1.बहुपद के उदाहरण कक्षा 9 का परिचय (Introduction to Illustrations of Polynomials Class 9),बहुपद कक्षा 9 (Polynomials Class 9):

Illustrations of Polynomials Class 9

बहुपद के उदाहरण कक्षा 9 (Illustrations of Polynomials Class 9) के इस आर्टिकल में कुछ विशिष्ट बहुपद के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.बहुपद के उदाहरण कक्षा 9 (Illustrations of Polynomials Class 9):

Illustration:1.यदि x-2 निम्नलिखित में से प्रत्येक बहुपद का गुणनखण्ड हो,तो प्रत्येक के लिए a का मान ज्ञात कीजिए:
Illustration:1(i). x^2-3 x+5 a
Solution:क्योंकि x-2, x^2-3 x+5 a का गुणनखण्ड है।इसलिए शेषफल f(2)=0 है।
\Rightarrow f(2)=2^2-3 \times 2+5 a=0 \\ \Rightarrow 4-6+5 a=0 \Rightarrow 5 a=2 \\ \Rightarrow a=\frac{2}{5}
Illustration:1(ii). x^3-2 a x^2+a x-1
Solution: f(x)=x^3-2 a x^2+a x-1 \\ \Rightarrow f(2)=2^3-2 a \times 2^2+a \times 2-1=0 \\ \Rightarrow 8-8 a+20-1=0 \\ \Rightarrow -6 a=-7 \\ \Rightarrow a=\frac{7}{6}
Illustration:2.बहुपद P(y)=y^3+y^2-2 y+1 को द्विपद y+3 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
Solution: भाग

अतः शेषफल=-11
Illustration:3.सत्यापित कीजिए कि g(x)=x+\sqrt{2} व्यंजक f(x)=2 \sqrt{2} x^2+5 x+\sqrt{2} का गुणनखण्ड है।
Solution: g(x)=x+\sqrt{2}=0 \Rightarrow x=-\sqrt{2}\\ f(x)=2 \sqrt{2} x^2+5 x+\sqrt{2} \\ \Rightarrow f(-\sqrt{2}) =2 \sqrt{2}(-\sqrt{2})^2+5(-\sqrt{2})+\sqrt{2} \\ =4 \sqrt{2}-5 \sqrt{2}+\sqrt{2} \\ =5 \sqrt{2}-5 \sqrt{2} \\ \Rightarrow f(-\sqrt{2})=0
अतः x+\sqrt{2} ,बहुपद 2 \sqrt{2} x^2+5 x+\sqrt{2} का गुणनखण्ड है।
Illustration:4.यदि बहुपद x^3+l x+m में (x-1) या (x+1) का भाग दिया जाये तो शेषफल 7 बचता है,l तथा m के मान ज्ञात कीजिए।
Solution:यदि f(x)=x^3+l x+m के (x-1) तथा (x+1) गुणनखण्ड होंगे जब 7 f(x) में से घटा दें अतः
f(1)=1^3+l \times 1+m-7=0 \\ \Rightarrow l+m=6 \cdots(1) \\ f(-1)=(-1)^3+l(-1)+m-7=0 \\ \Rightarrow-1-l+m-7=0 \\ \Rightarrow-l+m=8 \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:
2 m=14 \Rightarrow m=\frac{14}{2}=7
m का मान समीकरण (1) में रखने परः
l+7=6 \Rightarrow l=6-7=-1
अतः l=-1,m=7
Illustration:5.दी गई संख्याओं को बिना सीधे-सीधे गुणा किए,निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
Illustration:5(i).95×101
Solution:95×101=(100-95)(100-1)
=(100)^2+[(-5)+1] \times 100+(-5) \times 1 [ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab सर्वसमिका से]
=10000-400-5
=10000-405
=9595
Illustration:5(ii).194×189
Solution:194×189=(200-6)(200-11)
=(200)^2+(-6-11) \times 200+(-6) \times(-11) [ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+ab सर्वसमिका से]
=40000-3400+66
=36666
Illustration:6.निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
Illustration:6(i). (x+2 y+4 z)^2
Solution: (x+2 y+4 z)^2
[सर्वसमिका (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca के अनुसार]
=(x)^2+(2 y)^2+(4 z)^2+2 \times x \times 2 y+2 \times 2 y \times 4z+2 \times 4 z \times x \\ =x^2+4 y^2+16 z^2+4 x y+16 y z+8 z x
Illustration:6(ii). (-3 x+y+5 z)^2
Solution: (-3 x+y+5 z)^2
[सर्वसमिका (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca के अनुसार]
=(-3 x)^2+y^2+(5 z)^2+2 \times(-3 x) \times y+ 2 \times y \times 5 z+2 \times(5 z) \times(-3 x) \\ =9 x^2+y^2+25z^2-6xy+10yz-30zx
Illustration:7.निम्नलिखित घन को प्रसारित रूप में लिखिए:
Illustration:7(i). (2 x-3 y)^3
Solution: (2 x-3 y)^3 \\ =(2 x)^3-(3 y)^3+3(2 x)^2(-3 y)+3(2 x)(-3 y)^2
[ (a-b)^3=a^3-b^3-3 a^2 b+3 a b^2 सर्वसमिका से]
=8 x^3-27 y^3-36 x^2 y+54 x y^2
Illustration:7(ii). (a x+b y)^3
Solution: (a x+b y)^3
(a x)^3+(b y)^3+3(a x)^2(b y)+3(a x)(b y)^2
[ (a+b)^3=a^3+b^3+3 a^2 b+3 a b^2 सर्वसमिका से]
=a^3 x^3+b^3 y^3+3 a^2 b x^2 y+3 a b^2 x y^2
Illustration:8.किसी उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग कर निम्नलिखित के मान निकालिए:
Illustration:8(i). (104)^3
Solution: (104)^3 \\ =(100+4)^3 \\ =(100)^3+(4)^3+3(100)^2(4)+3 \times(100) \times 4^2
[ (a+b)^3=a^3+b^3+3 a^2 b+3 a b^2 सर्वसमिका से]
=1000000+64+120000+4800
=1124864
Illustration:8(ii). (1004)^3
Solution: (1004)^3 \\ =(1000+4)^3 \\ =(1000)^3+4^3+3 \times(1000)^2 \times 4+3 \times 1000 \times 4^2
[(a+b)^3=a^3+b^3+3 a^2 b+3 a b^2 सर्वसमिका से]
=1000000000+64+12000000+48000
=1012048064

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Illustration:9.a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए,जिससे कि बहुपद x^3+10 x^2+a x+b व्यंजकों (x-1) तथा (x+2) से पूर्णतः विभाजित हो जाए।
Solution:माना f(x)=x^3+10 x^2+a x+b
अब (x-1) (x+2),f(x) के गुणनखण्ड हैं अतः f(1)=0 तथा f(-2)=0
f(1)=1^3+10 \times 1^2+a \times 1+b=0 \\ f(1)=11+a+b=0 \\ \Rightarrow a+b=-11 \cdots(1) \\ f(-2)=(-2)^3+10 \times(-2)^2+a \times-2+b=0 \\ \Rightarrow -8+40-2 a+b=0 \\ \Rightarrow -2 a+b=-32 \cdots(2)
समीकरण (1) में से (2) घटाने परः
a+b-(-2 a+b)=-11-(-32) \\ \Rightarrow a+b+2 a-b=-11+32 \\ \Rightarrow 3a=21 \Rightarrow a=\frac{21}{3}=7
a का मान समीकरण (1) में रखने परः
7+b=-11 \Rightarrow b=-11-7=-18 \\ \Rightarrow a=7, b=-18
Illustration:10.यदि (x-1) तथा (x+2) बहुपद 2 x^3+m x^2+n x-14 के गुणनखण्ड हैं तो m तथा n के मान ज्ञात कीजिए।
Solution:माना कि f(x)=2 x^3+m x^2+n x-14
(x-1),(x+2),f(x) के गुणनखण्ड हैं अतः
f(1)=2 \times(1)^3+m \times(1)^2+n \times 1-14=0 \\ \Rightarrow 2+m+n-14=0 \\ m+n=+12 \cdots(1) \\ f(-2)=2 \times(-2)^3+m \times(-2)^2+n \times-2-14=0 \\ \Rightarrow -16+4 m-2 n-14=0 \\ \Rightarrow 4 m-2 n-30=0 \\ \Rightarrow 2m-n-15=0 \\ \Rightarrow 2 m-n=15 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने परः
3m=27 \Rightarrow m=\frac{27}{3}=9
m का मान समीकरण (1) में रखने परः
9+n=12 \Rightarrow n=12-9 \\ \Rightarrow n=3 \\ m=9, n=3
Illustration:11.बहुपद f(x)=3 x^3+a x^2+4 x+b का एक गुणनखण्ड (x+2) है यदि इसमें (x-3) का भाग दिया जाये तो शेषफल -5 बचता है।a तथा b के मान ज्ञात कीजिए।
Solution: f(x)=3 x^3+a x^2+4 x+b
(x+2) इसका गुणनखण्ड है अतः
f(-2)=3 \times(-2)^3+a \times(-2)^2+4 \times-2+b=0 \\ \Rightarrow-24+4 a-8+b=0 \\ \Rightarrow 4 a+b=32 \cdots(1)
x-3 का f(x) में भाग देने पर शेषफल -5 बचता है अतः
f(3)=3 \times 3^3+a \times 3^2+4 \times 3+b=-5 \\ \Rightarrow 81+9 a+12+b=-5 \\ \Rightarrow \quad 9 a+b=-98 \ldots(2)
समीकरण (1) में से (2) घटाने परः
4 a+b-(9 a+b)=32-(-98) \\ \Rightarrow 4 a+b-9 a-b=32+98 \\ \Rightarrow-5 a=130 \Rightarrow a=\frac{130}{-5} \\ \Rightarrow a=-26
a का मान समीकरण (1) में रखने परः
4(-26)+b=32 \\ \Rightarrow-104+b=32 \Rightarrow b=136
अतः a=-26,b=136
Illustration:12.सरल कीजिए:
(2 a+5 b)^3-(2 a-5 b)^3
Solution: (2 a+5 b)^3-(2 a-5 b)^3 \\ =(2 a)^3+(5 b)^3+3 \times(2 a)^2 \times 5b+3 \times 2 a \times(5 b)^2-\left[(2 a)^3-(5 b)^3-3 \times (2 a)^2 \times 5 b+3 \times 2 a \times(5 b)^2\right] \\ =8 a^3+125 b^3+60 a^2 b+150 a b^2- \left(8 a^3-125 b^3-60 a^2 b+150 a b^2\right) \\ =8 a^3+125 b^3+60 a^2 b+150 a b^2-8 a^3 +125 b^3+60 a^2 b-150 a b^2 \\ =250 b^3+120 a^2 b
Illustration:13.सरल कीजिए:
(a+2 b)^3+(a-2 b)^3
Solution: (a+2 b)^3+(a-2 b)^3 \\ =a^3+(2 b)^3+3 a^2 \times 2 b+3 a \times(2 b)^2+a^3 -3 a^2 \times 2 b+3 \times(2 b)^2-(2 b)^3 \\ =2 a^3+24 a b^2
Illustration:14. 125 p^3-8 q^3 का मान ज्ञात कीजिए,यदि 5p-2q=13 और pq=30
Solution: 125 p^3-8 q^3 \\ =(5 p)^3-(2 q)^3 \\ =(5 p-2 q)\left[(5 p)^2+5 p \times 2 q+(2 q)^2\right] \\ =(5 p-2 q)\left(25 p^2+10 p q+4 q^2\right) \\ =13 \times\left(25 p^2+10 \times 30+4 q^2\right) [5p-2q=13 तथा pq=30 रखने पर]
=13\left(25 p^2+300+4 q^2\right) \\ =13\left[(5 p-2 q)^2+20 p q+300\right] \\ =13\left[(13)^2 +20 \times 30+300\right] \\ =13(169+600+300)=13 \times 1069=13897
Illustration:15. 8 x^3+27 y^3 का मान ज्ञात कीजिए यदि 2x+3y=18 और xy=12
Solution: 8 x^3+27 y^3 \\ =(2 x)^3+(3 y)^3 \\ =(2 x+3 y)\left[(2 x)^2+(3 y)^2-2 x \times 3 y\right] \\ =(2 x+3 y)\left[(2 x)^2+2 \times 2 x \times 3 y+(3 y)^2-2 \times 2 x \times 3 y-2 x \times 3 y\right] \\ =(2 x+3 y)\left[(2 x+3 y)^2-18 x y\right] \\ =18 \left[(18)^2-18 \times 12\right] [2x+3y=18,xy=12 रखने पर]
=18[324-216] \\ =18 \times 108=1944
Illustration:16.गुणनखण्डन कीजिए:
3 u^3-4 u^2-12 u+16
Solution: p(u)=3 u^3-4 u^2-12 u+16
16 के गुणनखण्ड हैं=\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \\ p(2)=3 \times(2)^3-4 \times 2^2-12 \times 2+16=24-16-24+16=0
u-2 एक गुणनखण्ड है।

Illustration:17.गुणनखण्डन कीजिए:
\left(\frac{1}{2} x-3 y\right)^3+(3 y-\sqrt{3} z)^3+\left(33 z-\frac{1}{2} x\right)^3
Solution: \left(\frac{1}{2} x-3 y\right)^3+\left(3 y-\sqrt{3} z\right)^3+\left(\sqrt{3} z-\frac{1}{2} x\right)^3 \\ \frac{1}{2} x-3 y+3 y-\sqrt{3} z+\sqrt{3} z-\frac{1}{2} x=0
अतः a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b+c)\left(x^2+y^2+z^2-x y-yz-zx \right) में a+b+c=0 तो
a^3+b^3+c^3-3 a b c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3 a b c
फलतः \left(\frac{1}{2} x-3 y\right)^3+(3 y-\sqrt{3} z)^3+\left(\sqrt{3} z-\frac{1}{2} x\right)^3 =3\left(\frac{1}{2} x-3 y\right)(3 y-\sqrt{3} z)\left(\sqrt{3} z-\frac{1}{2} x\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बहुपद के उदाहरण कक्षा 9 (Illustrations of Polynomials Class 9),बहुपद कक्षा 9 (Polynomials Class 9) को समझ सकते हैं।

Illustrations of Polynomials Class 9

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3.बहुपद के उदाहरण कक्षा 9 (Frequently Asked Questions Related to Illustrations of Polynomials Class 9),बहुपद कक्षा 9 (Polynomials Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बहुपद के उदाहरण कक्षा 9 (Illustrations of Polynomials Class 9) के इस आर्टिकल में
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