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Impulse in Dynamics

October 21, 2026 Dynamics No Comments
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1 1.गतिविज्ञान में आवेग (Impulse in Dynamics):
1.1 2.गतिविज्ञान में आवेग पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Impulse in Dynamics):
1.2 3.छात्र-छात्राओं के लिए गतिविज्ञान में आवेग के प्रैक्टिस क्वेश्चंस (Practice Questions of Impulse in Dynamics for Students):
1.2.1 4.गतिविज्ञान में आवेग (Frequently Asked Questions Related to Impulse in Dynamics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
1.2.2 Q:1.आवेग किसे कहते हैं? (What is impulse?):
1.2.3 Q:2.आवेगी बल या आघात से क्या आशय है? (What is meant by impulsive force or Blow?):
1.2.4 Q:3.रेखीय संवेग के संरक्षण को समझाइए। (Explain the conservation of linear momentum):
1.2.5 5.छात्र-छात्राओं से आज का प्रश्न (Today’s Question to Students):

1.गतिविज्ञान में आवेग (Impulse in Dynamics):

आवेग क्या होता है? कार्य और ऊर्जा से यह कैसे सम्बन्धित है? इसे जानने में परेशानी महसूस करते हैं तो जानिये तिविज्ञान में आवेग (Impulse in Dynamics) की सम्पूर्ण डिटेल।

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2.गतिविज्ञान में आवेग पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Impulse in Dynamics):

Illustration: 1. दो कण जिनकी संहति m तथा m’ है, समान्तर रेखाओं में दिए हुए वेग v तथा v’ से गतिमान हैं। दोनों कण एक धागे से बंधे हैं, जिसकी लम्बाई इस प्रकार है कि जैसे धागा कसता है तब वह दोनों रेखाओं के साथ \alpha कोण बनाता है। यदि यह मान लें v > v’, तो सिद्ध कीजिए कि धागे के कसने के समय धागे में आवेगी तनाव होगा:
(Two particles of masses m and m’ are moving in a parallel straight lines with given velocities v and v’; the particles are connected by a string of such a length that the instant when it becomes tight, it is inclined at an angle \alpha to the two lines, assuming that v > v’, show that the impulsive tension of the string at the instant if tightens is)
\frac{mm'}{m + m'}(v - v')\cos\alpha
Solution: यदि कसे हुए धागे के समय उभयनिष्ठ वेग V है तब संवेग एक रेखा में जोड़ने पर अचर है
\therefore (mv + m'v') = (m + m')V \cos\alpha
T = आवेगी तनाव
=एक का ऐसी रेखा में जोड़ने पर आवेग
= m(V - v)\cos\alpha
= m\left(\frac{mv + m'v'}{m + m'} - v\right)\cos\alpha
= m\left(\frac{mv + m'v' - mv - m'v}{m + m'}\right)\cos\alpha
= m\left(\frac{m'v' - m'v}{m + m'}\right)\cos\alpha
= \frac{mm'}{m + m'}(v' - v)\cos\alpha
Illustration: 2. एक प्रत्यास्थ गेंद जिसकी संहति m है, उसको भूमि से h ऊँचाई से गिराया जाता है और उसी क्षण एक दूसरा कण जिसकी संहति m_1 है, ऊपर की ओर फेंका जाता है जो कि पहले वाले को टकराता है। सिद्ध कीजिए कि टकराने के तुरन्त पश्चात गेंदें विरामावस्था में आएं उसके लिए द्वितीय गेंद को \left(\frac{m + m_1}{m_1}\sqrt{gh}\right)^{\frac{1}{2}} वेग से फेंका जाना चाहिए (An elastic ball of mass m is dropped from a height h above the ground and at the same time a second ball of mass m_1 is projected vertically upwards to meet the former. Show that in order that immediately after collison, the ball may be at rest, the second ball must be projected with a velocity
\left(\frac{m + m_1}{m_1} gh\right)^{\frac{1}{2}}
Solution: माना दोनों भूमि से s दूरी पर मिलती है तो प्रथम गेंद के लिए
v_1^2 = 2g(h - s) \quad \cdots{(1)}
और द्वितीय गेंद के लिए
v_2^2 = u^2 - 2gs \quad \cdots{(2)}
यदि टकराते समय उनके वेग v_1, v_2 और u द्वितीय गेंद का प्रारम्भिक वेग हों तो
प्रथम गेंद के लिए h - s = \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots{(3)}
द्वितीय गेंद के लिए s = ut - \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots{(4)}
\therefore h = ut
mv_1 - m_1v_2 = 0
अब t = \frac{h}{u} (3) और (4) समीकरण में रखने पर हम h – s और s प्राप्त कर सकते हैं:
\frac{mgh}{u} = m_1\left(u - \frac{gh}{u}\right)
\therefore u^2 = \frac{m + m_1}{m_1} gh
\Rightarrow u = \left(\frac{m + m_1}{m_1} gh\right)^{\frac{1}{2}}
Illustration: 3 n संहति के एक गोले को फेंकती है तथा बन्दूक को इस प्रकार रखा गया है कि वह पीछे की ओर क्षैतिज दिशा में हटती है, जिससे नाल-मुख वेग जब गोली क्षैतिज दिशा में फेंकी जाती है, भूमि के सापेक्ष वेग V है। सिद्ध कीजिए कि महत्तम क्षैतिज परास \frac{V^2}{g}\left(1 + \frac{m}{M}\right) है तथा यह बन्दूक का उन्नतीश कोण 45^\circ रखने पर प्राप्त होता है।
(A cannon ball of mass m is shot from a gun of mass M which is so mounted as to force to recoil in a horizontal direction 45^\circ  , so that muzzle velocity, when fired suddenly relative to the ground is V. Prove that the greatest range on a horizontal plan is)
\frac{V^2}{g}\left(1 + \frac{m}{M}\right)
Solution: माना गोले का नाल-मुख वेग बन्दूक के सापेक्ष u तथा पीछे की ओर क्षैतिज वेग v बन्दूक का है। बन्दूक का झुकाव कोण \alpha तथा बन्दूक गोले को v वेग, \theta कोण पर छोड़ती है.
संवेग समीकरण Mv = m(u\cos\alpha - v) \quad \cdots{(1)}
गोले के वेग का क्षैतिज और उर्ध्वाधर
वेग में वियोजित करने पर जब यह नाल-मुख से छूटता है:
u'\cos\theta = u\cos\alpha - v
u'\sin\theta = u\sin\alpha
\Rightarrow R = \text{range} = \frac{2u'\sin\theta \cdot u'\cos\theta}{g}
= \frac{2u\sin\alpha(u\cos\alpha - v)}{g}
= \frac{2u\sin\alpha\left(u\cos\alpha - \frac{mu\cos\alpha}{M + m}\right)}{g} \quad [\text{From (1)}]
= \frac{u^2\sin 2\alpha}{g} \cdot \frac{M}{M + m}
यह अधिकतम होगी जब \alpha = \frac{\pi}{4}
R = \frac{u^2}{g} \cdot \frac{M}{M + m}
परन्तु जब \alpha = 0, i.e. क्षैतिज छोड़ा जाता है, गोले का भूमि के सापेक्ष वेग V है.
i.e. u - v = V जब \alpha = 0
\alpha = 0 रखने पर,
(M + m)v = mu
\Rightarrow (M + m)(u - V) = mu
\Rightarrow Mu = (M + m)V
अतः अधिकतम परास
= \frac{M}{(M + m)g} \cdot \frac{(M + m)^2 V^2}{M^2}
= \frac{(M + m)V^2}{Mg}

Illustration: 4. विस्फोट के कारण M संहति के तोप से m संहति का एक गोला छोड़ा जाता है जो E गतिज ऊर्जा उत्पन्न करता है। सिद्ध करो कि गोले का प्रारम्भिक वेग \sqrt{\frac{2ME}{m(M + m)}} है तथा तोप पीछे की ओर \sqrt{\frac{2mE}{M(M + m)}} वेग से हटती है। (A shot of mass m is projected from a gun of mass M by an explosion which generates K.E. , show that the gun recoil with velocity \sqrt{\frac{2ME}{m(M + m)}} and the initial of the shot \sqrt{\frac{2mE}{M(M + m)}}.)
Solution: बन्दूक से गोला छोड़ने पर ऊर्जा उत्पन्न होती है जबकि स्वतंत्र है और माना ऊर्जा की मात्रा E है.
माना प्रारम्भिक वेग u और v हैं और गोला छोड़ने के बाद उसकी गतिज ऊर्जा \frac{1}{2}Mu^2 तथा \frac{1}{2}mv^2 है। छोड़ने के बाद ऊर्जा
\therefore E = \frac{1}{2}Mu^2 + \frac{1}{2}mv^2 \quad \cdots{(1)}
संवेग संरक्षण के सिद्धान्त से,
Mu = mv \quad \cdots{(2)}
हमें गोले का वेग ज्ञात करना है अर्थात् v और u का विलोपन.
E = \frac{1}{2}\frac{m^2v^2}{M} + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv^2\left(\frac{m + M}{M}\right) \quad \cdots{(3)}
v = \sqrt{\frac{2ME}{m(m + M)}}
\frac{1}{2}mv^2 का मान समीकरण (3) से (1) में रखने पर
E = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{EM}{m + M}
\Rightarrow E - \frac{EM}{m + M} = \frac{1}{2}mu^2
\Rightarrow \frac{mE + ME - EM}{m + M} = \frac{1}{2}mu^2
\Rightarrow u^2 = \frac{2mE}{M(m + M)}
\Rightarrow u = \sqrt{\frac{2mE}{M(m + M)}}
Illustration: 5. एक (m_1 + m_2) संहति का गोला V वेग से चलता हुआ विस्फोट के कारण m_1 तथा m_2 संहति के दो भागों में विभक्त हो जाता है। यदि यह दोनों भाग एक ही दिशा में आपेक्षिक वेग v से चलते हैं तो सिद्ध करो कि विस्फोट के कारण ऊर्जा

\frac{1}{2} \cdot \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} v^2
(A shell of mass (m_1 + m_2) moving with velocity V breaks into two portions of masses m_1 and m_2. If these two portions move in the same direction with relative velocity v, then prove that the energy due to explosion will be
\frac{1}{2} \cdot \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} v^2.
Solution: माना कि गोला विस्फोट से पहले V वेग तथा विस्फोट के बाद वेग v_1 तथा v_2 से है तो रैखीय संवेग संरक्षण के सिद्धान्त से –
(m_1 + m_2)V = m_1 v_1 + m_2 v_2 \quad \cdots{(1)}
विस्फोट से पहले गतिज ऊर्जा \frac{1}{2}(m_1 + m_2)V^2 तथा विस्फोट के कारण ऊर्जा E है, तब विस्फोट समय कुल ऊर्जा \frac{1}{2}(m_1 + m_2)V^2 + E है.
विस्फोट के बाद गतिज ऊर्जा:
\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2
ऊर्जा सिद्धान्त से
\frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2 + E = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \quad \cdots{(2)}
समीकरण (2) को 2(m_1 + m_2) से गुणा करने पर:
(m_1 + m_2)^2 V^2 + 2E(m_1 + m_2) = (m_1 + m_2)(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2)
\Rightarrow (m_1 v_1 + m_2 v_2)^2 + 2E(m_1 + m_2) = m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2 + m_1 m_2 (v_1^2 + v_2^2) \quad [\text{From (1)}]
2E(m_1 + m_2) = m_1 m_2 (v_1^2 + v_2^2 - 2v_1 v_2)
\therefore v_1 - v_2 = \sqrt{\frac{2E(m_1 + m_2)}{m_1 m_2}} \quad \cdots{(3)}
उपर्युक्त दोनों भागों की आपेक्षिक का आपेक्षिक वेग देता है
v_1 - v_2 = v = \sqrt{\frac{2E(m_1 + m_2)}{m_1 m_2}}
\Rightarrow E = \frac{m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)} v^2
Illustration: 6. m संहति की एक गोली v वेग से चलती हुई M संहति के किसी ऐसे तख्ते से टकराती है जो चलने के लिए स्वतंत्र है। यदि गोली तख्ते में ही घुस जाए तो सिद्ध करो कि गतिज ऊर्जा का \frac{1}{2} \cdot \frac{Mm}{M + m} v^2 ह्रास होगा।
(A bullet of mass m moving with velocity v strikes a plank of mass M which is free to move. If the bullet penetrates into the plank, show that the loss of K.E. is \frac{1}{2} \cdot \frac{Mm}{M + m} v^2.) [Ajmer 2000]
Solution: माना संयुक्त बॉडी का वेग V है, तब संवेग संरक्षण के सिद्धान्त से
(M + m)V = mv
\text{ऊर्जा में ह्रास} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}(M + m)V^2
= \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}(M + m)\frac{m^2 v^2}{(M + m)^2}
= \frac{1}{2}mv^2 \left[1 - \frac{m}{M + m}\right]
= \frac{1}{2}mv^2 \left(\frac{M + m - m}{M + m}\right)
= \frac{1}{2}mv^2 \cdot \frac{M}{M + m}
= \frac{1}{2} \frac{Mm}{M + m} v^2
Illustration: 7. M संहति का एक गोला V वेग से चल रहा है। एक आन्तरिक विस्फोट उसमें ऊर्जा उत्पन्न करता है और गोले को दो ऐसे भागों में विभाजित करता है, जिनके द्रव्यमान M_1 : M_2 में हैं। गोले के ये टुकड़े गति की मूल दिशा में चलते हैं। सिद्ध कीजिए कि उनके भिन्न वेग हैं:
(A shell of mass M is moving with velocity V, An internal explosion generates an amount of energy E and breaks the shell into two portions whose masses are M_1: M_2. The fragments continue to move in the original line of motion of the shell, show that their velocities are)
V + \sqrt{\left(\frac{2M_2 E}{M_1 M}\right)}, \ V - \sqrt{\left(\frac{2M_1 E}{M_2 M}\right)}
Solution: माना गोले के दो टुकड़ों के वेग v_1 तथा v_2 हैं.
संवेग संरक्षण सिद्धान्त से
M_1 v_1 + M_2 v_2 = M V \quad \cdots{(1)}
विस्फोट से पूर्व गतिज ऊर्जा = \frac{1}{2} M V^2
विस्फोट के पश्चात् गतिज ऊर्जा
= \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
गतिज ऊर्जा समीकरण से
E = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2 - \frac{1}{2} M V^2
समीकरण (1) को ध्यान में रखते हुए माना कि
v_1 = u + \frac{x}{M_1}, \ v_2 = u - \frac{x}{M_2} \quad \cdots{(2)}
अब (2) से
2E = M_1\left(u + \frac{x}{M_1}\right)^2 + M_2\left(u - \frac{x}{M_2}\right)^2 - (M)u^2
\Rightarrow 2E = M_1 u^2 + \frac{x^2}{M_1} + \dots + M_2 u^2 + \frac{x^2}{M_2} - Mu^2
\Rightarrow x^2 = \frac{2E}{\frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2}}
= \sqrt{\left(\frac{2E M_1 M_2}{M_1 + M_2}\right)}
अतः (3) से: v_1 = u + \frac{x}{M_1} = V + \sqrt{\left(\frac{2E M_2}{M_1 M}\right)}
v_2 = u - \frac{x}{M_2} = V - \sqrt{\left(\frac{2E M_1}{M_2 M}\right)}
उपर्युक्त उदाहरणों के हल द्वारा गतिविज्ञान में आवेग (Impulse in Dynamics) को समझ सकते हैं।

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3.छात्र-छात्राओं के लिए गतिविज्ञान में आवेग के प्रैक्टिस क्वेश्चंस (Practice Questions of Impulse in Dynamics for Students):

(1.)If a shot of mass m gm striking fixed metal plate with velocity u penetrates it through a distance a cm,show that it will completely pierce through a plate,free to move,of mass M gm and the thickness b cm if b < \frac{(ma)}{(m + M)} the resistance being supposed uniform.
(2.)A train of mass M kg is ascending a soomth incline of l in n and when the velocity of train is v m/sec,its acceleration is f m/\text{sec}^2,prove that the effective power of the engine is Mv(n+g)n watts.
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गतिविज्ञान में आवेग (Impulse in Dynamics) को अच्छी तरह से समझ सकते हैं क्योंकि स्वयं प्रैक्टिकल रूप से सवालों को हल करने पर कांसेप्ट अच्छी तरह समझ में आती है।

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4.गतिविज्ञान में आवेग (Frequently Asked Questions Related to Impulse in Dynamics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Q:1.आवेग किसे कहते हैं? (What is impulse?):

उत्तर:यदि कोई बल F किसी कण पर समयान्तराल t तक क्रियाशील हो तो फल F तथा समय अंतराल का गुणनफल बल का समय अंतराल में आवेग (Impulse) कहलाता है।

Q:2.आवेगी बल या आघात से क्या आशय है? (What is meant by impulsive force or Blow?):

उत्तर:यदि कोई बल F,किसी कण जिसका द्रव्यमान m है,समय अंतराल T के लिए कार्य करता है तथा समयान्तराल प्रारम्भ तथा अंत में कण का वेग क्रमशः v_1 तथा v_2 है तो
तब \int_0^t F , dt = m(v_2 - v_1)

Q:3.रेखीय संवेग के संरक्षण को समझाइए। (Explain the conservation of linear momentum):

उत्तर:यदि कोई m द्रव्यमान पिण्ड V वेग से F c बल के अधीन (अंतर्गत) गतिमान हो,तो न्यूटन के द्वितीय गति नियम से
F = m \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(mv)
m_1 v_1 + m_2 v_2 = \text{अचर}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गतिविज्ञान में आवेग (Impulse in Dynamics) की प्राइमरी टर्म्स के बारे में जान सकते हैं।

5.छात्र-छात्राओं से आज का प्रश्न (Today’s Question to Students):

🎯 विनर्स कॉर्नर:क्या आप इस सवाल का सही जवाब दे सकते हैं?अपने नाम के साथ नीचे कमेंट करें!सही जवाब देने वाले Top Students के नाम हमारी आगे post/is article ke update में Photo ya Special Mention के साथ publish की जाएगी।अपना जवाब अभी दर्ज करें!👇
*”48 का छठा अंश 72 के आठवें अंश से कितना कम है?”*
(How much is the sixth parts of 48 less than the eighth parts of 72?)
*पिछली प्रश्नोत्तरी का हल*
तीनों कथन मिलकर पर्याप्त हैं।
माना A व B की आय क्रमशः 7x और 4x रुपए हैं
कथन (ब) और (स) से,
​A की बचत = \frac{3}{(3 + 2)} \times 2880 = 1728 \text{ रु.}
​B की बचत = \frac{2}{(3 + 2)} \times 2880 = 1152 \text{ रु.}
​A का व्यय = (7x - 1728) \text{ रु.}
​B का व्यय = (4x - 1152) \text{ रु.}
​प्रश्नुसार, कथन (अ) से
​\frac{7x - 1728}{4x - 1152} = \frac{10}{7}
​इस समीकरण से x का मान ज्ञात करके A तथा B की आय में अन्तर ज्ञात कर सकते हैं
*Previous Quiz Solution*
​All three statements together are sufficient.
​Let the income of A and B be Rs. 7x and Rs. 4x respectively.
​From statements (b) and (c):
​A savings = \frac{3}{3 + 2} \times 2880 = 1728 \text{ रु.}
​B savings = \frac{2}{3 + 2} \times 2880 = 1152 \text{ रु.}
Expenditure of A = (7x - 1728) रु.
Expenditure of B = \text{Rs. } (4x - 1152) रु.
According Question
From statement (a)
\frac{7x - 1728}{4x - 1152} = \frac{10}{7}
\Rightarrow From this equation, we can find the difference the income of A and B by finding the value of x.
*”यह आर्टिकल **Satyam Mathematics** ब्लॉग पर **Satyam Coaching Centre** के द्वारा तैयार किया गया है।”*

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Sanjay Kumawat

(1.)**Satyam Narain Kumawat** **Website Name:Satyam Mathematics** *Owner:satyamcoachingcentre.in* *Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)* **Teaching Mathematics aur Anya Anubhav** ***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan ***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav ***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan* ****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.A dedicated math expert with 23+ years of teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.After guiding thousands of students through Satyam Coaching Center,now share Mathematics,Trigonometry (Upto M.sc) and Educational Strategies in simple language on this blog from December 2018.* (2.)**(Technical Expert & Co-Admin):** ***Name:Sanjay Kumawat* *Qualification:Graduate in Mechanical Engineering (B.Tec) in 2013* *Profession:Physics Lecturer* *Teaching Experience:15 Years and Teaching to NEET,JEE Students* *Technical Experience:5 Years Coding and Article Editing,Classic Photo Editing by Laptop in Satyam Coaching Centre Blog* *A school lecturer and digital content strategist.On this blog,he handles all the responsibility of coding,image editing,SEO, and technical management,so that the mathematical content reaches the readers in a very accurate and beautiful form.* Updated on 15.06.2026

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