{3}
x का मान समीकरण (2) में रखने परः
y=\frac{36-4 \times \frac{76}{3}}{7}=\frac{108-304}{3 \times 7} \\ \Rightarrow y=\frac{-196}{21} \\ \Rightarrow y=-\frac{28}{3} \\ \Rightarrow x=\frac{76}{3}, y=-\frac{28}{3}
Illustration:3.2x-3y=1,5x+4y=14
Solution:2x-3y=1   …… (1)
5 x+4 y=14 \\ \Rightarrow 5x=14-4y \\ \Rightarrow 5 x=\frac{14-4 y}{4} \cdots(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने परः
2\left(\frac{14-4 y}{5}\right)-3 y=1 \\ \Rightarrow \frac{28-8 y}{5}-\frac{3 y}{1}=1 \\ \Rightarrow 28-8 y-15 y=5 \\ \Rightarrow-23 y=5-28 \\ \Rightarrow y=\frac{-23}{-23}=1
y का मान समीकरण (2) में रखने परः
x=\frac{14-4 \times 1}{5}=\frac{10}{5}=2 \\ \Rightarrow x=2, y=1
Illustration:4.3y=x-2,2x+5y=15
Solution: 3 y=x-2 \Rightarrow y=\frac{x-2}{3} \cdots(1) \\ 2 x+3 y=15 \cdots(2)
समीकरण (1) से y का मान समीकरण (2) में रखने परः
2x+5\left(\frac{x-2}{3}\right)=15 \\ \Rightarrow \frac{6 x+5 x-10}{3}=15 \\ \Rightarrow 11 x-10=45 \\ \Rightarrow 11 x=45+10 \\ \Rightarrow x=\frac{55}{11}=5
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
y=\frac{5-2}{3}=\frac{3}{3}=1
x=5,y=1
Illustration:5.2x+y=5,2x-5y-1=0
Solution: 2x+y=5 \Rightarrow x=\frac{5-y}{2} \cdots(1) \\ 2x-5y-1=0 \cdots(2)
x का मान समीकरण (1) से (2) में रखने परः
2\left(\frac{5-y}{2}\right)-5 y-1=0 \\ \Rightarrow 5-y-5 y-1=0 \\ \Rightarrow-6 y+4=0 \\ \Rightarrow 6 y=4 \\ \Rightarrow y=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
y का मान समीकरण (1) में रखने परः
x=\frac{5-\frac{2}{3}}{2}=\frac{15-2}{6} \\ \Rightarrow x=\frac{13}{6} , y=\frac{2}{3}
Illustration:6.3x-2y=5,5x-y=3
Solution:3x-2y=5  ….. (1)
5x-y=3    ….. (2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने परः
\begin{array}{cc}10 x-2 y=6 & \cdots(3) \\ 3x-2y=5 & \cdots(1) \\ - \quad \quad + \quad \quad - & \text { घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ 7 x=1 \\ \Rightarrow x=\frac{1}{7}
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
3 \times \frac{1}{7}-2 y=5 \\ \Rightarrow \frac{3}{7}-2 y=5 \\ \Rightarrow-2 y=5-\frac{3}{7} \\ \Rightarrow-2 y=\frac{35-3}{7} \\ \Rightarrow-2 y=\frac{32}{7} \\ \Rightarrow y=\frac{30}{7} \times - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow y=-\frac{16}{7} \\ x=\frac{1}{7}, y=-\frac{16}{7}
Illustration:7.x+y=7,3x-2y=11
Solution:x+y=7  ……. (1)
3x-2y=11     ……… (2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने परः
\begin{array}{cc} 2 x+2 y=14 & \cdots(3)\\ 3 x-2 y=11 & \cdots(2) \\ & \text{जोड़ने परः} \\ \hline \end{array} \\ 5 x=25 \\ \Rightarrow x=\frac{25}{5}=5
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
5+y=7 \\ \Rightarrow y=7-5=2
x=5,y=2

3.दो चरों वाले रैखिक समीकरण के वस्तुनिष्ठ उदाहरण (Objective Examples of a Linear Equation with Two Variables):

Illustration:8.यदि y=2x-3 तथा y=5 हो,तो x का मान होगा:
(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 3
Solution:y=2x-3,में y=5 रखने परः
\Rightarrow 5+3=2x \\ \Rightarrow x=\frac{8}{2}=4
विकल्प (c) सही है।
Illustration:9.यदि \frac{4}{x}+5 y=7 तथा x=-\frac{4}{3} हो,तो y का मान होगाः
(a)\frac{37}{15} (b) 2 (c) \frac{1}{2} (d) \frac{1}{3}
Solution: \frac{y}{x}+5 y=7 में x=-\frac{4}{3} रखने परः
\frac{4}{-\frac{4}{3}}+5 y=7 \\ \Rightarrow-3+5 y=7 \\ \Rightarrow 5y=7+3 \\ \Rightarrow y=\frac{10}{5}=2
विकल्प (b) सही है।
Illustration:10.यदि 2x+y=6 हो,तो इसको सन्तुष्ट करने वाला युग्म है:
(a) (1,2) (b) (2,1) (c) (2,2) (d) (1,1)
Solution:विकल्प (c) सही है।
Illustration:11.यदि x=1 हो,तो समीकरण \frac{4}{x}+\frac{3}{y}=5 में y का मान हैः
(a) 1 (b) \frac{1}{3} (c)3 (d)-3
Solution: \frac{4}{x}+\frac{3}{y}=5 में x=1 रखने परः
\Rightarrow \frac{4}{1}+\frac{3}{y}=5 \\ \Rightarrow \frac{3}{y}=5-4 \\ \Rightarrow y=3
विकल्प (c) सही है।

Linear Equations in Two Variable 9th

Illustration:12.यदि \frac{3}{x}+4 y=5 तथा y=1 हो तो x का मान होगाः
(a) 3 (b) \frac{1}{3} (c) -3 (d) -\frac{1}{3}
Solution: \frac{3}{x}+4 y=5 में y=1 रखने परः
\Rightarrow \frac{3}{x}+4 \times 1=5 \\ \Rightarrow \frac{3}{x}=5-4 \\ \Rightarrow x=3
विकल्प (a) सही है।
Illustration:13.यदि x=2,y=-1 समीकरण 2x-3y=k का एक हल हो,तो k का मान होगाः
(a) 1 (b) 7 (c) -8 (d) 0
Solution: 2x-3y=k में x=2,y=-1 रखने परः
\Rightarrow 2 \times 2-3 \times-1=k \\ \Rightarrow k=4+3=7
विकल्प (b) सही है।
Illustration:14.यदि युग्म (-6,0) समीकरण \frac{x}{3}=\frac{y}{3}+k का एक हल हो,तो k का मान होगाः
(a) -2 (b) 2 (c) 10 (d) 0
Solution: \frac{x}{3}=\frac{y}{5}+k में x=-6,y=0 रखने परः
\Rightarrow \frac{-6}{3}=\frac{0}{5}+k \\ \Rightarrow k=-2
विकल्प (a) सही है।
Illustration:15.यदि समीकरण 6=5x-3y को ax+by+c=0 रूप में निरूपित किया जाय तो इस स्थिति में b का मान होगाः
(a) 5 (b) -3 (c) 6 (d) 3
Solution: 6=5x-3y \Rightarrow 5 x-3 y-6=0 की तुलना ax+by+c=0 से करने परः
b=-3
विकल्प (b) सही है।
Illustration:16.समीकरण 2x=y को ax+by+c=0 रूप में निरूपित करने पर c का मान होगाः
(a) 2 (b) 1 (c) -1 (d) 0
Solution:2x=y
\Rightarrow 2 x-y+0=0 की तुलना ax+by+c=0 से करने परः
c=0
विकल्प (d) सही है।
Illustration:17.समीकरण 5y=x को ax+by+c=0 से तुलना करने पर a बराबर हैः
(a) 1 (b)5 (c)-1 (d)-5
Solution:5y=x \Rightarrow x-5y+0=0 की तुलना ax+by+c=0 से करने परः
a=1
विकल्प (a) सही है।
Illustration:18.समीकरण 5y=2 को ax+by+c=0 दो चरों वाले समीकरण में निरूपित करने पर a का मान होगाः
(a) 2 (b) 5 (c) 0 (d) -2
Solution:5y=2 \Rightarrow 0+5y-2=0 की तुलना ax+by+c=0 से करने परः
a=0
विकल्प (c) सही है।
Illustration:19.समीकरण \frac{y-3}{7}-\frac{x}{2}=1 में यदि y=10 हो,तो x बराबर है:
(a) 0 (b) 1 (c) -2 (d) 2
Solution: \frac{y-3}{7}-\frac{x}{2}=1 में y=10 रखने परः
\Rightarrow \frac{10-3}{7}-\frac{x}{2}=1 \\ \Rightarrow \frac{7}{7}-\frac{x}{2}=1 \\ \Rightarrow-\frac{x}{2}=1-1 \\ \Rightarrow x=0
विकल्प (a) सही है।
Illustration:20.समीकरण x+y=6 और x-y=2 में x बराबर है:
(a) 8 (b) 4 (c) 6 (d) 2
Solution:
\begin{array}{cc}x-y=2 \cdots(1) & \\ x+y=6 \cdots(2) & \\  & \text{जोड़ने परः}  \\ \hline \end{array} \\ 2 x=8 \Rightarrow x=\frac{8}{2}=4
विकल्प (b) सही है।
Illustration:21.यदि x=2 हो,तो समीकरण x+\frac{y+2}{5}=8 बराबर है:
(a)28 (b)36 (c)30 (d)32
Solution: x+\frac{y+2}{5}=8 में x=2 रखने परः
\Rightarrow 2+\frac{y+2}{5}=8 \\ \Rightarrow \frac{y+2}{5}=8-2 \\ \Rightarrow y=6 \times 5-2=28
विकल्प (a) सही है।
Illustration:22.यदि समीकरण \frac{2 x}{3}+\frac{y}{2}=4 में x का मान 3 है तो y का मान होगाः
(a) 2 (b) 3 (c) 6 (d) 4
Solution: \frac{2 x}{3}+\frac{y}{2}=4 में x=3 रखने परः
\Rightarrow \frac{2}{3} \times 3+\frac{y}{2}=4 \\ \Rightarrow \frac{y}{2}=4-2 \\ \Rightarrow y=4
विकल्प (d) सही है।
Illustration:23.यदि बिन्दु (1,-2) समीकरण 2x+ky=4 के आलेख पर स्थित हो तो k का मान होगा:
(a)-1 (b)-2 (c)3 (d) 0
Solution:2x+ky=4 में x=1,y=-2 रखने परः
2 \times 1+k \times -2=4 \\ \Rightarrow-2 k=4-2 \Rightarrow k=\frac{2}{-2}=-1
विकल्प (a) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा 9वीं में दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variable 9th),दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म (Linear Equations in Two Variables) को समझ सकते हैं।

4.दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मुख्य बिन्दु (Key Points of a Linear Equation with Two Variables):

Linear Equations in Two Variable 9th

(1.)x+1=0, x+\sqrt{2}=0, \sqrt{2}y+\sqrt{3}=0 आदि एक चर वाले रैखिक समीकरणों के कुछ उदाहरण हैं।ऐसे समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है।
एक रैखिक समीकरण को हल करते समय निम्नलिखित बातों का ध्यान रखना होता है:
एक रैखिक समीकरण पर तब कोई प्रभाव नहीं पड़ता जब
(2.)समीकरण के दोनों पक्षों को समान संख्या जोड़ी या घटाई जाती है।
(3.)समीकरण के दोनों पक्षों को समान शून्येत्तर संख्या से गुणा या भाग दिया जाता है।
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के चरों को x और y से,परन्तु कभी-कभी अन्य अक्षरों से भी प्रकट किया जाता है।
p+4q=7, 3=\sqrt{2} x-7 y आदि दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के कुछ उदाहरण हैं।
(3.)दो चरों वाले रैखिक समीकरण का आलेख प्रत्येक पर स्थित बिन्दु रेखा के समीकरण को सन्तुष्ट करता है और समीकरण का प्रत्येक हल रेखा पर स्थित एक बिन्दु होता है।अतः दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण के ज्यामितीय रूप को एक ऐसी रेखा से निरूपित किया जाता है जिसके सभी बिन्दु समीकरण के हल होते हैं।इस रैखिक समीकरण को आलेख कहते हैं।
उपर्युक्त वस्तुनिष्ठ उदाहरणों के द्वारा 9वीं में दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variable 9th),दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म (Linear Equations in Two Variables) को समझ सकते हैं।

5.9वीं में दो चरों वाले रैखिक समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Linear Equations in Two Variable 9th):

(1.)समीकरणों 3x-4y+22=0, 4x-3y+13=0 को हल करो।
(2.)समीकरणों \sqrt{2} x-\sqrt{3} y=0, \sqrt{5} x-\sqrt{2} y=0 को हल कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)x=2,y=7  (2.)x=0,y=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर 9वीं में दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variable 9th),दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म (Linear Equations in Two Variables) को ठीक से समझ सकते हैं।

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6.9वीं में दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Linear Equations in Two Variable 9th),दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म (Linear Equations in Two Variables) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

9वीं में दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variable 9th) के इस
आर्टिकल में रैखिक समीकरण युग्मों तथा रैखिक समीकरण के वस्तुनिष्ठ सवालों को हल
करके समझने का प्रयास करेंगे।