1.काॅम्पीटेटिव एग्जाम्स और कक्षा 10 के लिए ज्यामिति के एमसीक्यूज (Geometry MCQ for Competitive Exams & Class 10):

Geometry MCQ for Competitive Exams

क्या आपको ज्यामिति के सवालों को हल करने में कठिनाई महसूस होती है? जानिए काॅम्पीटेटिव एग्जाम्स और कक्षा 10 के लिए ज्यामिति के एमसीक्यूज (Geometry MCQ for Competitive Exams & Class 10) को स्टेप-बाइ-स्टेप सरल विधि से हल किया गया है।

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2.काॅम्पीटेटिव एग्जाम्स और कक्षा 10 के लिए ज्यामिति के एमसीक्यूज के महत्त्वपूर्ण बिन्दु (Key Points of Geometry MCQ for Competitive Exams & Class 10)

Geometry MCQ for Competitive Exams

(1.)त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
(2.)त्रिभुज की एक भुजा को आगे बढ़ाने पर बना बहिष्कोण दो सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है।
(3.)त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी मुजा से बड़ा होता है।
(4.)यदि त्रिभुज के शीर्ष कोण का अर्द्धक शीर्षलम्ब है,तो त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज होता है।
(5.)समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ समान होती है।
(6.)यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों,तो उनके सामने के कोण बराबर होते हैं तथा इसका विलोम भी सत्य है।
(7.)यदि किसी त्रिभुज की किसी भुजा के समान्तर कोई रेखा खींची जाए,तो अन्य दो भुजाएँ एक अनुपात से विभाजित होती हैं।
(8.)यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हो,तब त्रिभुज सर्वांगसम होते 12
(9.)दो समकोण त्रिभुज की संगत भुजाओं का अनुपात
(i) उनके संगत शीर्ष लम्बों के अनुपात के बराबर होता है।
(ii) उनके संगत कोणीय अर्द्धकों के अनुपात के बराबर होता है।
(iii) उनके संगत माध्यिकाओं के अनुपात के बराबर होता है।
(10.)त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर चार त्रिभुज बनते है,जिन में से प्रत्येक मूल त्रिभुज के समरूप होता है।
(11.)यदि किसी वृत्त के दो चाप सर्वांगसम हो,तो उनकी संगत जीवाएँ बराबर होती
(12.)वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।
(13.)वृत्त की दो जीवाओं के लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केन्द्र पर प्रतिच्छेद करते हैं।
(14.)तीन असंरेख बिन्दुओं से एक और केवल एक वृत्त खींचा जा सकता है।
(15.)एक वृत्त की समान जीवाएँ केन्द्र से समदूरस्थ होती हैं।
(16.)वृत्त के एक चाप का अंश चाप के सापेक्ष वृत्त के समान्तर खण्ड के किसी एक बिन्दु पर इस चाप द्वारा अन्तरित कोण का दोगुना होता है।
(17.)अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
(18.)एकान्तर खण्ड में लघु चाप द्वारा अन्तरित कोण न्यून कोण होता है और एकान्तर खण्ड के दीर्घ चाप द्वारा अन्तरित कोण अधिक कोण होता है।
(19.)एक ही वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं।
(20.)एक वृत्त की समान जीवाएँ केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं।
(21.)चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं।
(22.)यदि दो बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड दो अन्य बिन्दुओं पर,जो इस रेखा खण्ड को आविष्ट करने वाली रेखा के एक ओर स्थित होते हैं,समान कोण अन्तरित करता है,तो ये चार बिन्दु एक वृत्तीय होते हैं तथा इसका विलोम भी सत्य है।
(23.)एक वृत्त के भीतर अगर एक समान्तर चतुर्भुज बनाया जाए,तो वह आयत अथवा वर्ग होगा।
(24.)वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श-बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
(25.)किसी बाहा बिन्दु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं जिनकी लम्बाइयों बराबर होती हैं।
(26.)यदि किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ किसी बाह्य बिन्दु से खींची जाती हैं,तब
(i) वे केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं।
(ii) वे केन्द्र या बिन्दु को मिलाने वाली रेखा पर समान रूप से आनत होती है।
(27.)दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण व केन्द्र को स्पर्श-बिन्दुओं से मिलाने वाली दो रेखाओं के बीच बने कोण का पूरक होता है।
(28.)एक वृत्त के परितः बना समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
(29.)यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ AB च CD वृत्त के अन्दर या बाहर बढ़ाने पर बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हो,तो PA.PB = PC.PD
(30.)यदि PAB वृत्त की छेदक रेखा हो जो वृत्त को A व B पर प्रतिच्छेद करती हों तथा PT एक स्पर्श रेखा हो,तो \text{PA.PB} =\text{PT}^2
(31.)यदि वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाए,तो इस जीवा द्वारा दी हुई स्पर्श रेखा के साथ बनाएँ गए कोण,संगत एकान्तर खण्डों में बनाए गए कोण के क्रमशः बराबर होते हैं।
(32.)यदि दो वृत्त एक-दूसरे को (अन्तः या बाह्यतः) स्पर्श करते हो,तो स्पर्श-बिन्दु केन्द्रों से होकर जाने वाली रेखा पर स्थित होता है।
(33.)यदि दो वृत्त C_{1}(0,r), C_{2}(O,s) एक-दूसरे को
(i) बाह्यतः स्पर्श करते हैं,तो OO’= r + s
(ii)अन्तः स्पर्श करते हैं, तो OO’ =t- s(r > s)=s-t(s > r)
(34.)चतुर्भुज के चारों कोणों की मापों का योग 180° होता है।
(35.)समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण परस्पर बराबर होते हैं।
(36.)समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
(37.)समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
(38.)समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
(39.)आयत व वर्ग के विकर्ण परस्पर बराबर होते हैं।
(40.)समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर बराबर लम्बाई के नहीं होते हैं

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3.काॅम्पीटेटिव एग्जाम्स और कक्षा 10 के लिए ज्यामिति के महत्त्वपूर्ण एमसीक्यूज (Important Geometry MCQ for Competitive Exams & Class 10)

Example:1.यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ 9 सेमी,11 सेमी तथा 15 सेमी हो,तो सबसे बड़ी भुजा के सामने का कोण होगा
(a) न्यून कोण (b) समकोण (c) अधिक कोण (d) सरल रेखा
Solution: 15^2 = 225, \quad 9^2 = 81 \text{ तथा } 11^2 = 121 \\ 9^2 + 11^2 = 81 + 121 = 202 \\ \therefore 15^2 > 9^2 + 11^2
अतः सबसे बड़ी भुजा के सामने का कोण अधिक कोण होगा।
विकल्प (c) सही है।
Example:2.किसी त्रिभुज की मुजाएँ 6,12 तथा 13 सेमी हैं।वह त्रिभुज है
(a) न्यून कोणीय (b) समकोणीय (c) अधिक कोणीय (d) \Delta असम्भव है
Solution: 6^2 + 12^2 > 13^2 \\ \therefore दिया गया त्रिभुज न्यून कोणीय त्रिभुज होगा
दिया गया त्रिभुज न्यूनकोण त्रिभुज होगा।
विकल्प (a) सही है।
Example:3.एक त्रिभुज PQR में,यदि PQ=10 सेमी,QR=20 सेमी. RP=25 सेमी
(a)तीनों कोण न्यून कोण है
(b) P अधिक कोण तथा शेष न्यून कोण है
(c)समकोण तथा शेष न्यून कोण हैं
(d) अधिक कोण तथा शेष न्यून कोण है
Solution: PQ^2 + QR^2 < RP^2
दिया गया त्रिभुज अधिक कोणीय त्रिभुज होगा
विकल्प (d) सही है।
Example:4.यदि (2k+15),(3k-14) और (4k-3) एक त्रिभुज की तीन भुजाओं की लम्बाइ‌यों हैं,तो निश्चित रूप से बड़ा होगा
(a)-4 से (b) \frac{32}{5} से (c) \frac{16}{3} से (d) \frac{14}{3} से
Solution:(2k+15),(3k-14) और (4k-3) एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं
\therefore (2K+15) + (3K-14) > (4K-3) \\ \Rightarrow 5K + 1 > 4K - 3 \\ \Rightarrow K > -4
विकल्प (a) सही है।
Example:5.यदि \Delta ABC में, AB^2 = BC^2 + AC^2 - BC \cdot AC, तो \angle C का मान होगा:
(a) 30° (b) 60°(c) 75° (d) 120°
Solution:AB^2 = BC^2 + AC^2 - BC \cdot AC
दिया गया त्रिभुज अधिक कोणीय त्रिभुज होगा तथा दिए गए विकल्पों में केवल विकल्प (d) में दिया गया कोण अधिक कोण है।
\text{अतः } \angle C = 120^\circ
विकल्प (d) सही है।
Example:6. \Delta ABC में, \angle C समकोण है।यदि शीर्ष C से AB पर लम्ब की माप p है तथा AB=c,BC=a एवं CA=b ,तो pc का मान होगा
a^2 + b^2 \quad (b) ab \quad (c) \frac{a}{b} \quad (d) \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}

Solution: \Delta ABC \text{ व } \Delta BCD \text{ में} \\ \frac{CD}{BC} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \frac{p}{a} = \frac{b}{c} \Rightarrow pc = ab
विकल्प (b) सही है।
Example: 7. एक समबाहु \Delta ABC में, भुजा BC को बिन्दु D एक-तिहाई भाग पर काटता है। AB^2 का मान होगा:
\frac{9}{7} AD^2 \quad (b) \frac{9}{5} AD^2 \quad (c) \frac{7}{5} AD^2 \quad (d) \frac{4}{3} AD^2

Solution: माना त्रिभुज की भुजा = a
\therefore \Delta ABE \text{ में,} \\ AB^2 = AE^2 + BE^2 \\ \Rightarrow a^2 = AE^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \\ \Rightarrow AE^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} \\ \Rightarrow AE^2 = \frac{3a^2}{4} \\ \Rightarrow AE = \frac{\sqrt{3}a}{2} \\ \text{अब } \Delta ADE \text{ में,} \\ AD^2 = AE^2 + DE^2 \\ = \frac{3}{4}a^2 + \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{3}\right)^2 \\ = \frac{3}{4}a^2 + \frac{a^2}{36} = \frac{28}{36}a^2 = \frac{7}{9}AB^2 \\ \Rightarrow AB^2 = \frac{9}{7}AD^2
विकल्प (a) सही है।
Example: 8. एक समकोणिक त्रिभुज के न्यून कोणों के शीर्ष से बनाई गई माध्यिकाओं की लम्बाई 6 सेमी तथा 8 सेमी है। त्रिभुज के कर्ण की लम्बाई है:
\sqrt{5} \text{ सेमी} \quad (b) 8\sqrt{5} \text{ सेमी} \quad (c) 2\sqrt{5} \text{ सेमी} \quad (d) 4\sqrt{5} \text{ सेमी}

Solution: \Delta ABC \text{ में,} \\ AB^2 + BC^2 = AC^2 \quad \cdots{{1}} \\ \Delta ABD \text{ में,} \\ AB^2 + \frac{BC^2}{4} = AD^2 \quad \cdots{{2}} \\ \Delta EBC \text{ में,} \\ \frac{AB^2}{4} + BC^2 = EC^2 \quad \cdots{{3}}
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर:
\frac{5AB^2}{4} + \frac{5BC^2}{4} = AD^2 + EC^2 \\ \Rightarrow AC^2 = \frac{4}{5}(36 + 64) \\ \Rightarrow AC = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}
विकल्प (d) सही है।
Example:9.समकोण त्रिभुज ABC का कर्ण AB दिया है।शीर्ष C का बिन्दुपथ होगा
(a) AB जिव्या वाला वृत्त (b)AB रेखा का लम्बार्द्धक
(c) AB के समान्तर सरल रेखा (d) AB व्यास का वृत्त

Solution:बिन्दु C,A व B कर्ण के मध्य-बिन्दु से समदूरस्थ होते हैं।
A,B,C एक वृत्तीय होंगे।
अतः C का बिन्दुपथ एक वृत्त होगा जिसका व्यास AB है।
विकल्प (d) सही है।
Example: 10. यदि \Delta ABC में, \angle ABC तथा \angle ACB के अर्धक O पर मिलते हैं, तो \angle BOC का मान बराबर है

(a) 180^\circ - A (b) 90^\circ - A (c) 90^\circ + \frac{A}{2} (d) 90^\circ
Solution: \Delta ABC \text{ में,} \\ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\angle A + \angle OBC + \angle OCB = 90^\circ \\ \Rightarrow \angle OBC + \angle OCB = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle A \\ \text{तथा } \Delta OBC \text{ में,} \\ \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ \\ \Rightarrow 90^\circ - \frac{1}{2}\angle A + \angle BOC = 180^\circ \\ \Rightarrow \angle BOC = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A \\ = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A
विकल्प (c) सही है।
Example: 11. \Delta ABC में, BC पर D कोई बिन्दु है ताकि \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} । यदि \angle B = 70^\circ, \angle C = 50^\circ हों, तब \angle BAD की माप है
(a) 60^\circ (b) 50^\circ (c) 25^\circ (d) 30^\circ

Solution: \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \\ \because AD, \angle A \text{ की अन्तः अर्द्धक है।} \\ \text{तथा } \angle A = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 60^\circ \\ \therefore \angle BAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ
विकल्प (d) सही है।
​Example: 12. \Delta ABC तथा \Delta DEF में, \angle B = 30^\circ, \angle C = 20^\circ, \angle F = 20^\circ, \angle D = 100^\circ हों, तो
(a) \Delta ABC \sim \Delta DEF (b) \Delta ABC \sim \Delta DFE
(c) \Delta ABC \sim \Delta AFD (d) इनमें से कोई नहीं

Solution:\Delta APC \text{ व } \Delta BPD \text{ में} \\ \angle APC = \angle BPD \text{ (शीर्षाभिमुख कोण)} \\ \text{तथा } \frac{AB}{PB} = \frac{PC}{PD} \\ \Rightarrow \Delta APC \sim \Delta BPD
विकल्प (d) सही है।
​Example: 13. एक वृत्त जिसका केन्द्र O है, में AB = CD दो असमान जीवाएँ एक-दूसरे को बिन्दु P पर काटती हैं, तो \Delta APC एवं \Delta DPB होंगे
(a)समरूप (b) क्षेत्रफलों में समान (c) सर्वांगसम (d) इनमें से कोई नहीं
Solution:यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ परस्पर एक बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती हैं,तो इस प्रकार बने त्रिभुज परस्पर समरूप होते हैं।
विकल्प (a) सही है।
Example: 14. चित्र में रेखाखण्ड AD, \Delta ABC के \angle A का अर्धक है। बिन्दु D भुजा BC पर स्थित है। BD : DC का मान होगा
(a) 6 : 5 (b) 5 : 6 (c) 4 : 5 (d) इनमें से कोई नहीं

Solution: \because \angle A \text{ का अर्धक } AD \text{ है।} \\ \therefore \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow BD : DC = 5 : 6
विकल्प (b) सही है।
Example:15.चित्र में,AC||MV BN=5 सेमी एवं NC=2.5 सेमी हो,तो BM:MA का मान होगा
(a) 1 : 2 (b) 2 : 1 (c) 2 : 2 (d) इनमें से कोई नहीं

Solution: \Delta BMN \text{ व } \Delta BAC \text{ समरूप त्रिभुज हैं।} \\ \therefore \frac{BM}{AM} = \frac{BN}{CN} \\ \Rightarrow \frac{BM}{AM} = \frac{5}{2.5} = \frac{2}{1}
विकल्प (b) सही है।
Example: 16. AB और CD एक वृत्त C(O, r) के व्यास हैं। यदि \angle OBD = 50^\circ हो, तब \angle AOC की माप है
(a) 80° (b) 40° (c) 100° (d) 25°

Solution: \because OB = OD \text{ (वृत्त की त्रिज्या)} \\ \therefore \angle OBD = \angle ODB \\ \Rightarrow \angle ODB = 50^\circ \\ \Delta BOD \text{ में,} \\ \angle BOD + \angle OBD + \angle ODB = 180^\circ \\ \Rightarrow \angle BOD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \\ \text{तथा } \angle AOC = \angle BOD \text{ (शीर्षाभिमुख कोण)} \\ = 80^\circ
विकल्प (a) सही है।
Example: 17. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसकी भुजा AB वृत्त का व्यास है। यदि \angle ADC = 140^\circ हो, तो \angle BAC का माप होगा:
(a) 40^\circ \quad (b) 100^\circ \quad (c) 50^\circ \quad (d) 120^\circ

Solution: चक्रीय चतुर्भुज ABCD में
\angle B + \angle D = 180^\circ \\ \Rightarrow \angle B = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \\ \text{तथा } \angle ACB = 90^\circ \text{ (अर्द्धवृत्त का कोण)} \\ \text{अब, } \Delta ABC \text{ में} \\ \angle ACB + \angle BAC + \angle ABC = 180^\circ \\ \Rightarrow 90^\circ + \angle BAC + 40^\circ = 180^\circ \\ \Rightarrow \angle BAC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ
विकल्प (c) सही है।
Example: 18. एक वृत्त की तीन जीवाएँ AB, BC और AC लम्बाई में बराबर हैं। यदि वृत्त का केन्द्र O है, तो \angle AOC का मान होगा:
(a) 120^\circ \quad (b) 60^\circ \quad (c) 45^\circ \quad (d) 30^\circ

Solution: \because AB = AC = BC \\ \therefore \Delta ABC \text{ एक समबाहु त्रिभुज है।} \\ \angle ABC = 60^\circ
हम जानते हैं कि केन्द्र पर बना कोण शेष परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।
\therefore \angle AOC = 2\angle ABC = 2 \times 60^\circ = 120^\circ
विकल्प (a) सही है।
Example: 19. ABCD एक चक्रीय समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AD तथा BC समान्तर हैं। यदि \angle B = 70^\circ हो, तो सत्य कथन है:
(a) \angle C = 110^\circ, \angle D = 110^\circ \quad (b) \angle D = 110^\circ, \angle C = 70^\circ \\ (c) \angle C = 70^\circ, \angle D = 70^\circ \quad (d) \angle C = 110^\circ, \angle D = 70^\circ

Solution: चक्रीय चतुर्भुज ABCD में,
\angle B + \angle D = 180^\circ \\ \Rightarrow \angle D = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \\ \text{तथा } AD \parallel BC \\ \therefore \angle D + \angle C = 180^\circ \\ \Rightarrow \angle C = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ
विकल्प (b) सही है।
Example: 20. एक चक्रीय समलम्ब चतुर्भुज ABCD का \angle ABC = 52^\circ है। यदि BC तथा AD समान्तर हैं, तो \angle BCD का मान होगा
(a) 128° (b) 64° (c) 52° (d) 104°

Solution: \angle ABC + \angle CDA = 180^\circ \\ \text{परन्तु } BC \text{ व } DA \text{ परस्पर समान्तर हैं} \\ \therefore \angle CDA + \angle BCD = 180^\circ \\ \text{अतः, } \angle ABC = \angle BCD = 52^\circ
विकल्प (c) सही है।
Example: 21. किसी वृत्त से A, B, C, D चार बिन्दु उसकी परिधि पर स्थित हैं तथा AB वृत्त का व्यास है। यदि \angle ADC = 110^\circ हो, तो \angle ABC का मान होगा
(a) 90° (b) 72° (c) 48° (d) 70°

Solution: चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
\therefore \angle B + \angle D = 180^\circ \\ \Rightarrow \angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ
विकल्प (d) सही है।
Example: 22. ABCD एक चतुर्भुज है जिसके बिन्दु A, B, C तथा D एक वृत्त की परिधि हैं। यदि AB वृत्त का व्यास है तथा \angle ADC = 135^\circ हो, तो \angle BAC का मान होगा:
(a) 30° (b) 45° (c) 135° (d) ऊपरोक्त में से कोई नहीं

Solution: \because \angle ADC + \angle ABC = 180^\circ \\ \Rightarrow \angle ABC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \\ \text{चूँकि } AB \text{ वृत्त का व्यास है, तब } \angle ACB = 90^\circ \\ \text{अब त्रिभुज } ABC \text{ में,} \\ \angle ABC + \angle ACB + \angle CAB = 180^\circ \\ \Rightarrow 45^\circ + 90^\circ + \angle CAB = 180^\circ \Rightarrow \angle CAB = 45^\circ
विकल्प (b) सही है।
Example:23.किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाएँ,जो केन्द्र के एक ही ओर हैं,क्रमशः 8 सेमी व 6 सेमी लम्बी है।यदि उनके बीच की दूरी 1 सेमी है,तो वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई है
(a) 6 सेमी (b) 5 सेमी (c) 4 सेमी (d) 4.5 सेमी

Solution:माना वृत्त की त्रिज्या=r तथा OM=x
\therefore \Delta OMA \text{ में,} \\ OA^2 = OM^2 + AM^2 \Rightarrow r^2 = x^2 + 4^2 \\ \Rightarrow r^2 = x^2 + 16 \quad \cdots{(1)} \\ \Delta OCN \text{ में} \\ OC^2 = ON^2 + NC^2 \\ \Rightarrow r^2 = (x+1)^2 + 9 \quad \cdots{(2)} \\ \text{समीकरण (1) व (2) से:} \\ x^2 + 2x + 1 + 9 = x^2 + 16 \\ \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \\ r \text{ का मान समीकरण (1) में रखने पर:} \\ r^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow r = 5 \text{ सेमी}
विकल्प (b) सही है।
Example: 24. O केन्द्र वाले वृत्त में एक जीवा PQ इस प्रकार है कि \angle OPQ = 40^\circ है। यदि वृत्त के दीर्घ चाप में कोई बिन्दु R है, तब \angle PRQ का मान होगा:
(a) 100° (b) 140° (c) 50° (d) 120°

Solution: OP = OQ \\ \Rightarrow \angle OPQ = \angle OQP \\ \Rightarrow \angle OQP = 40^\circ \\ \Delta OPQ \text{ में} \\ \angle OPQ + \angle OQP + \angle POQ = 180^\circ \\ \Rightarrow 40^\circ + 40^\circ + \angle POQ = 180^\circ \\ \Rightarrow \angle POQ = 100^\circ \\ \text{अब } \because \angle POQ = 2\angle PRQ \\ \Rightarrow \angle PRQ = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ
विकल्प (c) सही है।
Example: 25. एक वृत्त, जिसका केन्द्र O है, की एक जीवा AB = 4 सेमी है। वृत्त का व्यास 8 सेमी है। AB द्वारा दीर्घ वृत्तखण्ड पर एक बिन्दु C द्वारा AB पर बनाए गए \angle ABC का मान होगा
(a) 60° (b) 30° (c) 45° (d) उपरोक्त में से कोई नहीं

Solution:वृत्त की त्रिज्या=4 सेमी
\therefore OA = OB = AB = 4 \text{ सेमी} \\ \Rightarrow \Delta AOB \text{ समबाहु त्रिभुज है।} \\ \Rightarrow \angle AOB = 60^\circ \\ \text{तथा } \angle AOB = 2 \angle ACB \\ \Rightarrow \angle ACB = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ
समबाहु त्रिभुज है।
विकल्प (b) सही है।
Example:26.दिए गए चित्र में, PT वृत्त के T बिन्दु पर एक स्पर्श रेखा है।यदि PB=9 सेमी और व्यास AB=16 सेमी,तब PT बराबर है
(a) 5 सेमी (b) 7 सेमी (c) 12 सेमी (d) 15 सेमी

Solution:PB=9 सेमी,AB=16 सेमी
हम जानते हैं कि
PT^2 = PA \cdot PB = (PB + AB)PB \\ = (9 + 16)(9) = 25 \times 9 \\ \Rightarrow PT = 5 \times 3 = 15 \text{ सेमी}
विकल्प (d) सही है।
Example:27.एक वृत्त पर उसके केन्द्र बिन्दु से 25 सेमी की दूरी पर स्थित बिन्दु से एक स्पर्श रेखा बनाई गई है।स्पर्श रेखा की लम्बाई 20 सेमी है।वृत्त का व्यास है
(a) \sqrt{20} सेमी (b) 15 सेमी (c) 20 सेमी (d) 30 सेमी

Solution:OB=25 सेमी तथा AB=20 सेमी
\Delta AOB \text{ में,} \\ OA^2 + AB^2 = OB^2 \\ \Rightarrow OA^2 + 400 = 625 \\ \Rightarrow OA^2 = 225 \\ \Rightarrow OA = 15 \\ \therefore \text{वृत्त का व्यास} = 2 \times 15 = 30 \text{ सेमी}
विकल्प (d) सही है।
Example:28.एक रेखा PT जिसकी लम्बाई 5 सेमी है,3 सेमी की त्रिज्या वाले एक वृत्त को बिन्दु T पर स्पर्श करती है।बिन्दु P की वृत्त के केन्द्र से दूरी होगी
(a) 4 सेमी (b) \sqrt{34} सेमी (c)4\sqrt{5} सेमी (d) इनमें से कोई नहीं

Solution:PT=5 सेमी,OT=3 सेमी
\Delta PTO \text{ में} \\ OT^2 + PT^2 = OP^2 \\ \Rightarrow OP^2 = 9 + 25 = 34 \\ \Rightarrow OP = \sqrt{34}
विकल्प (b) सही है।
Example:29.6 सेमी व्यास के वृत्त पर केन्द्र से 10 सेमी दूरी से खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई होगी:लगभग
(a) 13.0 सेमी (b) 12.64 सेमी (c) 11.63 सेमी (d) इनमें से कोई नहीं

Geometry MCQ for Competitive Exams

Solution:स्पर्श रेखा की अभीष्ट लम्बाई
= \sqrt{13^2 - 3^2} = \sqrt{169 - 9} \\ = \sqrt{160} = 12.64 \text{ सेमी}
विकल्प (b) सही है।
Example: 30. निम्न चित्र में \angle DEC का मान होगा :
(a) 45° (b) 65° (c) 75° (d) 55°

Solution: \angle DEC = \angle DCB \\ \Rightarrow \angle DEC = 55^\circ \text{ (एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण)}
विकल्प (d) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के हल द्वारा काॅम्पीटेटिव एग्जाम्स और कक्षा 10 के लिए ज्यामिति के एमसीक्यूज (Geometry MCQ for Competitive Exams & Class 10) को समझ सकते हैं।

4.छात्र-छात्राओं के लिए काॅम्पीटेटिव एग्जाम्स और कक्षा 10 के लिए ज्यामिति के एमसीक्यूज के प्रैक्टिस प्रोब्लम्स (Practice Problems of Geometry MCQ for Competitive Exams & Class 10 for Students):

Geometry MCQ for Competitive Exams

(1.)एक कोण का मान इसके सम्पूरक कोण के मान से दोगुना है।इस कोण की माप है
(a) 120° (b) 60° ( c) 100° (d) 90°
(2.)एक रेखा पर कम-से-कम कितने विभिन्न बिन्दु हो सकते हैं?
(a) एक (b) दो (c) तीन (d) अनन्त
उत्तर (Answers):(1.)(a) (2.)(b)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर काॅम्पीटेटिव एग्जाम्स और कक्षा 10 के लिए ज्यामिति के एमसीक्यूज (Geometry MCQ for Competitive Exams & Class 10) को अच्छी तरह से समझ सकते हैं क्योंकि स्वयं प्रैक्टिकल रूप से सवालों को हल करने पर कांसेप्ट अच्छी तरह समझ में आती है।
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5.काॅम्पीटेटिव एग्जाम्स और कक्षा 10 के लिए ज्यामिति के एमसीक्यूज (Frequently Asked Questions Related to Geometry MCQ for Competitive Exams & Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

6.छात्र-छात्राओं से आज का प्रश्न (Today’s Question to Students):

Geometry MCQ for Competitive Exams

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*”एक 38 मीटर रस्सी से 5 टुकड़े इस प्रकार काटे गए कि उनमें एक टुकड़ा अन्य टुकड़ों में से प्रत्येक का \frac{3}{4} गुना लम्बा है।इस टुकड़े की लम्बाई क्या होगी?”*
(From a 38 m rope, 5 pieces are cut in such a way that one piece is \frac{3}{4} times the length of each of the other pieces. What is the length of this piece?)
*पिछली प्रश्नोत्तरी का हल*
ज्ञात नहीं किया जा सकता
*Previous Quiz Solution*
Can’t be found
*”यह आर्टिकल **Satyam Mathematics** ब्लॉग पर **Satyam Coaching Centre** के द्वारा तैयार किया गया है।”*