1.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometrical Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities):

Trigonometrical Identities Class 10

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometrical Identities Class 10) को समझने से पूर्व सर्वसमिका को समझना होगा।एक समीकरण को एक सर्वसमिका तब कहा जाता है जबकि यह सम्बन्धित चरों के सभी मानों के लिए सत्य हो।इसी प्रकार एक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों से सम्बन्धित सर्वसमिका को त्रिकोणमितीय सर्वसमिका कहा जाता है जबकि यह सम्बन्धित कोण (कोणों) के सभी मानों के लिए सत्य होता है।
$\triangle$ ABC में,जो B पर समकोण है (देखिए आकृति)

Trigonometrical Identities Class 10

हमें यह प्राप्त होता है $AB^2+BC^2=AC^2 \cdots(1)$
(1) के प्रत्येक पद को से भाग देने पर हमें यह प्राप्त होता है

$\frac{A B^2}{A C^2}+\frac{B C^2}{A C^2}=\frac{A C^2}{A C^2} \\ \Rightarrow\left(\frac{A B}{A C}\right)^2+\left(\frac{B C}{A C}\right)^2=\left(\frac{A C}{(A C}\right)^2 \\ \Rightarrow \cos ^2 A+\sin ^2 A=1 \quad \cdots(2)$
यदि सभी A के लिए, जहाँ $0 \leq A \leq 90^{\circ}$ सत्य होता है।अतः यह एक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है।
अब हम (1) को $AB^2$ से भाग दें।ऐसा करने पर हमें यह प्राप्त होता है

$\frac{A B^2}{A B^2}+\frac{B C^2}{A B^2}=\frac{A C^2}{A B^2} \\ \Rightarrow \left(\frac{A B}{A B}\right)^2+\left(\frac{B C}{A B}\right)^2=\left(\frac{A C}{A B}\right)^2 \\ \Rightarrow 1+\tan^2 A=\sec ^2 A \cdots(3)$
यह समीकरण A=0° के लिए सत्य है परन्तु A=90° के लिए सत्य नहीं है।A=90° के लिए tan A और sec A परिभाषित नहीं है।अतः (3),ऐसे सभी A के लिए सत्य होता है जहाँ $0 \leq A \leq 90^{\circ}$
अब (1) को $BC^2$ से भाग देने पर हमें प्राप्त होता हैः

$\frac{A B^2}{B C^2}+\frac{B C^2}{B C^2}=\frac{A C^2}{A C^2} \\ \Rightarrow \left(\frac{A B}{B C}\right)^2+\left(\frac{B C}{B C}\right)^2=\left(\frac{A C}{B C}\right)^2 \\ \Rightarrow \cot ^2 A+1=\operatorname{cosec}^2 A \cdots(4)$
A=0° के लिए cosec A और cot A परिभाषित नहीं है।अतः ऐसे सभी A के लिए (4) सत्य होता है जहाँ $0 \leq A \leq 90^{\circ}$
इन सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके हम प्रत्येक त्रिकोणमितीय अनुपात को अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कर सकते हैं अर्थात् यदि कोई एक अनुपात ज्ञात हो तो हम अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात कर सकते हैं।
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2.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Trigonometrical Identities Class 10):

Example:1.त्रिकोणमितीय अनुपातों Sin A,sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
Solution: $\sin A=\frac{1}{\operatorname{cosec} A} \\ \Rightarrow \sin A =\frac{1}{\sqrt{1+\cot ^2 A}}\left[1+\cot ^2 A=\operatorname{cosec}^2 A\right] \\ \sec ^2 A =1+\tan ^2 A \\ =1+\frac{1}{\cot ^2 A} \\ =\frac{1+\cot ^2 A}{\cot ^2 A} \\ \Rightarrow \sec A =\frac{\sqrt{1+\cot ^2 A}}{\cot A} \\ \tan A =\frac{1}{\cot ^2 A}$
Example:2.$\angle A$ के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।

Solution:- $\text{(i)} \sin ^2 A+\cos ^2 A=1 \\ \Rightarrow \sin ^2 A=1-\cos ^2 A \\ \Rightarrow \sin^2 A=1-\frac{1}{\sec^2 A} \\ \Rightarrow \sin ^2 A=\frac{\sec ^2 A-1}{\sec ^2 A} \\ \Rightarrow \sin A=\frac{\sqrt{\sec ^2 A-1}}{\sec A} \\ \text{(ii)} \cos A=\frac{1}{\sec A} \\ \text { (iii) } 1+t \cos ^2 A=\sec ^2 A \\ \Rightarrow \tan ^2 A=\sec ^2 A-1 \\ \Rightarrow \tan A=\sqrt{\sec ^2 A-1} \\ \text { (iv) } \operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A} \\ \Rightarrow \operatorname{cosec} A=\frac{1}{\frac{\sqrt{\sec ^2 A-1}}{\sec A}} \\ \Rightarrow \operatorname{cosec} A=\frac{\sec A}{\sqrt{\sec ^2 A-1}} \\ \text { (v) } \cot A=\frac{1}{\tan A} \\ \Rightarrow \cot A=\frac{1}{\sqrt{\sec ^2 A-1}}$
Example:3.मान निकालिएः
Example:3(i). $\frac{\sin ^2 63^{\circ}+\sin ^2 27^{\circ}}{\cos ^2 17^{\circ}+\cos ^2 73^{\circ}}$
Solution: $\frac{\sin ^2 63^{\circ}+\sin ^2 27^{\circ}}{\cos ^2 17^{\circ}+\cos ^2 73^{\circ}} \\ =\frac{\sin ^2 63^{\circ}+\sin ^2\left(90^{\circ}-63^{\circ}\right)}{\cos ^2\left(90^{\circ} 73^{\circ}\right)+\cos ^2 73^{\circ}} \\ =\frac{\sin ^2 63^{\circ}+\cos ^2 63^{\circ}}{\sin ^2 73^{\circ}+\cos ^2 73^{\circ}} \\ =\frac{1}{1} \quad\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\right) \\ =1$
Example:3(ii). $\sin 25^{\circ} \cos 65^{\circ}+\cos 25^{\circ} \sin 65^{\circ}$
Solution: $\sin 25^{\circ} \cos 65^{\circ}+\cos 25^{\circ} \sin 65^{\circ} \\ \Rightarrow \sin 25^{\circ} \cos \left(90^{\circ}-25^{\circ}\right)+\cos 25^{\circ} \sin \left(90^{\circ}-25^{\circ}\right) \\ \Rightarrow \sin 25^{\circ} \sin 25^{\circ}+\cos 25^{\circ} \cos 25^{\circ} \\ \Rightarrow \sin ^2 25^{\circ}+\cos ^2 25^{\circ} \\ =1 \quad\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\right)$
Example:4.सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिएः
Example:4(i). $9 \sec ^2 A-9 \tan^{2} A$
(A)1 (B)9 (C)8 (D)0
Solution: $9 \sec ^2 A-9 \tan ^2 A \\ =9\left(\sec ^2-\tan ^2 A\right) \\ =9(1) \quad\left(\sec ^2 A-\tan ^2 A=1\right) \\ =9$
Example:4(ii). $(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)$ बराबर हैः
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) – 1
Solution:$(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta) \\ =1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta+\tan \theta+\tan \theta-\cot \theta- \tan \theta \operatorname{cosec} \theta+\sec \theta+\sec \theta \cdot \cot \theta-\sec \theta \operatorname{cosec} \theta \\ =1+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta} +\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta} \\ =\frac{\sin \theta \cos \theta+\cos ^2 \theta-\cos \theta+\sin ^2 \theta+\sin \theta \cos \theta-\sin \theta+\sin \theta +\cos \theta -1}{\cos \theta \sin \theta} \\ =\frac{2 \cos \theta-1}{\cos \theta \cos \theta} \\ =\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos \theta \sin \theta} \\ =2$

(c) 2 Ans
Example:4(iii). $(\sec A+\tan A)(1-\sin A)$ बराबर हैः

(A)sec A (B)sin A (C)cosec A (D) cos A
Solution: $(\sec A+\tan A)(1-\sin A) \\ =\left(\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}\right)(1-\sin A) \\ =\frac{(1+\sin A)}{\cos A}(1-\sin A) \\ =\frac{1-\sin ^2 A}{\cos ^2 A} \\ =\frac{\cos ^2 A}{\cos A} \\ =\cos A (D) \cos A$ Ans
Example:4(iv). $\frac{1+\tan ^2 A}{1+\cot ^2 A}$ बराबर हैः

(A) $\sec ^2 A$ (B) -1 (C) $\cot^{2} A$ (D)$\tan ^2 A$
Solution: $\frac{1+\tan ^2 A}{1+\cot ^2 A} \\ \frac{\sec ^2 A}{\operatorname{cosec}^2 A}=\frac{1}{\cos ^2 A} \times \frac{\sin ^2 A}{1}=\tan ^2 A$

(D) $\tan ^2 A$ Ans.

Trigonometrical Identities Class 10

Example:5.निम्न सर्वसमिकाएं सिद्ध कीजिए,जहाँ वे कोण,जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है,न्यून कोण हैः
Example:5(i).$(\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta)^2=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}$ 
Solution: $(\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta)^2=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} \\ \text { L.H.S. } (\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta)^2 \\ \Rightarrow \left(\frac{1}{\sin \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^2 \\ = \left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right)^2 \\ = \frac{(1-\cos \theta)^2}{\sin \theta} \\ = \frac{(1-\cos \theta)^2}{1-\cos ^2 \theta} \\ = \frac{(1-\cos \theta)^2}{(1-\cos \theta)(+\cos \theta)} \\ = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}=\text { R.H.S. }$
Example:5(ii). $\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}=2 \sec A$
Solution: $\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}=2 \sec A \\ \text { L.H.S } =\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A} \\=\frac{\cos ^2 A+(1+\sin A)^2}{\cos ^2 A(1+\sin A)} \\ = \frac{\cos ^2 A+1+\sin ^2 A+2 \sin A}{\cos ^2 A(1+\sin A)} \\ = \frac{1+1+2 \sin A}{\cos A(1+\sin A)} \\ = \frac{2+2 \sin A}{\cos A(1+\sin A)} \\ = \frac{2(1+\sin A)}{\cos A(1+\sin A)} \\ = \frac{2}{\cos A} \\ = 2 \sec A=\text { R.H.S }$
Example:5(iii). $\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}=1+\sec \theta \operatorname{cosec} \theta$ 
Solution: $\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}=1+\sec \theta \operatorname{cosec} \theta \\ \text { L.H.S. } \frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta} \\ \frac{\tan \theta}{1-\frac{1}{\tan \theta}}+\frac{\frac{1}{\tan \theta}}{1-\tan \theta} \\ =\frac{\tan ^2 \theta}{\tan \theta-1}+\frac{1}{\tan \theta(1-\tan \theta)} \\ =-\frac{\tan ^2 \theta}{1-\tan \theta}+ \frac{1}{\tan \theta(1-\tan \theta)} \\ =\frac{-\tan ^3 \theta+1}{\tan ^3 \theta(1-\tan \theta)} \\ =\frac{(1-\tan \theta)}{\tan \theta(1-\tan \theta)} \\ =\frac{(1-\tan \theta)\left(1+\tan ^2 \theta+\tan \theta\right)}{\tan \theta(1-\tan \theta)} \\ =\frac{1+\tan ^2 \theta+\tan \theta}{\tan \theta} \\ =\frac{\sec ^2 \theta+ \tan \theta}{\tan \theta} \\ =\frac{\sec ^2 \theta+\tan \theta}{\tan \theta} \\ =\frac{\sec ^2 \theta}{\tan \theta}+1 \\ =\frac{\frac{1}{\cos ^2 \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}+1 \\=\frac{1}{\cos ^2 \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta}+1 \\=1+\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \\ =1+\operatorname{cosec} \theta \sec \theta=\text { R.H.S. }$
Example:5(iv). $\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^2 A}{1-\cos A}$
Solution: $\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^2 A}{1-\cos A} \\ \text{L.H.S.}= \frac{1+\sec A}{\sec A} \\=\frac{1+\frac{1}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}} \\ =\frac{\frac{1+\cos A}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}} \\ =1+\cos A \\ =(1+\cos A) \frac{(1-\cos A)}{(1-\cos A)} \\ =\frac{1-\cos ^2 A}{1-\cos A} \\ =\frac{\sin^2 A}{1-\cos A}=\text{R.H.S.}$
Example:5(v). सर्वसमिका $\operatorname{cosec}^2 A=1+\cos ^2 A$ लागू करने पर $\frac{\cos A -\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\operatorname{cosec} A+\cot A$
Solution: $\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\operatorname{cosec} A+\cot A \\ \text{L.H.S.}= \frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}$
अंश व हर में sin A का भाग देने परः

$\frac{\frac{\cos A}{\sin A}-\frac{\sin A}{\sin A}+\frac{1}{\sin A}}{\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\sin A}{\sin A}-\frac{1}{\sin A}} \\ =\frac{\cot A-1+\operatorname{cosec} A}{\cot A+1-\operatorname{cosec} A} \\ = \frac{\operatorname{cosec} A+\cot A-\left(\operatorname{cosec}^{2} A-\cot ^2 A\right)}{\cot A+1-\operatorname{cosec} A} \\ =\frac{\operatorname{cosec} A+\cot A-(\operatorname{cosec} A+\cot A)(\operatorname{cosec} A-\cot A)}{\cot A+1-\operatorname{cosec} A} \\ =\frac{(\operatorname{cosec} A+\cot A)(1-\operatorname{cosec} A+\cot A)}{\cot A+1-\operatorname{cosec} A} \\ =\operatorname{cosec} A+\cot A=\text{R.H.S.}$
Example:5(vi). $\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}=\sec A+\tan A$
Solution: $\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}=\sec A+\tan A \\ \text{L.H.S.}= \sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}} \\ =\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A} \times \frac{1+\sin A}{1+\sin A}} \\ =\sqrt{\frac{(1+\sin A)^2}{1-\sin ^2 A}} \\ =\frac{1+\sin A}{\sqrt{\cos ^2 A}} \\ =\frac{1+\sin A}{\cos A} \\ =\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A} \\ =\sec A+\tan A=\text { R.H.S. }$
Example:5(vii). $\frac{\sin \theta-2 \sin \theta}{2 \cos ^3 \theta-\cos \theta}=\tan \theta$
Solution: $\frac{\sin \theta-2 \sin \theta \theta}{2 \cos ^3 \theta-\cos \theta}=\tan \theta \\ \text { L.H.S. }=\frac{\sin \theta-2 \sin ^3 \theta}{2 \cos ^3 \theta-\cos \theta} \\ \frac{\sin \theta\left(1-2 \sin ^2 \theta \right)}{\cos \theta\left(2 \cos ^2 \theta-1\right)} \\ =\frac{\tan \theta\left(1-2 \sin ^2 \theta\right)}{2\left(1-\sin ^2 \theta\right)-1} \\ =\frac{\tan \theta\left(1-2 \sin ^2 \theta\right)}{2-2 \sin ^2 \theta-1} \\ =\frac{\tan \theta\left(1-2 \sin ^2 \theta\right)}{\left(1-2 \sin ^2 \theta\right)} \\ = \tan \theta=\text { R.H.S. }$
Example:5(viii). $(\sin A + cosec A)^2+ (\cos A+\sec A)^2=7+\tan ^2 A+\cot ^2 A$
Solution: $(\sin A+\operatorname{cosec} A)^2+(\cos A+\sec A)^2 =7+\tan ^2 A+\cot ^2 A \\ \text { L.H.S }(\sin A+\operatorname{cosec} A)^2+(\cos A+\sec A)^2 \\ =\sin ^2 A+\operatorname{cosec}^2 A+2 \sin A \operatorname{cosec} A+\cos ^2 A+\sec ^2 A+2 \cos A \sec A \\ =\sin ^2 A+\cos ^2 A+1+\cot ^2 A+2+ 1+\tan ^2 A+2 \\ \left[\because \operatorname{cosec}^2 A=1+\cot ^2 A, \sec ^2 A=1+\tan ^2 A\right] \\ =1+6+\tan ^2 A+\cot ^2 A \\ =7+\tan ^2 A+\cot ^2 A=\text { R.H.S }$
Example:5(ix). $(\operatorname{cosec} A-\sin A)(\sec A-\cos A)=\frac{1}{\tan A+\cot A}$
Solution:$(\operatorname{cosec} A-\sin A)(\operatorname{cec} A-\cos A) =\frac{1}{a \tan A+\cos A} \\ \text{L.H.S.}=(\operatorname{cosec} A-\sin A)(\sec A-\cos A) \\ \left(\frac{1}{\sin A}-\sin A\right) \left(\frac{1}{\cos A}-\cos A\right) \\ =\left(\frac{1-\sin ^2 A}{\sin A}\right)\left(\frac{1-\cos ^2 A}{\cos A}\right) \\ =\frac{\cos ^2 A}{\sin A} \cdot \frac{\sin ^2 A}{\cos A} \\ =\frac{\sin A \cos A}{1} \\ =\frac{\sin A \cos A}{\sin ^2 A+\cos ^2 A} \\ =\frac{1}{\frac{\sin ^2 A}{\sin A \cos A}+\frac{\cos ^2 A}{\sin A \cos A}} \\ =\frac{1}{\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\cos A}{\sin A}} \\ =\frac{1}{\tan A+\cot A}=\text { R.H.S. }$
Example:5(x). $\left(\frac{1+\tan ^2 A}{1+\cot ^2 A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^2=\tan ^2 A$ 
Solution: $2\left(\frac{1+\tan ^2 A}{1+\cot ^2 A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^2=\tan ^2 A  \\ \text { L.H.S }=\frac{1+\tan ^2 A}{1+\cos ^2 A} \\ =\frac{\sec ^2 A}{\operatorname{cosec}^2 A} \\ =\frac{1}{\frac{\cos ^2 A}{\frac{1}{\sin ^2 A}}} \\ =\frac{\sin ^2 A}{\cos ^2 A}=\tan ^2 A=\text { R.H.S. } \\ \text { M.H.S. }\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^2 \\ =\frac{\left(1-\frac{\sin A}{\cos A}\right)^2}{\left(1-\frac{\cos A}{\sin A}\right)^2} \\ =\left(\frac{\cos A-\sin A}{\cos A} \times \frac{\sin A}{\sin A-\cos A}\right)^2 \\ =\left(\frac{\sin A}{\cos A}\right)^2=\tan ^2 A$
L.H.S.=M.H.S.=R.H.S.
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometrical Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 के सवाल (Trigonometrical Identities Class 10 Questions):
सिद्ध कीजिएः

Trigonometrical Identities Class 10

(1.) $\sec ^6 \theta-\tan ^6 \theta=1+3 \tan ^2 \theta+3 \tan ^2 \theta$
(2.) $\tan ^2 A-\tan ^2 B=\frac{\cos ^2 B-\cos ^2 A}{\cos ^2 A \cos ^2 B}=\frac{\sin ^2 A-\sin ^2 B}{\cos ^2 A \cos ^2 B}$
(3.) $(\tan A+\operatorname{cosec} B)^2-(\cot B-\sec A)^2 =2 \tan A \cot B(\operatorname{cosec} A+\sec B)$

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometrical Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Trigonometrical Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometrical Identities Class 10) को समझने से
पूर्व सर्वसमिका को समझना होगा।एक समीकरण को एक सर्वसमिका तब कहा जाता है जबकि